CC BY
173. Павловский В.Е., Евграфов В.В. Синтез Б2-гладких траекторий для мобильного робота с дифференциальным приводом // Мат-лы научной школы-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы". М.: Ин-т механики МГУ, 2004. 150-158.
4. Павловский В.Е., Петровская Н.В. Исследование динамики движения цепочки "робопоезд". Уравнения движения, частные решения. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 117. М., 2005.
5. Павловский В.Е., Петровская Н.В. Исследование динамики движения цепочки "робопоезд". Управляемое движение. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 120. М., 2005.
6. Павловский В.Е., Петровская Н.В., Евграфов В.В. Исследование динамики движения цепочки "робопоезд". Методы планирования движения. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 121. М., 2005.
Поступила в редакцию 21.04.2008
УДК 531.391.5
К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ В. И. Каленова, В. М. Морозов, П. М. Соболевский
1. Нестационарные системы, интегрируемые в замкнутой форме. Рассмотрим линейную нестационарную систему (ЛНС), описываемую следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
X(t) = A(t)x(t), x(t0) = x0, t e I, (1)
где x(nx 1) — вектор состояния, A(t)(n x n) — матрица, элементы aj(t) которой определены и непрерывны на I = [to, то).
Случаи, когда система (1) имеет решение в замкнутой форме, общеизвестны:
1) A(t) — постоянная матрица (A = const); 2) A(t) — диагональная; 3) A(t) — треугольная; 4) A(t) — скалярная (A(t) = a(t)Ao, Ao = const); 5) A(t) — матрица так называемой эйлеровой системы [1-4]. Известен также ряд более общих и интересных классов ЛНС (1), для которых, во-первых, можно построить общее решение в замкнутой форме и, во-вторых, имеются нетривиальные приложения к задачам механики [4-6].
1.1. Системы специального класса. Пусть в системе (1) матрица A(t) непрерывно дифференцируема на интервале I и удовлетворяет уравнению
A = [D,A], D = const. (2)
(nxn)
Здесь через [D, A] = DA — AD обозначен коммутатор матриц A(t) и D.
Известно [7], что если матрица A(t) удовлетворяет условию (2), то система (1) интегрируема в замкнутой форме. Действительно, преобразование
x = T (t)y, T (t) = exp [D(t — to)] (3)
приводит систему (1) к стационарной системе
y = Ry, R = A(t0) — D = const (4)
и фундаментальная матрица системы (1) принимает вид
Ф(Мо ) = eD(t-t0) eR(t-t0). (5)
Отметим, что система (1) в случае, когда матрица A(t) удовлетворяет уравнению (2), приводится к стационарной системе (4) при помощи преобразования вектора состояния (3). В то же время существуют ЛНС (1), которые могут быть приведены к стационарным системам путем преобразования вектора состояния и замены времени, выполненных одновременно.
1) Пусть матрица A(t) представляется в виде
A(t) = <p(t)B (t), (6)
где матрица B (t) удовлетворяет уравнению
^ = D = const. (7)
dt (nxn)
Здесь t^(t) — непрерывная скалярная функция, ц>(t) = 0 для любого t ^ to. Преобразование вектора состояния
ж = exp(D^(t,to))y (8)
и замена времени
приводят систему (1) к виду
t
т(t)= ^(t,to) = j <p(s) ds (9)
to
% = m
p n
где R = —— - D.
<(to)
Фундаментальная матрица, соответствующая системе (1) с такой матрицей A(t), представляется в
виде
Ф(М0) = eD^(t't0) (11)
В том случае, когда функция <(t) является непрерывно дифференцируемой и <(t) = 0 для любого t ^ to, полученный результат эквивалентен результату, сформулированному в [7].
2) Пусть матрица A(t) представляется в виде
A(t) = D + <(t)B (t), (12)
где матрица D = const, <(t) — непрерывная скалярная функция (<(t) = 0 для всех t ^ to ), а матрица
B(t) удовлетворяет уравнению (2).
