Научная статья на тему 'К вопросу о наблюдаемости смещения по курсу отсчетных баз БИНС и мультиантенной па GPS'

К вопросу о наблюдаемости смещения по курсу отсчетных баз БИНС и мультиантенной па GPS Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
80
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Научное приборостроение
ВАК
RSCI
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Парр Г. А.

В статье предложено решение задачи калибровки смещения по курсу отсчетных баз бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС) на грубых гироскопах (таких как волоконно-оптические, микромеханические гироскопы) и мультиантенной приемной аппаратуры (ПА) спутниковых навигационных систем (СНС), способной, кроме позиционно-скоростной информации, вырабатывать параметры ориентации. Трудность в решении данной задачи заключается в необходимости разделения смещений по курсу БИНС (α) и ПА СНС (δKs), которые присутствуют в разностных курсовых измерениях. В предложенном методе данная проблема решается путем определения условий движения объекта, в которых погрешность α оценивается без использования курсовых измерений. Получены следующие основные результаты: сформулированы условия, необходимые для наблюдаемости α без использования курсовых измерений ПА СНС; время оценивания α при использовании фильтра Калмана в обратной связи; а также результаты имитационного моделирования, подтверждающие аналитические расчеты.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Парр Г. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

To The question oF observability of heading displacement In scale bases of SINS and multi-antenna GPS

The paper offers a solution of the problem related to calibration of heading displacement in scale bases of Strapdown Inertial Navigation Systems (SINS) with application of low accuracy gyroscopes (fiber-optic, micromechanical) and multi-antenna reception equipment of satellite navigation systems (SNS), which are capable to generate parameters of orientation (in addition to position and speed). The difficulty in solving this problem consists in the necessity to separate SINS heading displacements (α) and SNS (δKs) involved in heading measurements. In the proposed original method this problem is avoided, since the α error is estimated without use of heading measurements. Conditions for observability of α without use of heading measurements, the time of its estimation using the Kalman filter in the feedback, and also simulation results confirming the analytical calculations are obtained.

Текст научной работы на тему «К вопросу о наблюдаемости смещения по курсу отсчетных баз БИНС и мультиантенной па GPS»

300 лет Санкт-Петербургу —

Материалы XXXII конференции СПбГИТМО(ТУ)

УДК 621.396.988 © Г. А. Парр

К ВОПРОСУ О НАБЛЮДАЕМОСТИ СМЕЩЕНИЯ ПО КУРСУ ОТСЧЕТНЫХ БАЗ БИНС И МУЛЬТИАНТЕННОЙ ПА GPS

В статье предложено решение задачи калибровки смещения по курсу отсчетных баз бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС) на грубых гироскопах (таких как волоконно-оптические, микромеханические гироскопы) и мультиантенной приемной аппаратуры (ПА) спутниковых навигационных систем (СНС), способной, кроме позиционно-скоростной информации, вырабатывать параметры ориентации. Трудность в решении данной задачи заключается в необходимости разделения смещений по курсу БИНС (а) и ПА СНС (8Ks), которые присутствуют в разностных курсовых измерениях. В предложенном методе данная проблема решается путем определения условий движения объекта, в которых погрешность а оценивается без использования курсовых измерений. Получены следующие основные результаты: сформулированы условия, необходимые для наблюдаемости а без использования курсовых измерений ПА СНС; время оценивания а при использовании фильтра Калмана в обратной связи; а также результаты имитационного моделирования, подтверждающие аналитические расчеты.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Перспективным направлением повышения точности курсоуказания бесплатформенных инерци-альных навигационных систем (БИНС), построенных на сравнительно дешевых и, следовательно, "грубых" гироскопах, является комплексирование их с приемной аппаратурой (ПА) спутниковых навигационных систем (СНС) с разнесенными антеннами, способной, кроме определения линейных координат, скорости и времени, вырабатывать методом фазовой углометрии ориентацию объекта (курс, углы отклонений от вертикали). Такая аппаратура к настоящему времени выпускается всеми ведущими зарубежными фирмами-произво-

дителями ПА СНС: Thales Navigation/Ashtech (системы ADU3, "Aquarius2", GPS3011), Furuno (SC60, SC120), Trimble (MS860, TANS Vector). Отечественная трехантенная система МРК-11 разработана НИИ Радиотехники КГТУ и производится ГУП "Радиосвязь" (г. Красноярск).

