CC BY
8К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла
С. В. Гонченко1, А. С. Гонченко2
1 НИИ Прикладной математики и кибернетики 603005, Россия, Нижний Новгород, ул. Ульянова, 10
E-mail: gosv100@uic.nnov.ru
2 Нижегородский государственный университет 603000, Россия, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23
E-mail: gosv100@uic.nnov.ru
Получено 12 января 2007 г.
Рассматривается задача классификации подков Смейла с точки зрения локальной топологической сопряженности порождающих их двумерных отображений. Показывается, что существует 10 различных типов линейных подков.
В случае нелинейных подков, как было установлено в недавней работе [4], различных типов может быть бесконечно много. Однако этот результат относится к новому классу подков, так называемым полуориентируемым подковам, которые могут существовать у эндоморфизмов (необратимых отображений) диска, а также у диффеоморфизмов, заданных на неориентируемых двумерных многообразиях. В настоящей работе дается также краткий обзор соответствующих результатов из [4].
Цитата: С. В. Гонченко, А. С. Гонченко, К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла, Нелинейная динамика, 2007, т. 3, №4, c. 423—443.
Ключевые слова: подкова Смейла, локальная топологическая сопряженность, гиперболическое множество, стандартное и обобщенное отображения Эно.
S. V. Gonchenko, A. S. Gonchenko Towards a classification of linear and nonlinear Smale horseshoes
We consider the problem of classification of Smale horseshoes from point of view of the local topological conjugacy of two-dimensional maps which generate the horseshoes. We show that there are 10 different types of linear horseshoes. As it was established in the recent paper [4], there are infinitely many different types of nonlinear horseshoes. All of them belong to the class of the so-called half-orientable horseshoes and can be realized for endomorphisms (not one-to-one maps) of disk or for diffeomorphisms of non-orientable two-dimensional manifolds. We give also a short review of related results from [4].
Citation: S. V Gonchenko, A. S. Gonchenko, Towards a classification of linear and nonlinear Smale horseshoes, Rus. J. Nonlin. Dynamics, 2007, Vol. 3, No. 4, pp. 423—443.
Keywords: Smale horseshoe, local topological conjugacy, hyperbolic set, standard and generalized Henon maps.
MSC 2000: 37Dxx, 37D20
Введение
В сентябре 1961 г. американский математик С.Смейл, уже известный в то время своими топологическими работами, выступил на международном математическом симпозиуме в Киеве с докладом «Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм с бесконечным числом периодических точек» [1].1 Собственно, в докладе Смейла был приведен пример С-диффеоморфизма двумерной сферы, неблуждающее множество которого состоит из двух неподвижных точек, источника и стока, а также нетривиального гиперболического базисного множества Л. Последнее получило наименование «подковы Смейла», а сам диффеоморфизм и его аналоги называются диффеоморфизмами подковы Смейла (или просто диффеоморфизмами подковы). В определенном смысле это событие можно рассматривать как начало становления гиперболической теории. К настоящему времени эта важная и во многом основополагающая часть теории динамических систем выглядит вполне завершенной областью знаний, в которой практически не осталось «белых пятен» (о некоторых нерешенных проблемах см., например, в [2, 3]). Однако, как выяснилось совершенно недавно, [4], от гиперболической теории следует ожидать новостей. И что уж совсем выглядит курьезным — эти новости имеют, в частности, отношение именно к тому, с чего гиперболическая теория собственно и начиналась — к подковам. Об этом частично и пойдет речь в настоящей работе.
С общепринятой точки зрения, подковы Смейла считаются простейшими нетривиальными (нульмерными) гиперболическими множествами, о которых «известно всё». Действительно, все они одинаковы с точки зрения О-сопряженности, т.е. топологической сопряженности на множестве неблуждающих траекторий. Последнее, будем обозначать его как Л, имеет в любой подкове (в том числе и многомерной) структуру прямого произведения двух канторовских множеств, а ограничение отображения на Л сопряжено с топологической схемой Бернулли В2 из двух символов. Однако если рассматривать не только траектории из Л, но и близкие, т.е. изучать подковы с точки зрения локальной топологической сопряженности, то можно немедленно заметить, что подковы бывают разные. Даже линейных подков можно насчитать 10 различных типов, см. рисунки 2, 10 и утверждения 1 и 2. В нелинейном случае различных подков может быть гораздо больше. Однако если рассматривать только диффеоморфизмы плоскости (точнее, диффеоморфизмы диска на себя), то дело ограничивается, по-видимому, только шестью типами подков, вполне аналогичных тем, которые указаны на рис. 2. Если же рассматривать эндоморфизмы (гладкие необратимые отображения), или диффеоморфизмы двумерных неориентируемых многообразий, то, как это было обнаружено в [4], в этом случае существует бесконечное множество различных подков. Правда, все они принадлежат классу т.н. полуориентируемых подков.
