CC BY
7К вопросу о классификации диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом модулей топологической сопряженности
Т. М. Митрякова, О. В. Починка
Нижегородский Государственный Университет им. Н. И. Лобачевского 603950, Россия, Нижний Новгород, пр-т. Гагарина, 23
mtm@mm.unn.ru, olga-pochinka@yandex.ru
Получено 16 января 2010 г.
В работе рассматриваются диффеоморфизмы ориентируемых поверхностей, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа гиперболических неподвижных точек и блуждающее множество содержит конечное число гетероклинических орбит трансвер-сального и нетрансверсального пересечения. Выделен содержательный класс диффеоморфизмов, для которых найден полный топологический инвариант — схема, состоящая из набора геометрических объектов и набора числовых параметров.
Ключевые слова: орбиты гетероклинического касания, одностороннее касание, топологическая сопряженность, модули топологической сопряженности
T. M. Mitryakova, O. V. Pochinka To a question on classification of diffeomorphisms of surfaces with a finite number of moduli of topological conjugacy
In this paper diffeomorphisms on orientable surfaces are considered, whose non-wandering set consists of a finite number of hyperbolic fixed points and the wandering set contains a finite number of heteroclinic orbits of transversal and non-transversal intersections. We investigate substantial class of diffeomorphisms for which it is found complete topological invariant — a scheme consisting of a set of geometrical objects equipped by numerical parametres (moduli of topological conjugacy).
Keywords: orbits of heteroclinic tangency, one-sided tangency, topological conjugacy, moduli of topological conjugacy
Mathematical Subject Classification 2000: 37E30
Введение
К настоящему времени имеется значительный прогресс в классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях — диффеоморфизмов с конечным гиперболическим неблуждающим множеством и трансверсальным пересечением инвариантных многообразий периодических точек. Принципиальным отличием этих диффеоморфизмов от потоков Морса-Смейла на поверхностях является возможность трансверсального пересечения инвариантных многообразий различных седловых точек (гетероклинического пересечения). Топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях (диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических пересечений) получена в работах [2]—[4]. Она основана на классификации периодических отображений поверхностей, полученной Нильсеном в [17], и топологической классификации потоков Морса-Смейла без периодических траекторий на поверхностях, полученной М.Пейкшото в [21]. В работе В. З. Гринеса [11] показано, что в классе диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит полным топологическим инвариантом является различающий граф диффеоморфизма, аналогичный графу Пейкшото для потоков [21], оснащенный гетероклиническими подстановками, несущими информацию о геометрии пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек. Следует отметить также работу [13], где предложен другой подход к нахождению топологических инвариантов таких диффеоморфизмов. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях с бесконечным множеством гетероклинических орбит потребовала привлечения аппарата топологических цепей Маркова и следует из работы Х. Бонатти и Р. Ланжевена [6], где найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности C1 структурно устойчивых диффеоморфизмов на поверхностях1.
Согласно [18], существует открытое множество дуг, которые начинаются в диффеоморфизме Морса-Смейла и имеют первую бифуркационную точку в диффеоморфизме с гетероклиническим касанием. Очевидно, что нарушение условия трансверсальностигете-роклинических пересечений седловых точек диффеоморфизма приводит к его негрубости.
Более того, это приводит к возникновению непрерывных инвариантов — модулей тополо-^ 2
гической сопряженности и, следовательно, к существованию континуума несопряженных диффеоморфизмов с изоморфными графами и одинаковой геометрией гетероклинического пересечения.
Первым, кто обратил внимание на этот факт, был Пэлис [20]. Он обнаружил существование модулей топологической сопряженности у систем с простой динамикой. Такими модулями обладают уже двумерные диффеоморфизмы с негрубой гетероклинической траекторией, в точках которой инвариантные многообразия двух разных седловых неподвижных точек имеют одностороннее касание. А именно, если f — такой диффеоморфизм (класса Cr, r ^ 2), имеющий две гиперболические седловые неподвижные точки ai и а2 с собственными значениями Qi,^i, такими, что \gi\ < 1 < \fa\, i = 1, 2, а кроме того, WS1 имеет одностороннее касание с W'U в точках некоторой гетероклинической траектории, то параметр
_ ln|g2|
Infill
хРанее полный топологический инвариант был получен В. З.Гринесом [12] для структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей в предположении, что нетривиальные базисные множества являются одномерными (аттракторами и репеллерами), а число блуждающих гетероклинических орбит конечно.
Термин «модуль топологической сопряженности» был предложен в работах Л. П. Шильникова и С. В. Гонченко и соответствует термину «moduli of stability», который употребляется в англоязычной литературе.
является модулем топологической сопряженности3. Другими словами, если f и f' — два двумерных диффеоморфизма с гетероклиническими касаниями, то f и f' могут быть сопряжены только в том случае, когда
ln|g2| _ 1Q | Q‘21 ln|^i| lnl^il'
Отсюда, в частности, следует, что в любой C1-окрестности диффеоморфизма поверхности, допускающего гетероклиническое касание, имеется континуум топологически несопряженных диффеоморфизмов. Если в некоторой окрестности диффеоморфизма f множество классов эквивалентности возможно описать с помощью конечного числа параметров, то говорят, что диффеоморфизм f имеет конечное число модулей топологической сопряженности. Минимально возможное число таких параметров называют числом модулей топологической сопряженности (модальностью) диффеоморфизма f.