В ЦНИИ "Электроприбор" разработан экспериментальный образец интегрированной инерци-ально-спутниковой системы ориентации и навигации (ИСОН) на базе МРК-11 с возможностью также приема измерений относительного лага. Задачи точной выставки и калибровки в этой ИСОН решаются на базе унифицированного фильтра Калмана 23-го порядка. В зависимости от доступности тех или иных измерений и условий наблюдаемости оценок данный фильтр может функционировать в различных режимах.

Данная статья посвящена решению отдельной проблемы, возникающей в ИСОН с мультиантенной ПА СНС, калибровке смещения по курсу

ПА СНС и БИНС. Сложность данной проблемы заключается в том, что в разностных курсовых измерениях кроме шумов присутствуют две квази-систематические погрешности, подлежащие оцениванию в фильтре Калмана, это:

1) азимутальная погрешность БИНС моделирования ГСК — а;

2) смещение ПА СНС по курсу ёК8, вызванное деформациями палубы и мачт, на которых крепятся антенны.

Предлагается методика калибровки, при которой не возникает проблема с разделением смещений БИНС и ПА СНС в разностных курсовых измерениях, т. к. получены условия движения объекта, при которых обеспечивается наблюдаемость погрешности а БИНС без использования курсовых измерений.

Кроме расчета условий, при которых становится наблюдаемой а (раздел 1), для реализации указанного способа калибровки необходимо рассчитать и выдержать необходимое для оценивания этой погрешности время в данном режиме (раздел 2). После компенсации а будем иметь на выходе фильтра из курсовых измерений оценку 8К3 с минимальной ошибкой, равной потенциальной точности оценки а (либо фактически достигнутой точности, если время работы в указанном режиме было меньше рассчитанного). Сохраненную оценку 8К3 можно затем компенсировать на выходе

ПА СНС и "очищенные" таким образом курсовые измерения ПА СНС использовать для оценки а в тех условиях движения объекта, когда без курсовых измерений эта погрешность плохо наблюдается.

Допущения

Поскольку модель погрешностей БИНС [2] имеет высокую размерность, для аналитических расчетов пришлось воспользоваться известными методами упрощения модели. Декомпозиционным подходом при этом было выделение уравнений, связанных со смещением БИНС по курсу при вводимых допущениях: отсутствии качки и постоянстве курса. Редукционным подходом — представление дрейфов в географических осях, т.е. без разделения восточного дрейфа (8(0Е) в осях х, у объекта (8со х, 8соу) (п. 1.1 и раздел 2). В 3-м разделе

приведены результаты имитационного моделирования, которое проводилось с целью подтверждения аналитических результатов, полученных в 1-м и 2-м разделах. Поскольку имитационное моделирование в настоящее время фактически не ограничено сложностью имитируемой модели, в отличие от аналитического исследования оно проводилось с нередуцированной моделью (23-го порядка).

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАБЛЮДАЕМОСТИ АЗИМУТАЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ БИНС а

Для выработки условий наблюдаемости использовался матричный критерий наблюдаемости

[3, 4]

где п — размерность пространства состояний системы, О н — матрица наблюдаемости размерности [п х пг]:

О н

(2)

где Н — матрица наблюдения [г х п], а Е — матрица динамики [п х п] с "замороженными" элементами.

1.1. Исследование наблюдаемости в системе с дрейфом в географических осях

Уравнения упрощенной системы:

а = ю— в + w1, в = -ЮNа - ——— + 8(0 £ + w2,

VrN = -пЕа + gв + wз,

Д' N 80) Е = 0,

(3)

г = [—— - —— s ]

гапк О н = п,

(1)

где в — погрешность построения вертикали места в плоскости местного меридиана; Д—— — погрешность БИНС в выработке северной составляющей вектора линейной скорости; 8(0Е — проекция дрейфа гироскопов на восточную ось ГСК (восточный дрейф); — —-я составляющая угловой

скорости ГСК; пЕ — кажущееся ускорение объекта вдоль восточной оси; g — ускорение силы тяжести; Я — средний радиус Земли; wi — шумы (здесь и далее); X — разностные измерения северной составляющей вектора линейной скорости.

