CC BY
0
ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И КАЧЕСТВА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
DIAGNOSTIC METHODS FOR ENSURING RELIABILITY AND QUALITY OF COMPLEX SYSTEMS
УДК 681.518.5
doi: 10.21685/2307-4205-2024-4-12
К ВОПРОСУ ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ПРОЦЕССА
В. Н. Клячкин1, В. О. Ташниченко2
1 Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия 2 Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва, Россия 1 v_kl@mail.ru, 2 victoria.tashnichenko@gmail.com
Аннотация. Актуальность и цели. Статистический контроль процессов предназначен для выявления специальных (неслучайных) причин нарушения с целью предотвращения снижения качества выпускаемой продукции. Решение оптимизационных задач для различных ситуаций и различных типов контрольных карт даст в общем случае совершенно разные значения объема мгновенной выборки, частоты отбора выборок и положения контрольных границ. Какие значения принять? Возникает актуальная задача многокритериальной оптимизации. Материалы и методы. Для контроля некоррелированных показателей используются стандартные карты средних значений и стандартных отклонений или размахов. Если же корреляции между показателями значимы, применяют специальные многомерные методы, основанные на алгоритме Хотеллинга для контроля среднего уровня процесса и алгоритме обобщенной дисперсии для контроля рассеяния. Задача оптимизации параметров контроля была решена А. Дунканом для карт Шухарта. Позднее были рассмотрены вопросы оптимизации параметров алгоритмов Хотеллинга и обобщенной дисперсии. Результаты и выводы. Рассмотрен пример анализа стабильности функционирования блока усилителя мощности. Решение оптимизационной задачи позволило найти оптимальный объем выборки, интервал между выборками, вероятность ложной тревоги и среднее время пребывания процесса в нестабильном состоянии. Сформулирована новая научная задача оптимизации параметров многомерного статистического контроля процесса. Найдено решение для конкретного примера. В общем случае, когда необходимо учесть возможность различных типов нарушений для разных показателей, решается задача многокритериальной оптимизации.
Ключевые слова: алгоритм Хотеллинга, обобщенная дисперсия, скорость обнаружения нарушения, стоимость контроля
Для цитирования: Клячкин В. Н., Ташниченко В. О. К вопросу об оптимизации параметров многомерного статистического контроля процесса // Надежность и качество сложных систем. 2024. № 4. С. 111-118. doi: 10.21685/2307-42052024-4-12
© Клячкин В. Н., Ташниченко В. О., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
ON THE ISSUE OF OPTIMIZATION OF THE PARAMETERS OF MULTIVARIATE STATISTICAL PROCESS CONTROL
V.N. Klyachkin1, V.O. Tashnichenko2
1 Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia 2 Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia 1 v_kl@mail.ru, 2 victoria.tashnichenko@gmail.com
Abstract. Background. Statistical control of processes is designed to identify special (non-random) causes of violation in order to prevent a decrease in the quality of products. Solving optimization problems for different situations and different types of control charts will generally give completely different values for the instantaneous sample size, sampling rate, and control boundary positions. What values should be taken? An urgent problem of multi-criteria optimization arises. Materials and methods. For uncorrelated measures, standard maps of averages and standard deviations or ranges are used. If the correlations between the indicators are significant, special multivariate methods are used, based on the Hotelling algorithm to control the average level of the process and the generalized dispersion algorithm to control scattering. The problem of optimizing control parameters was solved by A. Duncan for Shewhart maps. Later, the problems of optimizing the parameters of the Hotelling algorithms and generalized variance were considered. Results and conclusions. An example of analyzing the stability of the power amplifier unit operation is considered. The solution of the optimization problem made it possible to find the optimal sample size, the interval between samples, the probability of a false alarm and the average time of the process being in an unstable state. A new scientific problem of optimizing the parameters of multivariate statistical process control is formulated. A solution for a specific example is found. In general, when it is necessary to take into account the possibility of different types of violations for different indicators, the problem of multi-criteria optimization is solved.