Замена переменных (3) и замена времени (9) приводят исходную систему (1) к стационарной систе-
7->/ \ A(t0) - D
ме (10) с матрицей R = В (to) = -7—г—•
<(to)
Фундаментальная матрица исходной системы вычисляется по формуле
Ф(^и)= eD(t-t0 )eR^(t't0). (13)
3) Отметим еще один случай интегрируемости системы (1). Пусть матрица A(t) представляется в
виде
A(t) = D<(t) + B(t), (14)
где матрица D = const, <(t) — непрерывная скалярная функция (<(t) = 0 для любого t ^ to), матрица B(t) удовлетворяет уравнению (7).
Замена времени (9) и замена переменных (8) приводят исходную систему (1) к стационарной системе вида (4), где R = A(to) - D<(to).
Фундаментальная матрица исходной системы вычисляется по формуле
Ф(^и)= emt't0 )eR(t-t0). (15)
В [8] (см. также [9]) рассмотрен случай приводимости линейной нестационарной гамильтоновой системы второго порядка к стационарной системе при помощи ортогонального преобразования. Указаны
явный вид матрицы приводимой системы и приводящего преобразования. Этот случай является частным случаем системы (1), когда матрица А(Ь) представляется в виде (14) при
D
0 1
—1 0 , B (t) =
а ф — в —ф — в —а
(16)
d9
а = a cos 29 — b sin 29, /3 = b cos 29 + a sin 29, ф = (p + c, <p(t) = —.
dt
Здесь a, b, c — произвольные постоянные, 9(t) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
В этом случае если ф = const, то, очевидно, матрица (14) непосредственно удовлетворяет уравнению (2), а преобразование (8) описывает переход в равномерно вращающуюся систему координат.
В заключение заметим, что верно и обратное утверждение: если фундаментальная матрица системы (1) представляется в виде (5), (11), (13) или (15), то матрица A(t) удовлетворяет соотношениям (2), (6), (12) или (14) соответственно.
1.2. Системы коммутативного класса. Пусть матрица A(t) локально интегрируема на интервале I. Матрица A(t) относится к коммутативному классу [1, 2, 10, 11], если существует абсолютно непрерывная на интервале I матрица B(t), такая, что
B(t) = A(t), [A(t),B(t)] = 0 почти для всех t £ I. Из условия (17) следует
t
B(t) = Bo + J A(t) dr, t £ I, B(to) = Bq = const.
(17)
to
Тогда фундаментальную матрицу системы (1) можно представить в виде [2]
Ф(Мо) = етв-Б(г°), ¿с,1 £ I.
(18)
Матрица еБ(1') легко вычисляется, в частности если матрица В(¿) нильпотентна (Вд(¿) =0, д > 0 — конечное целое число).
В ряде работ (например, [1, 10, 12]) к коммутативному классу относят только те матрицы А(Ь), которые удовлетворяют соотношению (17) при Во = 0, т.е. соотношению
t
A(t), J A(r)dr
= 0 почти для всех t £ I.
(19)
to
Однако существуют случаи, когда условие (19) не выполнено, но тем не менее можно подобрать постоянную матрицу Во так, чтобы удовлетворялось условие (17) (см. пример 1).
Важным подклассом рассматриваемого класса являются функционально-коммутативные матрицы, т.е. такие матрицы, которые удовлетворяют условию
[A(t), A(r)] = 0 для всех t,r £ I.
(20)
Далее, условие (20) является достаточным для выполнения условий (19) и (17) [2, 12, 13]. В то же время существуют матрицы А(Ь), удовлетворяющие условиям (17) или (19), но не являющиеся функционально-коммутативными. Примеры матриц, коммутирующих со своим интегралом, но не являющихся функционально-коммутативными, приведены в [2, 12, 14].