Матрица наблюдаемости, соответствующая такой системе, равна

4х4

пЕ

2 g • ПЕ

Пе о— +?

Я

0

g

1

0

Я

Я

0

0

g

(4)

0

ПЕ •

ПЕ •

— Е

и имеет полный ранг гапк(о4x4 )= 4, и, следова- det (4x4 )=-пЕю— ■{п'Е + g2 )* 0,

тельно, система (3) полностью наблюдаема. Оп- 2/2 2 ^

ределитель, соответствующий рангу, т. е. самой а т. к. ю— ' \Пе + g )> 0 при любых пе , то усло-

матрице О Пх4, дает условие наблюдаемости вием наблюдаемости будет\

Пе * 0. (5)

Таким образом, для того чтобы система (3) была полностью наблюдаема (т. е. все компоненты вектора состояния, включая азимутальную погрешность а, были наблюдаемы) при измерениях одной лишь северной компоненты горизонтальной скорости, необходимо и достаточно, чтобы при движении объекта имели место ускорения в восточном направлении.

1.2. Исследование наблюдаемости в системе с дрейфами в осях объекта

Уравнения упрощенной системы:

Д—Е

а = ю— в - оеУ + ~ tgф + w1:

Я

А Д——

/3 =тку-т—а--— +

Я

+ 8юх ео8 К + 8юу 8т К + w2,

п Д—Е

у =оЕа-тк в + —^ -Я

- 8(0х 8Ш К + 8(0у 008 К + w3,

Д—Е = п—а- gy + w4,

Д—N =-ПЕа+ gв + W5, 8(0 х = 0,

8(0 у = 0;

X = [—Е - —Ез; —— - —— 8 ],

(6)

^(оП7*7 )= g2 \пЕ Ю

х(п— -Ю— (Е + ПЕ • ЮН * g -

дает условия наблюдаемости

— п— • юе )х

• Ю Е )

П— Ю— •ПЕ + ПЕ •ЮЯ^

,1Е 1 ,1Е

- g2 Юе - п— •Юе * 0;

• Ю— п— • Юе * 0 .

(7)

(8)

где, кроме введенных ранее: у — погрешность построения вертикали места в плоскости первого вертикала; Д—Е — погрешность БИНС определения восточной составляющей вектора линейной скорости; 80х(у) — дрейф гироскопов в осях х, у объекта; ЮЕ — Е-составляющая угловой скорости ГСК; п— — кажущееся ускорение объекта вдоль северной оси; К — курс; X — разностные измерения восточной и северной составляющих вектора линейной скорости.

Матрица наблюдаемости (здесь не приводится) размерности [14 х 7], соответствующая системе (6), имеет, как и в случае системы (3), полный ранг

гапк(ОП4х7 )= 7, и, следовательно, система полно -стью наблюдаема, а определитель, соответствующий рангу (главному минору матрицы О'п4х7 ),

Таким образом, для того чтобы все компоненты вектора состояния системы (6), включая азимутальную погрешность а БИНС, были наблюдаемы при измерениях северной и восточной компонент вектора линейной скорости, необходимо и достаточно, чтобы при движении объекта имели место не равные нулю линейные ускорения либо в северном, либо в восточном направлении, либо и в том, и в другом.

Условия (5) и (8) обеспечиваются, когда объект

1) находится в условиях рыскания и качки и при наличии отстояния г между местом установки БИНС и центром масс объекта (т. е. при возникновении ускорений Юхг + юх(юхг), где Ю — угловая скорость объекта);

2) выполняет маневрирование набором (сбросом) хода.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ОЦЕНКИ СМЕЩЕНИЯ БИНС ПО КУРСУ а ПРИ СКОРОСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Как известно, точность оценок, вырабатываемых в фильтре Калмана, определяется нелинейным дифференциальным матричным уравнением Риккати для ковариационной матрицы Р(г) [5]. Время оценивания можно охарактеризовать по времени переходного процесса решения данного ковариационного уравнения.