Заметим, что, в отличие от хорошо известных ориентируемых и неориентируемых подков Смейла (см. рис. 2), полуориентируемые (примеры линейных полуориентируемых подков показаны на рис. 10, а нелинейных — на рис. 14, 15 и 18), мягко говоря, не так популярны. По-существу, их теория начала разрабатываться в работе [4], в которой такие подковы были собственно и обнаружены в обобщенных отображениях Эно. См. § 2, в который мы включили обзор основных результатов из [4].
1. Линейные подковы Смейла и их различные типы
Геометрически, действие диффеоморфизма подковы выглядит весьма просто, и мы проиллюстрируем его на примере соответствующего диффеоморфизма Т квадрата Q с вершина-
1 См. перевод этой заметки на стр. 445 этого номера
ми [а,Ъ,е,(1], см. рис 1. Здесь диффеоморфизм Т = Т2Т1 строится в виде композиции двух отображений Т1 и Т2. Отображение Т1 превращает квадрат в узкий и длинный прямоугольник, т.е. Т1 сжимает Q в горизонтальном направлении и растягивает в вертикальном. В простейшем случае Т\ можно считать линейным отображением типа х = \х + а\, у = 7у + а2 таким, что |Л| < 1/2, \ > 2, а вектор (а1,а2) задает некоторый сдвиг. Отображение Т2 уже
существенно нелинейное, его действие заключается в том, что прямоугольник Т1^) сгибается в форме подковы и накладывается на квадрат Q так, чтобы вершина подковы лежала бы вне Q. У Смейла отображение Т2 — кусочно-линейное: оно нелинейное только в средней части Т1(д0) прямоугольника Т1^) (которая отображается в вершину подковы, не пересекаясь с Q) и линейное на концах — на прямоугольниках Т1(д1) и Т1(^2), см. рис. 1. Такая подкова называется линейной. Для линейной подковы условия |Л| < 1/2 и \7\ > 2 являются, естественно, необходимыми для того, чтобы подкову Т^) можно было хорошо расположить на Q.
ад
ад
ад
т(О)
а
4<ь)
ь
й
Т(д2)
Рис. 1. Геометрическая конструкция линейной подковы Смейла
Определение 1. Подковой Смейла называется (локально максимальное на Q равномерно гиперболическое) множество
Л= П тп^)-
(1.1
Нужно сказать, что хотя мы формально привязываем это определение к конкретной ситу-
п= — ОС
ации — линейной подкове диффеоморфизма Т, формула (1) может рассматриваться как определение подковы вообще. Однако требуется еще выполнение определенных условий. В случае линейной подковы достаточно, чтобы существовала геометрическая картина такая, что
а) Т^) П Q состоит из двух компонент связности Т(д^) П Q, г = 1,2;
б) Т(до) П Q = 0;
в) отрезки [а1, в'} и [Ъ, с'] (образы сторон [а, в] и [Ъ, с] относительно Т) лежат вне Q.
Однако в общей ситуации на отображение Т, кроме подобных геометрических условий, нужно накладывать также определенные условия «сжатия и растяжения», чтобы обеспечить гиперболичность множества Л. Это множество Л у всех подков (линейных и нелинейных) одинаково как в теоретико-множественном смысле — Л гомеоморфно прямому произведению двух канторов-ских множеств интервала, так и в динамическом — подковы О-сопряжены. Последнее означает следующее. Пусть отображения Т и Т' имеют подковы Л и Л' соответственно. Тогда динамические системы Т|Л и Т'|л, — топологически сопряжены, т.е. существует гомеоморфизм Н: Л и Л' такой, что следующая диаграмма
Л Л
I Н IН (1.2)
л' -и Л
комму|тативна (т. е. гомеоморфизм Н переводит траектории системы Т| Л в траектории с| исте-мы Т'|л,). Более того, для любой подковы соответствующая ей динамическая система Т|л сопряжена с топологической схемой Бернулли В2 из двух символов. Последний факт, вместе с гиперболичностью Л, можно рассматривать, в принципе, также как определение подковы.