Keywords: Hotelling algorithm, generalized variance, violation detection rate, cost of control
For citation: Klyachkin V.N., Tashnichenko V.O. On the issue of optimization of the parameters of multivariate statistical process control. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem = Reliability and quality of complex systems. 2024;(4): 111-118. (In Russ.). doi: 10.21685/2307-4205-2024-4-12
Введение
Вариации в процессах обусловлены причинами двух типов - общими (связанными с конкретной производственной системой) и специальными (связанными с нарушением условий процесса: например, износом или ослаблением крепления инструмента, изменением температуры смазочно-охлаждающей жидкости и т.п.) [1]. Статистический контроль процессов предназначен для выявления этих специальных причин с целью предотвращения нарушения качества выпускаемой продукции: процесс считается нарушенным, если контролируемый показатель вышел за пределы контрольных границ, соответствующих доверительному интервалу для исследуемого параметра; при этом этот показатель еще находится в пределах допуска (неслучайная причина нарушения обнаружена чисто статистическими методами), т.е. имеется возможность своевременно предотвратить выявленное нарушение.
Контроль стабильности процесса проводится по двум критериям: по среднему уровню и рассеянию. При этом для некоррелированных показателей (корреляции между ними незначимы) используются контрольные карты для средних значений и стандартных отклонений или размахов1.
Если же контролируемые показатели коррелированы (значимость корреляций проверяется по критерию Стьюдента), целесообразно использовать многомерные методы, основанные на алгоритме Хотеллинга для контроля среднего уровня процесса и алгоритме обобщенной дисперсии (определителе ковариационной матрицы) для анализа многомерного рассеяния [2, 3].
Через определенные промежутки времени (как правило, равные) берутся мгновенные выборки обычно объемом по 3-10 наблюдений и вычисляются значения соответствующих статистик. Эти значения откладываются на карте, где также показывается положение центральной линии и контрольных границ - границ доверительного интервала. Выход точки за границу или особое положение точек на карте (например, тренд) свидетельствуют о статистическом нарушении процесса.
С точки зрения статистики при этом проводится проверка статистических гипотез о соответствии среднего уровня процесса и его рассеяния заданным значениям.
1 ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015. Статистические методы. Контрольные карты. Ч. 2. Контрольные карты Шу-
харта.
Основными параметрами контроля являются объем мгновенной выборки, частота отбора выборок и положение контрольных границ. Эти параметры чаще всего принимаются на основании некоторого предшествующего опыта: например, для определения положения контрольных границ на карте средних значений У. Шухарт предложил использовать известное правило трех сигм, соответствующее при нормальном распределении вероятности ложной тревоги 0,0027; это значение вошло в международные стандарты и благополучно используется и в настоящее время.
Однако еще в 60-х гг. ХХ-го в. американский специалист А. Дункан поставил вопрос об оптимизации этих параметров: очевидно, что их выбор влияет как на скорость обнаружения нарушения, так и на стоимость контроля [4]. Он решил эту задачу для карт Шухарта. Позднее были рассмотрены вопросы оптимизации карт Хотеллинга [5-9] и обобщенной дисперсии [10, 11].
Для конкретного процесса обычно некоторое подмножество показателей анализируется с помощью карт Шухарта, а оставшиеся - многомерными картами. При этом возможны разные типы нарушений процесса, например, скачкообразное изменение среднего уровня по одному показателю и постепенное увеличение рассеяния по другому.
Решение оптимизационных задач для различных ситуаций и различных типов карт даст в общем случае совершенно разные значения объема мгновенной выборки, частоты отбора выборок и положения контрольных границ. Какие значения принять? Возникает задача многокритериальной оптимизации.
Материалы и методы
В качестве примера рассмотрим процесс контроля стабильности функционирования блока усилителя мощности в зависимости от двух коррелированных показателей электровакуумных приборов, используемых в системе: х1 - ток катода, х2 - выходная мощность. Контроль проводился каждые два часа (к = 2), объем выборки - три наблюдения (п = 3). Всего взято 30 выборок.
Блок усилителя мощности в передающем устройстве радиолокационной станции обеспечивает эффективную работу средств воздушно-космической обороны и использует электровакуумные приборы (клистроны). Обеспечение стабильности параметров клистронов является необходимым требованием для нормального функционирования блока.
На рис. 1 показана корреляционная матрица: корреляция между показателями х1 и х2 значима. Также была проверена нормальность распределения как по каждому показателю, так и многомерная нормальность. На рис. 2 в качестве примера показана гистограмма для х1: по критерию Лиллиефорса р-значение превышает 0,20, что свидетельствует о том, что гипотеза о нормальности распределения по этому показателю не противоречит опытным данным. Однако нормальность распределения по каждому показателю является необходимым, но не достаточным условием многомерной нормальности. Нормальность совместного распределения двух показателей х1 и х2 оценивалась по тесту Дор-ника - Хансена [12]: значение критерия оказалось равным БЫ = 8,12, а соответствующее р-значение р = 0,12, что подтверждает справедливость гипотезы о двумерной нормальности распределения.
