О стабилизации по части переменных с оценкой качества управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36+62-50

О СТАБИЛИЗАЦИИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ С ОЦЕНКОЙ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ1

© 2008 С.П. Безгласный2

Рассматривается управляемая нелинейная механическая система, описываемая дифференциальными уравнениями. Для нее приводится постановка задачи о стабилизации по части переменных с гарантированной оценкой качества управления и ее решение на основе прямого метода Ляпунова с использованием функций Ляпунова со знакопостоянными производными. Часть результатов являются новыми и в случае задачи об оптимальной стабилизации по части переменных. Рассмотрены примеры.

Ключевые слова: управляемая механическая система, стабилизация по части переменных, функция Ляпунова, предельные функции, твердое тело.

Введение

Почти одновременно с интенсивным развитием задачи об устойчивости движения по отношению к части переменных внимание ученых привлекла задача об оптимальной стабилизации управляемыми системами по контролируемым (части) координат. Необходимость и важность решения различных прикладных проблем стимулировали появление большого количества работ. В.В. Румянцевым [1,2] была сформулирована постановка задачи об оптимальной стабилизации по части переменных, получены теоремы, дающие достаточные условия для решения поставленной задачи. Эти результаты развил и обобщил на случай двух функций Ляпунова и для функций Ляпунова более общего вида А.С. Озиранер в работах [3,4]. В.И. Воротников [5,6] получил решение поставленной задачи для одного класса нелинейных систем при помощи нелинейных преобразований переменных и теории неявных функций. Задача об оптимальной стабилизации по части переменных исследовалась и другими авторами.

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.

2Безгласный Сергей Павлович ([email protected]), кафедра теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34.

При исследовании свойств асимптотической устойчивости по части переменных прямым методом Ляпунова для неавтономных систем [7-10] и решении задач об оптимальной у-стабилизации нелинейных систем [1, 2, 4, 11] существующие теоремы об оптимальной стабилизации по части переменных нестационарных нелинейных систем используют знакоопределенную функцию Ляпунова со знакоопределенной производной. Однако существуют задачи, в которых построение таких функций оказывается крайне затруднительным. Но при этом, оказывается, проще решается задача об у-стабилизации с гарантированной оценкой качества переходного процесса.

В этой работе для управляемой системы исследуются задачи о стабилизации по части переменных (частичной или у-стабилизации) с гарантированной оценкой качества управления и об оптимальной стабилизации по части переменных. На основе прямого метода Ляпунова используется предложенный в [12,13] метод исследования свойств частичной устойчивости с помощью предельных уравнений. Применяются знакоопределенные функции Ляпунова, имеющие знакопостоянные производные. На основе получаемых результатов в качестве примеров решены конкретные прикладные задачи.

В работе пять разделов. Первый — введение. Раздел 2 содержит постановку задачи о стабилизации по части переменных с гарантированной оценкой качества управления. Также указываются ее отличия от общепринятых задач об у-стабилизации. В разделе 3 приводятся дополнительные предположения и построения. Также даны некоторые необходимые определения. В разделе 4 приводятся основные теоремы, определяющие достаточные условия у-стабилизации с гарантированной оценкой качества управления и оптимальной у-стабилизации управляемых систем. Полученные результаты предполагают ограниченность решений по неконтролируемым координатам. При решении используются функции Ляпунова, имеющие знакопостоянные производные. Полученные теоремы развивают соответствующие результаты из [1, 2, 4]. В разделе 5 рассмотрены механические примеры. На основе теорем из раздела 4 решены задачи об у-стабилизаци го-лономной лагранжевой системы и вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания.

1. Постановка задачи

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений

х = Х(г, х, и), (1.1)

где х = (У1,...,ут, 1\,- — ,£$) (т > 0, 5 ^ 0,п = т + s) — п-вектор действительного пространства Яп с нормой ||х||, у е Кт, г е К5, ||х||2 = ||у||2 +

+ ||г||2; и = (ы1,...,ыТ) е К — вектор управления. Правая часть уравнений

(1.1) X(t, x, u) (X(t, 0,0) = 0) определена для некоторого класса U = {u(t, x) :

u(t, 0) = 0} управляющих воздействий u(t, x) e C(G), G = R+ X Г (R+ = [0, + +то[, Г = {||y|| < H, H = const > 0, ||z|| < +“}), непрерывна и удовлетворяет в G условиям существования, единственности и z-продолжимости решений.

Пусть [1] оценкой качества управления этой системы служит значение интеграла

для переходного процесса при управлении и[г] на соответствующей траектории х[г] системы (1.1). Подынтегральная функция Ж (г, х, и) в (1.2) представляет собой в общем случае некоторую непрерывную неотрицательную функцию, определенную в области G при и е и.