Таким образом, О-сопряженность не позволяет различать подковы. Однако если рассматривать более сильные отношения эквивалентности, то с их помощью уже можно различать подковы Смейла. Одним из наиболее важных и хорошо известных типов отношений эквивалентности в теории динамических систем является так называемая локальная топологическая эквивалентность (сопряженность).
Определение 2. Пусть даны два отображения Т и Т', которые имеют (замкнутые) инвариантные множества Л и Л' соответственно. Тогда Т и Т' локально топологически сопряжены (на Л и Л'), если для любых окрестностей V(Л) и У'(Л') существуют такие их подокрестности и С V и и' С У', а также гомеоморфизм Н: и и и', что Н(Л) = Л и следующая диаграмма
и (Л) -и и (Л)
IН I Н (1.3)
и '(Л') -и и' (Л')
коммутативна. Таким образом, гомеоморфизм Н переводит не только траектории системы Т|л в траектории системы Т'|л,, но также и все близкие траектории (не обязательно целые).
Очевидно, локальная топологическая сопряженность влечет О-сопряженность, обратное, вообще говоря, не верно — даже в случае простейших гиперболических множеств — подков Смейла. У таких подков даже в линейном случае (хотя линейность здесь в определенном смысле2
2Имеется в виду, что линейные и нелинейные подковы с одинаковой геометрией топологически эквивалентны, но линейных подков таких типов, как, например, на рис. 15 и 18 ниже, не бывает.
с
й
(а)
(Ь)
С
а Я
У////Л
шА У////А
У г<
(с!)
(е)
(Г)
Рис. 2. (а)—(с) — ориентируемые, (ё)—(!) — неориентируемые диффеоморфизмы подковы
не важна) существуют свои инварианты локальной топологической сопряженности. Например, множества граничных периодических точек. Сам этот факт является следствием общей теории [5] инвариантов топологической сопряженности транзитивных гиперболических множеств (а подкова Смейла — именно такое множество).3
Определение 3. Пусть Л — инвариантное замкнутое транзитивное гиперболическое множество двумерного отображения. Седловая периодическая точка Р € Л называется в-граничной, если отрезок 'ШЮСС(Р) её устойчивого многообразия делит любую достаточно малую окрестность V(Р) точки Р на два открытых диска У и У2 (т.е. V = У\ и У2 и П V))таких, что У\ П Л = 0 и У2 П Л = 0. Аналогично, точку будем называть и-граничной, если такое разделение имеет место для Ш'Сс. Точку, которая является одновременно в-граничной и и-граничной, будем называть (в, и)-граничной.
Мы покажем, что в случае диффеоморфизма двумерного диска на себя существуют подковы, обладающие разными наборами граничных точек, а значит, подковы различных (локально) топологических типов.
3Отметим, что задача классификации гиперболических диффеоморфизмов и гиперболических множеств на двумерных многообразиях является одной из наиболее известных в гиперболической теории. При этом основными инвариантами здесь выступают как раз граничные точки [5], см. также [6]. Однако, насколько нам известно, для подков Смейла такая задача не рассматривалась (поскольку, по-видимому, «здесь и так всё ясно»).
В случае когда Т — диффеоморфизм квадрата Q (линейный, для определенности на д\ и д2, см. рис. 1), нетрудно нарисовать шесть геометрически различных типов линейных подков, см. рис. 2. Подковы, изображенные на рис. 2 (а) и (ё) будем называть «обыкновенными», а остальные — «закрученными». Кроме того, подковы рисунков 2 (а)—(с) являются ориентируемыми, а рисунков 2 (ё)—(!) — неориентируемыми, в соответствии с типом ориентируемости диффеоморфизма Т.