Переменная Корреляции (клистрон2) Отмеченные корреляции значимы на уровне р <,050 N=90 {Построчное удаление ПД)
Средние Ст.откл. | х1 х2
х1 9,032931 0,319595 1,000000 0,581314
х2 30,00732 3,804032 0,581314 1,000000
Рис. 1. Корреляционная матрица
1нетпгрди il
K Çd-,HJ9(. ffr 20 Ллглифсфса pi- it исртаиыоа
8« Е.1 ЪА 3 6 18
Рис. 2. Проверка нормальности по показателю х1
Многомерные карты по показателям х1-х2, построенные в системе 81аЙ8Йса (использована локализованная версия 13.3) [13-15], показаны на рис. 3. Вероятность ложной тревоги принята на обеих картах а = 0,005 (как правило, при многомерном контроле применяется это значение).
Верхняя карта - это визуализация проверки гипотезы о равенстве вектора средних заданным значениям на основе теста Хотеллинга, нижняя - о равенстве обобщенной дисперсии (характеризующей многомерное рассеяние данных) заданному значению.
Соответствующие контрольные границы: на карте Хотеллинга - 11,411, на карте обобщенной дисперсии - 8,0948. Центральные линии карт - 1,3789 и 1,1975 соответственно. Заметим, что обе карты имеют только верхние контрольные границы. Все точки на обеих картах лежат ниже соответствующих контрольных границ, нарушений нет, процесс стабилен.
Хотеллинг Т2 карты для контроля средник
14
12
СМ 10
I— 1— г
к
и
5 4
о X 2
0
-2
ос га
I 2
I У
<и — •§ |
о 5
4
. 1 ± . 4- _|_ -1- ; .
.4 4 4+-И-+ ,444",
9
3 7 6 5
4 3 2 1 О
-1
11,411
1.3789
5 10 15 20 25
Карта обобщенной дисперсии
30
в,0948
1.1975 0000
10
15
20
25
30
Рис. 3. Многомерные контрольные карты
Решение задачи оптимизации возможно с использованием двух подходов: по вероятностным или стоимостным критериям. Критерий вероятностного типа характеризует качество выявления нарушений процесса с помощью выбранной карты. Применение такого подхода минимизирует вероятности ошибок первого а и второго рода в по сравнению с другими подходами и, следовательно, обеспечивает наибольшее среднее время нахождения процесса в стабильном состоянии. Недостатком подхода является то, что не представляется возможным оценить затраты на контроль и в целом -экономическую эффективность контроля.
При стоимостном подходе предполагается, что затраты на проведение контроля можно определенным образом оценить. Рассматриваются основные виды затрат:
- затраты на контроль - это возрастающая функция объема выборки п и убывающая функция промежутка времени к между выборками;
- затраты, связанные с приостановкой процесса на время принятия мер по корректировке процесса и являющиеся убывающей функцией интервала между выборками;
- затраты, связанные с воздействием необнаруженного нарушения процесса - возрастающая функция интервала между выборками.
Как показал А. Дункан [4], контрольные карты Шухарта, построенные в соответствии со стоимостным подходом, могут приводить к большому числу ложных сигналов о нарушении процесса или, наоборот, к пропуску нарушений. Очевидно, этот вывод справедлив и при многомерном контроле. Баланс между качеством обнаружения нарушений и затратами достигается при соблюдении как вероятностных, так и стоимостных критериев. Вероятностно-стоимостной подход объединяет оба
подхода: задача оптимизации сводится к минимизации функции затрат при выполнении некоторых статистических ограничений.
Например, для оптимизации параметров алгоритма обобщенной дисперсии необходимо по результатам предшествующих испытаний определить математическое ожидание пребывания процесса в стабильном режиме 1/А (А - интенсивность нарушений) и допустимое увеличение обобщенной дисперсии d (рассматривается один из возможных вариантов нарушения процесса - скачкообразное увеличение рассеяния), вычислить по обучающей выборке величину целевой обобщенной дисперсии |Ео|, зная при этом среднее время обработки одного элемента выборки g и длительность периода поиска нарушения после его выявления В.
