CC BY
42
стали. М.: Наука, 1986. 82с.
E.M.Grinberg, E.V. Markova, N.B. Fomicheva
MULTIFRACTAL ANALYSIS OF THE STRUCTURE OF THE CORROSION-RESISTANT STEEL AFTER VARIOUS STAGES OF HEAT TREATMENT
Multifractal parametrization used to assess the quantitative description of the heterogeneity of the structures, which in contrast to traditional methods of describing structure provides great opportunity to identify the complex structure of steel, as well as descriptions of materials with undifferent or hard different structural features.
Key words: quenching, tempering, homogeneity, regularity, cold treatment, the residual austenite, pseudospectra.
Получено 20.07.12
УДК 621.83.05
Д. А. Насонов, канд. техн. наук, доц., 8-910-547-86-11, nasonovda@yandex.ru (Россия, Калуга, КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана), М. Ю. Леонтьев, канд. техн. наук, доц., 8-910-592-13-82, newell-kaluga@mail.т (Россия, Калуга, КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)
К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ВОДИЛА ПЛАНЕТАРНОГО РЕДУКТОРА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Сформулирована задача определения погрешностей изготовления водила планетарного редуктора по результатам их косвенных измерений и обоснована ее актуальность. Выведены основные соотношения, связывающие результаты измерений и искомые величины - фактические координаты центров расточек в водиле под сателлиты и опорные шейки. Полученная система уравнений относится к разряду некорректно заданных задач. Предложен и программно реализован алгоритм её решения.
Ключевые слова: планетарный редуктор, математическое моделирование, некорректно заданные задачи.
Требования по уровням вибрации и шума, предъявляемые к редукторам главных судовых турбозубчатых агрегатов (ГТЗА), непрерывно ужесточаются. Основным источником возбуждения колебаний в редукторах ГТЗА является процесс пересопряжения зубьев. В зубчатых планетарных механизмах, широко используемых в качестве редукторов судовых ГТЗА [1], интенсивность этого источника во многом определяется погрешностями изготовления и сборки сателлитных узлов [2].
В работе [3] было предложено в процессе сборки редуктора минимизировать указанные погрешности посредством регулировки расположе-
ния центров торцевых сечений сателлитов с помощью эксцентриковых втулок, устанавливаемых в расточки водила под опорные шейки их осей. Однако для реализации данного предложения необходимо максимально точное определение фактических значений погрешностей изготовления и сборки сателлитных узлов, что является весьма нетривиальной задачей.
Рассматриваемые погрешности рассчитываются по данным технологических карт контроля точности изготовления и сборки элементов планетарной ступени, заполняемых специалистами ОТК завода-изготовителя, с учетом ошибок взаимного расположения расточек под оси сателлитов в водиле, разностей масляных зазоров в комплекте сателлитных узлов, зазоров по шейкам осей в расточках водила и сателлитов, разностей толщин зубьев сателлитов, абсолютных величин и ориентации эксцентриситетов посадочных поверхностей осей под сателлиты, устанавливаемых в водило, относительно их опорных шеек, [2].
Наибольшие трудности при этом возникают при определении ошибок взаимного расположения расточек под оси сателлитов в водиле, что связано с отсутствием у большинства отечественных производителей судовых редукторов современного высокоточного оборудования, позволяющего получать координаты расточек столь крупногабаритных и имеющих сложную геометрию узлов, как водило (рис.1), путем прямых измерений. Поэтому задача максимально точного определения указанных параметров по результатам их непрямых (косвенных) измерений представляет несомненный интерес.