Отметим, что, как и у любой подковы, у подков рисунка 2 существует по две неподвижные точки 0\ и 02 — будем считать для определенности, что 0\ € д\,02 € д2. Однако легко видеть, что знаки мультипликаторов точек 0\ и 02 образуют разные комбинации у подков рисунка 2. А именно, в случае подковы (а) мультипликаторы точки 0\ положительны, а точки 02 — отрицательны; в случае подковы (ё) точка 0\ имеет положительный неустойчивый и отрицательный устойчивый мультипликаторы, а точка 02, наоборот, — отрицательный неустойчивый и положительный устойчивый мультипликаторы;4 обе точки 0\ и 02 в случае подковы (Ь) имеют положительные мультипликаторы, в случае подковы (с) — отрицательные мультипликаторы; в случае подковы (е) — положительный неустойчивый и отрицательный устойчивый мультипликаторы, наконец, в случае подковы (!) — положительный устойчивый и отрицательный неустойчивый мультипликаторы. Кроме того, у любой подковы (в том числе и у изображенных на рисунке 2) существует цикл периода два, состоящий из точек Р\ и Р2 таких, что Т(Р\) = Р2,Т(Р2) = Р\ и Р\ = Р2; причем такой цикл — единственный.
Следующее утверждение характеризует граничные точки подков рисунка 2.
Утверждение 1.
1. В случае ориентируемой подковы рисунка 2(а) множество её граничных точек состоит из одной неподвижной точки 0\, которая является (в, и)-граничной.
2. В случае неориентируемой подковы рисунка 2(ё) множество её граничных точек составляют неподвижные точки 0\ и 02; причем точка 0\ является в-граничной, а точка 02 — и-граничной.
3. В случае ориентируемой подковы рисунка 2(Ь) множество её граничных точек составляют точки 0\ и 02, которые обе являются (в, и)-граничными.
4. В случае ориентируемой подковы рисунка 2(с) множество её граничных точек составляют точки Р\ и Р2 цикла периода два, которые являются (в, и)-граничными.
5. В случае неориентируемой подковы рисунка 2(е) множество её граничных точек составляют точки 0\ и 02, а также точки Р\ и Р2; причем точки 0\ и 02 являются в-граничными, а Р\ и Р2 — и-граничными.
6. В случае неориентируемой подковы Смейла рисунка 2(!) множество её граничных точек составляют точки 0\ и 02, а также точки Р\ и Р2; причем точки 0\ и 02 являются и-граничными, а Р\ и Р2 — в-граничными.
Доказательство. Разобьем квадрат Q на^две половинки, как показано на рис. 3: Q0 и Ql — два вертикальных прямоугольника и <5о и (^\ — два горизонтальных.
4Как обычно, устойчивым мы называем тот мультипликатор, который по модулю меньше единицы, а неустойчивым — тот, который по модулю больше единицы
с Ъ
Яі
Яо Оі
Яо
а <1 а д,
Рис. 3.
1) Рассмотрим случай обыкновенной подковы рисунка 2(а). Здесь образ Т([а,Ь]) стороны [а, Ь] пересекает Q0 и Q1 по отрезкам, которые являются, в силу геометрии, левой и правой соответственно границами подковы Т^). При этом кривая 10 = Т([а,Ь]) П Qo пересекает Qo вертикально по всей длине («накрывает» [а, Ь] по вертикали). Это означает, что при дальнейших итерациях на Q0 образы кривой 10 в пересечении с Q0 будут накапливаться к той инвариантной кривой на Q0, которая остается в Q0 при все положительных итерациях Т. Такая кривая единственная в любой подкове — это связный кусок 1и(01) множества Ши(01) П Q0, содержащий точку О1. В данном случае кривая 1и(01) является левой вертикальной границей множества Л. Очевидно, правой такой границей является кривая Т(1и) П Q1. Аналогичные рассуждения показывают, что нижней инвариантной границей множества Л является кривая 13 (01) — связная компонента множества Шя(01) П Q0, содержащая точку 01. Соответственно, верхней такой границей является кривая Т-1(13) П Q1.