Структурное представление, удобное для построения фундаментальной матрицы системы (1) с функционально-коммутативной матрицей А(Ь), дается следующим утверждением [13]: матрица А(Ь) является функционально-коммутативной тогда и только тогда, когда она представима в виде
m
A(t) = У ai(t)Ai (m < n2),
i=l
(21)
где ai(t) — линейно независимые скалярные функции, Ai — постоянные, линейно независимые, попарно коммутативные матрицы ([Ai, Aj] =0, i,j = 1, 2,..., m).
Фундаментальная матрица системы (1), в которой матрица A(t) функционально-коммутативна, может быть записана в форме
m
Ф(Мо) = ПехРв(Мо)А*), /3i(t,to) = ац(т) dr.
i=1 to
Пример 1. Рассмотрим систему (1) с матрицей
(22)
A(t) =
0 — cos t sin t cos t sin 2t cos 2t sin t cos 2t sin 2t
(to = 0),
(23)
A(0), A(n/2)] = 0. Матрица A(t) Нетрудно показать,
которая не является функционально-коммутативной, так как, например, не удовлетворяет условию (19), но удовлетворяет условию (17) при Во =
что B(t) нильпотентна (B2(t) = 0). Согласно (18), фундаментальная матрица системы с матрицей (23) имеет вид
cos t sin t 0
—1 0 —1
0 0 0
1 0 1
Ф(Мо) = E + B(t))(E — Bo) =
2sint — sin t cos t 1 + sin21 sin t 2 cos t — 1 — cos21 sin t cos t cos t
(24)
Исследование различных вопросов, связанных со структурой матриц, обладающих свойством функциональной коммутативности, а также удовлетворяющих условиям (17) либо условиям (19), проведено в [12]. В частности, в [12] содержится исчерпывающий анализ консервативных матриц 2, 3 и 4-го порядка, удовлетворяющих условию [В, В] = 0. (Матрица называется консервативной на интервале, если она сохраняет на нем свою жорданову форму.) Показано, что такие матрицы 2-го порядка всегда являются функционально-коммутативными; среди матриц 3- и 4-го порядка могут не быть функционально-коммутативными только матрицы, имеющие характеристики Сегре [15] типа [(12)] и [(12)1], [(112)], [(13)].
Рассмотрим консервативную матрицу 3-го порядка с характеристикой Сегре [(12)]. Эта матрица может быть представлена в виде
В (Ь) = Т (Ь),1Т-1(Ь), (25)
где 1 — жорданова форма:
1 = Хг(г)Е3 + N N = \\иц|| , П23 = 1, Щ = 0,...,п (г = 2,] = 3).
С другой стороны, в [12] показано, что матрицу В(Ь) можно представить так:
В(Ь) = \г(1)Ез + Вг(1), В1(Ь) = д(Ь)/Т (Ь), (26)
где вектор д(Ь) задается произвольно, а вектор / (Ь) определяется из соотношений
/т (Ь)д(Ь) = 0, /т (Ь)д(Ь) = 0.
Из этих условий следует, что В^(Ь) = 0.
Из сравнения выражений (25) и (26) получим, что вектор д(Ь) равен второму столбцу матрицы Т(Ь), а /Т (Ь) — третьей строке матрицы Т-1(Ь).
1.3. Системы, принадлежащие специальному и коммутативному классам одновременно. Представляет интерес вопрос о свойствах матриц А(Ь), принадлежащих как к коммутативному классу, т.е. удовлетворяющих условию (17), так и к классу матриц, удовлетворяющих уравнению (2). Предположим,
что матрица 3-го порядка A(t) удовлетворяет уравнению (2). Тогда, учитывая равенство A(t) = B(t) и представление (25), получим
B = DiB — BDi, Di = TT-1. (27)
Если Di = const, то матрица Di совпадает с матрицей D из представления (2) и имеет место равенство
Ao = A(to) = [D,Bo]. (28)
Из условий (26), (27) получим T = DT, g = Dg, fT = —fTD. Тогда решение уравнения (27) имеет вид B(t) = exp(D(t — to))Bo exp(—D(t — to)), где матрица Bo удовлетворяет уравнению (28).
