CC BY
82
УДК 681.5.015.3:677.21.022.2
ОПЕРАТОРЫ АГРЕГИРОВАНИЯ В НЕЧЕТКИХ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРОИЗВОДСТВ ПРОТЯЖЕННЫХ ИЗДЕЛИЙ
С.А. Сакулин
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: интеграл Шоке 2-го порядка; нечеткая диагностическая модель; оператор агрегирования; производство протяженных изделий; теория нечетких мер.
Аннотация: Рассмотрен класс нечетких диагностических моделей на основе операторов агрегирования в применении к технологическим процессам производств протяженных изделий. Рассмотрены операторы агрегирования, получаемые с использованием теории нечетких мер и интеграла Шоке. Получен общий вид оператора агрегирования для рассмотренного класса нечетких диагностических моделей. Предложен метод визуализации для оператора агрегирования на основе интеграла Шоке 2-го порядка.
В металлургии, текстильном, кабельном и резинотехническом производствах наиболее массовыми являются изделия, которые можно объединить под названием «протяженные изделия». К производствам протяженных изделий относятся прядильные, прокатные и трубопрокатные, кабельные, проволочные, производства профилированных резиновых изделий, корда, а также слоистых, импрегниро-ванных изделий из различных материалов, производство оптоволокна и некоторые другие [1-4].
Обозначим 2^ (?) диагностический параметр технологического процесса, где И = 1,...,Н , Н - количество диагностических параметров; ? - время; техническим состоянием z(t) процесса в момент времени ? назовем набор значений параметров г!(/),..., 2н (?), определяющий характер его протекания. Обозначим О множество всех возможных состояний z(t) процесса, которые могут иметь место
во время его протекания. Обозначим £!,..., ^ нечеткие подмножества множества
О , называемые также нечеткими классами технических состояний. Функцию принадлежности состояния z(t) классу обозначим )).
В статье [5] показано, что диагностические модели технологических процессов производств протяженных изделий удобно строить на основе диагностических параметров, полученных путем преобразований зависимостей непосредственно измеряемых параметров продукции от времени, а также на основе систем нечеткого вывода, базирующихся на правилах вида:
Пк : ЕСЛИ (в! есть яЦ) И (Р2 есть ) И,..., И (Рн есть ЯЭк),
ТО (ак есть "истина") ИНАЧЕ (ак есть "ложь"), (1)
где ри - лингвистическая переменная, соответствующая параметру (?);
ЯЭ£ е Я(Ри) - эталонный терм лингвистической переменной Ри для к-го класса
состояний; ак - лингвистическая переменная, соответствующая истинности высказывания о принадлежности технического состояния z(?) классу З%к . Терм-множество Я(ак) = {ложь, истина}; Хк(О - четкое значение переменной ак , полученное в результате нечеткого вывода [6]. Тогда степень принадлежности состояния z(t) классу З%к
Ц,§к Ш) = Хк (?). (2)
При этом количество правил Пк равно количеству классов З%к .
Рассмотрим основанную на правилах вида (1) систему нечеткого вывода, работа которой состоит в выполнении следующих действий:
- фаззификация фактических значений входных переменных (диагностических параметров), аналогичная фаззификации, применяемой в традиционных системах нечеткого вывода [6];
- агрегирование полученных значений истинности предпосылок каждого из правил вида (1) при помощи операторов агрегирования числовых критериев, параметры которых настраиваются в соответствии с предпочтениями эксперта.
Основным элементом таких систем являются операторы агрегирования, использование которых позволит отразить различные предпочтения эксперта, не учитывающиеся при использовании традиционных систем нечеткого вывода, а также исключить из рассмотрения переменные истинности а^,..., а к . В соответствии с (2) мы можем записать
m,§k (z(t)) = AGGk
Ч( R%)(-1<')) 4 ()(-H (,)>
(3)
где АООк - оператор агрегирования числовых критериев. В качестве числовых критериев выступают степени истинности предпосылок правил Пк .
Для каждого класса технических состояний оператор АООк будет уникальным и должен определяться экспертом. От выбора операторов АООк, а также их параметров во многом зависит адекватность диагностической модели. Поэтому исследование различных классов операторов агрегирования, формирование рекомендаций по выбору оператора и способам задания его параметров являются актуальной проблемой.
В соответствии с [7] оператор агрегирования АООк определяется следующим образом (для упрощения обозначений введем =М- р/ э \(2И (Т))).