Рис. 4. Начало канторовской процедуры создания ориентируемой подковы в случае (а) рисунка 2. Вначале, рис.(а), куски устойчивого и неустойчивого многообразий точки 01 ограничивают прямоугольник і5 такой, что (І) нет неблуждающих точек вне <3; (ІІ) некоторые точки траекторий из Л принадлежат границе квадрата С} (4 такие точки показаны на рисунке: три из них — это гомоклинические к 0\ точки, (Н1, Н2, Н3), и ещё одна — это сама точка Оі). Рис.(Ь) — при соответствующем продолжении кусков кривых на Ш>і(01) и Ши(01) из рис. (а) образуется 4 новых прямоугольника ^оо, Я,01, Я10 и Ян таких, что опять нет точек множества Л вне их, а на границе квадратов — есть: 16 таких точек показаны на рисунке
Таким образом, в случае подковы рисунка 2 (а) (т.н. ориентируемая обыкновенная подко-
ва) устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки 01 (имеющей положительные мультипликаторы) формируют границы множества Л. На рис. 4 показаны первые два шага кан-торовской процедуры, ведущей к Л. Сначала образуется прямоугольник О, у которого сторонами служат соответствующие куски (13,1и, Т-1(13),Т(1и)) устойчивого и неустойчивого многообразий точки О1. Заметим, что вершины квадрата, {01,Л1,Л2, Л3}, принадлежат Л. На втором шаге, рис. 4(Ь), образуются 4 новых квадрата <5оо, Яо1, Яю, Яп, принадлежащих <5 и содержащих всё Л. Кроме того, вершины квадратов 0^ также принадлежат Л: это точка 01 и 15 го-моклинических к ней точек. Заметим, что другая неподвижная точка, 02, имеет отрицательные мультипликаторы и расположена строго внутри 011. Таким образом, в рассматриваемом случае неподвижная точка 01 является (в, и)-граничной.
Рис. 5. Начало канторовской процедуры создания неориентируемой подковы Смейла в случае (ё) рисунка 2
2) У неориентируемой обыкновенной подковы рисунка 2(ё) неподвижная точка 01 имеет положительный неустойчивый и отрицательный устойчивый мультипликаторы; другая неподвижная точка 02, наоборот, имеет положительный устойчивый и отрицательный неустойчивый мультипликаторы. Это говорит о том, что Ши(01) и Шя(02) не могут служить границами множества Л, поскольку отрицательный мультипликатор означает, что точки из Л будут накапливаться к этим многообразиям с двух сторон. Однако устойчивое многообразие Шя(01) будет формировать, как и прежде, горизонтальную границу множества Л. Другие границы, вертикальные, образует неустойчивое многообразие точки 02. Рассуждение здесь такое же, как и в предыдущем случае — только теперь образ Т([с, й]) стороны [с, й] формирует границы множества Т(0), и Т([с,й]) накрывает [с,й] на 01. То есть, при дальнейших итерациях на 01 образы [с,й] в пересечении с 01 будут накапливаться к той инвариантной кривой на 01, которая остается в 0\ при все положительных итерациях Т — связному куску 1и(02) множества Ши(02) П 01, содержащему точку 02. Таким образом, в этом случае граничными (периодическими) точками являются 01 — в-граничная — и 02 — и-граничная. На рис. 5 показаны первые два шага канторовской процедуры, ведущей к Л. Сначала образуется прямоугольник О, у которого сторонами служат соответствующие куски Шя(01) и Ши(02). Вершинами этого квадрата являются 4 специфические гетероклинические точки. На втором шаге, рис. 5(Ь), образуются 4 новых квадрата Яоо, Яо1,Яю, Ян, принадлежащие О и содержащие всё Л. Кроме того, вершины квадратов фу также принадлежат Л: это 16 гетероклинических точек.
3) У ориентируемой «закрученной» подковы рисунка 2(Ь) обе неподвижные точки 01 и 02
имеют положительные неустойчивый и устойчивый мультипликаторы. Более того, многообразия Ши(0\), Ши(02), Ш3(0\) и Шв(02) служат здесь границами множества Л. Таким образом, в этом случае граничными (периодическими) точками являются 0\ и 02 — обе эти точки — (в, и)-граничные. На рис. 6(а) показано начало канторовской процедуры, ведущей к Л, когда образуется 4 прямоугольника, у которых вертикальными сторонами служат соответствующие куски многообразий Ши(0\) и Ши(02), а горизонтальными — соответствующие куски многообразий Ш5(0\) и Шя(02). Вершинами каждого из этих квадратов являются 2 гомоклинические и 2 ге-тероклинические точки.
Рис. 6.
