К вопросу оценки точности положения геодезических пунктов, определяемых линейно-угловыми засечками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 528.41.001.76.629.783 А.П. Карев, А.И. Павлова СГГ А, Новосибирск

К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПУНКТОВ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ЛИНЕЙНО-УГЛОВЫМИ ЗАСЕЧКАМИ

A.P. Karev, A.I. Pavlova SSGA, Novosibirsk

THE PROBLEM OF POSITIONAL ACCURACY ESTIMATION WITH GEODETIC POINTS DETERMINED BY LINEAR-ANGULAR INTERSECTIONS

The article analyses traditional methods of geodetic intersection and formulae for their estimation. The definition of linear-angular intersections and their classifications are presented.

В России, начиная с 90-х годов XX столетия, наибольший объем топографо-геодезических работ выполняется при инвентаризации и межевании земель, дл решения задач землеустройства и ведения

государственного земельного кадастра.

Выполняемые для геодезического обеспечения земельно-кадастровых работ измерения при создании, сгущении исходной геодезической основы, координировании межевых знаков и в других случаях в настоящее время производятся в основном с применением электронных тахеометров и различных способов спутниковых технологий.

При использовании электронных тахеометров одним из эффективных способов определения координат межевых знаков, решения других задач землеустройства стали различного вида линейно-угловые засечки.

Геодезическими засечками согласно ГОСТу 22268-76 называют

определение координат точки по элементам, измеренным на ней или на исходных пунктах. Геодезические засечки, в которых измерения элементов производится с исходных пунктов, называются прямыми засечками. При измерении необходимых элементов на определяемой точке схему

определения зазывают обратной засечкой.

Схему засечки с измерениями необходимых элементов на определяемой точке и с исходных пунктов называют комбинированной засечкой. В зависимости от характера измеряемых элементов (горизонтальные углы, расстояния) перечисленные виды засечек могут быть угловыми, линейными и линейно-угловыми засечками. На рис. 1-5 приведены схемы засечек разных видов.

- Прямая угловая засечка

На рис. 1, 2 изображены схемы вариантов прямой угловой засечки:

Исходные пункты: А, В

Измеряемые элементы: р1,р2

Неизвестные элементы: Хр, Ур

Р

А

К

А1

N

В

Рис. 1

Рис. 2

Средняя квадратическая ошибка (ско) положения точки Р определяется

где тр - средняя квадратическая ошибка измеренных углов, у - угол при определяемой точке.

- Линейная засечка (рис. 3).

Исходные пункты: А, В.

Измеряемые элементы: Sl,

Неизвестные элементы: Хр, Ур

ско положения точки Р определяется по формуле

где т81 и тз2 - средние квадратические ошибки измерения соответственно сторон S1, Бг.

- Обратная угловая засечка (рис. 4).

Исходные пункты: А, В, С.

Измеряемые элементы: рь р2

Неизвестные элементы: Хр, Ур

ско положения точки Р определяется по формуле

по формуле

(1)

где Ь1 , Ь2 - значения исходных сторон, у - угол между исходными сторонами.

р

р л

в

Рис. 3 Рис. 4

- Полярный способ (рис. 5). Схема полярного способа является простейшим линейно-угловым построением, называемой часто полярной засечкой.

Исходные пункты: А, В.

Измеряемые элементы: в, S.

Неизвестные элементы: Хр, Ур ско положения пункта Р определяется по формуле

Мр2=т\ +

т

Р

(4)

Рис. 5

- Линейно-угловые засечки

Линейно-угловыми называют геодезические засечки, в которых измеряются углы и расстояния в различных комбинациях. В зависимости от сочетания угловых и линейных измерений различают прямую, обратную и комбинированные линейно-угловые засечки.

а) Прямая линейно-угловая засечка (рис. 6).

Исходные пункты: А, В.

Измеряемые элементы: във2, 81,82 Неизвестные элементы: Хр, Ур

б) Комбинированная линейно-угловая засечка (рис. 7).

Исходные пункты: А, В.

Измеряемые элементы: р1,р2, Б

Неизвестные элементы: Хр, Ур

в) Обратная линейно-угловая засечка (рис. 8).

Исходные пункты: А, В.

Измеряемые элементы: в, 81,Б2 Неизвестные элементы: Хр, Ур

Способ обратной линейно-угловой засечки для определения координат точек получил широкое распространение при измерении углов и расстояний с помощью электронных тахеометров.

р

Я Р

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

При земельно-кадастровых работах схему определения координат межевых знаков на основе обратной линейно-угловой засечки называют методом свободного выбора станции.