ТИ (ЯИк) н
Определение 1. Оператор АООк есть функция [0,1] ® [0,1], удовлетво-
ряющая следующим условиям:
- идентичность в случае унарности: Н = 1 ^ АООк
- граничные условия: АООк [0,..., 0] = 0; АООк [1, . ,1] = 1
k
gH
- неубывание: (Я1к,..., gH )< (glk,..., ёН ) ^ АООк [8\ ,..., ёН ] <
< АООк [Е1к,...,ёНк ] ■
Дополнительные условия, накладываемые на оператор, будут добавляться к перечисленным, и соответствовать предпочтениям эксперта.
В [5] предложен метод вычисления степени сходства эталонного и измеренного отношений лингвистических переменных Ри . Запишем эквивалентный этому методу оператор агрегирования
AGGk [ gf,..., gH ] = sign
П gh X whgh . (4)
Для задаваемого экспертом подмножества индексов Jк с 3 = {1,...,Н} справедливо И е 3к, ёИ = 0 ^ АООк [ё\ ,...,ёН ] = 0, что выражается знаком произведения ^ ёи . Другими словами, на некоторые из критериев ,...,ёН экспертом
Ие3к
при оценке соответствия состояния классу З%к накладывается ограничение в виде
необходимого превышения порогового значения ДИ = 0 истинности соответствующих предпосылок правила Пк.
Оператор (4) представляет собой взвешенное среднее арифметическое с ограничениями. Согласно [8] такой оператор применим только в случае допущения независимости соответствующих критериев.
Моделирование экспертных знаний, касающихся зависимостей между критериями, часто остается вопросом, которому не уделяют внимания при построении операторов агрегирования. Решение этого вопроса позволит избежать некоторых приведенных ниже противоречий между нечеткой диагностической моделью и возможными предпочтениями эксперта. Для отражения знаний о зависимостях между критериями была предложена и разрабатывается поныне теория нечетких мер и интегралов [9-11, 15].
Определение 2. Нечеткая (дискретная) мера есть функция у: 23 ® [0,1], где
23 - множество всех подмножеств множества индексов критериев 3 = {1,...,Н} , которое удовлетворяет следующим условиям: у(0) = 0, у(3) = 1;
"Б, В с 3 : Б с В ^ у(Б) < у(В) ■
В общем случае нечеткая мера не является аддитивной, или у (Б) + у( В) ^у( Б и В), где Б, В с 3; Б п В = 0 . Значение меры у( Б) может интерпретироваться как «вес» подмножества Б множества критериев 3.
Будем опускать фигурные скобки, вместо {/}, {/, у} записывая /', у соответственно. Вместо обозначения «критерий с индексом / е 3 » для краткости будем также употреблять «критерий /'».
Пусть Б с (3 - (/ и у)). Т огда критерии /' и у взаимодействуют положительно (или, следуя терминам теории игр, склонны к кооперации), если локальный вклад у во всякое подмножество, содержащее /', больше, чем локальный вклад у в то же самое подмножество, где /' исключен
у(Б и I и у) - у(Б и 0 > у(Б и у) - у(Б). (5)
Критерии I и у являются независимыми, если имеет место равенство
у (Б и I и у) - у (Б и I) = у (Б и у) - у (Б). (6)
Критерии I и у взаимодействуют отрицательно (или, следуя терминам теории игр, имеют тенденцию, обратную кооперации), если локальный вклад у во всякое подмножество, содержащее I, меньше, чем локальный вклад у в то же самое подмножество, где I исключен
у (Б и I и у) - у (Б и I) < у( Б и у) - у( Б). (7)
Т. Миго:ГшЫ и Б. Бопеёа [10] предложили следующее определение индекса взаимодействия критериев I и у
„ (Ы - |Б| - 2)!|Б|! п
I(I, у) := X ( и^ 1), [у(Б и у) -у(Б и I) -у(Б и у) + у(Б)]. (8)
БС(3-{/,у}) (1') I 1)!
тот индекс интерпретируется как взвешенное среднее значение суммарного воздействия, производимого I и у, помещенными вместе во всех рассматриваемых комбинациях. Когда I(I, у) положителен (отрицателен) зависимость между I и у называется положительной (отрицательной).
Индекс взаимодействия среди критериев подмножества В с 3 в 1997 г. ввел М. ОгаЫзсИ [8] как естественное обобщение частного случая, когда |в| = 2
DcJ -B (l J\ lBl +1)! LcB
(9)
Далее рассмотрим, сопровождая примерами, три отличающихся друг от друга зависимости между критериями [11].
Корреляция является самой известной и наиболее интуитивно понятной из зависимостей между критериями. Два критерия I, у е 3 положительно коррелированны, если эксперт может наблюдать положительную корреляцию между вкладами в результат агрегирования, связанными с критериями I и у соответственно.