Работа [20] послужила своеобразным толчком для появления целой серии работ по модулям, в которых рассматривались уже не только необходимые, но также и достаточные условия для топологической сопряженности «близких» диффеоморфизмов. Так, в работе [14] обнаружено явление «жесткости» гомеоморфизмов, сопрягающих диффеоморфизмы с гетероклиническим касанием, которое проявляется в том, что такой гомеоморфизм должен быть функцией вида y = c\x\p с заданным р в ограничении на инвариантные многообразия седел, не участвующие в гетероклиническом касании. Это явление приводит к тому, что уже достаточно просто организованные двумерные диффеоморфизмы с гетероклиниче-скими касаниями могут иметь счетное множество модулей топологической сопряженности (диффеоморфизмы такого типа были указаны в работах [14], [15]). В частности, в работе [15] найдены необходимые и достаточные условия того, что диффеоморфизм ориентируемой поверхности имеет конечное число модулей топологической сопряженности, и описана структура окрестности такого диффеоморфизма.
Таким образом, вопрос о топологической сопряженности «близких» диффеоморфизмов поверхности с конечным числом модулей топологической сопряженности достаточно хорошо изучен. В работе [16] был сделан первый шаг в решении проблемы топологической классификации «далеких» систем с гетероклиническими касаниями — найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерной сферы с конечным гиперболическим неблуждающим множеством, при условии, что блуждающее множество содержит в точности одну орбиту одностороннего гетероклинического касания.
В настоящей работе выделен содержательный класс диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей любого рода, с конечным числом орбит гетероклинического касания, для
3Весьма интересно отметить тот факт, что П-модули, то есть модули топологической эквивалентности (сопряженности) на множестве неблуждающих траекторий, были открыты раньше, чем само понятие модуля вошло в динамику. Так, в работе [7] Гаврилова и Шильникова был введен параметр
в = -Щ
1п|7|
для двумерных диффеоморфизмов с (квадратичным) гомоклиническим касанием к седловой неподвижной точке а с мультипликаторами Л и y, где 0 < |Л| < 1 < |y|. При этом в [7] было показано, что при изменении значений в в классе систем, где касание сохраняется, могут быть плотны значения в, отвечающие бифуркациям периодических траекторий (то есть «непрерывно» меняется структура множества неблуждающих траекторий). Систематическое изучение П-модулей было начато в работах [8], [9], [10], где их существование было явно доказано для случая многомерных систем с гомоклиническими касаниями.
которого найдены условия топологической сопряженности, использующие геометрические инварианты, несущие информацию о структуре пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек и числовые характеристики, связанные с наличием односторонних гетероклинических касаний.
1. Формулировка результатов
Пусть f — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, заданный на гладком двумерном замкнутом ориентируемом многообразии M2 и имеющий неблуждающее множество Qf, состоящее из конечного числа неподвижных гиперболических точек. Гиперболическая неподвижная точка называется стоком (источником), если все ее собственные значения по модулю меньше (больше) единицы; седлом —если одно собственное значение, цр, по модулю больше, а другое, Хр, по модулю меньше единицы. В этом случае любая точка р £ Qf имеет инвариантные многообразия:
устойчивое многообразие WS = {x £ M2 : lim d(fn(x),p) = 0},
р n—^+^0
неустойчивое многообразие WU = {x £ M2 : lim d(f-n(x),p) = 0},
р n—^+^0
где d — метрика на M2. При этом dim W£ (dim W^') совпадает с числом собственных значений точки р, по модулю меньших (больших) единицы, W£ = gs(Rdim Wp) (W^ = = gu(Rdlm Wu)), где gs : Rdlm WP ^ M2 (gu : Rdlm WP M2) — инъективная иммерсия и TpWs ® TpW'U = TpM2. Для любого подмножества P С Qf будем обозначать через W'U (Wp) объединение неустойчивых (устойчивых) многообразий всех точек из множества P. Для седловой точки р £ Qf компонента связности множества W£ (W£) называется устойчивой (неустойчивой) сепаратрисой.
Пусть р, q £ Qf —различные седловые точки, такие, что (W£ \ р) П (Wu \ q) = 0, тогда любая точка x £ (W£ \ р) П (W^1 \ q) называется гетероклинической точкой, а ее орбита — гетероклинической орбитой. Гетероклиническая точка может быть точкой трансвер-сального или нетрансверсального пересечения в следующем смысле. Два гладких подмногообразия Ni, N2 многообразия M2 пересекаются трансверсально в точке x £ (N1 П N2), если TxNi ® TxN2 = TxM2. В противном случае, пересечение в точке x называется нетранс-версальным пересечением (касанием). Точка касания x двух гладких одномерных подмногообразий Ni, N2 многообразия M2 называется точкой одностороннего касания, если существует такая окрестность Vx точки x, что N2 пересекается не более, чем с одной компонентой связности множества Vx \ Ni.