Пользуясь известным подходом [5], решение уравнения Риккати может быть записано в виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р( ) = У( )• и-1 (),

(9)

где У (^) и и (г1) — квадратные неособенные матричные функции порядка п.

Следуя [5], при подстановке (9) в уравнение Риккати вместо него получим линейное матричное дифференциальное уравнение порядка 2п

\У (г ) = А • ),

(10)

где

'(()=

У() и()

А =

Е О

НТ Я-1Н - ¥Т

Составим характеристическое уравнение, соответствующее матрице А , для системы, представленной в п. 1.1:

г - х. = 0 .

(11)

п

Е

Зависимость коэффициентов ai от параметров системы: ai = f (Fij, Qij, Rij)

f fo. Qs. Rt)

R2rVN

2 R 2o2n rV— + 2RrVNg - R2 Qv

(g2 R2 Qe+oO— R2 rV— + g2 rV— +

+ R 2 nE Qv.- 2R 2°NQVn, + 2 gR0N rVN )

(-g2R2QrrE -g2R2o—Qa -

-oN nE rVN -oN R 2 qvn -oN nER 2 Qe)

°N nER QdrE

где xi ( i = 1 + 4) — корни уравнения

a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 = 0 .

(12)

tn ~ .

3_

(13)

Корни уравнения (12) получены с помощью пакета символьной математики Maple:

1 a-. л/Зл/А2

4a

О

1 a1

4 a0

1 a1 4 a0 1 a1 4 a0

12a0

S4A2

12a0

y[3y[A2

12a0

УЗУАЇ

12a0

+ A3

- A3 ;

+ A 4 ;

- A 4 .

Алгебраические выражения для А2, ..., А 4 выписаны в приложении.

Соответственно корнями уравнения (11) будут 8 парных корней

=±л/ xi

(i = 1,..., 4; j = 1, 2).

Проверка корней по экспериментальным данным, полученным на испытаниях БИИМ и МРК-11 на гидрографическом судне (ГС) в 2000 г. [1], — подстановка г(1 , вычисленных по зафиксирован-

= 10-4

ным

на испытаниях значениям

2

и пЕ ~ 0.06 м/с (т.е. динамика низкая, как и подобает для больших ГС), в уравнение (12) — подтвердила их точность. Порядок полученных невязок уравнения (12) составляет: для х1 — 10-6, для х2 — 10-9; для х3 и х4 (корни комплексно сопряженные) — 1010. Подстановка численных значений показала следующие приближенные равенства:

1 аг 4ъ4А2 А3

4 a0

12a О

2

Зависимость коэффициентов из (12) от параметров системы приведена в таблице, где г—— — интенсивность шумов измерения скорости ПА

СНС; ва , вв , в—— , &гЕ — интенсивности порождающих шумов, характерные для БИНС.

Как известно, вид и значение корней характеристического уравнения определяют характер переходных процессов в системе. При этом наименьшая действительная часть корней

П = шт(ге(гу ))= -у/тт(ге(х()) определяет время

переходного процесса в системе (быстродействие) по приближенной формуле

„0 1Л“0

а также, что А4 является мнимой величиной. Таким образом, второй корень определяет самый медленно сходящийся процесс. Если производить расчет времени переходного процесса ковариационного уравнения по первому корню, то имеем гП ~ 4с ; если по второму — гП ~ 8 -106 с ~ 3 месяца; если по третьему (четвертому) корням — гП ~ 37.2с . Как было выявлено далее, при моделировании гП, вычисленное по второму корню, более чем по всем остальным корням зависит от ускорения, но даже при ускорении 3 м/с2 (т. е. на максимальном для ГС уровне) имеем в данном случае гП ~ 2.5-105 с ~ 3 суток. Второй корень характеристического уравнения, судя по виду корней (очень большая разница между ним и вторыми по удаленности мнимыми корнями) и как будет подтверждено моделированием (см. рисунок), связан с процессом, не вносящим существенный "вклад" [3] в динамику системы оценивания, и его можно не принимать во внимание при расчете гП .

a

a

0

x 4 =

a

a

2

a

3

a

4

У оценок время переходного процесса больше в два раза [2], чем у дисперсий. Таким образом, для времени переходного процесса оценок имеем гП ~ 8 с (по первому корню) и гП ~ 1мин 14 с (по третьему (четвертому) корням).