Приведем постановки задач о стабилизации и оптимальной стабилизации по отношению к части переменных (хх,...,хт) = (у1,...,ут) (т < п) (у-ста-билизации), данные и исследованные в работах [1,2,4,14].

Задача об у-стабилизации. Требуется найти такое управляющее воздействие и = и(г, х) среди всех и(г, х) е и, которое обеспечивает асимптотическую у-устойчивость невозмущенного движения х = 0 в силу системы

Задачу об у-стабилизации системы (1.1) при условии минимума критерия качества (1.2) принято называть задачей об оптимальной у-стабилиза-ции. Эта проблема формулируется так.

Задача об оптимальной у-стабилизации. Требуется найти управляющее воздействие и = и0(г, х) среди всех и(г, х) Є и, которое обеспечивает асимптотическую у-устойчивость невозмущенного движения х = 0 в силу системы (1.1), при этом для любого другого такого управления и = = и* (г, х) Є и, решающего задачу об у-стабилизации системы (1.1), справедливо неравенство:

Задача об оптимальной у-стабилизации, как и задача об оптимальной стабилизации движения по всем переменным [1], представляет собой довольно трудную проблему. Она не решена в общем случае и требует больших усилий при исследовании многих прикладных задач.

В данной работе предлагается путем ослабления требования к ценовому функционалу поставить задачу о стабилизации системы (1.1) относительно части переменных с гарантированной оценкой качества управления. Она естественно следует из задачи о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления [15] согласно следующему определению.

Определение 1: Управляющее воздействие и = и0(г, х) называется

то

(l.2)

(l.l).

то

то

при to ^ О, xo[to] = x*(to) = xo, ||xo|| ^ Ho < H.

у-стабилизирующим с гарантированной оценкой качества управления Р(г, х), если оно обеспечивает асимптотическую у-устойчивость невозмущенного движения х = 0 системы (1.1), при этом на каждом управляемом движении х0(г), х0(го) = хо справедливо неравенство:

СЮ

I ^ Ж(г,х0[г], и0[г]) Сг < Р(го,хо). (1.3)

го

Задача об у-стабилизации с гарантированной оценкой качества управления. Требуется найти управляющее воздействие и = и0(г, х) среди всех и(г, х) е и, которое обеспечивает асимптотическую у-устойчивость невозмущенного движения х = 0 в силу системы (1.1), при котором на каждом управляемом движении х0(г), х0(?о) = хо справедливо неравенство (1.3).

Такая постановка задачи за счет ослабления требования минимизации функционала (1.2) позволяет расширить класс прикладных решаемых задач об у-стабилизации с указанием оценки качества переходного процесса.

2. Дополнительные предложения и построения

Пусть правая часть системы (1.1) Х0(г, х) = Х(г, х, и0(г, х)) для некоторого и0(г, х) е и ограничена на каждом компакте и удовлетворяет условию Липшица равномерно по х относительно г, то есть для любого компакта К с Г существуют две константы \к = ^(К) и Ук = у(К), такие, что справедливы неравенства:

ЦХ°(г, х)|| < 1к, 1|Х0(г, х2) - Х0(г, хх)|| < укIX - хх ||. (2.1)

Тогда функция Х0(г, х) удовлетворяет в области G условиям предкомпакт-ности в некотором функциональном пространстве Fф [16]; и системе уравнений (1.1) х = Х0(г, х) сопоставляется [16] семейство предельных систем х = ф(г, х), для которых функции ф(г, х) вычисляются по формуле:

г

Ф(г, х) = —( Нт I Х°(г„ + х,'х)с1х Сг\гпJ 0

Пусть подынтегральная функция в (1.2) Ж0(г, х) = Ж (г, х, и0(г, х)) для управления и0(г, х) е и удовлетворяет аналогичным условиям:

||Ж0(г, х)| < пк, УЖ0(г, х2) - Ж0(г, хх)|| < Цк!|х2 - хх ||, (2.2)

где Пк = П(К), Цк = Ц(К) — константы, существующие для любого компакта

К с Г, при которых выполняются неравенства (2.2). Тогда функция Ж0(г, х)

аналогичным образом удовлетворяет в области G условиям предкомпакт-ности в некотором функциональном пространстве ^, и ей сопоставляется семейство предельных функций П(г, х) по формуле:

г

П(г, х) = —(Нт Г Ж0(ги + х,х)с!х

йгчпи 0

Следуя [17], введем

dV I dV\Т B[V, t, х, u] = — + — X(t, x, u) + W{t, x, u).

dt \oxj

Через a(||x||) будем обозначать непрерывные строго возрастающие на отрезке [0,H] функции, а(0) = 0, то есть функции типа Хана [18].

