CC BY
34
Физика твёрдого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 2 (2), с. 46-51
УДК 530.191
К ВОПРОСУ О МИНИМАЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ РОСТА В ЗАДАЧЕ АОД © 2013 г. А.Ю. Меньшутин
Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН Научный центр РАН в Черноголовке
Поступила в редакцию 04.04.2013
Представлен новый метод оценки минимальной вероятности роста в задаче агрегации, ограниченной диффузией. Описан алгоритм измерения точного числа частиц на поверхности. Описан алгоритм оценки гармонической меры по методу пробных частиц. Построено ранговое распределение для гармонической меры и на основе его асимптотического продолжения оценена минимальная вероятность роста.
Ключевые слова: АОД, вероятность роста, гармоническая мера.
Введение Свойство масштабной инвариантности обычно
Природные объекты часто имеют сложную геометрическую структуру. Случайные структуры роста - это особый класс объектов естественного и искусственного происхождения, процесс образования которых может быть описан уравнениями диффузионного типа. Примерами таких объектов являются колонии бактерий [1], путь заряда при пробое диэлектрика [2], кристаллы, затвердевающие из расплава при определенных условиях, кристаллы, образующиеся при электроосаждении веществ (агрегаты), ден-дриты, образующиеся при химических реакциях [3], граница раздела не смешивающихся жидкостей (ячейка Хеле-Шоу) и т. п. Примеры таких изображений приведены на рис. 1.
Для объяснения, почему такое разнообразие физических, биологических и других процессов приводит часто к одинаковым результатам, было предложено несколько моделей роста случайных структур. К наиболее важным относятся -АОД - агрегация, ограниченная дифузией (DLA -Diffusion Limited Aggregation), предложенная Виттеном и Сандером в 1981 г. [4], DBM -Dielectric Breakdown Model (Нимеер, Пиетроне-ро, 1984) [5], Лапласов рост (Laplacian growth) (модель Хастингса и Левитова [6]).
Многие фрактальные объекты описываются с помощью некоторого рекуррентного правила, которое последовательно применяется большое (в пределе - бесконечное) число раз. Точно также почти все модели, описывающие образование случайных структур роста, базируются на неком повторяющемся действии. При этом аналитическое исследование данных моделей оказывается нетривиальной задачей, поскольку большая часть подобных моделей формулируется в виде алгоритма.
возникает в статистической физике в системах, находящихся в критической точке. Эта область равновесных критических явлений является хорошо изученной в статистической физике [7]. Развито большое число теорий, направленных на вычисление критических индексов, характеризующих поведение системы вблизи точки перехода. Эти теории также объясняют, почему разные системы ведут себя одинаково вблизи точки перехода. С этой точки зрения, явление универсальности для таких систем является хорошо обоснованным как с экспериментальной, так с теоретической точек зрения.
Случайные структуры роста, в свою очередь, относятся к классу динамических (неравновесных) критических явлений. И их изучение является важной задачей статистической физики. Такие явления относятся к особу классу явлений - самоорганизующейся критичности [8]. При этом фрактальные свойства в таких системах возникают сами по себе без необходимости тонкой подстройки параметров, описывающих систему. Так, в отличии от модели Изинга или перколяционных моделей, в модели DLA нет параметра, аналогичного Тс или Рс, определяющего, находится ли система в точке фазового перехода или нет. Система всегда находится в критической точке. Этот факт является принципиальным для объяснения большого количества фрактальных свойств в живой и неживой природе. Формирование природных структур подчиняется таким правилам, которые в итоге приводят к образованию фрактальных свойств -форма облаков, крона деревьев и т. д. С этой точки зрения объекты, подобные объекты вызывают наибольший интерес т. к. не являются искусственными и могут быть легко смоделированы экспериментально или численно.
Основным параметром, описывающим свойства случайных структур роста, является фрактальная размерность, определяемая как показатель степени в соотношении масштабной инвариантности. При этом, как показываем практика, для различных объектов этот параметр находится вблизи числа D = 1.71. Точное измерение фрактальной размерности - задача чрезвычайно сложная, поскольку при экспериментальном исследовании точность ограничена разрешающей способностью фотокамеры, а при численном моделировании наблюдаются различные эффекты конечного размера, приводящие к искажению результата [9, 10].