Переходный процесс является колебательным с затуханием, определяемым действительной частью третьего (четвертого) корня характеристического уравнения, и для ГС гП имеет уровень 1.5 мин.

3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

При моделировании были заложены в имитационную (истинную) модель курсовых измерений следующие погрешности:

• СКП марковской составляющей — 10 угл. мин, интервал корреляции — 3 ч, принятые также в расчетной модели;

• постоянное смещение 8К — 30 угл. мин.

Были также приняты следующие значения параметров расчетной модели: г—— =(0.2 м / с)2;

ва = (20 град / ч)2, в в = (20 град / ч)2, в—— =

= (01м/с2 )2, в*Е(х, у) =(20 град / ч )2.

На рисунке показаны графики оценки и компенсации смещения БИНС (а) и ПА СНС (8^) в следующих режимах работы:

1) без ускорения и курсовых измерений (режим А);

2) без ускорения, с курсовыми измерениями (режимы В и В');

3) калибровка при наличии ускорения (режим маневрирования: набор хода по гармоническому закону с амплитудой 3 м/с2 и периодом 2 ґП (обозначен V)).

(В режиме калибровки принималось в качестве периода набора/сброса хода удвоенное значение ґП с целью, чтобы на время ґП среднее значение ускорения не равнялось нулю, т. е. чтобы обеспечивались не только мгновенные условия наблюдаемости (5, 8), но и в среднем. Т.е. можно было бы провести всю калибровку за полпериода; вторая половина периода нужна лишь для того, чтобы вернуть объект в исходное состояние по скорости).

Видно, что в режиме А смещение а БИНС не оценивается. В режиме В имеем а на уровне смещения 8Кя, т. е. ситуацию, когда как раз и существует проблема с разделением смещений БИНС и ПА СНС в разностных курсовых измерениях (см. постановку задачи). В режимах маневрирования смещение БИНС оценивается и компенсируется. Расчетное время переходного процесса ґП составило 1 мин 26.5 с и совпадает с ґП при моделировании (см. график). Однако при моделировании было замечено, что не при всех значениях ускорений предложенная калибровка позволяет оценить и скомпенсировать смещение БИНС до уровня установившихся ошибок. Существует некоторое минимальное значение ускорения, при котором еще возможна такая (полная) калибровка за рассчитанное время.

t (мин)

Имитационное моделирование процесса оценивания смещений БИНС (alpha) и ПА СНС (dKs)

ВЫВОДЫ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Проведенное моделирование подтверждает полученные аналитически условия наблюдаемости (наличие ускорений) и рассчитанное время переходного процесса (1.5 мин), тем самым подтверждая эффективность предложенной калибровки.

Характер предложенной калибровки — периодический по двум причинам.

Во-первых, изменяется со временем истинное смещение ПА СНС, оценку которого необходимо найти, вследствие деформации корпуса объекта, мачт, на которых крепятся антенны.

Во-вторых, внешние условия и маневренные возможности объекта могут не позволять полностью (до установившегося значения) компенсировать смещение а БИНС. Напротив, всегда есть возможность провести данную калибровку — "подбить базу" до допустимого уровня, воспользовавшись для этого естественными условиями маневрирования объекта, и нет необходимости специально за один маневр компенсировать все смещение целиком.