Приведем необходимые определения из [19].

Определение 1.2: Пусть tk — есть некоторая последовательность, t е R и c е R — некоторые заданные значения. Множество V—'1(t, c) есть множество точек х е Г, для каждой из которых существует последовательность Xk — х, такая что

lim V(tk + t, Xk) = c

k—— ^

Определение 1.3: Значения функции x = ф^) :]a, |3[— Г содержатся в множестве (H(t, x) = 0}, определяемом функцией П е Fn, П : G — R, если для любого отрезка [a, b] c]a, |3[

b

I

П(т, ф(т)) dx = 0.

Определение 1.4: Множество УЮх(г, с) называется соответствующим к предельной паре (Фо, По), если это множество и предельные к Х0, Ж0 функции соответственно Фо, По определены при помощи одной и той же последовательности tk ^ +Ю.

з. Основные результаты

Ряд основных теорем об оптимальной у-стабилизации представлен в работах [1,4]. Мы модифицируем эти теоремы согласно поставленной задаче об у-стабилизации с гарантированной оценкой качества управления, а также получим новые теоремы об оптимальной у-стабилизации на основе прямого метода Ляпунова.

Теорема 1: Пусть для системы (1.1) с оценкой качества управления

(1.2) существуют функция Ляпунова V(г,х) е Сх^) и управление и = и0(г,х) е

и, такие, что выполняются условия:

1) функция V(г, х) — определенно-положительная по у, допускает бесконечно малый высший предел по у,

ах(||у||) < V(г,х) < а2(||у||);

2) функция Ж (г, х, и0(г, х)) — определенно-положительная по у,

Ж (г, х, и0(г, х)) ^ аэ(||у||);

3) функция Б[У, г, х, и0(г, х)] ^ 0.

Тогда и0(г, х) — у-стабилизирующее управление для системы (1.1) с гарантированной оценкой качества управления Р(%хо) = V(го,хо). При этом движение х = 0 системы (1.1) равномерно асимптотически у-устойчиво.

Доказательство: Для производной функции V(г, х) в силу системы (1.1) из условия 3 имеем:

— < -Щг,х,и°(г,х)) < 0. сг

Учитывая условия 1 и 2 теоремы, имеем [1] асимптотическую у-устойчи-вость решения х = 0 системы (1.1), и

Нш V(г, х) = 0.

Проинтегрировав неравенство dV|dt ^ -Ж от го до Т, получим:

Т

^ Ж(г, х(г), и0(г)) Сг < V(го, х(го)) - V(T, х(Т)),

го

а при Т —

СЮ

^ Ж (г, х(г), и0(г)) Сг ^ V (г0, х(г0))

го

Теорема доказана.

Эта теорема развивает результат из [1].

Теорема 2: Пусть для системы (1.1) с оценкой качества управления

(1.2) существуют функция Ляпунова V(г,х) е Сх^), V(г,0) = 0, и управление и = и0(г, х) е и, такие, что выполняются условия:

1) при и = и0(г, х) движение х = 0 асимптотически у-устойчиво.

2) функция Б[У, г, х, и0(г, х)] ^ 0.

Тогда и0(г, х) — у-стабилизирующее управление для системы (1.1) с гарантированной оценкой качества управления Р(го, хо) = V(го, хо) - со в предположении, что существует Нш V = со при г ^Ю.

Доказательство: Для производной функции V(г, х) в силу системы (1.1) из условия 2 теоремы имеем:

dV 0

— < -Щг,х,и°(г,х)) < 0.

Сг

Проинтегрировав это неравенство от г0 до Т, получим:

Т

^ Ж(г, х(г), и0(г)) Сг < V(го, х(го)) - V(T, х(Т)),

го

а при Т —

СЮ

^ Ж (г, х(г), и0(г)) Сг ^ V (г0, х(г0)) - с0.

го

Теорема доказана.

Эта теорема развивает результат из [4] и является более общей по сравнению с теоремой 1 в том смысле, что установка факта у-устойчивости и оценка качества движения может производиться с использованием двух, вообще говоря, разных функций Ляпунова.

Условия 1 и 2 теоремы 1 являются довольно жесткими и в прикладных задачах часто не выполняются. Поэтому могут оказаться полезными различные модификации этой теоремы с более слабыми условиями.

