CC BY
6
К вопросу о расчете конструкции призматической балки с многостоечным шпренгелем
А.А. Журавлев, Д.А. Журавлев, Д.А. Корнет Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону
Аннотация: На основании начала наименьшей работы получены теоретические зависимости для определения внутренних усилий в элементах комбинированной системы шпренгельного типа. Проведен анализ результатов расчета шпренгельной балки с четырьмя стойками и выявлена физическая сторона явления изгиба при взаимодействии основной конструкции шпренгельной балки с элементами многостоечного шпренгеля. Ключевые слова: шпренгельная балка, комбинированная система, многостоечный шпренгель, относительный эксцентриситет, потенциальная энергия.
Первые исследования шпренгельных балок проводились профессором R. Wiegmann в 1839 г. в Королевской Академии искусств в Дюссельдорфе [1]. Конструктивная система предварительно напряженных балок шпренгельного типа, использование которых наблюдается в течение последних ста восьмидесяти лет, успешно применяется в строительном деле и в настоящее время. Наибольшее распространение эта конструктивная система получила в покрытиях зданий и сооружений сельскохозяйственного назначения, чему в значительной мере способствовали разработки P. Suhling, проведенные в Германии [2,3]. Шпренгельные балки и несущие конструкции на их основе также хорошо зарекомендовали себя в большепролетных покрытиях и относятся к категории наиболее рациональных систем при усилении эксплуатируемых балочных конструкций.
Проблемам конструирования и расчета комбинированных систем шпренгельного типа посвящены исследования отечественных ученых, среди которых в первую очередь следует выделить работы научной школы проф. М.П. Забродина [4,5]. Из источников зарубежной литературы определенный интерес представляет работа W. Mönck [6], в которой приводится сводка формул для расчета простейших одно- и двухстоечных шпренгельных балок.
Причиной, вынуждающей возвращаться к расчету таких конструкций, является то, что в строительстве комбинированные системы шпренгельного типа пользуются популярностью, главным образом, благодаря их удачному применению в покрытиях общественных зданий и спортивных сооружений
[7].
Наряду с широко распространенным решением, когда шпренгельные балки работают как плоскостные конструкции (рис. 1), особое место занимают пространственные системы регулярной структуры в виде перекрестных шпренгельных балок [8].
Рис. 1. Балки шпренгельного типа в покрытии плавательного бассейна спортивного центра Badria в Вассербург-на-Инне (авторская фотография)
На прилагаемой фотографии (рис. 2) изображены шпренгельные балки, образующие перекрестную систему с ортогональными ячейками, которые размещаются в зоне бассейна размером в двух взаимно
перпендикулярных направлениях. Сечение призматических дощатоклееных балок принято одинаковым и равным 2 х 1 0 х 3 0 с м; сечение стоек 1 6 х 1 6 с м. Тяги выполнены в виде двухветвевых стальных элементов диаметром .
Главная отличительная особенность данного конструктивного решения заключается в применении перекрестной системы шпренгельных балок ортогональной структуры с многостоечными шпренгелями. Шпренгельные балки, укладываемые в поперечном направлении, имеют пять стоек, а число стоек шпренгельных балок продольного направления равно восьми.
Рис. 2. Система перекрестных шпренгельных балок в покрытии здания многофункционального назначения в Кохеле-на-Зее (авторская фотография)
К сожалению, при ознакомлении с опытом возведения описанных двух спортивных сооружений совершенно не раскрываются особенности конструирования и расчета плоскостных и пространственных систем с применением комбинированных конструкций шпренгельного типа, а приведенные интересные иллюстрации носят лишь рекламный характер.
Отсутствие такого материала и побудило авторов статьи детально рассмотреть задачу статического расчета шпренгельной балки с многостоечным шпренгелем, уделив при этом основное внимание как выбору
величины относительного эксцентриситета, так и оценке влияния этого параметра на величину усилий в стойках шпренгельной системы.
Шпренгельными балками принято называть плоскостные системы, состоящие из способных самостоятельно работать под нагрузкой конструкций, которые дополнительно снабжаются устройствами, предназначенными для уменьшения изгибающих моментов в основных элементах.