Кроме того, имеется другое важное отличие объектов типа случайных структур роста от классических термодинамических систем, находящихся в точке фазового перехода. У классических систем имеется несколько критических индексов, в то время как у объектов типа DLA до сих пор не было обнаружено индекса, отличного от фрактальной размерности D. Наличие только одного показателя сильно затрудняет сравнение похожих объектов между собой и часто приводит к сомнительным утверждениям о принадлежности таких систем к единому классу универсальности.
Помимо фрактальной размерности, важным параметром является минимальная вероятность роста. Так как рост кластера АОД - это случайный процесс, изучение характеристик этого процесса может многое сказать о свойствах изучаемого объекта. Кроме того, дополнительные параметры, которые описывают изучаемую структуру, могут быть использованы для сравнения различных похожих друг на друга объектов. Измерение различных вероятностных характеристик процесса образования изучаемых агрегатов - задача высокой степени сложности. В этой работе мы представим краткий анализ различных методов вычисления гармонической меры (вероятности роста), а также опишем новый метод, позволяющий оценить значение минимальной вероятности роста в задаче АОД.
Методы оценки гармонической меры
Известно, что случайное блуждание, описываемое уравнением диффузии эквивалентно электростатической задаче, описываемой уравнением Лапласа [11]. Существует несколько основных методов нахождения вероятностей роста в задаче АОД, которые, по сути, являются различными вариантами решения исходного уравнения Лапласа, описывающего распределение вероятности роста вдоль поверхности кластера. К таким методам относятся:
1) Метод численного решения уравнения Лапласа на решетке.
2) Метод конформных отображений Хастингса и Левитова.
3) Методы Монте-Карло решения уравнения Лапласа - методы пробных частиц.
Классический метод вычисления вероятностей роста - этот так называемый метод пробных частиц [12]. Для реализации этого метода нужно внести незначительные изменения в алгоритм роста кластера - заменить правило добавления частиц к кластеру правилом вычисления гармонической меры. Для вычисления гармонической меры моделируется движение частиц по обычным правилам (пробных частиц). После касания частицей кластера она не добавляется к нему и уничтожается. При этом запоминается общее число частиц, коснувшихся той или иной части поверхности кластера. В пределе достаточно большого числа пробных частиц число траекторий, коснувшихся определенного участка поверхности, будет пропорционально вероятности роста этой поверхности. Существуют как решеточные, так и безрешеточные вариации этого метода, а благодаря своей простоте, метод часто используется для вычисления так называемых средних по гармонической мере. Описанный метод относится к методам Монте-Карло, применяемым для решения задачи Дирихле (см., например, [13]).
Метод нахождения гармонической меры путем решения уравнения Лапласа был разработан
также достаточно давно. Благодаря наличию связи между случайным блужданием и между уравнением Лапласа для нахождения вероятностей роста вдоль поверхности кластера необходимо решить задачу Дирихле с граничными условиями в виде 0 на поверхности кластера, и 1 -на окружности, описывающей кластер (окружность рождения). Решение уравнения Лапласа проводится на квадратной решетке.
Метод конформных отображений, использующийся для моделирования роста кластеров по алгоритму Хастингса и Левитова - по сути, тоже является методом численного решения уравнения Лапласа. В результате применения метода итеративным путем строится конформное отображение, описывающее границу кластера. Итоговое отображение описывается рекуррентной формулой вида F(n+1,x)=F(ng(n,x)), где F(n,x) - отображение, описывающее внешность кластера, состоящего из п частиц, а g(n,x) - единичное отображение, добавляющее к единичной окружности выпуклость, являющуюся аналогом вновь добавленной частицы кластера. Основная сложность метода конформных отображений заключается в увеличении глубины рекурсии пропорционально размеру кластера, и, вместе с этим, очень высокие требования к точности вычислений. По такому методу удается построить кластеры размером не более ста тысяч частиц.