Рис. 1. Модель водила планетарного редуктора с пятью сателлитами
На практике ошибки взаимного расположения расточек в водиле определяются по результатам измерения межцентровых расстояний специальных контрольных валов, устанавливаемых с заданной точностью в расточки прошедшего механическую обработку водила. Кроме того, с помощью спе-
У
циальной оснастки измеряется скрещивание контрольных валов £ (рис.2). На рисунке точками Р0 и Р0' обозначены центры расточек водила под опорные шейки на носовой и кормовой щеках водила соответственно. Точками Р1 и Р/ обозначены центры носовой и кормовой расточек под ось первого
сателлита. В результате погрешности изготовления точка Р/ может отклоняться от плоскости, определяемой точками Рь Р0 и Р0'. величина этого отклонения как раз и характеризует скрещивание оси первого сателлита относительно центральной оси водила, принимаемой за базу (ось Х, рис. 1).
В результате измерений взаимного расположения расточек под оси сателлитов относительно центральной оси водила определяются величины Щ5, R1',...R5, (рис. 3), где Ri Щ - расстояние от центральной
оси до центров расточек под ось ^го сателлита на носовой и кормовой щеках водила, а £ - параметр, характеризующий скрещивание оси ^го сателлита относительно центральной оси. За положительное значение £ принято смещение точки Рр относительно Р вокруг оси X (ось Р0 - Р0') против часовой стрелки, если смотреть с конца оси X (рис. 3).
2
Рис. 2. Схема измерения взаимного расположения расточек под ось первого сателлита относительно центральной оси водила
Для вычисления координат центров расточек (относительно центральной оси) не хватает еще 4 измерений, например, расстояний между центрами расточек под оси соседних сателлитов на одной из щек водила К = |Р Р-1|, (* = 2,...5). Однако в карту контроля заносятся не только недостающие величины К = |р. Р, но и Н[ = \Р{ Р-^, ^ = 2,...5), а также величины 51, характеризующие скрещивания ^ой оси относительно (^1)-й. Кроме
того, при измерении взаимного расположения расточек под оси первого и
23
Уа
Л
пятого сателлитов (в силу цикличности индексации) получаются \ = \РХ Р5\ , Ь[ -и 8Х. Геометрическая интерпретация параметра дана ниже при составлении уравнений математической модели (рис.6).
Р'
2
г ▲
к V
* 1 \
Р'
5о55
// V о, ^о
// \\
/✓ \ N
// \\
К/Аг
сСбРз 4 ЬЛ
4
Р//с. 2?//<) на центры расточек (Рь Р'д водила с конца оси X
До настоящего времени для определения погрешностей изготовления водила, т.е. отклонений центров выполненных расточек от их расчетного (идеального) положения, использовался минимально необходимый набор уравнений (п неизвестных - п уравнений) и только часть измеренных параметров. Точность получаемых таким образом результатов зависит от погрешностей измерения, а возможность случайной ошибки при измерениях одного из параметров, учитываемых при таком подходе, ставит под сомнение достоверность этих результатов. Предлагаемый алгоритм позволяет минимизировать влияние погрешностей измерения за счет учета всех измеренных параметров и повысить достоверность результатов. Более того, избыточность исходных данных позволяет при наличии дополнительного алгоритма оценки точности (в данной работе этот аспект не рассматривается) выявить грубые ошибки и исключить из расчетов результаты ошибочных измерений.
Известно, что система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) может иметь единственное решение, множество решений и не иметь решения. Решение системы из п уравнений относительно п неизвестных (координат расточек), учитывающее часть измеренных параметров, входящих в правую часть СЛАУ, относится к первому случаю, но неизбежные погрешности измерений приводят к искажению получаемого подобным образом результата. Неиспользованные параметры позволяют записать дополнительные ш уравнений относительно искомых координат центров расточек,
но приводят к переопределенности СЛАУ (n+m уравнений относительно п неизвестных), а имеющиеся погрешности измерений уже не просто искажают решение, а делают эту систему несовместной, т.е. не имеющей точного решения.
Математический аппарат для решения подобных задач был разработан в середине прошлого века и заключается в нахождении приближенного решения - «псевдорешения», - наилучшим образом отвечающего некоторым дополнительно выбранным критериям. Такие задачи получили название некорректно заданных [4]. Нашей целью является отыскание таких координат центров расточек водила, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений измеряемых величин от результатов измерений была бы минимальной (метод наименьших квадратов).