По установившейся терминологии шпренгель происходит от немецкого слова sprengen - распирать и означает конструктивный элемент в виде незамкнутой стержневой системы треугольной или полигональной формы, присоединяемый к основной конструкции с целью повышения ее несущей способности. Шпренгельные балки относятся к числу статически неопределимых систем. При пролетах основная часть конструкции
шпренгельной балки выполняется преимущественно из клееной древесины, а тяги изготовляются, как правило, из круглой стали.
Рис. 3. Расчетная схема шпренгельной балки с четырьмя стойками
При анализе несущей способности плоскостной комбинированной системы шпренгельного типа, состоящей из основной конструкции в виде призматической дощатоклееной балки и двух пар разновысоких стоек шпренгеля (рис. 3), произведем ее расчет в случае, когда на основную конструкцию действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью ц.
Для определения усилий в стойках Х1 и Х2 воспользуемся началом наименьшей работы [9]. Потенциальную энергию всей системы запишем в виде суммы энергии, накапливаемой в основной конструкции дощатоклееной балки, в стойках шпренгельной системы и тягах:
у = У0 + У± + У2 + У3. Здесь под У0 понимается потенциальная энергия изгиба основного элемента шпренгельной балки, выражение для которой запишется так:
К 2 ЕЛ
о'о
и
2 1[м0-{Х1+Х2) +
йх +
и
+2 I [м0 - (Х1+Х2)а( 1+^-Х,
х
йх +
с-
+ 1 [м0 - (Х1+Х2)а( 1+-Р)-Х2Ь о 1
йх
Для энергии деформации сжатия основного элемента имеем:
I
2Е0¥0 I
а
(Хг + Х2) -
К
йх.
(1)
(2)
Потенциальная энергия, накапливаемая в каждой из пар стоек, определяется следующим образом:
и
V, =
2Е1Р1
I х1 ах +1 х\ ах
,0 о
(3)
Что касается тяг, то для четырех наклонных элементов и одного горизонтального элемента в средней части шпренгельной балки выражение
потенциальной энергии растяжения принимает вид:
Га Ъ
л -. 2
К, =
бш ссг
бш а2
2 Ег¥г
со5 ал
йх + 2
а 1
(Х1+Х2)—~-
% 51па2
с1х
> +
+
с
I
а
(х1+х2)г
с1х.
(4)
В результате дифференцирования выражения для потенциальной энергии комбинированной системы по искомым неизвестным и , получаем:
за
+
51ппл 5е ( е\ У Ь( е\<-3Ь2 / е\ Зе / е\ 9 Ь / е\
а+Ь
+
х2| =
¿-(а+Ь)
= 2 I М0 (х + ^ ах + 2а + ^ I М0 ах + а + ^ I М0 ах, (5)
О а а+Ь
за"
Г 5е / е\ У Ь/ е\2 3Ь2 / е\ 31Л? Зе/ е\ 9 Ь/ е\2 Ь2 / е\ Ъ
+
Хг + 5 Ь3
X, =
и
а+Ь
= 2
С ( ае\ С / ае
}мЛх + н;)ах+2\ мЛх+ъ
ае\
—) с1х +
+
а
Здесь / означает:
11 = 1 +
3 и
+
К)
3 Е I
1-{а+Ъ)
+ ь
I М0 Ах.
а+Ь
2 е0ак( е2е2а2 зт а± соб2 а± 2 е2е:
3 Е010Ь ( 2 \
+ -_ I , 7(1+—1—
\ зт-5 а2)
(6)
(7)
Разберем подробно случай, когда а = Ь = с и / = 5 а. Вводя обозначения « = е / ц* = ца/ 8 и выполняя процедуру интегрирования для каждого из трех слагаемых в правой части уравнений ( 5 ) и ( 6 ) , запишем систему двух линейных уравнений для отыскания усилий Х г и Х2 в виде:
3 /п/ь 3
+
15.
Д + 1 + 02
15.