Таким образом, существует большое разнообразие методов, направленных на решение уравнения Лапласа. Все методы имеют те или иные недостатки. Метод пробных частиц не позволяет измерить минимальные вероятности, так как из за сильной экранировки ветвями кластера вероятность прохождения частиц в глубь оказывается чрезвычайно мала. Метод конформных отображений не позволяет исследовать большие кластеры, при этом вопрос эквивалентности метода Хастингса и Левитова алгоритму Виттена и Сандера остается до сих пор под вопросом. Метод численного решения уравнения Лапласа ограничен использованием сетки и также ограничен размерами изучаемых кластеров ([14]).
В работе [14] авторами был предложен оригинальный метод измерения гармонической мере на основе итеративного метода пробных частиц. В методе используется метод последовательных приближений с разбиением кластера на отдельные области. При этом в каждой из областей последовательно производится вычисление гармонической меры по методу пробных частиц. К сожалению, авторы не оценили ошибку измерения, которая, по-видимому, должна оказаться чрезвычайно большой.
Ранние работы, в которых также изучалась минимальная вероятность роста [15-17] изучали кластеры малых размеров N < 100, поэтому результаты полученные в них скорее всего не достоверны, поскольку при таких размерах кластеров эффекты конечного размера чрезвычайно велики [18]. Исходя из вышесказанного, очевидна необходимость разработки альтернативного метода оценки минимальной вероятности роста. Описание такого метода будет представлено далее.
Методика эксперимента
Для оценки минимальной вероятности роста мы используем классический метод пробных частиц. Описание метода мы будем проводить на примере изучения одного кластера АОД, состоящего из 10000 частиц.
Для генерации кластера мы используем безрешеточный алгоритм с различными модификациями, подробно описанный в работах [20-22].
Затем мы измеряем гармоническую меру (вероятности роста) путем приписывания каждой частице кластера целочисленного счетчика. Пробная частица, которая двигается по стандартным правилам безрешеточного алгоритма Виттена и Сандера, увеличивает значение счетчика на 1 и уничтожается. Как было сказано ранее, метод пробных частиц не позволяет (без дополнительных модификаций) измерить таким способом всю поверхность, т. к. большая часть поверхности кластера имеет очень малые значения вероятностей роста.
Для вычисления точного количества частиц кластера, лежащих на поверхности и доступных для пробных частиц, мы используем так называемый алгоритм «обкатки», описанный ранее в работе [23]. Суть этого метода в следующем. Возьмем одну пробную частицу, и будем двигать ее, пока она не прилипнет. После того, как она коснулась кластера будем двигать (катить) ее по поверхности кластера, скажем, по часовой стрелке. Таким образом можно сделать обход всей поверхности и отметить те частицы, которые были тронуты нашей пробной. Если хотя бы одна сторона частицы кластера была задета, то она считается лежащей на поверхности. Таким образом можно измерить точное число частиц, лежащих на поверхности. Для изучаемого кластера размером 10000 общее число частиц, лежащих на поверхности и доступных для пробных равно 8880. Стоит заметить, что это число хотя и близко, но несколько отличается в большую сторону от полученного в работе [14] значения 80%.
Третий этап алгоритма - построение распределения вероятностей по аналогии с законом
х
Рис. 2. Зависимость N(x) для кластера размером 10000 частиц, построенная с помощью 10 млн пробных частиц
Таблица 1
Результаты измерения параметров А, Ь в зависимости (1) с помощьюразличного ___________________________числа пробных частиц___________________________________
Число пробных частиц Параметр A Параметр Ь Число частиц, затронутых пробными
1 млн. 612 1.199(5Q) 2675
1Q млн. 645 1. 138(4Q) 3669
1QQ млн. 562 1.Q86(45) 4656
Зипфа [24]. Для этого мы сохраняем в файл значения всех счетчиков, полученных после запуска алгоритма пробных частиц. Частота N(x) появления каждого отдельного значения счетчика х, для малых значений счетчиков, описывается распределением вида:
N (х ) =Ax ~ь (1)
Кроме того, для фиксированного количества пробных частиц нам известно общее число частиц кластера, тронутых пробными. А также известно полное число частиц, лежащих на поверхности. Минимальное значение параметра х, которое получается в результате измерения при фиксированном числе пробных частиц равно 1 (одно касание пробной частицей).