С помощью метода предельных функций и уравнений [20] можно ослабить требования к функциям V(t, x) и W(t, x, u(t, x)). А именно, подынтегральная функция W(t, x, u(t, x)) может быть знакопостоянной (т.е. удовлетворяющей неравенству), W(t,x,u(t,x)) ^ 0, а для функции V(t,x) можно отказаться от условия, что эта функция допускает бесконечно-малый высший предел.

Теорема 3: Пусть для системы (1.1) с оценкой качества управления

(1.2) существуют функция Ляпунова V(t, x) е C1(G), V(t, 0) = 0 и управление u = u0(t, x) е U, такие, что выполняются условия:

1) решения системы (1.1) при u = u0(t,x) из области Г0 = (||x|| ^ H0 < H} ограничены по z;

2) функция V(t, x) — определенно-положительная по у,

V(t,x) ^ ai(|y|);

3) существует число Hi (H0 < Hi < Н),такое, что sup(V(t, x) при t ^ 0, ||x|| < H0) < ai(Hi);

4) функция B[V, t, x, u0(t, x)] ^ 0;

5) правая часть системы (1.1) X0(t, x) = X(t, x, u0(t, x)) и функция W°(t, x) = = W(t,x,u0(t,x)) удовлетворяют условиям (2.1) и (2.2);

6) каждая предельная к (X0, W0) пара (Ф0, П0) и соответствующее множество V-Ht, с) будут таковы, что для любого c = С0 = const ^ 0 множество (V“i(t, c) : c = c0^ n(H0(t, x) = 0} не содержит решений предельной системы x = Ф0^, x), кроме решений x = x(t) = (y(t), z(t)) таких, что y(t) = 0.

Тогда u0(t, x) — у-стабилизирующее управление для системы (1.1) с гарантированной оценкой качества управления P(t0, xc) = V(t0, x0) - c0.

Доказательство: Для производной функции V(t, x) в силу системы (1.1) из условия 4 теоремы имеем:

^ < -W(t, х, u°(t, х)) < 0. (3.1)

Из этого и условий 2, 3 теоремы следует у-устойчивость решения x = 0 системы (1.1).

Пусть x = x(t, t0,x0) — решение системы (1.1) из области Г0. Согласно условию 2 теоремы и неравенству (3.1) функция V(t, x) = V(t, x(t, t0, x^)) — c0 при t — +то. Пусть tn — +то есть последовательность, определяющая пару (Ф0, П0) и множество Vcoi(t, c), и для которой x(tn) — x* при tn — ТО. Составим последовательность функций xn = x(tn + t, t0, x0). Согласно [16], учитывая условие 1 теоремы, существует подпоследовательность функций

[хПк = х(гПк + г, го, хо)}, определяемая для значений гПк ^ 0, которая будет сходиться к некоторому решению х = ф(г) : ] -ю, +ю [^ Г системы х = = Фо(г, х) равномерно на каждом отрезке [-Т, Т]. Переходя к пределу при гПк ^ +то, как и в [20], получаем, что

ф(0 е {По(г,х) = 0} Р^юЧг,с) : с = со}.

Но по условию 6 теоремы это возможно, если только

ф(г) = (0,..., о, фш+1(г),..., фи(г)), т.е. для каждого решения системы (1.1) х(г, го, хо) : хо е Го, имеем

Нш у(г, го, хо) = 0.

Тем самым имеем для системы (1.1) асимптотическую у-устойчивость решения х = 0. Проинтегрировав неравенство (3.1) от го до Т и перейдя к пределу при Т ^ +ю, получим:

СЮ

^ Ж (г, х(г), и0(г)) Сг ^ V (г0, х(г0)) - с0.

го

Теорема доказана.

Теорема 4: Пусть для системы (1.1) с оценкой качества управления

(1.2) существуют функция Ляпунова V(г, х) е С1(С), V(г, 0) = 0 и управление и = и0(г, х) е и, такие, что выполняются условия:

1) решения системы (1.1) при и = и0(г,х) из области Го = {||х|| ^ Но < Н} ограничены по /;

2) функция V(г, х) — определенно-положительная по у,

V(г,х) ^ а1(||у||);

3) существует число Н1 (Но < Н1 < Н),такое, что 8ир^(г, х) при г ^

0, ||х|| < Но) < а1(Н1);

4) функция Б[У, г, х, и0(г, х)] ^ 0;

5) правая часть системы (1.1) Х0(г, х) = Х(г, х, и0(г, х)) и функция W0(t, х) = = Ж (г, х, и0(г, х)) удовлетворяют условиям (2.1) и (2.2);

6) существует хотя бы одна последовательность, для которой каждая предельная к (X0, Ж0) пара (Фо, По) и соответствующее множество V-01(t, с) будут таковы, что для любого с = со = сош! > 0 множество [V-1(г, с) : с = = со} П{По(г, х) = 0} не содержит решений предельной системы х = Фо(г, х).

