CC BY
46
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977
М 1
УДК 539.3
К ВОПРОСУ О СНИЖЕНИИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В КОНСТРУКЦИЯХ ИЗ ВЫСОКОПРОЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Приведен метод снижения локальных напряжений в стеночном шпангоуте из высокопрочного материала. Напряжения определены с помощью метода конечных элементов в предположениях теории малых упругопластических деформаций.
Высокопрочные алюминиевые и стальные сплавы, нашедшие широкое применение в авиастроении, обладают, как правило, существенным недостатком — повышенной чувствительностью к концентраторам напряжений. Традиционные методы снижения концентрации напряжений с помощью увеличения радиусов подрезов, »ослабляющих отверстий" и т. д. [1] не всегда осуществимы на практике из-за различных конструктивных или технологических ограничений. Это послужило причиной поиска новых способов борьбы с концентрацией напряжений.
Для исследований выбран метод конечного элемента (МКЭ), который с развитием вычислительной техники широко применяется в проектировочных и проверочных расчетах прочности авиационных конструкций. Теоретические
концепции МКЭ рассмотрены многочисленными советскими и зарубежными авторами (см., например, [2, 3]), поэтому в работе приводятся только основные соотношения, которые использовались при составлении программы расчета
напряженно-деформированного состояния конструкции при упругом и неупругом поведении материала.
1. Разобьем сплошную область V с границей 5 на конечное число подобластей и запишем основные уравнения теории упругости для области V: уравнения равновесия внутри области V
статические граничные условия на границе 5
Ы*=р, (2)
уравнения связи между деформациями и перемещениями внутри области V
£>и = е, (3)
закон Гука
Здесь В и О — дифференциальные операторы; /—вектор массовых сил; N—матрица, коэффициенты которой зависят от ориентации единичного вектора нормали к границе области; р — вектор сил на границе области, отнесенный к единице площади; С — матрица коэффициентов упругости; а и е—напряжения и деформации соответственно; и — вектор перемещений.
Подставляя выражение (3) в (4), получаем (1) и (2) в виде
Н. С. Галкина, В. И. Гришин
(4)
Решение системы уравнений равновесия в частных производных (5) находим из условия стационарности функционала полной потенциальной энергии конструкции
^(м) = / 3^ ат/с(У — ^ ит р(18, (6)
V V 5
который зависит от а [3].
Зададим внутри каждого элемента конструкции поле перемещений в виде
щ = <р Д, (7)
где 8* ~ вектор перемещений узлов элемента; <р/ (х, у) — линейная функция,
и заменим интегрирование в выражении (6) суммированием значений интегралов
в подобластях и/. Применяя условие стационарности функционала
(8)
к выражению (6) и учитывая (7), получим связь между векторами узловых нагрузок /?( и узловых перемещений в виде
[/С/] 8/ = /?;, (9)
где [/<г] — матрица жесткости элемента и/.
Разрешающую систему метода перемещений, устанавливающую связь между вектором узловых перемещений всей конструкции {5} и вектором узловых нагрузок {/?},
[ЛГ] {&} =={/?}, (Ю)
где [/С] —матрица жесткости конструкции,
можно получить либо из выражения (7), варьируя узловыми перемещениями всей области V, либо непосредственным суммированием матриц жесткости элементов (9).
2. При решении задачи за пределом упругости используются гипотезы теории малых упругопластических деформаций [4]. Коэффициенты матрицы жесткости [/С] при этом зависят от перемещений, и выражение (10) становится системой уравнений с переменными коэффициентами
[К(8)]{5}={Я)- (П)
Для решения системы (И) воспользуемся методом переменных параметров упругости [4]. В этом случае решение нелинейной задачи сводится к решению последовательности ряда линейных задач теории упругости с переменными параметрами упругости Е*, б*, ц* на каждом шаге.
Рассмотрим случай плоского напряженного состояния и запишем закон Гука (4) в виде
1
гХ = £* (ах Г1* °у)>
1
£У = £* (ау ~ М'* ах)> (12)
хху
7ху = (5* >
где
ЧЕ . г* ЧЕ * 0,5—Л? , 1—2^ ч
Е -\ + Ц’ ~ 3 - 1 +Х<р ’ 3 ’ £ег ’ (1,5)
оег — значения интенсивности напряжений и деформаций соответственно,
°£ = V°х + °у — ах ау + Зт^,
■-тУ-
(14)
^2 (е* + Е_у) — ех гу + 4 Тху'у здесь
Х-1 = | _____ ; Л2 = 1 + + Х^; Х3 = 3 — 2Х3.
