CC BY
27
Рис. 5. Спектральная плотность колебаний индукции В межпланетного магнитного поля
спектр плотн ммп 01.01.95
частота Гц
Из графика, приведенного на рис. 5 видно, что максимум частоты в спектре колебаний ммп (12 сек) лежит в том же диапазоне частот, что и пульсации геомагнитного поля (РС2-РС3). Это наводит на мысль о внемагнитосферном происхождении геомагнитных регулярных пульсаций. Ранее во многих работах отмечалось необьяс-нимая корреляция между геомагнитными пульсациями и параметрами солнечного ветра. По результатам данной работы, в которой получены доказательства о наличие в колебаниях межпланетного магнитного поля составляющей гармоники геомагнитных пульсаций, можно предположить, что геомагнитные пульсации могут иметь внемагнитосферное происхождение.
Библиографический список
1. Пудовкин М.И. Возмущения э/м поля Земли / М.И.Пудовкин. - Л., 1975.
2. Гульельми А.В. МГД-волны в околоземной плазме / А.В.Гульельми. - М.: Наука, 1979.
3. Клейменова Н.Г. Волновой геомагнитный отклик магнитосферы. / Н.Г.Клейменова // Геомагнетизм и аэрономия, 2003. - Т.43, №3.
4. Гульельми А.В. Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы. / А. В. Гульельми, В.А.Троицкая - М.: Наука,1973.
5. Баласанов Ю.Г. Экспериментальные временные ряды. Пакет программ / Ю.Г. Баласанов.- М.: МГУ, 1991.
6. WIND http://rumba.qsfc.nasa.gov
7. Большакова О.В. Интенсификация геомагнитных пульсаций Рс4 в условиях спокойной магнитосферы / О.В.Большакова, О.К.Боровкова, В.А.Троицкая, Н.Г.Клейменова // Геомагнетизм и аэрономия. - 1995. - Т.35, N 3. - С.143-145.
8. Клейменова Н.Г. Волновой геомагнитный отклик магнитосферы на подход к Земле межпланетного магнитного облака (14-15 июля 2000 г., "Bastille day event") / Н.Г.Клейменова, О. В, Козырева, Ж.Ж.Шотт // Геомагнетизм и аэрономия. - 2003. - Т.43, №3. - С.321-331.
9. Справочник Солнечно-Земной физики. - М.,
2002.
УДК 681.3
К ВОПРОСУ ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ИНТЕГРАЛА ШОКЕ 2-ГО ПОРЯДКА
С.А.Сакулин1
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 141231, Московская обл., Пушкинский р-н, поселок Лесной.
Рассмотрена задача идентификации параметров интеграла Шоке 2-го порядка. Предложен метод визуализации индексов Шепли и индексов взаимодействия пар критериев. Выявлены естественные ограничения, накладываемые на значения порогов безразличия, задаваемых экспертом в процессе идентификации параметров интеграла Шоке 2-го порядка. Ключевые слова: интеграл Шоке, индексы критериев, индентификация нечетной меры, неравенства, порог безразличия. Ил. 2. Библиогр. 10 назв.
1
Сакулин Сергей Александрович, аспирант, тел. 8-903-5-71-87-87, e-mail ss141291 @yandex.ru Sakulin Sergey Alexandrovich, a post graduate, Tel. 8-903-5-71-87-87, e-mail [email protected]
TO THE QUESTION OF IDENTIFICATION OF THE PARAMETERS OF CHOQUET INTEGRAL OF THE SECOND ORDER
Sakulin S.A.
Moscow State Technical University named after Bauman N.E. Lesnoy settlement, Pushkinskiy area, Moscow region, 141231
The author examines the task to identify parameters of Choquet integral of the second order. He offers a visualization method of Shapley indexes and indexes of interaction of pairs of criteria. He exposes natural constraints imposed on values of invariance thresholds set by an expert when identifying parameters of Choquet integral of the second order. Key words: Choquet integral, criteria indexes, identification of the odd measure, inequality, invariance threshold. 2 figures. 10 sources.
Интеграл Шоке СНу (g) от критериев
g = gH} по нечёткой мере 2-го порядка
у применяется в качестве оператора агрегирования критериев в приложениях теории нечётких множеств [1-3]. Для его использования необходима идентификация нечёткой меры, выраженной в виде индексов Шепли критериев Ф(г) , а также индексов взаимодействия I(г]) для каждой пары критериев, где г, ] е J - индексы критериев, J = {1,..., Н} - множество индексов критериев [4-6]. Вместо обозначения «критерий с индексом г е J » для краткости здесь употребляется «критерий г», опускаются фигурные скобки, вместо обозначений {г}, {г,]} используются также г, I]. Запишем соответствующие выражения [5]:
СНу (2) = Ха(г)g¡ + X а(],gj)' (1)
iеJ {/}с J
Ф(г) = а(г) +1 X а(]), г е J , (2)
1 -г)
I(г, ]) = а(г]), ]} е J . (3)
Здесь а(В) есть функция множества на J, которая в комбинаторике называется функцией Мёбиуса по у [88] и выражается формулой
а(О) = X (-1)И-И У (В), где О с J .
