Визуализация оператора агрегирования на основе интеграла Шоке по нечетной мере 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Опыт имеющихся работ позволяет сделать следующие выводы о возможности применения данных методов для исследования железнодорожных насыпей.

Для метода ПГЗ:

> уверенное изучение особенностей строения верхней части железнодорожных насыпей до глубины 1-10м (в зависимости от влажности, засоленности грунтов) или до кровли суглинистых грунтов, являющихся погло-щяющей средой для электромагнитной волны;

> непрерывное обследование железнодорожных насыпей;

> снижение затрат за счет уменьшения объема горных и буровых работ, уменьшение времени на получение конечного результата изыскательских работ, отсутствие необходимости прерывать трафик движения поездов;

> повышение безопасности движения подвижного состава за счет неразрушающих методик обследования;

> уменьшение ошибок при анализе причин возникновения деформаций и, соответственно, в принятии проектных решений.. Например, просадки насыпи, воз-

никшие после капитального ремонта, из-за отсутствия информации о форме кровли суглинистых грунтов.

Для метода ЭДЗ:

> оперативное определение глубины залегания кровли суглинистых грунтов;

> получение физико-механических свойств грунтов в полевых условиях;

> использование полученных результатов для корректировки данных метода ПГЗ;

> изучение насыпи до глубины 15м, что ограничено возможностями установки.

Последний из перечисленных аргументов не распространяется на грунты, содержащие более 10% крупнообломочных включений.

Недостатком обоих методов является ограниченное использование по глубине и сильная зависимость от особенностей состава грунтов. В связи с этим необходимо применять данные методы в комплексе с малоглубинной сейсморазведкой и электроразведкой, которые позволят увеличить глубинность исследований до десятков метров.

Статья принята к публикации 29.06.06

С.А.Сакулин

Визуализация оператора агрегирования на основе интеграла Шоке по нечетной мере 2-го порядка

Агрегирование числовых критериев [1] есть метод их объединения в один числовой критерий (результат агрегирования) для выражения совокупного действия этих критериев. Агрегирование применяется в нечётком выводе и распознавании, задачах многокритериального принятия решений [1,2,3]. Оператором агрегирования часто называют обладающий некоторыми заданными

свойствами оператор АСС :[0,1]я —»[0,1], где Н

- число критериев [2,3]. Часть из этих свойств постоянна и соответствует выбранному виду оператора агрегирования. Остальные свойства задаются экспертом исходя из его видения процесса агрегирования критериев. Задаваемые экспертом свойства выражаются при помощи параметров оператора агрегирования, в то время как постоянные свойства оператора не зависят от значений этих параметров.

Общего формального подхода к построению операторов агрегирования на основе экспертных знаний на сегодняшний день не существует, ведутся работы в этом направлении [3,4,5]. Для формального определения оператора агрегирования предложены наборы фундаментальных условий [3,4]. Следует отметить, что эти наборы условий не совместимы между собой. В [5] предложен набор менее жёстких условий, в соответствии с которы-

ми оператор агрегирования AGG критериев gH определяется следующим образом: Определение 1 Оператор агрегирования AGG есть функция [0,1]я ->[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

- Идентичность в случае унарности: если Н = 1,ю AGG[gH] = gH;

- Граничные условия:

AGG[0,..., 0] = 0; AGG[ 1,..., l] = l;

- Неубывание: gH)<{g[ g'H)^>

AGG[gl9..., AGG[g[ g'H] .

Мы будем придерживаться этого определения. Все дополнительные условия, накладываемые на оператор агрегирования, будут добавляться к. перечисленным и соответствовать предпочтениям эксперта.

Критерии являются независимыми, если обусловленное изменением каждого из них (при фиксированных значениях остальных критериев) влияние на результат агрегирования не зависит от значений остальных крите-

риев [6], В противном случае критерии зависимы. В общем случае критерии также являются зависимыми.

Для отражения экспертных знаний о зависимостях между критериями используются понятия нечёткой меры и нечёткого интеграла [7,8].