Тогда и0(г, х) — у-стабилизирующее управление для системы (1.1) с гарантированной оценкой качества управления Р(%хо) = V(го,хо). При этом движение х = 0 системы (1.1) асимптотически у-устойчиво равномерно по хо.

Доказательство: Для производной функции V(г, х) в силу системы (1.1) из условия 4 теоремы имеем:

^ ^ -Щг, х, и°(г, х)) ^ 0. (3.2)

Из этого и условий 2, 3 теоремы следует у-устойчивость решения х = 0 системы (1.1).

Пусть х = х(г, го,хо) — решение системы (1.1) из области Го. Согласно условию 2 теоремы и неравенству (3.2) функция V(г, х) = V(г, х(г, го, хо)) ^ со при г ^ +ю. Пусть гп ^ +ю есть последовательность, определяющая пару (Фо, По) и множество V0^(t, с), и для которой х(гп) ^ х* при гп ^Ю. Составим последовательность функций хп = х(гп + г, го, хо). Согласно [16], учитывая условие 1 теоремы, существует подпоследовательность функций [хпк = х(гпк + г, го, хо)}, определяемая для значений гпк ^ 0, которая будет сходиться к некоторому решению х = ф(г) : ] -Ю, +ю [^ Г системы х = = Ф0(г, х) равномерно на каждом отрезке [-Т, Т]. Переходя к пределу при гпк ^ +ю, как и в [20], получаем, что

ф(г) е {По(г, х) = 0} р^юЧг, с) : с = со}.

Но по условию 6 теоремы это возможно, если только с0 = 0. Итак, вдоль

каждого решения системы (1.1) х(г, го, хо) : хо е Го, функция

V(г, х(г0, х0)) ^ 0 при г ^ +ю. (3.3)

Тем самым имеем для системы (1.1) асимптотическую у-устойчивость решения х = 0, равномерную по хо [9]. Проинтегрировав неравенство (3.2) от

го до Т и учитывая (3.3), получим:

СЮ

^ Ж (г, х(г), и0(г)) Сг ^ V (г0, х(г0)).

го

Теорема доказана.

Эти две теоремы имеют общее условие 1 об ограниченности движений по неконтролируемой /-составляющей вектора координат. Данное условие часто выполняется в прикладных задачах в силу каких-либо механических соображений, если, например, эти координаты—угловые (шod 2П).

Теперь приведем формулировки еще двух теорем, решающих задачу об оптимальной у-стабилизации на основе прямого метода Ляпунова. Эти теоремы являются следствиями теорем 3 и 4. Они получены при усилении условий на ценовой функционал (условие 4 в теоремах 3 и 4).

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 5: Пусть для системы (1.1) с оценкой качества управления

(1.2), шшI по и е и, существуют функция Ляпунова

V(t, х) е С1(0), V(t, 0) = 0,

и управление и = и0(г,х) е и, такие, что выполняются условия 1, 2, 3, 5, 6 теоремы 3 и условия:

4.1) функция Б^, г, х, и0(г, х)] = 0;

4.2) Б[У, г, х, и0(г, х)] ^ Б[1', г, х, и*(г, х)] для любого другого управления и* (г, х) е и, решающего задачу об у-стабилизации для системы (1.1);

4.3) V0 = Нш V(г,х0(г, г0,х0)) ^ V* = Нш V(г,х*(г, г0,х0)) при г ^ +ю.

Тогда и0(г, х) — стабилизирующее управление, решающее задачу об оптимальной у-стабилизации для системы (1.1). При этом выполняется соотношение

I0 = I W(г, х, и0(г, х)) Лг = тіп W(г, х, и*(г, х)) Лг = V(г0, х0) - V0,

^ Ж(г, х, и0(г, х)) Лг = тип ^

(о *0

для любого и* ((, х) е и, решающего задачу об у-стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (1.1).

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3. Фигурирующие в условии 4.3 пределы существуют в силу условий 1 и 2 теоремы. Утверждение достижения минимума ценового функционала при управлении и0(г, х) доказывается предельным переходом при г в выражении, полученном интегрированием неравенства из условия 4.2, при использовании условия 4.3.

Теорема 6: Пусть для системы (1.1) с оценкой качества управления

(1.2), тпI по и е и, существуют функция Ляпунова

У(г, х) е С1 (в), У(г, 0) = 0,

и управление и = и0(г,х) е и, такие, что выполняются условия 1, 2, 3, 5, 6 теоремы 4 и условия:

4.1) функция В[У, г, х, и0(г, х)] = 0;

4.2) В[У, г, х, и0(г, х)] ^ В[У, г, х, и*(г, х)] для любого другого управления и* (г, х) е и, решающего задачу об у-стабилизации для системы (1.1).