Д + 1 + 02
+
\1 +
3/0^2 1 .
*! +
*2 = (116 + 1250<Л *! +
*2 = (186 + 12504*
(8)
(9)
При /¿ = 1 и « = 0 , получаем:
11*! + 17*2 = 232^*, 17*1 + 28*2 = 372ц*. Отсюда находим Х± = 1, 1 3 2 ц а и Х2 = 0,9 740ц а. К таким же результатам придем в случае расчета неразрезной пятипролетной балки на жестких опорах, представленной на рис. 4.
и
31
Заметим, что в этом случае в уравнениях (8) и (9) слагаемыми и
^а3
3/0д2 ^а3
мы пренебрегаем в силу малости численных значений этих величин.
Рис. 4. Неразрезная пятипролетная балка Факт выше упомянутого совпадения подтверждается численными значениями реакций в опорных сечениях балки, которые содержатся в следующей сводке формул [10]:
А = ¥ В = Е С = й
0,395 ца; 1,132 ца; 0,974 да;
М1 = 0,0779 ца2 , М2 = 0,0332 ца2 , М3 = 0,0461 да2 .
М1 = -0,1053 да2 , Ми = -0,0789 да2 .
Для создания равномоментной схемы работы основного элемента шпренгельной балки всегда стремятся к тому, чтобы отрицательный момент на опорах был равен положительному моменту посередине пролета. Наибольший момент для концевых участков балки будет
Из условия равновесия следует, что + = 2 q а, и при этом должно быть N = + Х2) — = Момент вследствие эксцентрично
9 в
прикрепленного тяжа в опорном сечении М = 2 qа 2 —. Таким образом,
относительный эксцентриситет получается равным
Рассмотрим ситуацию, когда основной элемент конструкции шпренгельной балки характеризуется следующими данными: = Ъ = с = 3,6 м; Е0 = 100000 кгс/см2; /0 = 45000 см4; ^ = 600 см2.
Площадь поперечного сечения каждой из двух пар деревянных стоек высотой:
Для стальных тяг принимаем: причем углы наклона тяг и
Располагая этими значениями, определим по формуле величину коэффициента . Вычисления дают .
На основании полученных результатов решения системы уравнений (8) и (9) устанавливаем, что обе функции Х1( £) и Х2( £) изменяются фактически по линейному закону на всем интервале параметра в пределах 1/24.
Функция Х1( является убывающей, а Х2( ) постоянно возрастает, причем Х2<Х1. При относительном эксцентриситете £ = 1 / 3 2 действительное значение суммарных усилий в каждой из двух пар стоек получается равным .
Если принять, что балка нагружена равномерной нагрузкой q =
, то будем иметь .
Момент в концевых сечениях балки:
Мй = М, = (^ = - 1 4 3 1 ■ 3 , 6^- = - 1 , 6 1 т н с м.
и
Наибольший отрицательный изгибающий момент в точках С и D основной конструкции шпренгельной балки будет:
М„ = -0,0913 qa2 = -2,37 тнсм.
Для продольной силы сжатия вычисления дают:
N = (Хг + Х2)= 1,987 ■ 2 ■ 3,6^ = 25,75 тнс.
% 2
Гибкость элемента основной конструкции шпренгельной балки в плоскости изгиба будет:
^ = —збо— = 4 1 , 5<7 0.
0,289-30
При этом коэффициент продольного изгиба, определяемый по формуле:
л -2
=1" °'8 (ню)
получается равным .
Для коэффициента , учитывающего влияние продольной силы на величину изгибающего момента при деформации основного элемента, имеем:
« = 1--2-=1--252°_ = О,74.
^ ф^бр^с 0,86-600-195
Тогда наибольшее напряжение в материале призматической балки составит:
N Мп 25750 2370-100 кгс кгс
--1--— =--1--= 43 + 106 = 149-<Я =195-
^ И^ 600 + 3000-0,74 + 14УСМ2< с СМ2
и, следовательно, принятые размеры ее поперечного сечения в полной мере соответствуют заданному уровню интенсивности действующей нагрузки.