Определение 2 Нечёткая (дискретная) мера есть

функция у/ : 27 —> [0,1], где 2'} - множество всех подмножеств множества индексов критериев У — {1,..., Н), которая удовлетворяет условиям: у/(0) = О, = £>сЯ =><^(Я)•

Будем опускать фигурные скобки, вместо {/}, {/,у} записывая /, I] соответственно. Вместо

обозначения «критерий с индексом / е 3» для краткости будем также употреблять «критерий I».

В общем случае нечёткая мера не является аддитивной, или

у/{р)л-у/{В~)Фу/ф^В) где Д Вс/; £>пБ = 0. Значение меры у/ф) может интерпретироваться как «вес» или «важность» подмножества О множества критериев У.

Пусть йс(7-(г'и у)) . Тогда критерии / и у взаимодействуют положительно (или, следуя терминам теории игр, склонны к кооперации), если локальный вклад критерия у" во всякое подмножество критериев,

содержащее критерий больше, чем локальный вклад критерия у в то же самое подмножество, где критерий / исключён:

у/ф и / и у) - у/ф и 0 > у/(О и у) -у/ф)- (1) Критерии / и у являются независимыми, если имеет место равенство

у/ф и I и у) -у/ф и 0 = у) -^ф). (2)

Критерии / и у взаимодействуют отрицательно (или, следуя терминам теории игр, имеют тенденцию, обратную кооперации), если локальный вклад критерия у во всякое подмножество критериев, содержащее

критерий I, меньше, чем локальный вклад критерия у в то же самое подмножество, где критерий г исключен: у/ф игиД-^фи 0 <у/(£Юу)-у/(£>)' (3) Миго^Ы и Бопес1а [9] предложили следующее определение индекса взаимодействия критериев I и у :

„ (Ы-|Л|-2)!|1)|!Г . (4)

I ПИ Л, 1 и у) - ц,{В и |) - у (Д и Л + у(£>)] •

Этот индекс интерпретируется как взвешенное среднее значение суммарного воздействия, производимого критериями / и у , помещёнными вместе, во всех

рассматриваемых комбинациях, Когда индекс /(?',./) положителен (отрицателен), зависимость между критериями I и у называется положительной (отрицательной).

Индекс взаимодействия среди критериев подмножества в 1997 г. ввёл бгаЫзсИ [8] как естественное обобщение частного случая, когда |2?| = 2 :

Далее рассмотрим три отличающиеся друг от друга вида зависимостей между критериями [10].

Корреляция является самой известной и наиболее интуитивно понятной из зависимостей между критериями. Два критерия г, у е У положительно коррелированны, если эксперт может наблюдать положительную корреляцию между вкладами в результат агрегирования, связанными с критериями г и у соответственно.

Положительная корреляция между критериями тогда будет выражаться неравенством у/(у) < УЧО + УО) • С учётом других комбинаций, если критерии I и у положительно коррелированны, то локальный вклад критерия у в любую комбинацию критериев, содержащую критерий I, строго меньше, чем локальный вклад критерия у в той же самой комбинации, где критерий I исключён, то есть справедливо неравенство (3).

Теперь предположим, что критерии / и у отрицательно коррелированны, тогда у/(г, у) > у/(г) + у (у), с учетом других комбинаций выполняется неравенство (1). В случае, если критерии / и у не коррелированны,

справедливо равенство (2).

Другой тип зависимости - замещение (взаимозависимость) критериев [9]. Рассмотрим снова критерии г и у. Предположим, что эксперт считает, что удовлетворение только одного критерия производит почти тот же эффект, что и удовлетворение обоих.

Здесь важность пары критериев у близка к важности каждого из них в отдельности, даже при наличии других критериев. В этом случае мы наблюдаем, что критерии / и у почти замещаемы или взаимозаменяемы. При этом так же, как и в случае положительной корреляции критериев, выполняется неравенство (3).

И наоборот, эксперт может требовать, что удовлетворение только одного критерия может произвести очень слабый эффект по сравнению с удовлетворением обоих. Тогда можно говорить об их взаимозависимости, моделируемой нечёткой мерой у/ так, что выполняется

неравенство (1).