Несмотря на последнее, в дальнейшем является весьма полезным определение оценки а

в установившемся режиме работы как потенциально достижимой точности калибровки 8&. При расчете установившейся ошибки будет также определена выявленная при имитационном моделировании зависимость ускорения, при котором возможна предложенная калибровка до установившихся значений погрешностей, от параметров системы, в том числе дрейфов гироскопов, шумов измерений ПА СНС. Кроме этого, возможно применение этого знания в других задачах (в задачах стабилизации, в том числе выносных элементов корпуса объекта, управления стрельбой, при исследовании деформаций корпуса объекта и т.п.). Определение ауст. также позволит учитывать эту ошибку в матрице интенсивностей порождающих шумов фильтра Калмана как (таКж/точн., на которую может происходить переключение тс1Кб. после проведения калибровки. Тем самым выбор тс1К!,./точи. будет более обоснованным (при моделировании принималось тсКх/точн, = 0). Однако расчет установившихся ошибок в исследуемой системе не входил в рамки данной статьи и заслуживает отдельного рассмотрения.

Приложение. ВЫРАЖЕНИЯА2, ..., А 4

А1 = \ -36а3 а 2 а1 - 288а4 а2 а0 + 108а3 а0 + 108а1 а 4 + 8а2 +

12>/з • (4а4а12а2 - 18а3а2а^а4 - 256а4а0 + 4а33а,3 + 27а42а,4 + 6а32а,2а4а0 + 192а3а,а4а0 -

*3 1*1 М4М0

- 18а|а2а1а0 - 144а4а2а^а^ - 144а4а2а0а!2 + 80а3а1а4а0а2 + 27а^а^ - а32а12а^ +

А2 3а12А1 - 8а2а0А1 + 2А12а0 - 24а3а1а0 + 96а4а^ + 8а0а\

А2 —------------------------------------------------------------------

А1

А3 —

кА1у[А2;

1а3 а

(3а2 А1л/А2 - 8а2а0 А1VА2 - VА2А12 а0 + 12>/ А2а3а^0 - 48>/А2а4а0 - 4>/А2<

а0 а2 -

- 24л/3А1а3а02 - 3л/3АЦ3 + 12л13А1а1

а1 а2а0

г

А4 —

А14А2

• (3а2 А1л[Л2

А1л[А2 - VА2А12 а0 + 12л/А2а3а^0 - 48\/А2а4а,2 - 4VА2а(^а2 +

+ 24л/3А1а3 а02 + 3л/э АЦ3 - 12л/3Ак

1

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Несенюк Л.П., Старосельцев Л.П., Парр Г.А. и др. Интегрированная инерциальная/спутни-ковая система ориентации и навигации с разнесенными антеннами // Гироскопия и навигация. 2000. Т. 31, № 4. С. 41-49.

2. Анучин О.Н., Емельянцев Г.И. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов / Под общей ред. чл.-кор. РАН В.Г. Пешехонова. СПб., 1999. 357 с.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МЛТЬЛБ. СПб: Наука, 1999. 467 с.

4. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

5. Лившиц Н.А., Виноградов В.Н., Голубев Г.А. Корреляционная теория оптимального управления многомерными процессами. М.: Советское радио, 1974. 328 с.

ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", Санкт-Петербург

Материал поступил в редакцию 10.04.2003.

TO THE QUESTION OF OBSERVABILITY OF HEADING DISPLACEMENT IN SCALE BASES OF SINS AND MULTI-ANTENNA GPS

G. A. Parr

Russian State Centre of Science CSRI "Electropribor", Saint-Petersburg

The paper offers a solution of the problem related to calibration of heading displacement in scale bases of Strapdown Inertial Navigation Systems (SINS) with application of low accuracy gyroscopes (fiber-optic, micromechanical) and multi-antenna reception equipment of satellite navigation systems (SNS), which are capable to generate parameters of orientation (in addition to position and speed). The difficulty in solving this problem consists in the necessity to separate SINS heading displacements (a) and SNS (SKs) involved in heading measurements. In the proposed original method this problem is avoided, since the a error is estimated without use of heading measurements. Conditions for observability of a without use of heading measurements, the time of its estimation using the Kalman filter in the feedback, and also simulation results confirming the analytical calculations are obtained.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.