В настоящей работе рассматривается класс Ф сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов f £ Cr(M2), r ^ 5, удовлетворяющих следующим условиям:
1) неблуждающее множество Qf состоит из конечного числа неподвижных гиперболиче-
ских точек, и собственные значения Xp, цр любой седловой точки р £ Qf удовлетворяют условиям 0 < Хр < 1 < ц,р и Хр ■ ц,р = 1:
2) если (Wp \ р) П (W'U \ q) = 0 для седловых точек р, q £ Qf, то р = q и для любого
седла r £ Qf (включая р и q) (W£ \ r) П (WU \ р) = 0 и (W£ \ q) П (WU \ г) = 0;
3) блуждающее множество f содержит конечное число орбит гетероклинического касания4
и не существует седловых точек р, q £ Qf, таких, что все четыре компоненты связ-
4Заметим, что конечность числа трансверсальных гетероклинических орбит у диффеоморфизма f £ Ф следует из условий 1) и 2).
(в) Нарушено условие 3), так как на четырех сепаратрисах седел Ст1 и 02 есть точки одностороннего гетероклинического касания
(б)
(г) Нарушено условие 2), так как оба инвариантных многообразия седла стг содержат гетероклинические точки
Рис. 1. Примеры фазовых портретов диффеоморфизмов поверхностей.
ности множеств Шр \ р и \ Ц содержат точки одностороннего гетероклинического касания инвариантных многообразий Шр и Ш^.
На рисунке 1 изображены примеры фазовых портретов диффеоморфизмов сферы Б2 и тора Т2. Диффеоморфизмы на рисунках 1а, 1 б принадлежат классу Ф, а на рисунках 1е, 1г —не принадлежат классу Ф, поскольку нарушаются условия 3), 2) соответственно. Заметим, что диффеоморфизмы класса Ф являются частным случаем диффеоморфизмов, рассмотренных в работах [15], [14], и, следовательно, имеют конечное число модулей топологической сопряженности.
Пусть / £ Ф. Обозначим через А^ (Д^) подмножество множества Q,f, состоящее из источников (стоков). Положим Аf = Аи и АSf. Обозначим через Tlf подмножество множества Qf, состоящее из всех седловых точек5; через ^ — подмножество множества T¡f, состоящее из седловых точек, устойчивые многообразия которых содержат гетероклинические точки. Положим = Tlf \ ^. Согласно [23],
м2 = и шр = и ши
и, следовательно, множество А^ (А^) непусто. Положим
Mf = М2 \ (Ш/ и и и Аf).
5Если Е/ = 0, то неблуждающее множество диффеоморфизма f состоит из одного стока и одного источника, объемлющее многообразие М2 гомеоморфно сфере Б2, и все диффеоморфизмы «источник-сток» сопряжены между собой. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что множество Е/ не пусто.
Заметим, что множество Ш-Ц, и и содержит ровно по одному инвариантному многообра-
зию каждой седловой точки множества Е/ и не содержит гетероклинических точек. Так как множество Ши и и состоит из конечного числа попарно непересекающихся дуг, а множество А/ состоит из конечного числа точек, то М/ является двумерным многообразием и состоит из конечного числа компонент связности. Кроме того, можно записать М/ = = М2 \ (Е/ и Л/), где Е/ = Аи и ШЦ является репеллером и Л/ = А/ и ШЦ, является
аттрактором6 диффеоморфизма /. Тогда пространство орбит Т/ действия диффеоморфизма / на множестве М/ состоит из конечного числа копий двумерного тора и естественная проекция р^ : М/ -— Т/ является накрытием.
Для 0 <А< 1 и ц > 1 обозначим через : К2 — К2 линейный диффеоморфизм, заданный формулой
и,\(х,У) = (рх,Ау).
Положим
и^,х = {(х,у) е К2 : \х\\у\-* < 1}.
Определение 1.1. f -инвариантную окрестность Ца точки а е Е/ назовем С2-линеаризующей, если существует С2 -диффеоморфизм фа : Ца — и*а , сопрягающий диффеоморфизм f \ца с диффеоморфизмом f*a\и а^ .
Существование линеаризующей окрестности у любой седловой точки а диффеоморфизма f е Ф следует, например, из теоремы Белицкого7.
Обозначим через А множество точек одностороннего гетероклинического касания диффеоморфизма f. Для точки а еА обозначим через аа е Е/, а% е Е^ такие седловые точки, что а е П Ш^и. Из условия 3) для диффеоморфизмов f е Ф следует, что все точки одно-
стороннего касания из множества П лежат либо на одной устойчивой сепаратрисе седла аяа, либо на одной неустойчивой сепаратрисе седла а%. Обозначим через 1а промежуток [а, f (а)) С Ш, если все точки одностороннего касания множества ПШи принадлежат одной устойчивой сепаратрисе седла аа, и промежуток [а, f (а)) С Ш—в противном случае. Положим ца = цаа, Аа = Ааи и
©а =
ln А,
а
ln На
6 Замкнутое множество Л С Mn называется аттрактором диффеоморфизма f : Mn ^ Mn, если Л имеет компактную окрестность U = Mn, такую, что f (U) С int U и Л = р| fk(U). Множество называется
fc^o
репеллером диффеоморфизма f, если оно является аттрактором для f- .