Минимизируется математическое ожидание времени То пребывания процесса в нестабильном состоянии [5-11]
m (T ) =
h 1 -(1 + Xh )e
-Xh
1 -ß X(1 - e-Xh )
- + ng + D ^ min.
(1)
Здесь в - вероятность ошибки второго рода (пропуска нарушения), определяемая по формуле [11]
ß = Ф
d
6 (d -1) d^/b"
-Ф
d
6 (d -1) djb2
где Ф(.) - функция стандартного нормального распределения; И1_а/2 - квантиль нормального распределения порядка 1-а/2 (а - вероятность ошибки первого рода); Ь и Ь2 - параметры алгоритма обобщенной дисперсии, зависящие от объема выборки п и количества контролируемых показателейр [2, 3]. Также задаются ограничения на объем рациональной подгруппы
интервал между взятием выборок
и вероятность ложной тревоги
. < n < Пт
hmin< h < hmax
J^min < a < an
которые оцениваются специалистом по конкретному процессу.
Для оптимизации параметров контрольных карт перспективным представляется применение методов адаптивного статистического контроля. Адаптивный контроль предполагает применение моделей прогноза различной степени сложности и внесение регулярной корректировки в процесс при его отклонении от стандартного уровня.
В основе методов лежит применение карт с предупреждающей границей. В отличие от контрольной границы, которая делит область возможных состояний процесса на две зоны - нормального протекания процесса и нарушения, карта с предупреждающей границей делит эту область на три зоны: добавляется зона предупреждения об опасном состоянии.
С помощью таких карт определяется множество состояний разлаженного и налаженного процесса, правила перехода между двумя и более планами контроля (наборы параметров контрольных карт). Этот подход оказался особенно эффективным при оптимизации параметров алгоритма Хотел-линга [5-7].
Статистическим показателем, характеризующим чувствительность к обнаружению нарушений процесса, выступает среднее время обнаружения нарушений. Оценивать данную величину можно с помощью аппарата цепей Маркова [7].
n
Результаты и обсуждение
В рассмотренном выше примере анализа стабильности функционирования блока усилителя мощности в зависимости от показателей электровакуумных приборов, используемых в блоке, по мнению специалистов, занимающихся эксплуатацией таких систем, наиболее опасным является скачкообразное увеличение рассеяния процесса. Принятие этого предположения существенно упрощает поставленную задачу.
Проверяется нулевая гипотеза о том, что рассеяние процесса, характеризуемое обобщенной дисперсией |l| , увеличилось по сравнению с целевым значением |lo| в d раз, т.е. проверяемая гипотеза Но: |е| = d|lо|, при альтернативе Hi: |l| > d|lо|.
При этом следует учесть, что для контроля всей совокупности параметров электровакуумных приборов используются как карты Шухарта (например, входная мощность приборов не коррелиро-вана ни с одним из других показателей), так и другие наборы многомерных карт (например, для контроля напряжения и тока накала). Для каждого типа карт решение оптимизационной задачи даст различные значения объема выборок, интервалов между взятием выборок и вероятностей ложной тревоги.
Учитывая общий критерий обеспечения скорейшего обнаружения скачкообразного рассеяния процесса, в качестве допустимых можно принять минимальное из найденных значений интервала h, максимальное значение объема выборки n и минимальное значение вероятности ошибки первого рода а.
Решение оптимизационной задачи (1) проводилось по специально разработанной программе на языке Python. Начало работы программы подразумевает последовательный ввод пользователем через интерфейс программы данных о количестве контролируемых показателей качества, характеристиках стоимостных и временных затрат на обнаружение нарушений, а также диапазоне допустимых значений оптимизируемых параметров.
Программа использует библиотеку с открытым исходным кодом scipy Python, предназначенным для научных и инженерных расчетов, из которой подключены модули optimize и stats. Модуль optimize обеспечивает нахождение как условного, так и безусловного экстремума функции.
В программе использован метод Broyden - Fletcher - Goldfarb - Shanno [11], названный по фамилиям разработчиков. Этот метод относится к итерационным квазиньютоновским методам численной оптимизации. Особенность метода в том, что он не предполагает вычисления частных производных второго порядка, так как нет необходимости в определении гессиана функции напрямую. Гессиан определяется приближенно, исходя из предыдущих итераций.
Полученный результат:
- оптимальный объем выборки n = 3;
- интервал между выборками h = 1,4 ч;
- вероятность ложной тревоги а = 0,0014, при этом среднее время пребывания процесса в нестабильном состоянии М(То) = 6,3 ч.