Таким образом, если матрица A(t) удовлетворяет уравнению (2) и условию (17), то она может быть представлена в виде
A(t) = eD(t-t° Ao e-D(t-t° ),
где матрицы Ao, Bo, D связаны соотношением (28), причем Bo = gofT. Для функционально-коммутативных матриц Bo = 0, тогда из уравнения (28) следует, что B(t) = 0. Поэтому консервативных функционально-коммутативных матриц 3-го порядка, удовлетворяющих условию (17) и уравнению (2) одновременно, не существует. Нетрудно показать, что матрица (23) из примера 1, относящаяся к коммутативному классу (причем Bo = 0), удовлетворяет уравнению (2) при
0 0 0
D= 0 0 1
0 —1 0
и фундаментальная матрица (24) системы (1), (23) вычисляется другим способом по формуле (5) при
К = Л(0) - в =
0 —1 0
1 0 0
0 2 0
Пример 2. Матрица вида A(t) =
0 e2t et —e-2t 0 e-t l/2e-t l/2et 0
удовлетворяет условию (17) при
B0=
1
—1 1 2
1 —1 —2
—1 1 2
т.е. относится к коммутативному классу и представляется в виде (26), где дт(Ь) = || е* -е- 11| , ¡т(Ь) = || -е- е* 1 С другой стороны, она удовлетворяет условию (2) с матрицей В =
Ai = 0.
1 0 0 0 -10 0 0 0
Согласно [16], матрица B(t) n-го порядка с характеристикой Сегре [(21...1)] и элементами вида bj = ( —1)i-1 C'n-}lta~l~i+j (i,j = 1,...,n) коммутирует со своей производной и B2(t) = 0. Можно показать, что матрица такого типа удовлетворяет уравнению (2) с матрицей D, в которой dkj = 0, за исключением элементов dk,k+i = —к (к = 1,...,n — 1).
2. Некоторые механические задачи. Рассмотрим ряд механических задач, в которых линеаризованные уравнения движения относятся к перечисленным выше классам.
В [8] рассмотрены упрощенные уравнения (без нутаций) свободных колебаний двухгироскопного компаса, установленного на корабле, совершающем последовательные циркуляции. Эти уравнения имеют вид (1), где
0,5^ sin2wt —(v + 0,5^) — 0,5^ cos2wt
(v + 0,5^) — 0,5^ cos2wt —0,5^ sin2wt
A(t) =
Матрица A(t) относится к типу (14), в котором матрицы D и B(t) представляются формулами (16), где a = 0, b = —0,5p, c = —(v + 0,5p), ^>(t) = ш (p, v, ш = const > 0, ut — угол курса). В этом случае система (1) приводима путем преобразования Ляпунова (8) к стационарной системе вида (4) с матрицей 0 —v — p + ш
R = B(0) = . Необходимое и достаточное условие устойчивости исходной системы
v — p 0
имеет вид (ш — v)(ш — v — p) > 0, откуда следует, что система имеет одну область неустойчивости при v < ш < v + p.
Система уравнений, описывающая поведение гироскопа в задаче о движении гировертикали с вращающимися сосудами [17] в прецессионной постановке, имеет вид
x = A(t)x, A(t) =
0 0
0 0
c sin шt —c cos шt
—b cos шt —b sin шt —b
(29)
\T
Здесь х = У а в Р || ; а, в — углы, определяющие отклонение оси ротора от вертикали; р — угол наклона зеркала жидкости в сосудах; и — угловая скорость вращения платформы, на которой установлен гироскоп; Ь, с — постоянные положительные параметры системы.