В качестве примера рассмотрим задачу оценки степени биения рабочих органов в хлопкопрядильном оборудовании [3, 12]. При этом, согласно экспертным данным, значение 21 неровноты по метровым отрезкам соответствует терму «высокая», значение 22 общей неровноты продукта - терму «средняя», а значение 23 максимальной амплитуды гармоники - терму «высокая». Предположим, что оператор (4) используется для оценки соответствия технического состояния неисправности, характеризующейся биением рабочих органов; третий критерий соответствия более важен, чем первые два, так что их веса будут 0,3; 0,3; 0,4 соответственно. Ясно, что первые два критерия положительно коррелированны, поскольку биение рабочих органов характеризуется относительно большой амплитудой гармоники и обычно вызывает повышенные значения неровноты по метровым отрезкам и некоторое повышение общей неровноты продукта [3].
Таким образом, эти два критерия представляют некоторую избыточность для принятия решения о принадлежности состояния классу, соответствующему состояниям биения рабочих органов. При оценке состояния процесса с помощью оператора (4) с равными между собой весовыми коэффициентами этих критериев результат агрегирования будет несколько завышен для процесса, у которого наблюдается повышенное соответствие значений диагностических параметров приведенным термам.
то нежелательное явление может быть преодолено использованием нечеткой меры. Положительная корреляция между критериями тогда будет выражаться неравенством у (у) <у(!) + у( у). С учетом других комбинаций, если I и у положительно коррелированны, то локальный вклад у в любую комбинацию критериев, содержащую I, строго меньше, чем локальный вклад у в той же самой комбинации, где I исключен, то есть справедливо неравенство (7).
Теперь предположим, что критерии I и у отрицательно коррелированны, тогда у(/,у) > у(!) + у(у), с учетом других комбинаций выполняется неравенство (5). В случае равенства критерии I и у не коррелированны и справедливо равенство (6).
Другой тип зависимости - замещение (взаимозависимость) критериев [10]. Рассмотрим снова критерии I и у. Предположим, что эксперт считает, что удовлетворение только одного критерия производит почти тот же эффект, что и удовлетворение обоих. Например, для выделения второго сорта прядильного полуфабриката, наряду с удовлетворением других критериев, достаточно, чтобы продукт был неравномерным по толщине на длинных или на коротких отрезках.
Ясно, что такое мнение эксперта не может быть выражено взвешенным средним арифметическим (оператором агрегирования критериев). Здесь важность пары критериев I] близка к важности каждого из них в отдельности, даже при наличии других критериев. В этом случае мы наблюдаем, что критерии I и у почти замещаемы или взаимозаменяемы. При этом так же, как и в случае положительной корреляции критериев, выполняется неравенство (7).
И наоборот, эксперт может требовать, что удовлетворение только одного критерия может произвести очень слабый эффект по сравнению с удовлетворением обоих. Тогда можно говорить об их взаимозависимости, моделируемой нечеткой мерой у так, что выполняется неравенство (5).
Заметим, что в отличие от явления корреляции критериев, замещение и взаимозависимость между критериями не могут быть обнаружены путем статистических наблюдений. Они только представляют мнение эксперта о зависимости между важностями критериев, независимо от вкладов этих критериев в результат агрегирования.
Последний тип зависимости критериев, который мы рассмотрим, это предпочтительная зависимость и ее противоположность - предпочтительная независимость, известные из теории полезности [13]. Предположим, что предпочтения эксперта на множестве реализаций критериев А известны и выражены отношением нестрогого порядка. Обозначим §б реализацию критериев gI, где I е Б, обозначим gJ-б реализацию критериев gI, где I е 3 - Б .
Определение 3. Подмножество Б с 3 критериев называется предпочтительно независимым от 3 - Б , тогда и только тогда, когда для каждой пары реализаций критериев gБ , §Б из (§б , §3 -б )Ь(§Б, §3-Б) для некоторой реализации gJ-Б следует (ёБ, §3 -Б )Ь(§Б, §3-Б) для всех реализаций §3-Б , где ь означает отношение предпочтения (нестрогого порядка) на А. В противном случае подмножество Б с 3 является предпочтительно зависимым от 3 - Б ■
Полный набор критериев 3 называется сепарабельным (или взаимно предпочтительно независимым), если Б предпочтительно независимо от 3 - Б для каждого Б с 3 .