При необходимости можно оценить и соответствующие затраты на контроль по формуле
a' e-Xh (a, + a2 n )(M (T)) M(C) = Vo 1 + VXM(To)-a3 - - 1 2 h " , (2)
где М(С) - математическое ожидание затрат; почасовые доходы при стабильном и нестабильном состояниях процесса равны V0 и V1 соответственно; затраты на взятие выборки объема n и обработку результатов можно представить в форме: a1 + a2n, где a1 и a2 - постоянная и переменная составляющие затрат соответственно; затраты на поиск нарушения процесса принимаются равными величине a3, а затраты на исследование сигнала ложной тревоги - величине a3' .
Заключение
Сформулирована новая научная задача оптимизации параметров многомерного статистического контроля процесса. Подходы к ее решению проиллюстрированы на примере оптимизации параметров при контроле стабильности показателей электровакуумных приборов, обеспечивающих функционирование блока усилителя мощности радиолокационной станции. При этом предполагается, что наиболее опасным является скачкообразное увеличение рассеяния процесса.
В более общем случае, когда необходимо учесть возможность различных типов нарушений для разных показателей, решается задача многокритериальной оптимизации. При этом строится множество Парето, на основе которого может быть принято некоторое компромиссное решение.
Список литературы
1. Адлер Ю., Шпер В. Практическое руководство по статическому управлению процессами. М. : Альпина Паблишер, 2019. 234 с.
2. Montgomery D. C. Introduction to statistical quality control. N.Y. : John Wiley and Sons, 2009. 754 р.
3. Клячкин В. Н., Крашенинников В. Р., Кувайскова Ю. Е. Прогнозирование и диагностика стабильности функционирования технических объектов : монография. М. : РУСАЙНС, 2020. 200 с.
4. Duncan A. J. The economic design of x-chart used to maintain current control of the process // Journal of the American Statistical Association. 1956. Vol. 51. P. 228-242.
5. Faraz A., Heuchenne C. Double-objective economic statistical design of the VP T2 control chart: Wald's identity approach // Journal of Statistical Computation and Simulation. 2014. Vol. 84. P. 2123-2137.
6. Bahiraee E., Raissi S. Economic Design of Hotelling's Control Chart on the Presence of Fixed Sampling Rate and Exponentially Assignable Causes // Journal of Industrial Engineering International. 2014. Vol. 10. P. 229-238.
7. Зенцова Е. А. Сравнительный анализ подходов к оптимизации параметров контрольной карты Хотеллинга // Автоматизация процессов управления. 2017. № 1. С. 47-52.
8. Клячкин В. Н., Кравцов Ю. А. Диагностика состояния объекта по наличию неслучайных структур на карте Хотеллинга // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2013. № 5. С. 44-50.
9. Зенцова Е.А. Модель минимизации затрат для модифицированной карты Хотеллинга // Информатика, моделирование, автоматизация проектирования : VII Всерос. школа-семинар аспирантов, студентов и молодых ученых (ИМАП-2015). УлГТУ, 2015. С. 138-143.
10. Клячкин В. Н., Барт А. Д. Оценка стабильности показателей качества при очистке питьевой воды // Экологические системы и приборы. 2017. № 8. С. 14-20.
11. Алексеева А. В. Оптимизация параметров алгоритма обобщенной дисперсии при многомерном статистическом контроле // Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук : материалы VIII Междунар. науч.-практ. конф. (школа-семинар) молодых ученых. Тольятти : Тольяттинский государственный университет, 2022. С. 59-62.
12. Doornik, J. A., H. Hansen. An omnibus test for univariate and multivariate normality // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 2008. Vol. 70. Р. 927-939.
13. Боровиков В. П. Популярное введение в современный анализ данных и машинное обучение на Statistica. М., 2018. 288 с.
14. Клячкин В. Н., Карпунина И. Н. Особенности диагностики технических систем с использованием муль-тиклассовой классификации // Надежность и качество сложных систем. 2022. № 2. С. 45-52.
15. Клячкин В. Н., Карпунина И. Н. Статистический контроль стабильности вибраций гидроагрегата с использованием метода главных компонент // Надежность и качество сложных систем. 2021. № 1. С. 41-48.
References
1. Adler Yu., Shper V. Prakticheskoe rukovodstvo po staticheskomu upravleniyu protsessami = Practical guide to static process management. Moscow: Al'pina Pablisher, 2019:234. (In Russ.)
