CC BY
106
Т. Н. Мустафин, Г. Н. Чекушкин, М. С. Хамидуллин,
И. Г. Хисамеев
АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИИ ПРОФИЛЕЙ РОТОРОВ
ГЕРОТОРНОГО КОМПРЕССОРА
Ключевые слова: героторный компрессор, уравнение зацепления, теоретический профиль,
анализ зацепления.
Приводятся вывод и результаты анализа теоретического окружного крупномодульного профиля внутреннего зацепления, который может быть использован в героторной компрессорной схеме. Вывод уравнения основан на раскрытии соответствующего якобиана. Анализ профиля и линии зацепления дан с точки зрения образования профильных зазоров и влияния их на профильные перетечки газа между соседними камерами.
Кeywords: gerotor compressor, equation of gearing, theoretical profile, analysis of gearing.
The following article covers the derivation and the results of analysis of theoretical circumferential heavy modulus profile of the internal gearing the profile can be used in gerotor compressors diagram. The equation derivation is based on writing of the corresponding Jacobian determinant. The analysis of the profile and the engagement line is given from the point of view of profile clearances formation and their effect upon the gas profile overflows between the adjacent chambers.
Потребности современной промышленности в модернизации имеющегося оборудования привели к задачам создания и внедрения, в том числе? и новых образцов компрессорной техники [1], среди которых в настоящее время распространен класс роторных машин. Наиболее существенно на характеристики роторных компрессоров (РК) оказывают законы образования и эволюции рабочих камер, а также законами образования зазоров между рабочими органами компрессора и стенками, ограничивающими рабочие камеры. Все перечисленные законы определяются в первую очередь выбором типа профиля роторов, решая при этом ряд следующих задач:
1. линия зацепление, образованная роторами, должна быть непрерывна во времени и пространстве;
2. хорошее уплотнение зазоров, как между роторами, так и между роторами и корпусом, достигаемое путем минимизации до необходимых величин профильных зазоров и рациональным выбором формы профиля;
3. минимизация перевальных и защемленных объемов;
4. для улучшения массогабаритных показателей должен быть хорошим коэффициент использования объёма корпуса;
5. должны быть предусмотрены возможность изготовления роторов простым, высокопроизводительны способом, при этом должна соблюдаться простота изготовления оснастки и режущего инструмента, а также возможность использования для изготовления серийных общепромышленных станков.
Эти требования должны быть соблюдены как на стадии теоретического, так и на стадии действительного профилирования. Задача выбора исходного профиля усложняется тем фактом, что перечисленные выше требования зачастую вступают в противоречие друг с другом.
В предлагаемом РК [2] исходным для расчёта сопряженного профиля является профиль внутреннего ротора, при этом с целью упрощения изготовления профиля наружного ротора, при профилировании предусматривается контакт между роторами не по всей поверхности наружного ротора, а лишь по его роликам. Т.е. теоретический профиль внутреннего ротора есть огибающая роликов наружного ротора. Дальнейший анализ предлагаемой задачи невозможен без получения теоретического профиля внутреннего ротора (его уравнения). Решение аналогичной задачи для окружного профиля ротора винтового компрессора (ротора наружного зацепления) показано в работах [3, 6]. В данной же статье рассматривается вывод уравнения теоретического профиля внутреннего ротора (ротора внутреннего зацепления) с целью его последующего анализа для определение целесообразности его использования.
Параметрическое уравнение роликов в подвижной системе координат X1 01Y1, жестко связанной с наружным ротором (рис.1), примет следующий вид:
X'B1 =OA-r • cos (ф); Y'Bi=r • sin (ф),
где OA - расстояние от центра окружности роликов до начала координат; / - параметр профиля, в качестве которого принят угол между общей нормалью к сопряжённым профилям в точке касания и оси абсцисс O1X’1; r - радиус огибаемых роликов.
Параметрическое уравнение теоретического профиля внутреннего ротора ищется в системе координат X’2O2Y’2, жестко с ним связанным (рис.2), для чего уравнение (1) переписывается в данной системе координат:
X2 = OA • cos (ф1 -ф2)- r • cos (ф1 -ф2 -/)- e • cos (ф2);
Y2 = OA •sin( -ф2) + r•sin( -ф2 -/) + e•sin(ф2) где e - эксцентриситет делительных окружностей обоих роторов, ф ё ф2 - углы поворота от исходного положения соответственно наружного и внутреннего роторов.