Известно [13], что сепарабельность множества критериев - необходимое, но не достаточное условие для аддитивности оператора агрегирования в форме
Н
АОО[ ё1,..., ён ] = иИ (8к), где функции Ии (ёИ) определены до положительного
И=1
линейного преобразования. Другими словами, если некоторые критерии предпочтительно зависимы от других, то никакой аддитивный оператор агрегирования не
может отразить предпочтения эксперта. В частности, в этом случае также невозможно использование взвешенного среднего арифметического (4).
Нечеткий интеграл Шоке (Choquet), введенный в 1974 г. [9] на основе неаддитивных мер Шоке, является обобщением взвешенного среднего арифметического для случая зависимых критериев. Его использование для построения операторов агрегирования зависимых критериев рассмотрено в [10, 15]. В частности, предпочтительная независимость критериев, моделируемая с использованием интеграла Шоке, рассматривается в [15].
Определение 4. Нечеткий (дискретный) интеграл Шоке от критериев ё1,..., ён по нечеткой мере уе ¥3 определяется следующим выражением
Н
СНу (ё1,...,ёН ) := Xё(й)[у(А(й))-у(А(И+1))] ,
И=1
где (*) означает перестановку индексов в 3 такую, что Хф <... < Х(н);
А,И) = {(И),...,(Н)} и А(Н +1) = 0.
Интеграл Шоке обладает следующими свойствами [9]:
- удовлетворение граничных условий: СНу(0,...,0) = 0, СНу(1,...,1) = 1;
- неубывание: (gl,..., ён )<( g1,..., ёН) ^ СНу( gl,..., ён )<
< сНу (ё1,..., ёН);
- идемпотентность: ё1 = ё2 =... = ёР = ё ^ СНу (ёь...,ён) = ё ;
-тп(ё^.^ён) < СНу (ёь..^ён) < тах(gl,...,ён) ■
Из этих свойств следует, что интеграл Шоке соответствует принятому нами определению оператора агрегирования. Для того чтобы его можно было использовать в качестве оператора агрегирования в нечеткой диагностической модели технологического процесса, необходимо задать нечеткую меру у. Нечеткую меру можно представить единственным способом так, что у(О) = X а(Б), где
БсО
О с 3; а(Б) - функция множества на 3, которая в комбинаторике называется функцией Мебиуса по у [14] и выражается формулой
а (Б) = X (-1)1 °1 1Б1 у(Б), где О с 3 . Не всякий набор 2Н коэффициентов
БсО
а(Б) может представлять нечеткую меру у, должны выполняться граничные условия и условие монотонности [11]:
' а(0) = 0; X а(Б) = 1;
• ^ (10) X а(Б) > 0, "О с 3, "I е О.
Б:еБ^О
Нечеткая мера у аддитивна, если у( Б) + у(В) = у(Б и В), где Б, В с 3; Б п В = 0 . В этом случае для ее задания нужно иметь Н значений вен
сов у(1),..., у(Н). В общем же случае необходимо задавать 2 значений весов,
~Н 7
соответствующих 2 подмножеств множества J.
Очевидно, что даже при относительно небольшом числе критериев Н = Л эксперт не способен выдать такое количество информации. Кроме того, значение величин у(Б) не всегда ясно для эксперта. Во многих случаях эксперт способен судить о важности отдельных критериев, пар критериев, но не о важности подмножеств критериев, состоящих из большего их числа. И обратно, если нечеткая мера задана, эксперт не в состоянии судить о ее значениях в терминах своей предметной области.
Для того чтобы преодолеть проблему формализации знаний эксперта при
Н
большом количестве значений весов (2 ) М. ОгаЫзЛ предложил концепцию нечеткой меры п-го порядка, п < Л = Н [8]. Суть этой концепции заключается в
том, что для упрощения задания нечетких мер из рассмотрения исключаются зависимости между более чем п критериями.
Рассмотрим случай 2-го порядка, который, в соответствии с приведенными выше соображениями, наиболее интересен с практической точки зрения. Действи-
2 Н! Н (Н +1)
тельно, только Н + Сн = Н + ~ “---- коэффициентов необходимо в
этом случае для определения значения нечеткой меры, а именно: у(!) = а(I),
I е 3; у(Ц) = а(I) + а(]) + а(у), {I, ]} с 3 . Тогда остальные коэффициенты:
у( Б) = X а(() + X а(г]) = X у(]) - (1 Б1- 2) X у(0, Б с 3, |Б| > 2. (11)
геБ {КЛсБ {I, ]}С Б еБ
Заметим, что случай второго порядка эквивалентен принятию того, что индекс взаимодействия равен нулю для подмножеств, состоящих хотя бы из трех элементов. В этом случае интеграл Шоке примет вид [8]
СНу (ён) = X а(0ё, + X аО', ])т1п(ёг, ). (12)
IеJ {I, Лс J
Индекс взаимодействия между критериями I и]:
I(I, ]) = а(]), {I, ]} е 3 .