Изложенный подход к исследованию действительной работы плоскостной конструкции может быть реализован и для статического расчета перекрестных систем на основе шпренгельных балок. Сложность решения задач применительно к таким пространственным конструкциям регулярной
структуры, разумеется, будет многократно возрастать с увеличением общего числа неизвестных в статически неопределимых системах.
Литература
1. Wiegmann R. Über die Konstruktion von Kettenbrücken nach dem Dreieckssystem und deren Anwendung auf Dachsysteme. Königliche KunstAkademie, Düsseldorf. 1839. s. 27-29.
2. Suhling Р. Entwicklung eines neuen Bindersystems in Holz-StahlBauweise. Bauzeitung, 32, 1978. - s. 657 - 659.
3. Suhling Р. Zur Vorspannug der Sparren von unterspannten Dreigelenkbindern in Holz-Stahl-Bauweise. Suhling. Bauplanung - Bautechnik, 33, 1979. - s. 10 - 15.
4. Забродин М.П., Егоров В.В. Исследование потери устойчивости плоской формы изгиба шпренгельных балок с перфорированной стенкой и комбинированным напряжением. Известие вузов. Строительство и архитектура, №8, Новосибирск, 1984 г. - С. 15-19.
5. Егоров В.В. Развитие конструктивных форм и методов расчета комбинированных систем шпренгельного типа: Автореф. дис. ... докт. техн. наук. - Санкт-Петербург, 2004. - 49 с.
6. Mönck W. Holzbau. Berlin: Verlag für Bauwesen, 1968. - 384 s.
7. Гётц К.-Г., Хоор Д., Мёллер К., Хаттерер Ю. Атлас деревянных конструкций. - М.: Стройиздат, 1985. - 272 с.
8. Егоров В.В., Вьюненко Л.Ф. Расчет несущей способности несущей способности строительных конструкций шпренгельного типа на основе полувероятностной модели. Известия вузов. Строительство. №4. Новосибирск, 2004. - С. 9-16.
9. Тимошенко С.П. Сборник задач по сопротивлению материалов. - М.-Л.: Госиздат. 1931. - 224 с.
10. Hempel G. Freigespannte Holzbinder. Karlsruhe: Bruderverlag, 1959. -
408 s.
References
1. Wiegmann R. Über die Konstruktion von Kettenbrücken nach dem Dreieckssystem und deren Anwendung auf Dachsysteme. Königliche KunstAkademie, Düsseldorf. 1839. s. 27 - 29.
2. Suhling Р. Entwicklung eines neuen Bindersystems in Holz-Stahl-Bauweise. Bauzeitung, 32, 1978. s. 657 - 659.
3. Suhling Р. Zur Vorspannug der Sparren von unterspannten Dreigelenkbindern in Holz-Stahl-Bauweise. Suhling. Bauplanung - Bautechnik, 33, 1979. s. 10 - 15.
4. Zabrodin M.P., Yegorov V.V. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo i arkhitektura, №8, Novosibirsk. 1984. pp. 15-19.
5. Yegorov V.V. Razvitiye konstruktivnykh form i metodov rascheta kombinirovannykh sistem shprengel'nogo tipa. [Development of structural forms and methods for calculating combined trussed systems]: dis. doct. techn. nauk. Sankt-Peterburg, 2004. 49 p.
6. Mönck W. Holzbau. Berlin: Verlag für Bauwesen, 1968. 384 s.
7. Gёtts K.-G., Khoor D., Мё!^ K., Khatterer Yu. Atlas derevyannykh konstruktsiy. [Atlas of wooden structures]. M. Stroyizdat, 1985. 272 p.
8. Egorov V.V., V'yunenko L.F. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo, №4, Novosibirsk. 2004. pp. 9-16.
9. Timoshenko S.P. Sbornik zadach po soprotivleniyu materialov. [Collection of problems on strength of materials]. M., L. Gosizdat. 1931. 224 p.
10. Hempel G. Freigespannte Holzbinder. Karlsruhe: Bruderverlag, 1959. 408 s.