В сО
Большинство методов идентификации нечётких мер, предложенных в литературе, могут рассматриваться как задачи оптимизации [8,9]. Они отличаются целевыми функциями и видами информации, которая требуется в качестве входной.
Исходными данными для идентификации нечёткой меры являются предпочтения эксперта. При работе с реальной задачей моделирования предпочтений с помощью нечёткой меры эксперта спрашивают о его суждениях на конечном и обычно относительно малом множестве А реализаций критериев (обучающая выбор-
ка) [8]. Это множество можно составить из физически доступных состояний объекта из соответствующей прикладной области или, возможно, фиктивных, рассуждения о которых могут оказаться полезными для моделирования предпочтений эксперта. Как только соответствующее множество определено, эксперта просят выразить его предпочтения. Эти предпочтения, на основе которых будут определяться соответствующие параметры, могут принимать следующие формы [8,9].
- нестрогий порядок _А на множестве А доступных реализаций критериев;
- нестрогий порядок _ на множестве J (ранжирование важностей критериев);
- нестрогий порядок _ на множестве I пар критериев (ранжирование взаимодействий среди пар критериев).
Эти предпочтения можно представить в виде следующих неравенств [9]:
2 _ 2 о СНу (2) - СНу (2) > 8сн;
2 ~А 2 ' О -8сН £ СНу (2) - СНу (2 ') £ 8 ;
ОФ (г) -Ф Я, (]) > 8Я, ; г ~J ] О -85Ь £Ф(г) - Фм(])£ ;
] _ г]' ОI (г]) -1 (г]') > 81;
] ~I г]' О-8I £ I(]) -1(I]') £ 81 , где 8СН, 85к, 81 - неотрицательные пороги
безразличия, которые будут определяться экспертом, символом ~ обозначено отношение безразличия, а символом • обозначено отношение предпочтения. Другими словами, порядки _А, _, _ переводятся в порядки с установленными порогами безразличия. Заметим, что на практике ограничения в форме I(г]) -1(г]') > 81 в общем случае сопровождаются ограничением, выражающимся в том, что I(г]) и I(г]') должны иметь одинаковый знак, то есть между собой сравниваются только одинаковые по знаку взаимодействия критериев [9].
В настоящее время задание порогов без-
различия осуществляется на чисто аксиоматической основе, без какой-либо семантической интерпретации, что создает трудности понимания практическими специалистами соответствующего аппарата и может приводить к заданию таких значений этих порогов, при которых заведомо не существует решения соответствующей задачи оптимизации.
В статье автора [10] был предложен метод визуализации интеграла Шоке 2-го порядка. Индекс Шепли критерия г в этом контексте и в соответствии с (2) будет представлять значение угла отклонения рычага при следующих условиях. Значения критерия г есть единица (gj =1),
поэтому в точке с единичным значением по шкале рычага будет располагаться груз, соответствующий весу у(/) критерия г. Веса, сопоставленные индексам взаимодействия критерия г с другими критериями, будут расположены в точ-
ках на шкале рычага -
1/
1/
соответственно
'2 /2
знаку индекса взаимодействия. Расположение именно в этих точках грузов, соответствующих весу критерия г и индексам взаимодействия г с другими критериями применяется ввиду того, что при вычислении значения индекса Шепли в случае 2-го порядка нечёткой меры для критерия г принимаются в расчет нормированное максимальное значение критерия г (единица) и средние нормированные значения возможных значений остальных критериев (3 -г) [6]. Угол отклонения рычага х от горизонтальной линии при этом будет отражать общую важность критерия г во всех комбинациях критериев и будет
1.
Порог безразличия 81, который устанавливается экспертом, интерпретируется как минимальное значимо отличное от нуля абсолютное значение индекса взаимодействия. Другими словами, если абсолютное значение индекса взаимодействия двух критериев меньше этого
неотрицательного порога (|1 (г, у)| < 81), то критерии не считаются взаимодействующими (считаются независимыми).
Будем дополнительно трактовать 81 как
массу груза, соответствующую минимальному значению индекса взаимодействия между критериями. Другими словами, если груз \1 (/,у)|
будет легче, чем минимальный груз 81, то он не
будет значимо влиять на угол отклонения рычага. Поэтому мы можем исключить этот груз из рассмотрения. Аналогично мы можем исключить из рассмотрения все грузы I(/, у), у е (3 - г) ,
соответствующие индексам взаимодействия критериев, для которых справедливо
I (г, У )| < «I.
Рассмотрим наиболее экстремальный случай, когда все критерии взаимодействуют, соответствующие индексы взаимодействия отрицательны (положительны) и равны по абсолютной величине 81. Если при этом мы удалим с рычага
грузы, соответствующие индексам взаимодействия, то угол отклонения рычага увеличится
(уменьшится)
на
величину
равен индексу Шепли критерия г. Соответствующее построение баланса приведено на рис.