Основная идея нашего метода - оценить параметры распределения (1) численно и продлить эту зависимость в сторону меньших значений параметра х до значения xmin. Параметр хтш подбирается при этом так, чтобы общее число частиц оказалось равно полному числу частиц, лежащих на поверхности. После этого нормированием значений х на общее число пробных частиц можно оценить минимальную вероятность роста в кластере.
Результаты и их обсуждение
Была произведена оценка минимальной вероятности роста в кластере размером 10000 частиц. Измерение проводилось с помощью 1 млн, 10 млн и 100 млн пробных частиц. Вид отдель-
ной зависимости N(x), полученный при использовании 10 млн пробных частиц показан на рисунке 2.
Результаты фиттирования данных, показанных на рисунке 2, а также аналогичных данных, полученных при других числах количества пробных частиц представлены в табл.1.
Для оценки минимальной вероятности роста мы поступаем следующим образом. Общее число частиц кластера, которое должно быть заполнено пробными:
хтах
N total = {N (х )dx,
xmin
где xmin и xmax - минимальная и максимальная вероятность.
При измерении свойств кластера с помощью Nnp пробных частиц удается измерить только Ntouched частиц, лежащих на поверхности. При этом минимальная вероятность, доступная для измерения - 1/Nnp. Если не нормировать значение вероятностей на общее число пробных частиц, то минимальная вероятность, доступная для измерения равна х = 1. Этот факт хорошо виден на рис. 2. Общая площадь ограниченная кривой - это число частиц, тронутых пробными Ntouched. Основное уравнение, которое позволяет оценить минимальную вероятность роста получается из следующих соображений. Будем продолжать прямую на рис. 2 влево до тех пор, пока она не ограничит такую площадь, которая
Таблица 2
Результаты оценки минимальной вероятности роста ,Pmm
Число пробных частиц Nnp Pmin
1 млн 4 • 1Q-9
1Q млн 5 • 1Q-1Q
1QQ млн 3 • 1Q-11
будет соответствовать количеству частиц кластера, лежащих на поверхности (Щ*а1). Значение интеграла под измеренной частью кривой на рис. 2 известно и равно Щ^^, поэтому интегрировать в этой области нет необходимости. Это позволяет также избежать проблем с неприменимостью закона Зипфа при больших значениях параметра х (для редких событий с большой вероятностью). Итоговое уравнение, решая которое можно найти хтіп выглядит следующим образом
1 1
Хша, - іїіаисШ= ІN (х)Лх= IАх -ь<±с.
хтіп хтіп
Решая полученное уравнение можно вычислить хтіп. Выполнив нормировку этого значения на общее число пробных частиц Щпр получаем оценку минимальной вероятности роста в кластере. Данные оценки Ртіп представлены в табл.2.
Как видно из полученных данных, результаты оценки Ртіп отличаются более чем в 100 раз. Это вызвано, по-видимому, низкой точностью определения параметра Ь. Зависимость результата от значения этого параметра оказывается очень сильной, так как этот параметр входит в итоговый ответ как показатель степени.
Заключение
В работе был предложен оригинальный метод оценки минимальной вероятности роста в задаче АОД, основанный на аналитическом продолжении закона Зипфа. К сожалению, на примере изучения отдельного кластера размером 10000 частиц, точность метода оказалась чрезвычайно низкой и итоговый результат отличается на 2 порядка при проведении измерений с помощью различного числа пробных частиц. Возможный путь повышения точности вычислений - это проведение усреднения по ансамблю кластеров. Предварительные результаты показывают, что в этом случае зависимость Щ(х) становится более гладкой. Также представляет интерес возможность оценки параметра Ртіп для различных размеров кластеров и сравнение результатов с работами других авторов.
Автор благодарит Александра Владимировича Швецова и Аркадия Михайловича Сатани-на за предоставленную возможность работы над представленной темой.