0 —ш 0
ш 0 0
0 0 0
, и ее фундаментальная
0 ш 0
—ш 0 —c . Анализ характеристического
—b 0 —b
Матрица системы (29) удовлетворяет уравнению (2) [4, 5] при D =
матрица определяется по формуле (5) при R =
соответствующей стационарной системы (4) (йе1(АЕ — К) = А3 + ЬА2 + и2А + иЬ(и — с) = 0) приводит к необходимому и достаточному условию асимптотической устойчивости системы (29): и (и — с) > 0. Таким образом, данная система при изменении параметра и имеет одну область неустойчивости: 0 < и < с.
Отметим, что ранее было известно лишь приближенное решение системы (29) [17].
В задаче о пространственном гирогоризонткомпасе матрица линеаризованной системы удовлетворяет условию коммутативности (19) и общее решение системы находится по формуле (22) [4, 5]. Другим способом это решение было получено ранее в [18]. К данному типу относятся также уравнения движения двухгироскопной вертикали [19].
В [20] рассматривается тонкое упругое кольцо, которое может совершать изгибные колебания в своей плоскости. Пусть в этом кольце возбуждены стоячие волны, соответствующие колебаниям по первой основной форме, и пусть после этого кольцо приводится во вращение относительно инерциального пространства с некоторой зависящей от времени угловой скоростью и(Ь). В результате ряда предположений в [20] получена следующая нестационарная система:
Z = P (t)z,
(30)
где
Здесь
P (t) =
0 (t) p(t) —ru(t)
—qi(t) 0 roj(t) p(t)
—p(t) rCo(t) 0 qi(t)
—rCo(t) —p(t) —qi(t) 0
qi(t) = ш2^)
2, , k2(k2 — 1)2
27k (k2 + 1)2:
P =
2 kuo(t)
FTT
k
r =
Yk(k2 + 1)
Yk =
k(k2 - 1) л/W+l '
k = 2, 3,... .
где
Матрица Р(Ь) удовлетворяет условию коммутативности (19) и может быть представлена в виде (21),
а^Ь) = р(Ь), а2(Ь) = Я1(Ь), аз (Ь) = ги(Ь),
Ai
(4x4)
h
(2x2)
02 E2 , A2 = I2 02 , A3 = 02 —I2
—E2 02 (4x4) 02 I2 (4x4) I2 02
0 1 -1 0
[Ai A ] = 0, [Ai, A3 ] = 0, [A3, A2] = 0.
(31)
В соответствии с формулой (22) фундаментальная матрица системы (30) может быть представлена в виде
Ф(*) = Ф1(*)Ф2(*)Ф3 (t).
Матричные экспоненты Ф^) легко вычисляются:
cos ^1(t) 0 sin (t) 0
ЗД) =
0 cos ^(t) 0 sin (t) — sin ^1(t) 0 cos ^1(t) 0 0 — sin ^1(t) 0 cos ^1(t)
t
<P1 (t) = J p(r) dr ;
Ф2 (t) =
cos ^>2 (t) sin ^>2(t) 0 — sin (t) cos ^>2 (t) 0
Фз№ =
0 cos (t) sin ^>2(t) 0 — sin ^>2(t) cos (t)
ch(rw(t)) 0 0 — sh(rw(t))
0 ch(rw(t)) sh(rw(t)) 0
0 sh(rw(t)) ch(rw(t)) 0
— sh(rw(t)) 0 0 ch(rw(t))
t
, <P2(t) = J 91 (t ) dr ;
Полученное решение (31) совпадает с решением, найденным в [20] другим, гораздо более громоздким способом.
3. Один метод исследования устойчивости. Традиционным способом при исследовании устойчивости ЛНС является представление матрицы системы в виде двух слагаемых:
A(t) = Ao + B (t),
(32)
одно из которых Ао постоянно, а другое В(Ь) в некотором смысле мало. Из свойства устойчивости стационарной системы с матрицей Ао при выполнении определенных условий можно сделать выводы об устойчивости исходной ЛНС [1, 21].