3. Алгоритм решения неупругой задачи следующий:
а) с известными на очередном приближении значениями — Е*,
(!.<*) = ¡х*(£(0) = Е, <3(0)= О, (х(0) = (л) решается упругая задача и определяются значения перемещений из выражения (11);
б) по выражению (14) подсчитываются значения интенсивности деформаций £.(*+1) для каждого элемента;
2 .
в) с помощью соотношений ог=а, е; = —д— (1 +,(*)£ перестраиваем реальную
диаграмму о = а (е), полученную при простом растяжении образца^ в диаграмму 0( = а; (еД ПО которой определяем И ЗЭТвМ + = о*(* + 1)/£'е^+1^
г) для ускорения итерационного процесса значение подправляется на
каждой итерации по формуле верхней релаксации [5]
;*(*+1) = „(А) + ш ((р* (*+о _ ?(*>)_
где значение <о выбирается в пределах 1,4—),6;
д) по формулам (13) подсчитываем параметры Е*, 0*. и возвращаемся к „а‘ до получения удовлетворительного приближения.
Составлена АЛГОЛ-программа решения задач об определении напряженно-деформированного состояния конструкции как в упругой постановке, так и за пределом упругости. В качестве основного конечного элемента принят треугольник с линейным изменением перемещений между узлами. Граничные условия могут быть кинематическими и смешанными, характеристики материала могут меняться внутри области решения.
Итерационный процесс в задачах с аппроксимирующей сеткой, содержащей 200-400 узлов, сходится за 3-10 итераций при отклонении напряжений на 1—2% от стационарного значения при к ->■ оо, где к—число итераций.
С помощью программы решен ряд задач о влиянии пластических вставок на концентрацию напряжений и оценена эффективность их применения.
4. Рассмотрим задачу о растяжении полосы с отверстием, имеющей четыре пластические вставки (фиг. 1). Считаем, что материал пластины — упругий, а материал вставок — упругопластический (фиг. 2, а).
Результаты расчета (фиг. 2, 6) показали, что с ростом нагрузки коэффици-
шах чх
ент концентрации напряжений «„=-------;---- вначале уменьшается (положитель-
9
ный эффект вставок), затем увеличивается за счет перехода максимальных напряжений с контура отверстия на контур наибольшей кривизны в углах вставок.
5. Исследовано напряженное состояние крестовины шпангоута центрального отсека фюзеляжа самолета. Шпангоут, силовая схема которого показана на фиг. 3, а, предварительно был рассчитан с применением крупной аппроксимирующей сетки [6]. Для уточнения напряженного состояния проведен более детальный расчет при кинематических граничных условиях на контуре, полученных из предварительного расчета.
Результаты решения, представленные на фиг. 3, б в виде линий уровня главных напряжений, свидетельствуют о существовании двух локальных зон
повышенных напряжений (140 и 180 даН/мм2). В связи с невозможностью изменения внешних контуров шпангоута был рассмотрен вопрос о снижении напряжений с помощью вставки из материала с повышенной пластичностью [диаграммы материалов шпангоута и вставки (пунктир) показаны на фиг. 3, в]. Благодаря влиянию вставки уровень напряжений в основном материале крестовины снизился до величины, соответствующей упругому участку диаграммы деформации — напряжения (фиг. 3, г).
Авторы приносят благодарность проф. С. И. Галкину за постановку задачи и ценные замечания, сделанные им в процессе выполнения работы.
1. Н е й бер Г. Концентрация напряжений. М., Гостехиздат, 1947.
2. Постнов В. А., Хорхурим И. А. Метод конечного элемента в расчетах судовых конструкций. Ленинград, .Судостроение*, 1974.
3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., „Мир*, 1975.
4. Малинин И. И. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., »Машиностроение", 1975.
5. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., »Мир*, 1969.
6. Г р и ш и н В. И., Донченко В. Ю. Исследование напряженного состояния в шпангоуте центрального отсека фюзеляжа самолета методом конечных элементов. Труды ЦАГИ, вып. 1602, 1974.
б} да И/мм2
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 251/1 1976 г.