4) В случае неориентируемой «закрученной» подковы рисунка 2(е) обе неподвижные точ-
ки 0\ и 02 имеют положительный неустойчивый и отрицательный устойчивый мультипликато-
ры. Поэтому многообразия Ш5(0\) и Шя(02) по-прежнему служат здесь (горизонтальными)
границами множества Л. В то же время многообразия Ши(0\) и Ши(02) не могут образовывать границу для Л, в силу отрицательности устойчивых мультипликаторов. Однако нетрудно понять, какая же вертикальная граница будет у Л. Дело в том, что отображение подковы устроено так, что итерации вперед боковых сторон [а, Ь] и [с, й] сторон квадрата О должны сходиться к крайним многообразиям, если, конечно, брать всегда «самые левые» и «самые правые» образы. Обозначим через р\ и р2 середины отрезков [а, Ь] и [с, й], соответственно. Из рисунка 2(е) легко видеть, что образ отрезка [р\,Ь] будет являться самой правой границей множества Т(О) П О, а образ отрезка [р2, й] будет являться самой левой его границей. Более того, только после второй итерации образ отрезка [р\,Ь] накроет себя (по координате у); то же самое касается и отрезка [р2, й].
Отсюда можно сделать вывод, что граничными неустойчивыми многообразиями множества Л являются неустойчивые многообразия точек Р\ и Р2 периода 2. На рис. 6(Ь) показано расположение начальных кусков многообразий Ш3(0\) и Шв(02) и Ши(Р\) и Шв(Р2), которые образуют в пересечении 4 криволинейных квадрата, у которых вертикальными сторонами служат соответствующие куски многообразий Ши(Р\) и Ши(Р2), а горизонтальными — соответствующие куски многообразий Ш8(0\) и Шя(02). Вершинами каждого из этих квадратов являются специфические гетероклинические точки. Соответственно, граничными точками множества Л являются в
этом случае неподвижные точки 01 и 02 (з-граничные) и точки цикла (Р1, Р2) (и-граничные).
5) В случае ориентируемой «закрученной» подковы рисунка 2(с) неподвижные точки О1 и 02 имеют отрицательные мультипликаторы. Поэтому сами точки 01 и 02 не могут быть граничными. Однако из рис. 7(а) нетрудно понять, что здесь (в, и)-граничными точками служат точки Р1 и Р2 цикла периода два.
Рис. 7.
6) Случай подковы рисунка 2(1) (обе неподвижные точки 01 и 02 имеют положительный устойчивый и отрицательный неустойчивый мультипликатор) сводится к рассмотрению подковы рисунка 2(е) для диффеоморфизма Т-1. Поэтому, в соответствии с пунктом 4) доказательства, мы выводим, что здесь и-граничными являются неподвижные точки 01 и 02, а з-граничными — точки Р\ и Р2 цикла периода два, см. рис. 7(Ь). ■
Заметим, что результаты пунктов 3) и 5) были получены также в работах [7, 8, 9], правда, в другой геометрической интерпретации подков как инвариантных подмножеств гиперболических множеств кубических отображений Эно (последние описываются с помощью топологической схемы Бернулли из трех символов), ср. рис. 2 (Ь) и (с) с рис. 8. В этом же смысле, подковы (е) и (1) рисунка 2 могут быть также реализованы в кубических отображениях Эно с отрицательным якобианом.
Мы видим, что геометрия (и топология) даже линейных подков может быть весьма разнообразной. Кроме того, подковы могут быть представлены также и так как на рис. 9. Однако легко понять, что (локально) топологически они устроены так же, как и обыкновенные подковы рисунков 2 (а) и (ф соответственно. В общем плане топологические типы подков Смейла в случае диффеоморфизмов диска исчерпываются, очевидно, подковами, представленными на рис. 2.
Можно построить новые типы линейных подков в случае отображения диска, если не предполагать, что отображение Т является обязательно диффеоморфизмом. Но по-прежнему, отображения Т1, а также Т2Т и Т2Т^ нужно брать линейными (см. рис.1) — обязательное условие для линейной подковы Смейла. Тогда оказываются возможными еще 4 типа так называемых полуориентируемых подков [4] (опять же с точностью до замены 01 на 02). Все они представ-
Рис. 8.
Рис. 9.
лены на рис. 10 и характеризуются тем, что ориентация отображения Т на и д2 — разная (отображение Т ориентируемо на и неориентируемо на д2 в случаях ^) и (і); и, наоборот, Т неориентируемо на и ориентируемо на д2 в случаях (И) и 0)). Для таких подков мы также устанавливаем следующий результат, аналогичный утверждению 1.
Утверждение 2.
1. В случае полуориентируемой подковы рисунка 10 ^) множество её граничных точек состоит из неподвижных точек 0\ и 02, причем 0\ — (в, и)-граничная, а 02 — и-граничная.