Заметим также, что а(/) е [0,1] для всех ] е 3 , I(I, ]) е [-1,1] для всех {I,]}е 3 [8]. Окончательно, в этом контексте условия (10) для коэффициентов а(0), а(/), а(!, ]), ({I, ]} е 3), определяющих нечеткую меру, принимают вид:
а(0) = 0;
X а(0 + X а(и') = 1;
IеJ
а(!) > 0, "I е 3;
а(/) + X а(у) > 0, "I е 3, "Б с 3 -{I}. (13)
]еБ
Вернемся к рассмотренным ранее зависимостям между критериями для случая модели 2-го порядка. Пусть Б с (3 - (I и ])), тогда на основании (11) мы можем записать выражения для нечеткой меры 2-го порядка соответствующих подмножеств:
у(Б) = X а(Р) + X а(РФ ; (14)
реБ {р,д}сБ
у(Б и I) = X а( Р) + X а( рч) + X а( рI) +а((); (15)
реБ {р,ч}сБ реБ
у (Б и ]) = X а( р) + X а( рч) + X а( р]) +а(]); (16)
реБ {р,ч}сБ реБ
у (Б и I и ]) = X а( р) + X а( рч) + X а( р/') + X а( р]) +а(I) + а(]) + а(у).
реБ {р,ч}сБ реБ реБ
(17)
В случае, если критерии I и ] положительно коррелированны, выполняется неравенство (7), подставляя в него выражения (14)-(17), получим:
Xа(р) + X а(рч)+X а( р!) + X а( р]) +a(I) + а(]) + а(]) -
реБ {р,ч}сБ реБ реБ
- Xа(р) - X а(рч) - X а(pI) -a(I) <
реБ {р,ч}сБ реБ
< X а(р) + X а(рч) + X а(р]) +а^.^^) - X а(р) - X а(рч) ^
реБ {р,ч}сБ реБ реБ {р,ч}сБ
^ X а(р]) + а^./) + а(]) < X а(р]) +а^.^^) ^ а(у) < 0 . (18)
реБ реБ
Следовательно, для отражения положительной корреляции критериев и ] в случае модели второго порядка достаточно задать индекс взаимодействия I(у) = а(у) < 0 , не принимая во внимание остальные критерии и зависимости.
В случае отрицательной корреляции критериев и ] индекс их взаимодействия положим I(у) > 0 , что, аналогично (18), будет отражать неравенство (5).
Если критерии не коррелированны, то
X а(р]) + а(]) + а( у) = X а(р]) +а(]) ^ I(у) = 0.
реБ реБ
Случай замещения критериев и ] характеризуется неравенством (7), а взаимозависимости - (5) соответственно. Будем полагать, что в случае, если эксперт считает, что критерии и ] замещаемы (взаимозависимы), он не будет одновременно учитывать в модели их положительную или отрицательную корреляцию. Действительно, положительная (отрицательная) корреляция критериев выявляется на основании статистических наблюдений эксперта, в то время как замещение (взаимодействие) есть не что иное, как его мнение относительно необходимости удовлетворения этих критериев, которое имеет больший приоритет при принятии решения о соответствии состояния технологического процесса классу.
Теперь мы подошли к трудной задаче: как с помощью нечеткой меры выразить предпочтительную зависимость или независимость критериев. С началом использования нечетких мер и интегралов для построения операторов агрегирования подразумевалось, что неаддитивность нечеткой меры должна позволять моделировать предпочтительную зависимость критериев. Однако, до сих пор не разработан аппарат, позволяющий делать это строго формально, мало изучено явление предпочтительной зависимости.
Т. МигойшЫ и 8. 8^епо [15] доказали следующую теорему:
Теорема 1. Пусть ё1,...,ён - множество критериев. Обозначим gJ_{■} реализацию критериев ё], где ] е 3 - {I} . Здесь gI называется неотъемлемым критерием, если $ gI, ё' такие, что (gI, gJ_{I}) у (ё', gJ_{I}). Ограничим множество операторов агрегирования операторами на основе интеграла Шоке, т.е. ЛОО(ё1,...,ён) = СНу (ё1,...,ён). Тогда, если мы имеем хотя бы три неотъемлемых критерия, то следующие утверждения эквивалентны:
- критерии ё1,..., ён взаимно предпочтительно независимы;
- нечеткая мера у аддитивна.