Тогда и0(г, х) — стабилизирующее управление, решающее задачу об оптимальной у-стабилизации для системы (1.1). При этом движение х = 0 системы (1.1) асимптотически у-устойчиво равномерно по х0, и выполняется соотношение

то то

I0 = | Ж (г, х, и0(г, х)) Лг = тп I Ж (г, х, и*(г, х)) Лг = У (г0, х0)

г0 г0

для любого и*(г, х) е и, решающего задачу об у-стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (1.1).

4. Примеры

В этом разделе на примерах мы иллюстрируем действие полученных теорем из раздела 4. В частности, исследуются задачи об у-стабилизации с гарантированной оценкой качества управления голономной Лагранжевой системы специального вида и о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания.

Стабилизация по части переменных голономной лагранжевой системы. Задача об оптимальной у-стабилизации стационарной лагранже-вой системы исследовалась в работах [1,4]. Полученные в данной работе теоремы позволяют решить задачу об у-стабилизации с гарантированной оценкой качества для нестационарной Лагранжевой системы специального вида.

Рассмотрим голономную механическую систему, описываемую уравнениями Лагранжа второго рода:

й 1дЬ\ (дЬ

dt\dq) \dq)

где q е Rn, q = (qi, q2), qi e Rm, q2 e Rs, m + s = n, для которой функция

1 т

Лагранжа имеет структуру L(t, q, q) = L2 + L\ + Lq , где L2 = —q A(q)q —

квадратичная форма скоростей q; Li = BT(q)q — линейная форма скоростей q; а Lo = Lo(t, q) (L0(t, 0) = 0) удовлетворяет следующим условиям:

7^=0 при q = 0, °£>0, -Lo^q) ^ ai(llqill). (4.1)

dq dt

Такая система имеет положение равновесия q = q = 0, которое в силу (L2 - Lo)' = -dLo/dt ^ 0 будет устойчивым по qi, q.

Поставим задачу определения сил вида Q = M(t, q, q)u (M(t, q, q) — ограниченная матрица размерности n X г), при которых для управляемой системы

d (dL\ (3L\ , ,

лЫ~_Ы=м(''ч'ч)" (42)

1) положение равновесия q = q = 0 будет асимптотически у-устойчиво;

2) имеется гарантированная оценка качества управления интеграла (1.2) для системы (4.2) с подынтегральной функцией

W(t, q, q) = F(t, q, q) + uTR(t, q, q)u, (4.3)

где R(t, q, q) — симметричная ограниченная положительно-определенная матрица размерности г Хг. Используя в качестве функции Ляпунова V = L2 - Lo, выберем управление в виде

u0(t, q, q) = -S(t, q, q)q, (4.4)

где S(t, q, q) — ограниченная матрица размерности гXn, выбирается согласно условию

M(t, q, q)S(t, q, q) ^ aoE, ao = const > 0. (4.5)

Неотрицательная функция F(t, q, q) определяется условием

0 < F(t, q, q) < qTN(t, q, q)q,

N(t, q, q) = (M(t, q, q) - ST(t, q, q)R(t, q, q))S(t, q, q). (.)

Для производной по времени в силу системы (4.2) от функции V с учетом

(4.4) и (4.5) имеем оценку:

dV 1 T

— ^ --q М(г, q, q)S(?, q, q)q ^ 0. dt 2

Предположим также, что величины А (о), дA/дq, дB/дq, дLo/дq ограничены и удовлетворяют условиям Липшица по всем своим переменным. Тогда предельная к (4.2) система существует и при и = и°(г, о, 0) имеет вид:

ШИ©--* “

где Ь* = Ьг - Ь°, Ь° и N —функция и матрица, предельные соответственно к Ь° и N вычисляются по формулам:

Ц(Г.Ч)=Л

t d

lim /.of/,, + т, q) dx

n

o

N Ч,,.,, 4) = -^

t

1 d Г

lim N(?„ + T, q, q) dx

tn J

o

Предположим, что решения системы (4.2) ограничены по q2 и пусть множество {q TN*(t, q, q) q = 0} не содержит решений системы (4.7), кроме таких, что qi = q = 0. Тогда согласно теореме 3 управляющее воздействие

(4.4) решает задачу (qi,^)-стабилизации для системы (4.2) с Лагранжианом

(4.1) с гарантированной оценкой качества управления

P(t, q, q) = L2(q, q) - Lo(t, q)

по функционалу (1.2) с подинтегральной функцией(4.3), удовлетворяющей условиям (4.6).