Предположим, что существует разбиение матрицы коэффициентов системы (1)
такое, что система
A(t) = A1(t)+B1(t), У = A1(t)y
(33)
(34)
является интегрируемой в замкнутой форме, а матрица В1 (Ь) мала [6].
В таком случае при помощи конструктивного преобразования х = Ь(Ь)у можно получить систему
У = (Co + C1(t)) y,
(35)
в которой C0 = const, C1(t) = L-1(t)B1(t)L(t).
При этом если матрицы L(t) и L-1(t) ограничены, то матрица C1(t) мала.
В частности, если матрица системы (34) удовлетворяет уравнению (2), то L(t) = exp(D(t — to)). Во многих механических задачах матрица D кососимметрическая. В этом случае матрицы L(t) и L-1(t) ограничены и характер устойчивости системы определяется свойствами стационарной системы y = Coy.
Таким образом, при исследовании устойчивости системы (1) с матрицей А(Ь), допускающей указанную декомпозицию, применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в матрице А(Ь), используется более полно и полученное заключение об устойчивости является более точным.
Пример 3. Рассмотрим систему
x = A(t)x, A(t) =
a + ß cos ut Q — ß sin ut —Q — ß sin ut a — ß cos ut
t ^ 0.
(36)
Здесь а, О, и, ц — постоянные величины.
Из неравенства Важевского [1] получаются следующие достаточные условия асимптотической устойчивости системы (36):
а < 0, < \а\. (37)
Традиционный способ разбиения матрицы А(Ь) в соответствии с (32) при малом ц приводит на основании теоремы Беллмана [21] к тем же условиям (37).
Следует подчеркнуть, что условия (37) не зависят ни от частоты и изменения коэффициентов системы (36), ни от параметра О — собственной частоты стационарной системы при ц = 0. Нетрудно показать, что матрица А(Ь) удовлетворяет уравнению (2) при
D
0 u/2 —u/2 0
С помощью преобразования Ляпунова х = ехр(^£)у система (36) приводится к стационарной системе (4),
где
R
a + ß Q — u/2 —Q + u/2 a — ß
Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости системы (36) имеют вид
a< 0, ß2 < a2 + (Q — u/2)2. (38)
Из условий (38) видно, что границы области устойчивости существенно зависят от частот u и Q. Область устойчивости, определяемая неравенствами (38) (область II на рис. 1), существенно шире области I, определяемой условиями (37), причем только при u = 2Q эти условия совпадают. Система (36) имеет только одну зону неустойчивости (область III) — область параметрического резонанса, соответствующую критической частоте u = 2Q.
Влияние величины параметра u на границы области устойчивости системы (36) было частично исследовано численными методами в [22].
Особо следует подчеркнуть, что при a = 0 система (36) не является асимптотически устойчивой и на основании известных теорем никаких суждений о характере ее устойчивости сделать нельзя. В то же время из условий (38) следует, что система (36) устойчива, если амплитуда параметрического воздействия ß удовлетворяет условиям
Рис. 1
Q
< ß <
Q
Пример 4. Рассмотрим систему
где
Ai =
x = A(t)x, A(t) =
ßb sin2ut Q + ßb cos2ut —Q + ßb cos2ut —ßb sin2ut
Ai A2 A3 A4
A4 = ß
b sin4ut b cos4ut b cos4ut — b sin4ut
A 2 = ¡
fl — f3 f2 - f4 fl + f3 f2 + f4
, A3 = ¡
f2 - f4 fl + f3 f2 + f4 fl - f3
fl = cos ut + sin ut, f2 = cos ut — sin ut, f3 = cos3ut + sin3ut, f4 = cos3ut — sin3ut.