При обратной линейно-угловой засечке для определения координат точки Р на ней центрируется электронный тахеометр и производятся измерения расстояний S1, Б2 до исходных пунктов А и В, угла между ними в, значение которого должно быть не менее 30° и не более 150°.

Схемы линейно-угловых засечек различного вида в геометрическом отношении представляют собой треугольник, в котором одна из сторон является исходной, координаты третьей вершины определяются из измерений углов и сторон в разных комбинациях.

Для оценки точности положения пункта, определяемого из разных вариантов линейно-угловых засечек получены формулы средних квадратических ошибок Л.В. Вороновым [1], П.А. Каревым [2]. На основании анализа полученных формул в работе [2] показано, что точность положения пункта, определяемого построением треугольника с измеренными сторонами и углами, выше точности определения этого пункта по результатам только угловых или только линейных измерений.

В данной статье излагается концептуально новый подход к оценке точности линейно-угловых засечек с выводом менее сложных, математически строгих формул средний квадратических ошибок положения определяемых пунктов.

Предлагается для оценки точности линейно-угловой засечки первоначально в треугольнике с измеренными сторонами и углами выделить элементы прямой угловой засечки с измеренными углами, элементы

линейной засечки с измеренными расстояниями и элементы полярного способа (засечки) с измеренной стороной и углом на исходном пункте.

Для установленных раздельных засечек по известным формулам (1), (2), (4) вычисляются соответствующие ско:

- Для прямой угловой засечки - Муз,

- Для линейной засчки - М л.з,

- Для полярного способа - М п.з.

Значение М л-у з - ско положения пункта, определяемого данной линейно-угловой засечкой, находится как среднее весовое из средних квадратических ошибок раздельных засечек.

С принятыми обозначениями среднее весовое ско прямой линейно -угловой засечки М л-у. з определяется по формуле

, ^ Му.з-Мл.з

Ш-У-3 I - - , (5)

yjМу.з +Мл.з

где! а = д/sf + , м =—— ^jm2s,+m2s2 .

р smy v sin у

Для одного из вариантов комбинированной линейно-угловой засечки

, ^ Мл.з-Мп.з

Мл-у.з (6)

4Мл.з +Мп.з

Для обратной линейно-угловой засечки (способа свободного выбора станции):

Мё-о.9=1ё.9 .

Примечание. Измеряемый в обратной линейно-угловой засечке на определяемом пункте горизонтальный угол у используется для контроля полевых измерений.

Значение ско определяемого пункта в линейно-угловых засечках зависит от точности измерения расстояний, размеров треугольника засечки и от соотношения точностей угловых и линейных измерений.

В работе [3] установлено, что повышение точности измерения элементов в треугольниках с измеренными сторонами и углами имеет место только при соотношении точностей угловых и линейных измерений, лежащем в интервале

1<Ч. ^<3 3 р" ' Б ’

Оптимальным для повышения точности элементов треугольника является соотношение

^ в ш

-7:т = 1’ (7)

р $ при этом

ЩГ^. (8)

Р

При оптимальном соотношении точностей измерения углов и сторон с учетом равенства (8) формула ско линейной засечки (2) примет вид

Мл.з - ——+т]2 = .

81П у 8111 у ^

или

т

Мл.з = ^ге—4Щ7Щ, (9)

р вш/

Полученное при преобразовании выражение (9) для ско М л.з является формулой для ско прямой угловой засечки Му.з, что означает равенство ско Мл.з=Му.з. В случае оптимального соотношения точностей угловых и линейных измерений при равенстве средних квадратических ошибок угловой и линейной засечек выражение для средней квадратической ошибки линейно -угловой засечки упрощается и принимает вид:

, , Мл.з-Му.з Мл.з Му.з

Ш~У-3 I 2 2 ~ !т~~ 7т~' (10)

^Мл.з2 +Му.з2 ^2 ^2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воронов, Л.В. Линейно-угловые фигуры для привязки аэроснимков / Л.В. Воронов // Геодезия и картография. - № 3. - 1963. - С. 14-21.

2. Карев, П.А. О точности элементов геодезических построений с измеренными сторонами и углами / П.А. Кареев // Материалы юбилейной научно-техн. конф. по вопросам геодезии, оптики и спектроскопии.- Новосибирск: НИГАиК и НОВАГО, 1967. -С. 51-55.

3. Карев, П.А. О соотношении точности угловых и линейных измерений в линейно-угловых построениях / П.А. Кареев // Научные труды НИГАиК. - Т. XIX. -Новосибирск: НИГАиК, 1967. - С. 51-56.

© А.П. Карев, А.И. Павлова, 2008