Таким образом, предпочтительную зависимость (независимость) критериев будем отражать с использованием интеграла Шоке 2-го порядка с помощью нечеткой меры на основе индексов взаимодействия критериев (корреляция и замещение), а также частичного порядка на множестве реализаций критериев Л (обучающей выборки).
Обратимся теперь к задаче определения коэффициентов в случае взаимодействующих (зависимых) критериев. Нас интересует нахождение нечеткой меры 2-го порядка на базе частичного порядка, построенного на множестве реализаций критериев в соответствии со знаниями эксперта, а также некоторого семантического рассмотрения критериев. Для модели 2-го порядка это нахождение состоит в следующем:
- установление важности критериев на основе частичного порядка в 3, представляющего ряд весов у(0, I е 3 ;
- выявление множества пар коррелированных критериев. Можно установить частичный порядок на множестве пар коррелированных критериев и задать знак взаимодействия для каждой пары. Для этого применим индекс взаимодействия
I(I]) = а(у);
- выявление замещаемых и взаимозависимых критериев. Можно установить частичный порядок на множестве пар замещаемых (взаимозависимых) критериев и задать знак взаимодействия для каждой пары. Для этого также применим индекс взаимодействия I(у) = а(у).
Предположим, что имеется эксперт, который способен судить о весе каждого критерия и о виде взаимодействия каждой пары из них. Действительно, на практике эксперту намного проще задавать веса у(0, I е 3 и индексы взаимодействия
I(у) = а(у), чем определять напрямую значения нечеткой меры. Поэтому важно задать эксперту правильные вопросы, ответы на которые позволят идентифицировать нечеткую меру.
Формально входные данные задачи идентификации нечеткой меры могут быть сформулированы следующим образом:
- множество Л реализаций критериев и множество 3 критериев;
- таблица значений {ё1,..., ён } для каждой реализации критериев;
- частичный порядок на множестве Л (последовательность реализаций);
- частичный порядок на множестве 3 (ранжирование критериев);
- частичный порядок на множестве пар критериев (ранжирование индексов взаимодействия);
- знак взаимодействия каждой пары критериев (I(у) < 0, > 0, = 0).
Все эти данные могут быть сформулированы с помощью системы линейных уравнений и неравенств, включая неизвестные значения нечеткой меры у.
Таким образом, мы получаем задачу с линейными ограничениями, которая может быть формализована с помощью линейной программы.
В настоящее время известны применения интеграла Шоке в качестве оператора агрегирования в некоторых практических приложениях [16, 17]. Однако более широкому применению этого инструмента мешает его слабое интуитивное понимание многими практическими специалистами. Вследствие этого часто делается допущение о независимости критериев и в качестве оператора агрегирования используется взвешенное среднее арифметическое, в то время как критерии агрегирования являются зависимыми.
Автор предлагает метод визуализации построения оператора агрегирования на основе интеграла Шоке 2-го порядка. Этот метод базируется на использовании метафоры баланса.
Идея метафоры баланса [18] состоит в том, чтобы установить соответствие между реальным объектом, в отношении которого хорошо развито естественное интуитивное представление, и математическим объектом - оператором агрегирования. В качестве такого реального объекта выступает рычаг, который закрепляется в точке опоры пружиной с постоянным коэффициентом жесткости, равным единице (рис. 1). На рычаг устанавливаются грузы, которые соответствуют важности или «весам» критериев.
Для того чтобы можно было учитывать взаимодействие критериев в случае модели 2-го порядка, необходимо отразить в метафоре баланса влияние индексов взаимодействия критериев I(у) на результат агрегирования. Область значений этих индексов - интервал [-1, 1].
Исходя из этой области значений, для шкалы рычага выберем интервал [-1, 1]. В качестве нейтрального элемента на шкале рычага (или места его крепления) выберем 0.
В неотрицательной области шкалы рычага будем откладывать значения критериев gl,...,gн , сопоставляя им веса ),...,). В отрицательной области
шкалы рычага будем откладывать значения ш1п (gk, ^), сопоставленные весам
|1 (//)|, в случае, если I(у) < 0 . В случае, если индекс взаимодействия критериев
критерия Ш1П
(gi, gkj ) будем прибавлять
значе-
ние I(j) .
к
-1
I-
0
Рис. 1. Визуализация интеграла Шоке на основе метафоры баланса
На рис. 1 изображено описанное выше построение баланса для случая двух критериев, индекс взаимодействия I (1,2) которых отрицателен.
Запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение баланса для случая, изображенного на рис. 1
хк = 81 у( 81 ) + я2у( 82 ) +1 (1,2)тш (^, ^2).