Согласно теореме Белицкого (см. [1] или [22], теорема 3.20), С -диффеоморфизм поверхности в окрестности гиперболической седловой точки, такой, что \а= 1, С2-гладкой заменой переменных приводится к линейному виду. Таким образом, для диффеоморфизма f £ Ф существуют окрестности Уа седловой точки а диффеоморфизма /, Vo—начала координат 0(0,0) и С'“-диффеоморфизм фа : Va —»■ Vo, сопрягающий ограничение диффеоморфизма f на Уа с ограничением диффеоморфизма f ,\а на Vo . Положим Уа = У fnV) и Vo = U fjn^,ха (Vo). Диффеоморфизм можно продолжить до диффеоморфиз-
nGZ nEZ
ма : Va ^ Vo , определенного на f-инвариантном множестве Va, положив (x) = f-rr\ (фа (f m(x))),
где m — такое целое число, что f m(x) £ Va.
Для любого к £ N положим = : МЫ А<т 47 ^ т}- Выберем к £ ]\Г, такое,
К
что ик ^,а„ С Уо. Заметим, что диффеоморфизм /а<а„ \ик сопряжен с диффеоморфизмом 3' ра<а„ \и^
I-1 <г а
1 1
посредством диффеоморфизма Н(х,у) = (к &х° х,к у). Тогда иа = ^-1{ик,7,А,7) — искомая
линеаризующая окрестность с сопрягающим диффеоморфизмом = Н о : и„ ^ ира,А„.
Рис. 2. Отображение ga(x,y)
Обозначим через иа компоненту связности множества иаа П иаи, содержащую точку а. Для любой точки г е иа положим га = фава(г) = (га.,г.) и ги = фаи(г) = (гх,гу). По-
фаи(иа) (см. рис. 2) и запишем отображение да
ложим да = фа% ◦ (Фа |\иа) 1 : Фа°а (Ua)
В координатном виде ga(x,y) = (£а(х,у),Па(x,y)). Положим
ama. Обозначим через тI
Положим Ha = (int Ia) ПДП W^a П WU. Если Ha = 0, то пронумеруем точки множества На согласно ориентации на Ia от точки а к точке f (а): a1,
1
та '
число, модуль которого равен — — j., .. .,
числа Положим
т а
lnßa для всех i = 1, .. ., ma, а знак совпадает со знаком
Са =
(©а,т^,г;2, ...,тата), если На = 0, ©а, если На = 0.
Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 2.2 в [14].
Лемма 1.1. Для любой точки а е А набор параметров Са не зависит от выбора линеаризующих окрестностей седловых точек аа, а% диффеоморфизма f.
Пусть 5 е {и, з}. Для любой седловой точки а6 е Е/ положим Го-« = pf (Ш^ \ а6). По построению, 7а« является парой гладких непересекающихся узлов (диффеоморфных образов окружности). Положим А = pf (А) и Г/ = У Го-5, Г/ = Г/ и Гу. Заметим, что
множество Г/ (5 е {и, в}) является объединением непересекающихся пар узлов и множества Г/ и Гу касаются вдоль А (см. рис. 3). Для Г е А выберем любую точку а е р-1(а)
Рис. 3. Построение схемы Sf диффеоморфизма ] е Ф.
и положим Са = Са. Непосредственно проверяется, что Са = Са для различных точек а, а е р-1(а). Таким образом, набор параметров Са не зависит от выбора точки в множестве р-1(Г), поэтому определен корректно. Положим
С/ = {Са, Г е А}.
Определение 1.2. Набор S/ = (Т/, Г / ,С/) назовем схемой диффеоморфизма f е Ф.
Определение 1.3. Схемы S/ = (Т/, Г/,С/) и S/' = (Т/>, Г/' ,С/') диффеоморфизмов f, е Ф, соответственно, назовем эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Г : Т/ — Т/', такой, что:
1) <Г(Г/) = Г/,, причем ¡Г(Га6) = Та'*, где а6 е Е/ и а'6 е Е/,;
2) Са = С^(а)8 для Са е С/ ■
Заметим, что класс Ф содержит все диффеоморфизмы Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит. Для них множество СГ/ является пустым, а условие эквивалентности схем равносильно условиям, полученным Гринесом [11].
Основными результатами работы являются следующие теоремы.
Теорема 1.1. Если схемы диффеоморфизмов ¡'^'' е Ф эквивалентны, то диффеоморфизмы топологически сопряжены.
Обозначим через Ф* множество диффеоморфизмов f е Ф, таких, что отношение <Эа является иррациональным числом для любого а еА. Для диффеоморфизмов из класса Ф* условие эквивалентности схем является также необходимым условием топологической сопряженности, а значит, справедлива следующая теорема.
8Заметим, что равенство Са = С^а) достаточно проверить хотя бы для одной точки одностороннего касания в каждой паре касающихся узлов.
Теорема 1.2. Диффеоморфизмы f, f' е Ф* топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны.