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (соглашение 14.B37.21.0132).
Список литературы
1. Fujikawa H., Matsushita M. Fractal growth of Bacillus subtilis on agar plates // J. Phys. Soc. Japan. 1989. V. 58. P. 3875-3878.
2. http://ma-zaika.ru/post115813109/
3. http://www.paulslab.com/gallery/photos-microscope. html
4. Witten T.A., Sander L.M. Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 1400.
5. Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann H.J. Fractal Dimension of Dielectric Breakdown // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1033.
6._Hastings M.B., Levitov L.S. Laplacian growth as one-dimensional turbulence // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. V. 116. P. 244-252.
7. Stanley H.E. Scaling, Universality, and Renormalization: Three Pillars of Modern Critical Phenomena // Rev. Mod. Phys. 1999. V. 71. P. S358-S366.
8. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 381-384.
9. Hanan W.G., Heffernan D.M. Global structure and finite-size effects in the f(alpha) of diffusion-limited aggregates // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 011405.
10. Somfai E., Ball R. C., Bowler N.E., Sander L. M. Correction to scaling analysis of diffusion-limited aggregation // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2003. V. 325. P. 19-25.
11. Redner S. A Guide to First-Passage Processes. Cambridge University Press, 2001. 307p. ISBN 0-521 -65248-0.
12. Meakin P., Coniglio A., Stanley H.E., Witten T.A. Scaling properties for the surfaces of fractal and nonfractal objects: An infinite hierarchy of critical exponents // Phys. Rev. A. 1986. V. 34. P. 3325.
13. Sadiku M. N.O., Garcia R.C. Monte carlo floating random walk solution of Poisson's equation // IEEE Southeastcon '93, Proceedings. 1993.
14. Adams D.A., Sander L.M., Somfai E., Ziff R.M. The harmonic measure of diffusion-limited aggregates
including rare events // Europhysics Letters. 2009. V. 87. P. 20001.
15. Wolf M. Size dependence of the minimum-growth probabilities of typical diffusion-limited-aggregation clusters // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. P. 1448.
16. Evertsz C.J.G. et al. Behaviour of the harmonic measure at the bottom of fjords // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1991. V. 24. P. 1889.
17. Schwarzer S. et al. Minimum growth probability of diffusion-limited aggregates // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 603.
18. Menshutin A. Scaling in the Diffusion Limited Aggregation Model // Phys. Rev. Lett. 2012. V. 108. P. 015501.
19. Menshutin A.Yu., Shchur L.N. Morphological diagram of diffusion driven aggregate growth in plane: competition of anisotropy and adhesion // Computer Phys. Communs. 2011. V. 182(9). P. 1819-1823.
20. Menshutin A.Yu., Shchur L.N. Test of multiscaling in DLA model using an off-lattice killing-free algorithm // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. P. 011407.
21. Menshutin A.Yu., Shchur L.N., Vinokour V.M. Finite size effect of harmonic measure estimation in a DLA model: Variable size of probe particle // Physica A. 2008. V. 387(25). P. 6299-6309.
22. Menshutin A.Yu., Shchur L.N., Vinokur V.M., Probing surface characteristics of diffusion-limited-aggregation clusters with particles of variable size // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 010401(R).
23. Меньшутин А.Ю. Диссертация «О критических свойствах при росте кластеров DLA» кандидата физ.-мат. наук. Черноголовка 2008.
24. Zipf G.K. Human behavior and the principle of
least effort. Cambridge, Massachusetts: Addison-
Wesley, 1949. Р. 573.
ON THE MINIMAL GROWTH PROBABILITY IN DLA MODEL
A Yu. Menshutin
A new method for minimal growth probability estimation in DLA model is presented. A precise measurement algorithm for the number of particles on the cluster surface is presented. An algorithm to estimate the harmonic measure by the probe-particle method is presented. A harmonic measure rank distribution is calculated and its asymptotic continuation is used to estimate the minimal growth probability.
Keywords: diffusion-limited aggregation (DLA), growth probability, harmonic measure.