2 2 = Т (Л -1) = Т (Я -1) ■ что будет
2 мл--о 2 2
отражать исключение из рассмотрения индексов взаимодействия, значениями которых можно пренебречь. Положение рычага, изменившееся после удаления грузов, сопоставленных индексам взаимодействия с отрицательным знаком, изображено на рис. 1 пунктирной линией. Ясно, что при этом соответствующий индекс Шепли не должен значимо измениться.
Индексы Шепли двух критериев значимо различимы, если соответствующие углы отклонения рычага также различимы, то есть абсолютная величина разности этих индексов превышает пороговое значение 85к. Порог безразличия индекса Шепли поэтому должен быть больше, чем величина изменения угла отклонения рычага, вследствие пренебрежения индексами взаимодействия, что можно записать в виде следующего неравенства:
^ > ^ (Н -1). (4)
Неравенство (4) в явном виде выражает ограничения, которые должны выполняться при определении экспертом значений порогов безразличия 81 и 85к.
Перейдём теперь к порогу безразличия 8СН, значение которого эксперт выбирает для
результата агрегирования. Рассмотрим наиболее экстремальный случай, когда значения всех критериев равны единице и соответствующий интеграл Шоке 2-го порядка также принимает единичное значение (СНу (1,..., 1) = 1), индексы
взаимодействия критериев отрицательны (положительны) и их абсолютное значение равно 81. Соответствующее построение баланса
представлено на рис. 2.
Исключение из рассмотрения в соответствии с приведенными выше рассуждениями грузов, сопоставленных индексам взаимодействия, приведёт к отклонению рычага вниз (вверх) по
шкале агрегирования на величину 2 81 . Од-
{и №
нако отклонение рычага вниз лишено смысла в силу нарушения граничных условий интеграла Шоке. Поэтому мы будем считать такое отклонение незначащим, то есть при этом не должен быть превышен порог безразличия на шкале агрегирования 8СН.
Это условие можно записать в виде неравенства 2 81 < 8СН , при этом {и №
Н !81 . Отсюда имеем
2 8, = СН8, = -№ 2!(Н -2)!
(Н2 + Н )8, 2
< 8С
(5)
Ввиду того, что интеграл Шоке обладает свойством монотонности [4], приведенные рассуждения справедливы для всех возможных значений критериев. Следовательно, неравенство (5) в явном виде выражает ограничения, которые должны выполняться при определении экспертом значений порогов безразличия 8, и
8СН.
В процессе идентификации параметров интеграла Шоке 2-го порядка методом минимальной дисперсии с помощью программного пакета
/2 81 < 8сн
+ 2 1 (г, ])
1 (г, ] )<0
2у (г)
Рис. 2. Визуализация ограничений на индексы взаимодействия
Н
Kappalab автором накладывались ограничения (4) и (5) на значения порогов безразличия. Эксперименты показали, что при несоблюдении этих ограничений может возникнуть ситуация, при которой решения в виде коэффициентов 2-аддитивной нечёткой меры не существует. Хотя при этом и существует решение в виде 3-аддитивной меры, оно не является легко интерпретируемым для эксперта (при этом добавляются индексы взаимодействия трёх критериев).
Таким образом, выявленные естественные ограничения (4) и (5), накладываемые на значения порогов безразличия, позволят облегчить работу эксперта в процессе идентификации параметров интеграла Шоке 2-го порядка.
Библиографический список
1. Y. Akasaka and T. Onisawa, Pedestrian Navigation Reflecting Individual Preference for Route Selection -Evaluation on Fitness of Individual Preference Model-, Journal of Japan Society for Fuzzy Theory and Intelligent Informatics, Vol. 18, No. 6, 2006, pp. 900-910.
2. T. Pham, M. Wagner, Similarity normalization for speaker verification by fuzzy fusion, The Journal of the Pattern Recognition Society 33, 2000, рр. 309-315.
3. M. Sicilia, E. Garsia, T. Calvo An Inquiry-Based Method for Choquet Integral-Based Aggregation of Interface Usability Parameters República Checa Kybernetica, 39(5), 2003, pp. 601-614.
4. M. Sugeno, Theory of fuzzy integrals and its applications, Ph.D. Thesis, Tokyo Institute of Technology, Tokyo, 1974, 237 р.
5. T. Murofushi and S. Soneda, Techniques for reading fuzzy measures (III): interaction index, in: 9th Fuzzy System Symposium, Sapporo, Japan, May 1993, pp. 693-696.
6. M. Grabisch, k-order additive discrete fuzzy measures and their representation, Fuzzy Sets & Systems 92, 1997, рр. 167-189.
7. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. - М.: Мир, 1990. - 440 с.
8. Kojadinovic I. Minimum variance capacity identification. European Journal of Operational Research, № 177 (1), 2007, pp. 498-514.
9. Marichal J.-L., Roubens M, Determination of weights of interacting criteria from a reference set. European Journal of Operational Research, № 124, 2000, pp. 641-650.
10. Сакулин С. А. Визуализация оператора агрегирования на основе интеграла Шоке по нечёткой мере 2-го порядка // Вестник ИРГТУ, 2007. - № 2.