Очевидно, что увеличение числа критериев не приведет к изменениям в структуре баланса, запишем соответствующее уравнение
н
хк = X8кУ(к) + X 1 (г>')т1п(8^,8к).
к=1 (г,
Это выражение эквивалентно интегралу Шоке второго порядка.
Отразим введение порогового значения Д| = 0 в рамках метафоры баланса
аксиоматически. Для этого будем полагать, что при 8к = 0 , к е Jk на рычаг действует вращающий момент, компенсирующий действие всех остальных грузов так, чтобы при этом по шкале агрегирования рычаг находился на нулевой отмет-
н
X8кУ(к) + X 1(г/)т1п(8г ,8к) .
к=1 (г,}}CJ
ке. Этот момент будет равен -
f л fH л
AGGk kH ,g kG = sign п к gh X gh y(h) + X I(j)min (gi, gkj)
1 h^k J Iv h=G {i,j}CJ J
Аналогично (4) оператор агрегирования в этом случае можно записать в следующем виде
(19)
Рассмотрим теперь качественно моделирование зависимостей между критериями с помощью предложенной метафоры баланса и соответствующего оператора агрегирования. В соответствии со шкалой агрегирования (см. рис. 1), будем называть момент вращения рычага, направленный против часовой стрелки, отрицательным, а направленный по часовой стрелке - положительным.
В случае положительной корреляции критериев или их замещения будем отображать при построении баланса их отрицательное взаимодействие, моделируемое неравенством (7).
В отрицательной области шкалы рычага при этом будет расположен груз кк
|і(у')| на расстоянии тіп(gi ,gj ) от нулевой отметки.
На рычаг будет действовать отрицательный момент вращения, обусловленный значениями I(]) < 0 и тіп(gj,^). При этом суммарный положительный момент вращения, обусловленный грузами у(і) и у(]), расположенными на расстояниях gj и ^ от нулевой отметки, будет частично компенсироваться отри-
цательным моментом I(ij) min (gk, gk).
В случае отрицательной корреляции критериев г и у или их взаимозависимости индекс их взаимодействия положим I(у) > 0 , что будет отражать неравенство (5). На рычаг будет действовать положительный момент вращения, обусловлен-
ный значениями I(у) > 0 и тш(8к,8к). При этом суммарный положительный момент вращения, обусловленный грузами у(г) и у(]), расположенными на расстояниях 8к и 8к от нулевой отметки, будет усиливаться положительным моментом I(у) т1п(8к,8к).
Если критерии не коррелированны, а также не замещаемы и не взаимозависимы, то I (у) = 0, и мы можем наблюдать агрегирование независимых критериев. В этом случае положение рычага будет обусловлено действием положительных моментов 8к у(г) и 8к} ¥(]').
В соответствии с теоремой 1 в случае предпочтительной независимости критериев положение рычага будет также обусловлено только действием положительных моментов 8^ у(г) и 8к- У(]).
Таким образом, мы получили оператор агрегирования критериев (степеней сходства значений диагностических параметров и соответствующих эталонных термов лингвистических переменных), позволяющий формализовать характерные для данной предметной области предпочтения эксперта. Предложенный метод визуализации оператора агрегирования на основе интеграла Шоке 2-го порядка позволит повысить эффективность обучения эксперта формализации знаний в предметной области на основе относительно нового аппарата нечетких мер и интегралов.
Список литературы
1. Коновалов, В.И. Пропиточно-сушильное и клеепромазочное оборудование /
B.И. Коновалов, А.М. Коваль. - М. : Химия, 1989. - 224 с.
2. Оборудование для охлаждения и усадки профилированных резиновых заготовок / В.И. Коновалов [и др.]. - М. : ЦИНТИхимнефтемаш, 1988. - 41 с.
3. Кирюхин, С.М. Контроль и управление качеством текстильных материалов / С.М. Кирюхин, А.Н. Соловьев. - М. : Легкая индустрия, 1977. - 320 с.
4. Григорьян, А.Г. Производство кабелей и проводов с применением пластмасс и резин / А.Г. Григорьян, Д.Н. Дикерман, И.Б. Пешков. - М. : Энергоатомиз-дат, 1992. - 300 с.
5. Сакулин, С.А. Контроль и диагностирование технологических процессов производств протяженных изделий на основе лингвистического подхода /
C. А. Сакулин // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2006. - Т. 12, № 2А. - С. 377-391.
6. Круглов, В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети /
В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. - М. : Изд-во физ.-мат. лит., 2001. - 224 с.