Решение поставленной задачи начинается с составления уравнений, связывающих измеряемые параметры с координатами центров расточек, т.е. с построения математической модели. Для этого вводится декартова система координат с центром в плоскости носовой щеки водила таким образом, чтобы центральные расточки водила определяли координатную ось Х, а центр расточки под ось первого сателлита на носовой щеке определял направление координатной оси Y (рис. 1). Нумерация центров расточек Рл
осуществляется против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Х (рис. 3), штрихами обозначаются центры расточек на кормовой щеке, без штрихов - на носовой.
В качестве допущения будем считать, что обе щеки водила параллельны, т.е. центры всех расточек лежат либо в плоскости YZ (носовая ше-ка), либо в плоскости, параллельной YZ (кормовая щека). Это позволяет, не сводя задачу к двухмерной, исключить из расчетов координату X. Учитывая, что точки Р0 Р0' приняты за базовые, а направление оси Y определяется
центром первой расточки (координата z точки Р1 равна нулю), в качестве неизвестных имеем 19 величин - у^ координаты центров расточек под оси сателлитов на носовой и кормовой щеках.
Обозначив угловые величины в соответствии с рис. 4, можно записать группу из 19 тригонометрических соотношений, связывающих результаты измерений и координаты центров расточек на носовой щеке водила (9 неизвестных):
У1 = ^
(вид на центры расточек с конца оси X)
Угловые величины в системе (1) взяты в предположении, что точки (рис. 4) образуют правильный пятиугольник. На самом деле, при наличии погрешностей изготовления водила, правильность пятиугольника нарушается. Следовательно, зависимость расчетных координат от измеряемых параметров носит нелинейный характер, а система (1) представляет собой линеаризованную математическую модель. Поэтому после получения первого приближенного решения по рассчитанным координатам следует уточнить угловые величины а1У...а9 и, повторив расчет, получить следующее приближение. Критерием точности получаемых результатов на каждой такой итерации служит сумма квадратов невязок правых частей системы (1) (т.е. сумма квадратов разностей правых и левых частей уравнений уточненной системы, при подстановки в нее вычисленных на последней итерации неизвестных), свидетельствующая о степени отклонения расчетных величин от измеряемых. Стабильное уменьшение этой величины, отмеченное при решении тестовых примеров (рис.5), свидетельствует о хорошей сходимости итерационного процесса.
На рис. 5 показаны значения сумм квадратов невязок правых частей системы (1) в мм2, полученные в результате тестового расчета идеально изготовленного водила (центры расточек лежат на окружности 1200мм) при искаженном результате измерения одного из радиусов на 0.1мм.
После того, как тестовые расчеты подтвердили правильность выбранной методики, а анализ их результатов для системы (1) специалистами завода-изготовителя подтвердил недопустимость пренебрежения нелинейным характером используемых в расчетах зависимостей, система (1) была
дополнена 20-ю аналогичными уравнениями, связывающими результаты измерений и координаты центров расточек на кормовой щеке водила. Поскольку на второй щеке базовой является только центральная точка, то число неизвестных и уравнений на одно больше, а z- координату точки Р/ определяет параметр s1. Таким образом, система (1) теперь содержит уже 39 уравнений относительно 19 неизвестных.
А
0.005 0.004 0.003 0.002 0.001
.............N
2 3 4 5 6 7
Рис. 5. Зависимость суммы квадратов невязок (А) от номера итерации
N при решении системы (1)
Для того, чтобы в полной мере использовать все имеющиеся результаты измерений, необходимо записать еще две группы уравнений. Первая группа уравнений записывается при рассмотрении скрещивания осей расточек под сателлитные узлы относительно центральной оси водила. Рассмотрим, например, расточки под ось второго сателлита. Поскольку центральная ось является базой, параметр s2 (рис. 3) связывает координаты только центров расточек Р2 и Р2':
- ^ + ¿2 = (а2 \ (2) - У 2 + У2 =- ^Ц« 2 \
С учетом параметров скрещивания s1,... s5 система (2) содержит 9 уравнений относительно тех же 19 неизвестных.