Таким образом, в случае иррационального модуля (Эа эквивалентность схем является критерием топологической сопряженности диффеоморфизмов рассматриваемого класса. В том случае, когда (Эа рационально, найденный инвариант является лишь достаточным условием сопряженности.
2. Доказательство теорем 1.1 и 1.2
2.1. Доказательство теоремы 1.1
Пусть S/ = (Тк], Г/ ,С/) и S/' = (Тк^',Г/', С/') — эквивалентные схемы диффеоморфизмов f, f' е Ф соответственно. Тогда, согласно определению 1.3, существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Г : Тк] — Тк^,, такой, что:
1) ГГ6/) = Г/, причем Г(Га*) = , где а6 е Е/ и а'6 е Е/';
2) Са = Сф(а) для Са е С/.
Построение сопрягающего гомеоморфизма Н : М2 —- М 2, такого, что Н о f = f' о Н, разобьем на шаги.
Ш!аг 1. Из существования гомеоморфизма Г : Тк/ — Тк{, следует, что существует гомеоморфизм ( : М/ — М/', сопрягающий ограничение диффеоморфизма f на М/ с ограничением диффеоморфизма f' на М/', и такой, что ( = р^, о ( о р-1 (см., например, предложение 1.2.4 работы [5]). Таким образом, мы имеем сопрягающий гомеоморфизм на множестве М2 \ (Ш^ и ШЯ у и А/).
Благодаря условию 1) определения 1.3 эквивалентности схем, для любой точки а6 е Е/ существует точка а'6 е Е/, такая, что ((Ш6 \а6) = \а'6. Продолжим гомеоморфизм (
на множество Е/, положив ((а6) = а'6.
Положим 6 = и и а* и 6 = и Ц-М ) и и£ . = и£и и и£ * (и£ .' = и£у и и£ * ).
] а6 ]' а'6 е£*' ] ]
Ш!аг 2. Определим сопрягающий гомеоморфизм ( : и — и . Пусть аи е Еи
и а'и = ((аи). Положим
Ь \fjlU
Р = 1п V '
Определим гомеоморфизм (—у : Ш^и — Ш^ии следующим образом. Для любой точки Ь е (Ьи = (0,^и)) положим (-и(Ь) = Ь' (Ь'и = (0,г'и)), где ЬУу = (^)р, если ^ ^ 0,
и Ь'и = —\Ь'и\р, если Ь'и < 0. Проверим, что гомеоморфизм (-и сопрягает диффеоморфизмы f\щ*и и f'\ws'U. Сделаем проверку в случае, когда ^ ^ 0 (в случае, когда ^ < < 0, проверка аналогичная). С одной стороны, (-и^(Ь)) = (-и(ф-1 ^у,аи,х„и (фаи(Ь)))) = = (-и (ф-и и^аи ,Ки (0,Ьи ))) = (-и (ф-и1 (0, Х-и Ьи) = ф-и (0, (Х а и Ьи)р) = ф-и (0, (Ха и )р(ьи)р).
С другой стоPоны, Р((%и(Ь)) = f'(ф-'i(0, (г'и)р) = ф-и(иаи,хаи (фа'и(ф-'1(0, (ьи)р))) =
= ф~,1{0, Ха'и(1у)р). Так как р = ^<7'" , то (Хаи)Р = [Хаи)1о^х<уи х°’и = Ха*и и, следовательно,
1п Х&и
(-и и (Ь)) = f '((-и (Ь)).
Тогда искомый сопрягающий гомеоморфизм ( : Ш^ и — Шя и является гомеоморфизмом, совпадающим с гомеоморфизмом (-и для каждой седловой точки аи е Е'^.
Ш!аг 3. Определим сопрягающий гомеоморфизм (и : ШЦ* — ШЦ* . Пусть ая е Е/
и а'я = ((ая). Определим гомеоморфизм (и* : Ши* — ШЦ'* следующим образом.
Если ШЯ* не содержит точек одностороннего касания, то для любой точки ш е ШЦ*
1п ¿у*
(№ = (ш%, 0)) положим (-* (ш) = ш' (ш'“ = (ш'%, 0)), где ш' X = (ш%) 1п ^а* , если ^ 0, ш' X =
1п ца'*
= -\шХ\ 1п^а* , если шХ < 0. Аналогично шагу 2, можно показать, что гомеоморфизм (—* сопрягает диффеоморфизмы f \щив и f '\wп,*.
Если ШЯ* П ШЦи содержит точку одностороннего касания а, то положим
1п ¿У \Та\ 1пДд
Та' \
а' = ((а) и для любой точки ш е ШЦ* (№ = (шХ, 0)) положим (и* (ш) = ш' (ш'Я = (ш'X, 0)),
1пау 1п ¿У
где ш'Х = ^(ш'Х) 1п^а , если ш'Х ^ 0, ш'Х = -^\ш'Х\ 1п^а , если ш'Х < 0. Можно показать (как для гомеоморфизма (—и), что гомеоморфизм (и* сопрягает диффеоморфизмы f \^и* и f '^и,в. Кроме того, в силу условия 2) определения 1.3 эквивалентности схем, гомеоморфизм не зависит от выбора точки а в ШЯ* П ШЦи.