Условия у-стабилизации такой системы диссипативными силами были получены в работе [12]. Данный результат развивает результаты из публикаций [1, 2, 4, 12].

О стабилизации вертикальных вращений симметричного твердого тела на подвижном основании. Исследуем задачу о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания.

Пусть точка с платформой совершает вертикальное движение по закону Z = Z(t). На тело, угловая скорость собственного вращения которого равна ф, действуют две внешние силы (силами сопротивления принебрегаем): сила тяжести P, приложенная к центру масс C тела, и реакция Ro опоры O. Положение оси z симметрии тела относительно неподвижных осей

(ось Z вертикальна) будет определяться углами а и в [21]. Кинетическая

энергия тела имеет вид T = T2 + Ti + To, где

Г2 = + Р2cos2 a) + 2~ ^ S^n °t'*2’

Ti = -MlZ(a sin a cos в + |3 cos a sin в),

i i.2

To = ^Ml2,

а потенциальная энергия — вид

V = MgZ + Mgl cos a cos в,

где M — масса тела, l — расстояние от центра масс до точки опоры O. Тогда движение тела можно описать уравнениями Лагранжа

d /дТ\ дТ _ ОТ dt\dd) да да d /дТ\ дТ ОТ

+ u„

dt\ д pj д в д в

+

u ,

(4.8)

d /дТ dt \<9ф

= Uф.

Учитывая структуру кинетической энергии и явные выражения для Т, Т° и П, уравнения (4.8) можно представить в виде:

—laii] - ah

dt\ да да

ОТ*

да

+ un

d /дTЛ дT2 дП*

— 1-------I - —г- =---------— + М|3,

dt\ д p ) д в

d IдТ dt \<9ф

д

(4.9)

= Uф,

где

П* = (Mgl + MZ(t)) cos a cos в.

Определим стабилизирующие управления ua, ив, Иф таким образом, чтобы обеспечить стабилизацию вертикальных вращений твердого тела. Управ-

ления возьмем в виде:

ua = —ki а, uв = —k2p, Uф = О,

(4.10)

ki = const > 0, &2 = const > 0.

Определим оценку качества управления для переходного процесса величиной интеграла

(

I = I (c1 а2 + c2 p2 + uT Pu) dt,

(4.11)

где Ci ^ 0 — const, матрица P — диагональная с элементами pi > 0 — const, и пусть справедливы соотношения

22 pik1 + ci ^ ki, p2k2 + C2 ^ k2.

(4.12)

Пусть движения тела и платформы таковы, что в любой момент выполняется условие

dъ Ъ

dt3

(t) cos a cos (3^0

(4.13)

и условие

-Mgl - MZ(t) ^ c1 = const > 0, (4.14)

при котором выражение

П* - ПО = (-Mgl - MZ(t))(1 - cos a cos в)

является определенно-положительной функцией по переменным а, р. Рассмотрим функцию Ляпунова вида

V = Т2 + П* - ПО.

Умножив почленно каждое из уравнений (4.9) соответственно на а, р, ф и затем сложив их вместе, после преобразований получим оценку для производной от функции Ляпунова

d „ „ d „

—(Т2 + П - П0) = —(Гг + П) = dt dt

d3 Z

= -k\d2 - Л:г|32 + (0 cos a cos P ^ ~k(d^ + P2) ^ 0,

где к = min(ki, £2).

Из структуры уравнений нетрудно видеть, что множество (П = 0} = {а = = р = 0} не содержит решений предельной к (4.9) системы, имеющей вид

— (Аа) + АВ2 cos а sin а + СфВ cos а - СВ2 cos а sin а = dt

= (Mgl + MZ*(t)) sin а cos р - £ia,

I А В cos2 а — (^Ф sin а + (^В sin2 пм

dt

dt

— ^А|3 cos2 а - Сф sin а + С|3 sin2 а) = (Mgl + М£*(0) cos а sin р - АгР,

— (Сф - С|3 sin а) = 0,

кроме решений

а = р = 0, а = р = 0, сф = ф0 = const. (4.15)

(Здесь Z*(t) является предельной функцией к функции Z(t)).

Тогда согласно теореме 3 управляющее воздействие (4.10) решает задачу о стабилизации вертикальных вращений (4.15) симметричного твердого тела, закрепленного в одной точке на платформе, совершающей вертикальные движения согласно условиям (4.12), (4.13), (4.14), с гарантированной оценкой качества управления

• . • • 1 -2

P(to, о-о, а0, Ро, Ро, фо, Фо) = V(to, ао, do, Ро, Ро, фо, Фо) _ 2^°

по функционалу (4.11).