Заметим, что в отличие от явления корреляции критериев, замещение и взаимозависимость между критериями не могут быть обнаружены путем статистических наблюдений. Они только представляют мнение эксперта о зависимости между важностями критериев, независимо от вкладов этих критериев в результат агрегирования,

Предпочтительная зависимость критериев и её противоположность - предпочтительная независимость -хорошо известны в теории полезности [6]. Предположим,

что предпочтения эксперта на множестве реализаций критериев А известны и выражены отношением нестрогого порядка, Обозначим g£) реализацию критериев gi, где /е/), обозначим gJ_D реализацию критериев g¡, где геЗ-V.

Определение 3 Подмножество критериев В аЗ называется предпочтительно независимым от подмножества J — D, тогда и только тогда, когда для каждой пары реализаций критериев , из

(%D>£J-D)t.(%'D,%J-D) для некоторой реализации слеДУет Аля всех реа-

лизаций g/_¿), где означает отношение предпочтения (нестрогого порядка) на А. В противном случае подмножество критериев В с: 3 является предпочтительно зависимым от подмножества 3 - /),

Нечёткий интеграл Шоке (СИоцие!) [7], введённый в 1974 г. Бидепо на основе неаддитивных мер Шоке [11], используется в качестве оператора агрегирования, позволяющего отражать знания эксперта о зависимостях между критериями посредством выбора значений соответствующих параметров. Его использование для построения операторов агрегирования зависимых критериев рассмотрено в [9,12]. В частности, предпочтительная независимость критериев, моделируемая с использованием интеграла Шоке, рассматривается в [12].

Определение 4 Нечёткий (дискретный) интеграл Шоке от критериев g1,..., gн по нечёткой мере

у/ е ^ определяется выражением

н

Л=1

где (*) означает перестановку индексов в У такую, что — ••• - Х(Н)» 4л) = {(Л),..., (Я)} и

\н+1) = ^ •

Интеграл Шоке обладает следующими свойствами

[71:

• Удовлетворение граничных СЯ„(0,..., 0) = 0, СЯД1,..., 1) = 1;

• Неубывание:

(я;

gн)< й);

• Идемпотентность:

Я, = £2 = = ОТ, =

Из этих свойств следует, что интеграл Шоке соответствует принятому нами определению оператора агрегирования. Для отражения при агрегировании эксперт-

ных знаний о зависимостях между критериями необходимо задать нечёткую меру у/.

Нечёткую меру можно представить единственным способом [7] так, что = ^ а(В), где

Сс/; а(О) есть функция множества на 3, которая в комбинаторике называется функцией Мёбиуса по у/ и выражается формулой [13]:

аф) = £ (-1)Ж%(£>), где в с 3. Не всякий

Ос 6"

набор 2я коэффициентов я(£>) может представлять нечёткую меру у/, должны выполняться граничные условия и условие монотонности:

а(0) = 0; ]►>(£>) = 1;

(6)

П: /ейсб

Нечёткая мера у/ аддитивна, если у/ф) + у/{В) = \1/(риВ),где Д1)п5 = 0.В этом случае для её задания нужно задать Я значений весов: у/{Н). В общем же случае необхо-

димо задавать 2я значений весов, соответствующих

2 я подмножеств множества 3.

Очевидно, что даже при относительно небольшом

числе критериев Н = \з\ эксперт не способен выдать

такое количество информации. Кроме того, значение величин у/ф) не всегда ясно для эксперта. Во многих случаях эксперт способен судить о важности отдельных критериев, пар критериев, но не о важности подмножеств критериев, состоящих из большего их числа. И обратно, если нечёткая мера задана, эксперт не в состоянии судить о её значениях в терминах своей предметной области,

Для того чтобы преодолеть проблему формализации знаний эксперта при большом количестве значений

весов (2я), бгаЫзсЬ предложил концепцию нечёткой условий: меры £. го ПОрЯДКа £ < |У| = Я [8]. Суть этой концепции заключается в том, что для упрощения задания нечётких мер из рассмотрения исключаются зависимости между более чем к - критериями.

Рассмотрим случай 2-го порядка, который, в соответствии с приведенными выше соображениями, наиболее интересен с практической точки зрения, Действи-

Я! _#(# + !)