Искомый сопрягающий гомеоморфизм (и : Ши — Ши* определим как гомеоморфизмом, совпадающий с гомеоморфизмом * для каждой седловой точки ая е Е/.
Шаг 4. Положим Ри = и {(х,у) е И,2 : у = с} и Г = и {(х,у) е Я2 : х = с}.
сеЯ сеЯ
Для любой точки аи е Ец (ая е Е^) положим РЦи = ф-Ц:(РиПи^аи,ха.и) (Р%* = ф-*1(^вП Пи^а**)). Так как отображение фаи (фа*) класса С2, то слоения РЦи и Т%* также класса С2. Для любой точки х е иаи (х е иа*) обозначим через РЦи х (РЯ* х) единственный слой слоения РЦи (Р%*), проходящий через точку х. Определим проекции пЦи : иаи — Ш§и (п£*: иа* — Ши*) вдоль слоев слоения РЦи (Р^*) следующим образом: пЦи (х) = РЦи х П Ш^и (п%* (х)= РЯ* х П Ши*).
Пусть а е Ш%а П ШЦи — точки одностороннего касания. Тогда в некоторой окрестности иа точки а слои слоения РЦи трансверсальны слоям слоения Р Я*, кроме С1-кривой, на которой лежат точки касания слоев. Обозначим эту кривую 1а. Определим проекции па: иа — 1а (па: иа — 1а) вдоль слоев слоения РЦу (Р^*) следующим образом: пЦ(х) =
= П 1а (па(х) = Р^*а,х П 1а).
Проведем аналогичные построения для диффеоморфизма f'. Определим гомеоморфизм (1а : 1а — 1а' формулой
(1а (г) = ((пииГЧГаи (пЦу (г)))) П 1а'. (2.1)
Положим ЬА = и 1а (ЬЛ' = и 1а') и иЛ = и иа (иА' = и а').
аеА а' еА' аеА а'еА'
^^аг 5. Для каждой точки а е А определим гомеоморфизм (иа : иа — иа' следующим образом. Обозначим через и+а и и-а компоненты связности иа \ 1а следуя принципу, что любая точка г = (хЦ, 0) е иа принадлежит и+а, если > оЦ и принадлежит и-а, если хЦ < оЦ. Аналогично обозначим компоненты связности множества иа' \ 1а'. Определим гомеоморфизм (и+а : и+а — и+а' следующим образом: для любой точки г е и+ положим (ц+а (г) = г', где г' е и+ — точка пересечения слоев (п^)-1((1а (па(г)))
Рис. 4. Построение слоений
и (пЦ') 1((1а(пУа(г))). Аналогичным образом определим гомеоморфизм (ц-а : и а — и а'. Положим
{(и+а(г),г е и+а;
(и - а (г),г е и-а; (1а ,г е а
Определим гомеоморфизм (ил : и а — и а' как гомеоморфизм, совпадающий с (ца для каждого а е А.
Ш!аг 6. Для любой точки аЯ е Е^ (аи е Еи) определим f-инвариантное одномерное слоение ГЦ* (Г Яи) на иа* (иа*), трансверсальное слоению ГЯ* (РЦи) всюду, кроме Ьа, содержащее Ши* (ШЯи) как слой и такое, что если иа* П ШЦи = 0 (иаи П ШЯ* = 0) для некоторой точки аи е ЕЦ (аЯ е Е^), то для любой точки х е ((иа* \ Ьа) П иаи) (х е ((иаи \ Ьа) П иа*)) и слоя ГЦ* х (Т Яи х) слоения ТЦ* (Т Яи), проходящего через точку х, выполняется условие
(Ги*,х П и-и) С ТЦих ((ТЯих П и-*) С ТЯ*,х). (2.2)
Для любой точки х е иа* (х е иаи) обозначим через ГЦ* х (Т Яи х) единственный слой слоения ТЦ* (ТЯи), проходящий через точку х. Определим проекции пЦ* : иа* — ШЯ* (пЯи : иаи — ШЦи) вдоль слоев слоения ГЦ* (ТЯи) следующим образом: пЦ* (х) = ГЦ* х П ШЯ* (пЯи (х) = ГЯи,х П Ши ).
Для диффеоморфизма f' построим аналогичное слоение ТЦ'* с проекцией пЦ'* : иа* — — ШЯ'* для любой точки а'Я е Е/'. Кроме того, для любой точки а'Я е Е/' заменим слоение ^Я/а /^инвариантным одномерным слоением трансверсальным слоению со-
держащим ШЯ'* как слой, совпадающим с ГЯ'* на Ца' и таким, что для любой точки х е 1а',
являющейся ТОЧКОЙ пересечения слоев т И З-'^и слоений Т^в И З-'^и , все точки пере апап а' а'
сечения Тав х П и /”(/„') принадлежат слою х.