Применение традиционного разбиения (32) к системе (39) и использование неравенства Важевского не позволяют сделать какие-либо выводы о характере устойчивости системы. С другой стороны, матрица A(t) удовлетворяет условию (2), где матрица D имеет вид
D = diag(Di D2),
D
l=
0u 0 2u
, D2 =
—u 0 —2u 0
При помощи преобразования х = ехр(В£)у рассматриваемая система может быть приведена к виду (4), где
0 0 + цЪ - и 0 0
R = A(0) — D =
—Q + ¡b + u 2¡ 2¡
0 —2¡ 2¡ 0 0 ¡b — 2u
0 ¡b + 2u 0
Исследуем устойчивость этой системы, для простоты полагая ц = 1. Характеристическое уравнение приведенной стационарной системы имеет вид Д(А) = А4 + + 04 = 0, где
a2 = 5и2 - 2Qu + Q2 - 2b2, aA = 4и4 - 8Qu3 + (4Q2 - 5b2 + 16)и2 + 2 [Qb2 - 8(Q + Ь)]ш - b2(Q2 - b2).
Условия устойчивости приведенной системы 02 > 0, 04 > 0, a2 - 4a4 > 0 являются необходимыми и достаточными условиями устойчивости исходной системы, так как преобразование x = exp(Dt)y — преобразование Ляпунова.
В зависимости от значений параметров Q и b данная система может иметь конечное число зон устойчивости по параметру и.
На рис. 2 изображены области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров b, и. Например, если Q = 10,0; b = 1,0, система неустойчива при -12,9 < и < -7,1; -0,3 < и < 0,8; 8,5 < и < 10,0 (три зоны неустойчивости); если Q = 10,0; b = 2,0, система неустойчива при -15,8 < и < -4,1; -4,3 < и < 12,0 (две зоны неустойчивости); если Q = 10,0; b = 7, система неустойчива при -30,9 < и < 17,0 (одна зона неустойчивости).
4. Задача об устойчивости стационарного движения космического аппарата с двойным вращением. Рас-Рис- 2 смотрим известную задачу об устойчивости стационарного
движения (СД) космического аппарата, состоящего из двух несимметричных тел, вращающихся вокруг общей оси (dual-spin Spacecraft). Линеаризованная в окрестности этого СД система уравнений движения является периодической и имеет вид [23]
М\(т) ^ = М2(т)х. ат
(40)
Компонентами вектора х являются проекции возмущения вектора угловой скорости основного тела на оси, ортогональные общей оси, вокруг которой основное тело вращается с постоянной скоростью 0:
Ml =
mu m2l
, M2 =
ml2 —mn_
1+ e + el cos(2aT) el sin(2aT) el sin(2aT) 1 — е — el cos(2aT)
mll = ó sin(2aT), m2l = 1 — r(1 + e) — ócos(2aT), ml2 = —1 — r(e — 1) — ócos(2aT). Здесь безразмерные параметры e, el, r, rl имеют вид
e =
h-h
2 J '
el =
T' - T' fl_£2
2 J :
r =
JQ
1Г'
rl =
J(Q + a) h ;
h
т = 11'
a = J T, h
J = 1±±А±11±А1 Ь = 13П + Г3(П + а), 6 = е1(2г1-г),
/1, /2, /а, , /2, 13 — моменты инерции тел, вращающихся относительно друг друга с постоянной угловой скоростью а. Величины е, £\ характеризуют степень несимметричности тел. Рассмотрим следующую декомпозицию типа (33) матриц системы (40):
Иг = Мц(т) + еМ12 (т), М2 = М21(т) + еМ22 (т).
Будем предполагать, что одно из тел имеет близкие (|е| ^ 1) или одинаковые (е = 0) моменты инерции относительно главных осей, перпендикулярных оси вращения. Моменты инерции второго тела могут сильно различаться (ег конечно).
Матрицы Мц(Ь) и М2г(Ь) удовлетворяют уравнению (2) с постоянной кососимметрической матрицей О, где dl2 = —d2l = а. Тогда замена переменных х = ехр(От)у приводит систему (40) к виду (35):
^ = (С0 + еС1(т,е))у,
(41)
где Co = M—1 (0)M21 (0) - D = const, C1(r,e) = M—1 (0) [N22(т) - Nu(r)M— (0)M21 (0)] + O(e2), N12(r) = exp(—Dr)M12(r) exp(Dr), N22(r) = exp(-Dr)M22(r)exp(Dr); O(e2) — члены, содержащие параметр e в степени, не меньшей 2.