Вторая группа уравнений получается при анализе скрещивания осей расточек под соседние сателлиты. В этом случае в отличие от предыдущего ни одна из осей не является базовой и параметр скрещивания 8 связывает не 2, а 4 «свободные» точки. На рис. 6, поясняющем значение (геометрический смысл) параметра 8i, показан вид на расточки под оси г-
го и (/-1)-го сателлита со стороны конца осиХ. Величина 81 характеризует скрещивание 1-й оси относительно (/-1)-й и состоит из двух компонент:
8. = — 8.л, 7 72 71 9
где 8Л и 8п - расстояние от точек Р/_х и Р/ до линии Рч , в проекции на плоскость 77. Причем за положительное значение принимается величина 8а (¿>71), если Р/ (^-1) и Р0' (центр водила) располагаются по разные стороны от линии Р_х Р. Та же величина получается при измерении расстояния от точки Р" до линии . Точка Р" получается путем параллельного переноса Р' на вектор е, совмещающий точки Р^ и Именно эта величина получается в процессе измерений, когда (/-1)-я ось согласно технологии проведения измерений принимается за базу.
Рис. 6. Вид на центры расточек под оси соседних сателлитов со стороны конца оси X (изображенное положение центров Р\.ъ Р'ь Р1-1
и Р/ соответствует значению I = 2)
Получаемый таким образом параметр 82, например, позволяет записать следующие уравнения:
" ^21 + Л " У = 52 §ш(а1),
Система 3, учитывающая параметры ¿>1?... ¿>5, содержит 10 уравнений второй группы.
После объединения систем (1), (2) и (3) получается общая система из 58 уравнений относительно 19 неизвестных, представляющая собой математическую модель водила, пригодную для вычисления погрешностей изготовления по результатам косвенных измерений.
28
Предложенный алгоритм (с учетом итерационного уточнения угловых величин) позволяет вычислить взаимное расположение расточек водила планетарного редуктора с учетом всех имеющихся результатов измерений, что повышает достоверность полученных результатов по сравнению с ранее применявшимся подходом. Тестовые расчеты показали достаточно хорошую сходимость вычислительного процесса.
В связи с повышенными требованиями к точности расчетов предложенный алгоритм был реализован в пакете символьных вычислений Стивена Вольфрама «Mathematical, позволяющем производить расчеты с любой наперед заданной точностью независимо от разрядности используемой машины [5].
Список литературы
1. Леонтьев Ю.А., Ямпольский И.Д., Хомяков В.П., Леонтьев М.Ю. Опыт создания на ОАО «КТЗ» судовых редукторов большой мощности // Юбилейный сборник трудов Научно-исследовательского Центра ОАО «Калужский Турбинный Завод». Калуга: Манускрипт, 2002. С.134-144.
2. Леонтьев М.Ю., Насонов Д.А. К вопросу о влиянии погрешностей изготовления и деформаций сателлитного узла на динамику планетарного редуктора // Материалы всероссийской научно-технической конференции «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. Т.1. С.76-81.
3. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Статика планетарных механизмов. М.: Наука, 1976. 264с.
4. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2005. 840с.
5. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. М.: Но-лидж, 2000. 608с.
D. A. Nasonov, M. Yu. Leont 'ev
INACCURACIES DETERMINATION OF A PLANETARY GEAR CAGE BY RESULTS INDIRECT MEASUREMENTS
The task of determination of a planetary gear cage making inaccuracies according to the results of their indirect measurements has been stated and a topicality of this problem has been substantiated in this paper. The basic relations connecting the measurement data with the desired quantities - the real coordinates of cage bore centers for satellites and support waists - have been deduced. Derived combined equations are related to the category of ill-posed problems. The software algorithm of its solving has been suggested.
Key words: planetary gear, mathematical modeling, ill-posed problem.
Получено 20.07.12