7. Mesiar, R. Aggregation Operators / R. Mesiar, M. Komomikova // Proceeding of the XI Conference on applied Mathematics PRIM' 96 / D. Herceg, K. Surla (eds.). -Institute of Mathematics. - Novi Sad, 1997. - Р. 193-211.
8. Grabisch, M. K-order additive discrete fuzzy measures and their representation / M. Grabisch // Fuzzy Sets & Systems. - 1997. - № 92. - Р. 167-189.
9. Sugeno, М. Theory of fuzzy integrals and its applications: Ph.D. Thesis / M. Sugeno. - Tokyo Institute of Technology. - Tokyo, 1974. - 237 p.
10. Murofushi, T. Techniques for reading fuzzy measures (III): interaction index / T. Murofushi, S. Soneda // 9th Fuzzy System Symposium, Sapporo, Japan. - 1993. -May. - Р. 693-696.
11. Wakker, P. A behavioral foundation for fuzzy measures / P. Wakker // Fuzzy sets & Systems. - 1990. - № 37. - Р. 327-350.
12. Сакулин, С.А. Диагностика технологического процесса получения чесальной ленты на основе анализа сигнала линейной плотности / С.А. Сакулин // Тезисы докладов всероссийской научно-технической конференции «Современные технологии и оборудование текстильной промышленности». - М., 2004. - С. 265.
13. Мулен, Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели /
Э. Мулен. - М. : Мир, 1991. - 464 с.
14. Стенли, Р. Перечислительная комбинаторика / Р. Стенли. - М. : Мир, 1990. - 370 с.
15. Murofushi, T. Non-additivity of fuzzy mesures representing preferential dependence / T. Murofushi, M. Sugeno // 2nd Int. Conf. «On Fuzzy Systems and Newral Networks», Iizuka, Japan. - 1992. - July. - Р. 617-620.
16. Tanaka, K. A Study on Subjective Evaluation of Color Printing Images / K. Tanaka, M. Sugeno // Int. J. Of Approximate Reasoning. - 1991. - № 5. - Р. 213-222.
17. Inoue, K. A study on the industrial design evaluation based upon non-additive measures / K. Inoue, T. Anzai // 7th Fuzzy System Symp., Nagoya, 1991. - June 12-14. -Р. 521-524.
18. Detyniecki, M. Building an Aggregation Operator with a Balance / M. Detyniecki, B. Bouchon-Meunier // Proceedings of the International Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems IPMU'2000, Madrid, Spain. - 2000. - Р. 686-692.
Aggregation Operators in Fuzzy Diagnostic Models of Production Processes of Extended Objects
S.A. Sakulin
Moscow State Technical University after N.E. Bauman
Key words and phrases: Choquet integral of the 2nd order; ambiguous diagnostic model; aggregation operator; extended objects production; theory of fuzzy measures.
Abstract: The set of fuzzy diagnostic models based on the aggregation operators applied to production processes of extended objects is studied. Aggregation operators obtained through the theory of fuzzy measures and Choquet integral are considered. The general form of aggregation operator for the examined set of fuzzy diagnostic models is obtained. The method of visualization for aggregation operator on the basis of Choquet integral of the 2nd order is proposed.
Operatoren der Aggregation in den nicht deutlichen diagnostischen Modellen der technologischen Prozesse der Herstellung der protrahierten Erzeugnisse
Zusammenfassung: Es ist die Klasse der nicht deutlichen diagnostischen Mo-delle aufgrund der Operatoren der Aggregation in der Anwendung zu den technologischen Prozessen der Herstellung der protrahierten Erzeugnisse untersucht. Es sind die
mit der Nutzung der Theorien der nicht deutlichen Mafle und des Schoke-Integrals Operatoren der Aggregation untersucht. Es ist die allgemeine Form des Operators der Aggregation fur die untersuchte Klasse der nicht deutlichen diagnostischen Modelle erhal-ten. Es ist die Methode der Visualisierung fur den Operator der Aggregation aufgrund des Schoke-Integrals der 2. Ordnung angeboten.
Operateurs de l’agregation dans les modeles diagnostiques imprecis des processus technologiques de la production des articles etendus
Resume: Est envisage une serie des modeles diagnostiques imprecis a la base des operateurs de l’agregation appliques pour les processus technologiques de la production des articles etendus. Sont examines les operateurs de l’agregation regus avec l’utilisation de la theorie des mesures imprecises et de l’integrale de Choquet. Est obtenue une vue generale de l’operateur de l’agregation pour l’examen d’une serie des modeles diagnostiques imprecis. Est proposee une methode de la visualisation pour l’operateur de l’agregation a la base de l’integrale de Choquet du deuxieme ordre.