тельно, только

Н + Сгн=Н+-

2!(Я -2)! 2 коэффициентов необходимо в этом случае для определения значения нечёткой меры, а именно:

1/(0 = а(i), i€ J; y/(ij) = ail) + a(j) + ci(ij), {i,j}œ3. Остальные коэффициенты тогда [8]:

ieO {'J)QD i«D

Заметим, что случай второго порядка эквивалентен принятию того, что индекс взаимодействия I (В) равен

нулю для подмножеств, состоящих хотя бы из трех элементов. В этом случае интеграл Шоке примет вид [12]:

iej

Индекс взаимодействия между критериями / и у: I(i,j) = a(ij), {/,у'}еУ, Заметим также, что а(г) е [ОД] для всех у е J, I(i,j) е [-1,1] для всех (г,у} е У [12]. Окончательно в этом контексте условия (6) для коэффициентов а(0), a(i), a(i,j), ({i,j}ej), определяющих нечёткую меру, принимают вид [8]:

а(0) = 0; 2>(0+ X *G0 = 1

ieJ {i,j}cJ

a(i) > 0 Vi е J (9)

a(i) + £ a{ij) > 0, Vi e J, Vi) с У - {/} •

yeD

Вернёмся к рассмотренным ранее зависимостям между критериями для случая модели 2-го порядка.

Пусть Z)c;(/-(iuу')), тогда на основании (11) мы

можем записать выражения для нечёткой меры 2-го порядка соответствующих подмножеств:

у(В)=^а(р) + X (Щ

peD {p,q}c.D

/>s=Z) {p,q}c,D p&D

(13)

J^a{p) + £ «(/><?) + £ «(/"')"<-£ «(дО +«(0 + «О')+«(У)•

pv-D 1р.<})£й peD p*D

В случае, если критерии i и у положительно коррелированны, выполняется неравенство (3); подставляя в него выражения (10), (11), (12), (13), получим:

^а(рЛ + аи) + а(д)<^а(рЛ+а(Л ^ «G0< 0.(14)

ре. D pzD

Следовательно, для отражения положительной корреляции критериев i и у в случае модели второго порядка достаточно задать индекс взаимодействия I(ij) = a(ij) < 0, не принимая во внимание остальные критерии и зависимости.

В случае отрицательной корреляции критериев i и у индекс их взаимодействия положим I(ij) > 0 , что аналогично (14) будет отражать неравенство (1),

Если критерии не коррелированны, то справедливо следующее выражение:

X a(PJ') + а(Л + = Z +aU) =>

peD peD

Hü) = о.

Случай замещения критериев \ и } характеризуется неравенством (3), а взаимозависимости (1) соответственно. Будем полагать, что в случае, если эксперт считает, что критерии / и у замещаемы (взаимозависимы), он не будет одновременно учитывать в модели их положительную или отрицательную корреляцию. Действительно, положительная (отрицательная) корреляция критериев выявляются на основании статистических наблюдений эксперта, в то время как замещение (взаимодействие) есть не что иное, как его мнение относительно необходимости удовлетворения этих критериев, которое имеет больший приоритет при выборе значения результата агрегирования.

Теперь мы подошли к трудной задаче: как с помощью нечёткой меры выразить предпочтительную зависимость или независимость критериев. С началом использования нечётких мер и интегралов для построения операторов агрегирования подразумевалось, что неаддитивность нечёткой меры должна позволять моделировать предпочтительную зависимость критериев. Однако до сих пор не разработан аппарат, позволяющий делать это строго формально, слабо изучено само явление предпочтительной зависимости критериев. МигоМ и Зидепо [12] доказали следующую теорему:

Теорема 1 Пусть gl9...i множество критериев. Обозначим gJ_{i) реализацию критериев gj, где у е 3 - {/}. Здесь gt называется неотъемлемым критерием, если 3 gi,g'¡ такие, что

0гРаничим множество операторов агрегирования операторами на основе интеграла Шоке, т.е. gя) = Cffw(gl,..., 8н). То-

гда, если мы имеем хотя бы три неотъемлемых критерия, то следующие утверждения эквивалентны:

1. критерии gl,..., gн взаимно предпочтительно

независимы;

2. нечёткая мера у/ аддитивна.