Рис. 1 - Пояснение к параметрическому уравнению роликов
Рис. 2 - К выводу уравнения теоретического профиля внутреннего ротора
Принимая во внимание понятие передаточного отношения зубчатого зацепления:
i = ^2 21 — | >
ф1
а так же вводя новый параметр:
k = i21 - 1 ,
тогда уравнение можно записать в следующей форме:
X2 = OA •cos(к•ф.,)-r•cos(k^ +/)-e•cos(i21 •ф.,);! Y2 = -OA • sin (•ф1) + r • sin (k •ф1 +/) + e • sin (i21 •ф1)
3(Х2;У2) Л
Уравнение (3) позволяет раскрыть составляющие якобиана —т---------г-= 0, которые
5^ф1; ^)
после несложных математических преобразований окончательно примут вид:
5X2
Эф1
5Y2
5ф1
dX2
Э/
5Y2
Э/
= k • Y2 + e • sin (ф1 • i 21); = -k • X2 + e • cos (ф1 • i21); = r • sin (k •ф1 +/); = r • cos (k •ф1 +/).
(4)
При подстановке соотношений (4) в якобиан получается уравнение линии зацепления ролика с внутренним ротором:
[k • Y2 + e • sin (ф1 • i21 ))• r • cos (•ф1 + /) + [-k • X2 + e • cos (ф1 • i21 )]• r • sin (k •ф1 +/) = 0. (5)
Здесь:
e Г1Н Г2Н k ' Г2Н, (6)
где Г1Н ё Г2Н - радиусы делительных окружностей соответственно наружного и внутреннего роторов.
После подстановки в уравнение (5) соотношения (6) и произведя сокращение заведомо не нулевых членов, уравнение (5) примет вид:
Y2 • cos(k •ф1 + у) + X2 • sin(k •ф1 + у) + г2Н • sin (ф1 — у) = 0. (7)
Уравнение (7) позволяет получить связь между ф1 и у в явном виде. С этой целью
в уравнение (7) подставляются соотношения из уравнения (3) и по окончанию математических преобразований, с учетом соотношения (6), уравнение (7) принимает вид:
OA • sin(у) + г1Н • sin(ф1 — у) = 0, (8)
или:
(OA — г1Н • cos (ф1 ))• sin (у) + г, • sin (ф1 )• cos (у) = 0. (8a)
Тогда, при условии что cos (у) ^ 0, имеет место следующее соотношение:
у = arctg
'1H
• sin (ф;)
г^ • cos (ф;)- OA
(9)
Окончательно уравнение теоретического профиля внутреннего ротора, получается при подстановке уравнения (9) в уравнение (3):
X2 = OA •cos(•ф,)-г•cos
У2 = -OA • sin (• ф,) + г • sin
k •ф, + arctg
k • ф, + arctg
'1H
sin (ф;)
n,H • cos (ф; )- OA
MH
sin (ф, )
гiH • cos (ф,)- OA
-e•cos(, •ф,); + e • sin (і,, •ф,).
(iG)
Уравнение (10) позволяет получить массив координат теоретического профиля внутреннего ротора, для этого ф1 должен меняться в пределах [0^2•я-21 ], где Ъх - число
зубьев внутреннего ротора. Преобразуя уравнения (10) в неподвижную систему координат Х1ОУ1 (см. рис. 2) получаем уравнение линии зацепления:
XK = OA cos (ф) - г cos ф, - aгctg
YK=OA sin(ф,)-гsin фi-aгctg
sin (ф)
cos (ф )-OA
sin (ф)
cos (ф; )-OA
(11)
Путем небольшой коррекции величин, входящих в уравнение (10), компенсирующей технологические погрешности изготовления и тепловых деформаций роторов, можно получить координаты действительных роторов.
Результаты, полученные для теоретической схемы с передаточным отношением 3/4, эксцентриситетом роторов 12,5 мм, диаметром ролика 25 мм и эксцентриситетом роликов по отношению к оси наружного ротора 62,5 мм представлены на рис. 3.