2. Montgomery D.C. Introduction to statistical quality control. NewYork: John Wiley and Sons, 2009:754.
3. Klyachkin V.N., Krasheninnikov V.R., Kuvayskova Yu.E. Prognozirovanie i diagnostika stabil'nosti funktsion-irovaniya tekhnicheskikh ob"ektov: monografiya = Forecasting and diagnostics of the stability of the functioning of technical facilities : monograph. Moscow: RUSAYNS, 2020:200. (In Russ.)
4. Duncan A.J. The economic design of x-chart used to maintain current control of the process. Journal of the American Statistical Association. 1956;51:228-242.
5. Faraz A., Heuchenne C. Double-objective economic statistical design of the VP T2 control chart: Wald's identity approach. Journal of Statistical Computation and Simulation. 2014;84:2123-2137.
6. Bahiraee E., Raissi S. Economic Design of Hotelling's Control Chart on the Presence of Fixed Sampling Rate and Exponentially Assignable Causes. Journal of Industrial Engineering International. 2014;10:229-238.
7. Zentsova E.A. Comparative analysis of approaches to optimizing the parameters of the Hotelling control card. Avtomatizatsiya protsessov upravleniya = Automation of control processes. 2017;(1):47-52. (In Russ.)
8. Klyachkin V.N., Kravtsov Yu.A. Diagnostics of the object's condition by the presence of non-random structures on the Hotelling map. Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika = Devices and systems. Management, monitoring, diagnostics. 2013;(5):44-50. (In Russ.)
9. Zentsova E.A. Cost minimization model for a modified Hotelling map. Informatika, modelirovanie, avtomatizatsiya proektirovaniya: VII Vseros. shkola-seminar aspirantov, studentov i molodykh uchenykh (IMAP-2015) = Informatics, modeling, design automation : VII All-Russian. The school is a seminar for graduate students, undergraduates and young scientists (IMAP-2015). UlGTU, 2015:138-143. (In Russ.)
10. Klyachkin V.N., Bart A.D. Assessment of the stability of quality indicators in drinking water purification. Ekologicheskie sistemy i pribory = Ecological systems and devices. 2017;(8):14-20. (In Russ.)
11. Alekseeva A.V. Optimization of the parameters of the generalized variance algorithm under multidimensional statistical control. Prikladnaya matematika i informatika: sovremennye issledovaniya v oblasti estestvennykh i tekhnicheskikh nauk: materialy VIII Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. (shkola-seminar) molodykh uchenykh = Applied mathematics and computer science: modern research in the field of natural and technical sciences :
proceedings of the VIII International scientific and practical conference (school-seminar) of young scientists. Tol'yatti: Tol'yattinskiy gosudarstvennyy universitet, 2022:59-62. (In Russ.)
12. Doornik J.A., Hansen H. An omnibus test for univariate and multivariate normality. Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 2008;70:927-939.
13. Borovikov V.P. Populyarnoe vvedenie v sovremennyy analiz dannykh i mashinnoe obuchenie na Statistica = A popular introduction to modern data analysis and machine learning on Statistica. Moscow, 2018:288. (In Russ.)
14. Klyachkin V.N., Karpunina I.N. Features of diagnostics of technical systems using multiclass classification. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem = Reliability and quality of complex systems. 2022;(2):45-52. (In Russ.)
15. Klyachkin V.N., Karpunina I.N. Statistical control of vibration stability of a hydraulic unit using the principal component method. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem = Reliability and quality of complex systems. 2021;(1):41-48. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Владимир Николаевич Клячкин
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Ульяновский государственный технический университет
(Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32) E-mail: v_kl@mail.ru
Виктория Олеговна Ташниченко
магистрант,
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации (Россия, г. Москва, пр-т Ленинградский, 49/2) E-mail: victoria.tashnichenko@gmail.com
Vladimir N. Klyachkin
Doctor of technical sciences, professor, professor of the sub-department of applied mathematics and informatics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severny Venec street, Ulyanovsk, Russia)
Victoria O. Tashnichenko
Master degree student,
Financial University under the Government
of the Russian Federation
(49/2 Leningradsky avenue, Moscow, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests. Поступила в редакцию/Received 07.09.2024 Поступила после рецензирования/Revised 25.09.2024 Принята к публикации/Accepted 06.10.2024