Указанное преобразование является преобразованием Ляпунова, так как матрицы exp(Dr), exp(—Dr) ограничены. Поэтому необходимые условия устойчивости для соответствующей стационарной системы
r1 <
1
1 + e1
либо п >
1
1 — e1
(42)
являются условиями устойчивости для системы (40) при е = 0.
Для исследования устойчивости системы (41) при е = 0 можно применить теорему [24], в соответствии с которой решения этой системы ограничены на бесконечном интервале времени при достаточно малом е, если справедливы неравенства (42) и выполнены условия
T
JТг(С\(т,е)) dr ^ 0, Т = 1
(43)
2%о = ka, xo =
Г1 —
1+e1
Г1 —
1 — e1
1/2
(44)
Нетрудно показать, что условие (43) выполнено.
Анализ устойчивости системы (41) при наличии резонансных соотношений (44) выполнен в [25]. Отметим, что исследование устойчивости системы (40) проводилось численными методами в [23].
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты № 05-08-50148, 06-01-00222) и программы "Университеты России".
1
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
2. Lukes D.L. Differential equations classical to controlled // Math. Sci. and Eng. 1982. 162.
3. Harris C.J., Miles J.F. Stability of linear systems. London: Academic Press, 1980.
4. Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М.: Изд-во МГУ, 1988.
5. Морозов В.М., Каленова В.И. О применении методов теории приводимости к некоторым задачам динамики гироскопических систем // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1987. № 1. 8-14.
6. Каленова В.И., Морозов В.М., Соболевский П.М. Об устойчивости механических систем определенного класса // Прикл. матем. и механ. 2008. 72, вып. 2. 251-259.
7. Wu M.-Y. Transformation of linear time-varying systems into a linear time-invariant system // Int. J. Control. 1978. 27, N 4. 589-602.
8. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука, 1972.
9. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
10. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матрицы к теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТГЛ, 1957.
11. Еругин Н.П. Приводимые системы // Тр. Матем. ин-та АН СССР. Т. 13. М.: Изд-во АН СССР, 1946.
12. Богданов Ю.С., Чеботарев Г.Н. О матрицах, коммутирующих со своей производной // Изв. вузов. Математика. 1959. № 4 (11). 27-37.
13. Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Уч. зап. КГУ. Т. 112. Кн. 9. 1952.
14. Morozov V.M., Kalenova V.I. Reducibility of linear time-varying control systems // Dynamic Systems and Appl. 1996. 5, N 3. 433-452.
15. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1979.
16. Martin J.F.P. Some results on matrices which commute with their derivatives // SIAM J. Appl. Math. 1967. 15. 1171-1183.
17. Ройтенберг Я.Н. Гироскопы. М.: Наука, 1975.
18. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.
19. Ляшенко В.Ф. О приводимости уравнений движения гирогоризонткомпаса и двухгироскопной вертикали // Прикл. матем. и механ. 1962. 26, вып. 2. 372-396.
20. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.
21. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.
22. Zhu J. A note on extension of the eigenvalue concept // IEEE Control System Magazine. 1993. 13, N 6. 68-70.
23. Lukich M.S., Mingori D.L. Attitude stability of dual-spin spacecraft with unsymmetrical bodies //J. Guidance, Control, and Dynamics. 1985. 8, N 1. 110-117.
24. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.
25. Морозов В.М., Соболевский П.М. К задаче об устойчивости стационарного движения спутника с двойным вращением // Тр. Пятого Международного аэрокосмического конгресса IAC'2006. М.: МАТИ, 2007. 0320702706/ 14.12.2007.
Поступила в редакцию 26.03.2008