Таким образом, предпочтительную зависимость (независимость) критериев будем отражать с использованием интеграла Шоке 2-го порядка с помощью нечёткой меры на основе индексов взаимодействия критериев (корреляция и замещение), а также частичного порядка на множестве реализаций критериев А (обучающей выборки).

В настоящее время известны применения интеграла Шоке в качестве оператора агрегирования в некоторых практических приложениях [14-16]. В частности, в [14] рассматривается система выбора оптимального программного интерфейса, в [15] описана система распознавания речи, в [16] приведено описание системы навигации для пешеходов с применением интеграла Шоке.

Более широкому применению этого инструмента мешает его слабое интуитивное понимание многими

практическими специалистами. Для преодоления этого обстоятельства можно использовать механизм визуализации, сопоставив интегралу Шоке какой-либо хорошо известный физический объект.

Автор предлагает метод визуализации построения оператора агрегирования на основе интеграла Шоке 2-го порядка. Этот метод базируется на идее метафоры баланса [17]. Эта идея заключается в установлении соответствия между реальным объектом, в отношении которого хорошо развито естественное интуитивное представление, и математическим объектом - оператором агрегирования. В качестве такого реального объекта выступает рычаг, который закрепляется в точке опоры пружиной с постоянным коэффициентом жёсткости, равным единице (Рис, 1). На рычаг устанавливаются грузы, которые соответствуют важности или «весам» критериев. В [17] рассмотрено семейство операторов агрегирования, которые можно строить на основе метафоры баланса. Интеграл Шоке не входит в это семейство, Чтобы построить механизм визуализации интеграла Шоке 2-го порядка на основе метафоры баланса, модифицируем метафору баланса.

Для того, чтобы можно было учитывать взаимодействие критериев в случае модели 2-го порядка, необходимо отразить в метафоре баланса влияние индексов взаимодействия критериев /(//) на результат агрегирования. Область значений этих индексов - интервал [-

1Д].

Исходя из этой области значений, для шкалы рычага выберем интервал [-1,1]. В качестве нейтрального элемента на шкале рычага (или места его крепления) выберем 0. В неотрицательной области шкалы рычага будем откладывать значения критериев ^ gп, сопоставляя им веса В отрицательной области шкалы рычага будем откладывать значения

тт(£.,£.), сопоставленные весам |/({/)|, в случае, если 1{у) < 0. В случае, если индекс взаимодействия критериев /((/)> 0, к весу критерия

будем прибавлять значение

На рис. 1 изображено описанное выше построение баланса для случая двух критериев, индекс взаимодействия 7(1,2) которых отрицателен. Запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение баланса для случая, изображенного на рис. 1,

Очевидно, что увеличение числа критериев не приведет к изменениям в структуре баланса, запишем соответствующее уравнение:

н

Й=1

Это выражение эквивалентно интегралу Шоке второго порядка,

Рассмотрим теперь качественно моделирование зависимостей между критериями с помощью предложенного механизма визуализации и соответствующего оператора агрегирования. В соответствии со шкалой агрегирования (рис. 1), будем называть момент вращения рычага, направленный против часовой стрелки, отрицательным, а направленный по часовой стрелке - положительным.

В случае положительной корреляции критериев или их замещения будем отображать при построении баланса их отрицательное взаимодействие, моделируемое неравенством (3).

В отрицательной области шкалы рычага при этом

будет расположен груз |/(?)')| на расстоянии от нулевой отметки.

Рис. 1. Визуализация интеграла Шоке на основе метафоры баланса

На рычаг будет действовать отрицательный момент вращения, обусловленный значениями I(ij) <0 и

min(g.,g-y). При этом суммарный положительный

момент вращения, обусловленный грузами y/(i) и

y/(j)i расположенными на расстояниях g. и g. от

нулевой отметки, будет частично компенсироваться отрицательным моментом I(ij) mm(g;,gy).