2. В случае полуориентируемой подковы рисунка 10 (И) множество её граничных точек состоит из неподвижной точки 0\ и цикла (Р\,Р2), причем 0\ — в-граничная, а точки цикла (Р\,Р2) — и-граничные.
3. В случае полуориентируемой подковы рисунка 10 (і) множество ее граничных точек состоит из неподвижных точек 0\ и 02, причем 0\ — (в, и)-граничная, а 02 — в-граничная.
Рис. 10.
4. В случае полуориентируемой подковы рисунка 10 0) множество ее граничных точек состоит из неподвижной точки 0\ и точек Р\ и Р2 цикла периода два; причем 0\ — и-граничная точка, а точки Р\ и Р2 — в-граничные.
Доказательство проводится таким же образом, как и для утверждения 1. Соответствующие картинки расположения устойчивых и неустойчивых многообразий показаны на рис. 11. Заметим, что пункты 1) и 2) утверждения 2 доказаны в [4].
2. Подковы в нелинейной динамике, в стандартном и обобщенном отображениях Эно, на неориентируемых многообразиях
Подковы Смейла, как гиперболические подмножества, встречаются в любой системе со сложной динамикой, т.е. допускающей грубые (трансверсальные) гомоклинические траектории Пуанкаре. Этот фундаментальный результат восходит к работам Смейла [10] и Шильникова [11], в которых был проведен анализ множества N траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой гомоклинической орбиты.5 Однако, как показано в [11], подкову в этом случае следует рас-
5Заметим также, что в [11] соответствующее утверждение было получено без дополнительного технического предположения о гладкой приводимости системы к линейному виду в окрестности седла (в [10] такая приводимость предполагалась), что, естественно, существенно расширяет область применимости результата, захватывая такие важные области теории динамических систем, как консервативные, обратимые, гамильтоновые системы и т.п.
(<!)
Рис. 11.
сматривать лишь как некоторое нетривиальное подмножество из N. Заметим также, что подковы Смейла, и даже их счетное множество, могут существовать в системах с гомоклиническими петлями к состоянию равновесия типа седло-фокус [12, 13], в системах с гомоклиническими касаниями [14] и др. Многие нелокальные бифуркации приводят к возникновению подков. В частности, таковыми являются некоторые типы бифуркаций, ведущих от систем Морса—Смейла к системам со сложной динамикой, объединенные общим термином «гомоклинический О-взрыв» — характерным свойством таких бифуркаций является то, что счетное множество подков Смейла возникает сразу — взрывом — после перехода соответствующей бифуркационной границы. См., в частности, по этому поводу обзоры [15, 16] и имеющуюся там литературу.
Если же вернуться к основной теме нашей статьи, то в связи с вышесказанным возникает вопрос о том, в каких системах встречаются подковы описанных в § 1 типов. Более того, существуют ли системы, у которых такие подковы являются в определенном смысле единственным инвариантным множеством (не считая возможного присутствия конечного числа изолированных периодических траекторий или состояний равновесия)?
Что касается «обыкновенных» подков Смейла, таких как на рис. 2 (а) и (Ь), то их существование и «единственность» хорошо известны для многих динамических моделей «с квадратичными нелинейностями». В частности, такие подковы существуют в отображении Эно [17]. Как мы уже сказали, «закрученные» подковы, такие как на рис. 2 (с)—(1), можно найти у кубических отображений Эно (правда, там они являются только подмножествами более широкого гипербо-
лического множества, кодируемого с помощью трех символов). Весьма интересным (однако и вполне забытым) является тот факт, что подковы этого типа («закрученные») могут существовать в геометрических моделях аттрактора Лоренца (подробнее об этих моделях см. в [18, 19]), в тех областях параметров, где аттрактор уже разрушился и имеет место гиперболичность. Подковы здесь имеют вид (для геометрической модели), показанный на рис. 12, причем ориентация отображения Т на и может быть произвольной, поскольку отображение Т в данном случае является разрывным на линии в. Таким образом, геометрические модели аттрактора Лоренца допускают подковы всех типов, рассмотренных в § 1.6
о' <*' с' Ъ
(а)
(с)
Рис. 12. На рисунке показаны ориентируемые подковы, аналогичные подковам рисунка 2 (а),(Ь) и (с)
Однако, пожалуй, самой известной моделью, допускающей подковы Смейла, является отображение Эно. Правда, у этого отображения могут существовать подковы только двух типов: обыкновенные ориентируемая и неориентируемая, см. рис. 13 и 2 (а) и (Ь). Однако, как было показано в недавней работе [4], даже при малых возмущениях отображения Эно могут возникать полуориентируемые подковы как такие же, что и в § 1, так и совершенно новые. Более того, таких подков может быть бесконечно много различных типов (с точки зрения локальной топологической сопряженности). И что является весьма интересным, каждая такая подкова может быть реализована как (полуориентируемая) подкова Смейла диффеоморфизма двумерного неориентируемого многообразия. Обзору этих результатов и будет посвящена оставшаяся часть параграфа.