а ’ п£Ъ а'
Определим проекцию 7Г^.,Я : иа’в —*■ \¥£3 вдоль слоев слоения Та!., следующим образом:
тг^,е(х) = Т„'я хС\\¥™,3. Тогда для любой точки а £ Л такой, что а £ (И^а ПИ^«) и любого г е
1а справедливо равенство
((<°T\^A<4zmrla, = Vla(z). (2.3)
Для любой точки а,и £ определим слоение Таш и проекцию 1т3а,и аналогично и . Таким образом, если иа,в П Ш^>п = 0 (иа/и П ,в = 0) для некоторой точки а'и £
(а'3 £ Щ,), то для любой точки х' £ ((иа,в \Ьа,)Пиаи) (х' £ ((иа,и \Ьа,)Пиа,в)) и слоя Т^,в х, {Т^'и х/) слоения Т^в (З-^/и), проходящего через точку х' выполняется условие
(Fa’s.x’ П Uа'и) с Х! {{F ат Х! П иа/в) с Та/в х/). (2.4
Шаг 7. Пусть as £ Щ (au £ Eu) и a's = ((as) (a'u = ф(аи)). Положим У^в = (W,
nUsu) \ Ua (У U = Wou ^ Usв) \ Ua). Определим сопрягающий гомеоморфизм (soв : W(
в
s __.
f / \ '-A \- a,JJ V' '(?'*' • *■' s f / \ ^ Af — —ir ~ - — j— ~ r ^ r . . , as
W^/в (^Uu : W^u ^ WUu) как гомеоморфизм, совпадающий с ф вне некоторой окрестно-
сти У§в (УЦи), совпадащий с фиА на и а П Ш£в (иа П ) и удовлетворяющий следующему условию: для любой точки х £ У3в (х £ УЦи), такой, что х £ (Ш3 П иаи) (х £ (Ш^и П иав)), для некоторой точки аи £ (а3 £ ) выполняется равенство ф3ав (х) = (п^,и ф%и (пии (х)))
(ф'^(х) = (Т^в<р%в(тг£в(х)))).
Пусть а3 £ Е3 (аи £ Е^ и а'я = р(а'в) (а'и = р(аи)). Определим отображе-
ние ф ав: иа в иа'в (<£> аи : иаи ^ иа,и) как отображение, совпадающее с на иа в П и а (иаи П 11а) и такое, что для любой точки г £ (иав \ и а) (^ £ (иаи \ и а)), фав ^) (<фаи (г)) есть точка пересечения слоев (Г^.)-1 (¥>“»«»(*))) ((тг“,ц)_1(^«“(^)))) и «^)_1(^(^(^)))
ИК'-и )~Ч<Р^ «-(-))))•
Обозначим через фх;} '■ и£} — ие^ отображение, совпадающее с фа для каждого а £ E.Tif. Положим Хра = иа- Из соотношений (2.1)—(2.4) и условий 1), 2) эквивалентности
схем следует, что отображение Хра является гомеоморфизмом для любого а £ Tlf и Тр (х) = = Тр^{х) для любого х £ (с1 иа1 П с1 иа2) и а\, а-2 £ Е/. Таким образом, отображение ^pY,f является гомеоморфизмом.
Шаг 8. Для любого £ £ (0,1) положим и^ х = {(х,у) £ И,2 ■ |х||у|_ 1о^м ^ ¿}. Для любого а £ Еf положим и^ = ф-1(и^^ ) и и|^ = У и{
<7*
oeS f
Выберем значение t0 £ (0,1) так, чтобы фs f (U^ ) С (p(Usf) U W£u U WUs ). Положим
f f' f'
Q = Usf \ int U*ff, R = dUsf, Ro = dUf, Q' = ф(иЕf) \ int фsf (Uf), R' = <p(dUsf), Ro = ф£f (dU%?f), Q = Pf (Q), Q' = pf, (Q') и ф£f = pf, о фЕf O (Pf \Ro)-1 : Ro ^ Ro.
По построению, множества Q, Q' имеют одинаковое число компонент связности, каждая из которых гомеоморфна стандартному двумерному кольцу (на рис. 5 множество Q закрашено). Тогда существует гомеоморфизм (pQ: Q ^ Q', такой, что (pQ\r = ф и (¡)q\rq = = фs f .
Рис. 5. Иллюстрация к шагу 8.
Обозначим через фд ■ Q — $ поднятие гомеоморфизма фд, совпадающее с ф на диху. Определим гомеоморфизм Н ■ М2 \ Af — М2 \ Af, формулой
ГфЕу(х),х £ и^; Н(х) = л фд(х),х £ Q;
\ф(х),х £ М2 \ их /.
Тогда искомый гомеоморфизм получается из гомеоморфизма Н непрерывным продолжением на множество Af.
2.2. Доказательство теоремы 1.2
Достаточность условий теоремы 1.2 следует из теоремы 1.1, докажем их необходимость. Пусть диффеоморфизмы /, /' £ Ф* топологически сопряжены. Из определения топологической сопряженности следует, что существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Н ■ М2 — М2, такой, что Н о / = /' о Н. Покажем, что схемы Sf и Sf, эквивалентны. Для этого надо показать, что существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм р ■ Тку — Тку,, такой, что:
1) ф(^) = 1^,, причем ф(Таб) = , где а6 £ Еf и а'6 £ Еf,;
2) Са = Сф(а) для Са £ Cf (см. определение 1.3).