1 1 1 Делительные окружности роторов Ролики наружного ротора
1 1 V Теоретический шюФилыэотогаа ' 1. --4- У- Ч ь
'V л. ч. Ч \
-1
у \ 1
Ротла наруаа -ротора I 10Г0 /у / )
р: V [иния
V щеплен ИЯ
Рис. 3 - Результаты расчётов теоретического профиля внутреннего ротора
Координаты действительного профиля внутреннего ротора могут быть получены путем эквидистатного занижения координат теоретического профиля. Их также можно получить с помощью уравнения (10) путем некоторой коррекции входящих в него величин:
Х2а = 0Аа • С0Э (к -ФО- Га ' С0Э
У2а = -0Аа • Э|П (к •ф1) + Га • Э|П
к •ф1 + arctg
k •ф1 + arctg
r1H • 5|п(
1)
Г1Н • С^ (ф1 )- 0Аа Г1Н • 5'П (ф1)
- в.
1Н
• С0Э (
1)-ОАа
+ в.
• С0в (21 • ф1);
• в!п (121 Л).
(12)
При выборе данного типа профиля образуется цевочное зацепление, т.е. теоретический профиль наружного ротора фактически повторяет участки теоретического профиля внутреннего ротора. Ограничивая область контакта роторов лишь по поверхности роликов целесообразно заменить профильную область наружного за пределами роликов близкими по кривизне дугами окружности.
На основе анализа результатов полученных с помощь представленных уравнений можно сделать следующий ряд выводов:
1. образуемая линия зацепления проста и непрерывна;
2. защемленный объем в теоретическом зацеплении отсутствует, наличие его в действительном зацеплении невелико и необходимо для создания буферной полости и как следствии предотвращения «гидроударов», при использовании компрессора в маслозаполненном варианте;
3. величина профильных зазоров в основном зависит лишь от величины эквидистантного занижения теоретического профиля внутреннего ротора;
4. анализ кривизны в профилей в точке контакта (как второго фактора оказывающего влияния на величину перетечек газа между рабочими камерам) позволяет сделать о том, что наименьшей глубиной дросселирования, как известно [3, 5, 6], обладают щели, образованные поверхностями с кривизной в точке контакта различных знаков, а такие щели образуются лишь на стороне всасывания, где перепад давлений между соседними камерами не велик;
5. коэффициент использования объема корпуса в исследуемой схеме превосходит аналогичные коэффициенты спиральных компрессоров.
Все выше изложенное позволяет дать положительное заключения о перспективности использования исследуемого профиля в компрессорной схеме.
Литература
1. Максимов, В.А. Компрессорное и холодильное машиностроение на современном этапе / В.А. Максимов, А.А. Мифтахов, И.Г. Хисамеев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 1998. - №1. - С. 104 - 113.
2. Патент на полезную модель № 44155 (РФ). Объёмная роторная машина /Хисамеев И.Г., Ха-
мидуллин М.С., Чекушкин Г.Н. - 22.11.04, опубл.-27.02.05, бюл. № 6, Б04С 2/28
3. Сакун, И.А. Винтовые компрессоры / И.А.Сакун. - Л.: Машинстроение, 1970. - 400 с.
4. Бронштейн, И.Н. Справочник по математики для инженеров и учащихся ВТУЗОВ/ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
5. Захаренко, С.Е. К вопросу о перетечках газа через щели/ С.Е. Захаренко - Л.: Труды ЛПИ, 1953. - №2. - С. 144-160.
6. Хисамеев, И.Г. Двухроторные винтовые и прямозубые компрессоры: теория, расчёт и проектирование / И.Г. Хисамеев, В.А. Максимов - Казань: Фэн , 2000. - 638 с.
© Т. Н. Мустафин - асс. каф. холодильной техники и технологии КГТУ, mustimur@rambler.ru; Г. Н. Чекушкин - канд. техн. наук, проф. той же кафедры; М. С. Хамидуллин - канд. техн. наук, доц. же кафедры, mcx_kstu@rambler.ru; И. Г. Хисамеев - д-р техн. наук, проф. той же кафедры.