В случае отрицательной корреляции критериев i и j или их взаимозависимости индекс их взаимодействия положим /(г>) > 0, что будет отражать неравенство (1). На рычаг будет действовать положительный момент вращения, обусловленный значениями I(ij) >0 и

mm(gi ,gj). При этом суммарный положительный момент вращения, обусловленный грузами и расположенными на расстояниях g. и g . от нулевой отметки, будет усиливаться положительным моментом /(//) min(gi9gj).

Если критерии не коррелированны, а также не являются замещаемыми или взаимозависимыми, то I(ij) = 0 и мы можем наблюдать агрегирование независимых критериев, В этом случае положение рычага будет обусловлено действием положительных моментов

Si V(i) и gj yf(J).

В соответствии с теоремой 1 в случае предпочтительной независимости критериев положение рычага будет также обусловлено только действием положительных моментов g. у/{г) и g. y/(j).

Предложенный метод визуализации позволит разработчикам практических приложений иметь интуитивное видение построения операторов агрегирования на основе интеграла Шоке 2-го порядка. Применение этого метода также облегчит задачу обучения эксперта формализации знаний в его предметной области посредством относительно нового аппарата нечётких мер и интегралов.

Библиографический список

1. Grabisch М., Orlovski S., Yager R. Fuzzy Aggregation of numerical Preferences, In R, Slowinski, editor, Fuzzy Sets in Decision Analysis, Operations Research and Statistics, Kluwer Academic, 1998, 43 p.

2. Беленький А.Г. Выбор шкал и операторов агрегирования при построении нечётких интеллектуальных информационно-управляющих систем. -М.: МЭИ, 1999. 50 с.

3. Ovchinnikov, S., On Robust Aggregation Procedures, Aggregation Operators for Fusion under Fuzziness. Bouchon-Meunier B. (eds.), 1998, pp. 3-10.

4. Mayor, G. and Trillas E., On the representation of some Aggregation functions, Proceeding of ISMVL, 1986, pp. 111-114.

5. Mesiar R. and KomornOkova M., Aggregation Operators, Proceeding of the XI Conference on applied Mathematics PRIM' 96, Herceg D., Surla K. (eds.), Institute of Mathematics, Novi Sad, 1997, pp. 193-211.

6. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. -М.:Мир, 1991,- 464 с.

7. М. Sugeno, Theory of fuzzy integrals and its applications, Ph.D. Thesis, Tokyo Institute of Technology, Tokyo, 1974, 237 p.

8. M. Grabisch, k-order additive discrete fuzzy measures and their representation, Fuzzy Sets & Systems 92, 1997, pp. 167-189.

9. T. Murofushi and S. Soneda, Techniques for reading fuzzy measures (III): interaction index, in: 9th Fuzzy System Symposium, Sapporo, Japan, May 1993, pp. 693-696.

10. P. Wakker. A behavioral foundation for fuzzy measures. Fuzzy sets & Systems, 37, 1990, pp. 327-350.

11. G. Choquet. Theory of capacities. Annales de I'lnstitut Fourier, 5, 1953, pp. 131-295.

12. T. Murofushi, M. Sugeno Non-additivity of fuzzy mesures representing preferential dependence, 2nd Int. Conf. On Fuzzy Systems and Newral Networks, lizuka, Japan, July, 1992, pp. 617-620.

13. Стенли P. Перечислительная комбинаторика,- M.: Мир, 1990. -440 с.

14. М. Sicilia, Е. Garsia, Т. Calvo An Inquiry-Based Method for Choquet Integral-Based Aggregation of Interface Usability Parameters RepDblica Checa Kybemetica, 39(5), 2003, pp. 601-614.

15. T. Pham, M. Wagner, Similarity normalization for speaker verification by fuzzy fusion, The Journal of the Pattern Recognition Society 33, 2000, pp. 309-315.

16. Y. Akasaka and T. Onisawa, Pedestrian Navigation Reflecting Individual Preference for Route Selection -Evaluation on Fitness of Individual Preference Model-, Journal of Japan Society for Fuzzy Theory and Intelligent Informatics, Vol. 18, No. 6, 2006, pp. 900-910.

17. M. Detyniecki and B. Bouchon-Meunier, Building an Aggregation Operator with a Balance, Proceedings of the International Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems, Madrid, Spain, July 2000, pp. 686-692.

Статья принята к публикации 21,03.07