Напомним, что Mf = М2 \ (ШЩ и и Af), Mf, = М2 \ (Шщ, и и Af,), Cf =
= {Са,С £ А}, Cf, = {Са,,Т £ А'}.
Так как сопрягающий гомеоморфизм Н переводит инвариантные многообразия неподвижных точек диффеоморфизма / в инвариантные многообразия неподвижных точек диффеоморфизма /' с сохранением размерности и устойчивости, то Н(Mf) = Mf,. Тогда число kf компонент связности множества Mf совпадает с числом kf, компонент связности множества Mf'.
Определим гомеоморфизм Т = Ру, о Н о р-1 ■ Тку — Тку,. Возьмем любую точку а6 £
£ Е^. Покажем, что Т(Са«) = Са« для любого множества Са« £ . Действительно, Т(Тт«) =
= Р (Н(Р-1(Та« ))) = Ру, (Н(Ш6\ а6)) = Ру, (Ши \ а'6) = Та'6 .
Выполнение условия 2) определения 1.3 следует из работ [14] и [20], следовательно схемы Sf и Sf, эквивалентны.
Авторы благодарят В.З.Гринеса за постановку задачи и постоянное внимание к работе и участников семинара под руководством Л. П. Шильникова за активное обсуждение результатов. Особая благодарность С.В.Гонченко за внимательное прочтение статьи, полезные замечания и дополнения. Авторы благодарят грант 08-01-00547 РФФИ.
Список литературы
[1] Белицкий Г. Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев: Наукова думка, 1979. 174 с.
[2] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях: Ч. 1 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. / Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: ГГУ, 1985. С. 22-38.
[3] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях: Ч. 2 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. / Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: ГГУ, 1987, с. 24-32.
[4] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях //Дифференциальные и интегральные уравнения / Н.Ф. Отроков. Горький: ГГУ, 1985. С.33—37.
[5] Бонатти Хр., Гринес В.З., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях // Труды Института Математики Стеклова, 2005, т. 250, с. 5-53.
[6] Bonatti Ch., Langevin R. Difféomorphismes de Smale des surfaces. (Astérisque, vol. 250.) Paris: Soc. Math. France, 1998. 243 p.
[7] Гаврилов Н.К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой: Ч. 1 // Матем. сб., 1972, №4, с. 475-492;
Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой: Ч. 2 // Матем. сб., 1973, № 1, с. 139-157.
[8] Гонченко С. В. Модули систем с негрубыми гомоклиническими траекториями (случаи диффеоморфизмов и векторных полей) // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. сб. науч. тр. / Л. П. Шильников. Горький: ГГУ, 1989. С. 34-49.
[9] Гонченко С. В., Шильников Л. П. Инварианты Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. матем. журн., 1990, №2, с. 153-159.
[10] Гонченко С. В., Шильников Л. П. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пу-
анкаре // Изв. РАН. Сер. матем., 1992, т. 56, №6, с. 1165-1197.
[11] Гринес В.З. Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса—Смейла с конечным
множеством гетероклинических траекторий на поверхностях // Матем. заметки, 1993, т. 54, вып. 3, с. 3—17.
[12] Гринес В. З. О топологической классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с одномерными аттракторами и репеллерами // Матем. сб., 1997, т. 188, no. 4, с. 57—94.
[13] Langevin R. Quelques nouveaux invariants des diffeomorphismes Morse-Smale d’une surface // Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1993, vol. 43, no. 1, pp. 265-278.
[14] De Melo W. Moduli of stability of two-dimensional diffeomorphisms // Topology, 1980, vol. 19, pp. 9-21.
[15] de Melo W., van Strien S. J. Diffeomorphisms on surfaces with a finite number of moduli // Ergodic Theory Dynam. Systems, 1987, vol. 7, no. 3, pp. 415-462.
[16] Митрякова Т. М., Починка О. В. Классификация простейших диффеоморфизмов сферы S2 с одним модулем устойчивости // Современная математика и ее приложения. Институт кибернетики АН Грузии, 2008, т. 54. с. 99-113.
[17] Nielsen J. Die Struktur periodischer Transformationen von Flachen // Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd., 1937, vol. 15, pp. 1—77.
[18] Newhouse S. E., Palis J. Bifurcations of Morse-Smale dynamical systems // Dynamical systems: Proc. Sympos. (Univ. of Bahia, Salvador, Brasil, 1971) / M. Peixoto. New York: Acad. Press, 1973. P. 303-366.
[19] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology, 1969, vol. 8, pp. 385-404.
[20] Palis J. A differentiable invariant of topological conjugacies and moduli of stability // Asterisque, 1978, vol. 51, pp. 335-346.
[21] Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems: Proc. Sympos. (Univ. of Bahia, Salvador, Brasil, 1971) / M. Peixoto. New York: Acad. Press, 1973. P. 389-419.
[22] Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике: Ч. 1. М.-Ижевск: Инст. компьютер. исслед., 2004. 416 с.
[23] Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc., 1967, vol. 73, no. 6, pp. 747817 [Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН, 1970, т. 25, №1, с. 113-185].