Литература

[1] Румянцев, В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем /

B.В. Румянцев // ПММ. - 1970. - Т. 34. - Вып.3. - С. 440-456.

[2] Румянцев, В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В.В. Румянцев, А.С. Озиранер - М.: Наука, 1987. - 235 с.

[3] Озиранер, А.С. Об одноосной стабилизации динамически симметричного спутника на круговой орбите / А.С. Озиранер // Изв. АН СССР. Механ. тв. тела. - 1974. - №3. - С. 11-18.

[4] Озиранер, А.С. Об оптимальной стабилизации движения относительно части переменных / А.С. Озиранер // ПММ. - 1978. - Т. 42. вып. 2. -

C. 272-276.

[5] Воротников, В.И. Об устойчивости и стабилизации движения относительно части переменных / В.И. Воротников // ПММ. - 1982. - Т. 46. -Вып. 6. - С. 914-923.

[6] Воротников, В.И. О полной управляемости и стабилизации движения относительно части переменных / В.И. Воротников // АиТ. - 1982. -№3. - С. 15-21.

[7] Румянцев, В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных / В.В. Румянцев // Вестник МГУ. Сер. мат., механ. - 1957. -№4. - С. 9-16.

[8] Румянцев, В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных / В.В. Румянцев, А.С. Озиранер // ПММ. - 1972. - Т. 36. - Вып. 2. - С. 364-384.

[9] Озиранер, А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных / А.С. Озиранер // ПММ. - 1973. -Т. 37. - Вып.4. - С. 659-665.

[10] Румянцев, В.В. Об устойчивости установившихся движений систем с квазициклическими координатами / В.В. Румянцев // ПММ. - 1986. -Т. 50. - Вып. 6. - С. 918-927.

[11] Oziraner, A.S. Some theorems on the partial stability and stabilization / A.S. Oziraner // Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged (Hungary). 1979. - P. 811-825.

[12] Андреев, А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений / А.С. Андреев // ПММ. - 1987. - Т. 51. - Вып. 2. - С. 253-260.

[13] Андреев, А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости / А.С. Андреев // ПММ. - 1991. - Т. 55. - Вып. 4. - C. 539-547.

[14] Rumyantsev, V.V. On the stability with respect to a part of the variables / V.V. Rumyantsev // Symp.math. V.6, Meccanica non-linear e stabilita. 23-26 febrario, 1970. - L.; N.Y.: Acad. Press, 1971. - P. 243-265.

[15] Андреев, А.С. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления / А.С. Андреев, С.П. Безгласный // ПММ. - 1997. - Т. 61. - Вып. 1. - С. 44-51.

[16] Artstein, Z. Topological dynamics of an ordinary equations / Z.Artstein // J. Differ. Equat. 1977. - V.23. - №2. - P. 216-223.

[17] Красовский, Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений / Н.Н. Красовский // И.Г. Малкин Теория устойчивости движения, 4-е изд., доп. - М.: Наука, 1966. - С. 475-514.

[18] Руш, Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, Р. Абетс, М.Лалуа. - М.: Мир, 1980. - 300 с.

[19] Андреев, А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем / А.С. Андреев // ПММ. - 1979. - Т. 43. Вып. 5. - С. 796-805.

[20] Андреев, А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы / А.С. Андреев // ПММ. 1984. -Т. 48. - Вып. 2. - С. 225-232.

[21] Меркин,Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р. Мер-кин. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

Поступила в редакцию 18/ VIII/2008;

в окончательном варианте — 18/VIII/2008.

ON THE STABILIZATION ON THE PART VARIABLES WITH AN ESTIMATION OF THE CONTROL QUALITY3

© 2008 S.P. Bezglasnyi4

A controlled nonlinear mechanical system described by the system of differential equations is considered. We state the problem on stabilization to part of the variables with a guaranteed estimation of the control quality is formulated. The solution of the problem is based on Lyapunov‘s direct method using Lyapunov functions with derivatives of constant sign.

Some of the results are new even in the case of the optimal stabilization to part of the variables problem. Several examples are given.

Keywords and phrases: controlled mechanical system, stabilization of part

variables, Lyapunov’s function, limiting functions, solid.

Paper received 18/VIII/2008.

Paper accepted 18/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Yu.N. Radayev.

4Bezglasnyi Sergey Pavlovich ([email protected]), Dept. of Theoretical Mechanic, Samara State Aerospase University, Samara, 443086, Russia.