Классическое отображение Эно имеет вид
х = у, у = 1 — Ъх — ау2,
(2.і;
где (х, у) є М2, а и Ь — параметры (причем Ь — якобиан). Это отображение может быть переписано (при а = 0) в эквивалентной форме
х = у, у = М — Ьх — у2
(2.2)
которую обычно называют стандартной формой отображения Эно, и именно в таком виде отображение Эно возникает в гомоклинической динамике [14, 20, 21].
Однако если говорить о модели Лоренца или других трехмерных потоках, для которых геометрическая модель описывает главные черты отображения Пуанкаре, то, естественно, полуориентируемых подков здесь не может быть. Таким образом, существование последних в геометрических моделях можно считать чисто абстрактным фактом. Конечно, это является, возможно, основной причиной (кроме того, что главное внимание в таких задачах уделяется аттракторам) того, что существование полуориентируемых подков здесь не было отмечено.
Хорошо известно, что при достаточно больших М, например, в области параметров М > 1/4(5 + 2\/5)(1 + |6|)2, Ъ ф 0 [17, 7, 8] (достаточное условие), отображение Эно (2.2) имеет гиперболическую динамику, которая в точности описывается подковой Смейла — ориентируемой при Ь > 0 и неориентируемой при Ь < 0, см. рис. 13
а II \\ й
л'{1 \\ с'
а' "б7
Рис. 13. Геометрия отображения Эно (2.2) в области гиперболичности при достаточно больших М ималых Ь — (а) ориентируемое (при Ь > 0) и (Ь) неориентируемые (при Ь < 0) отображения подковы
В той области параметров, в которой отображение (2.2) имеет две неподвижные точки, т.е. ^ + 1)2
при М > —
4
-, оно может быть переписано также и в форме «отображения параболы»
Х = у, у = пу{1-у)-Ьх, (2.3)
где 7 = 6 + 1 + у/(Ъ + I)2 + 4М. Эта форма отображения Эно весьма удобна для исследований, поскольку всё неблуждающее множество отображения (2.3) сосредоточено на квадрате Qв = = [—в, 1 + в] х [—в, 1 + в], где в не зависит от 7 и в ^ 0 при Ь ^ 0 [22]. При Ь = 0 отображение (2.3) вырождается в, по-существу, одномерное отображение вида
х = У, У = 72/(1 — 2/).
(2.4)
Действительно, любая точка из М2 после одной итерации этого отображения ложится на инвариантную кривую у = 7ж(1 — х) и далее итерируется по ней в силу отображения параболы У = 72/(1 — У)- Хорошо известно, что неблуждающее множество Л(7) отображения параболы (при всех положительных 7) содержится целиком в интервале [0,1]. При ^ > 4 множество Л(7) имеет канторовскую структуру, и ограничение отображения на Л(7) сопряжено с односторонней схемой Бернулли В2+ из двух символов. В определенном смысле здесь можно говорить о гиперболичности, но только в классе одномерных отображений. Если отображение (2.4) вложить в
какое-либо семейство двумерных отображений, то структура множества Л(7) даже при ^ > 4 может мгновенно разрушиться. В случае семейства (2.3) отображений Эно, Л(7) превращается в настоящее гиперболическое множество — подкову Смейла — ориентируемую при Ь > 0 или неориентируемую при Ь < 0 (см. рис. 13). Однако при другом вложении может получиться что-то совершенно другое.
В статье [4] была исследована динамика (в основном гиперболическая) обобщенного отображения Эно Т следующего вида7
х = у, у = 72/(1 - у) - Ъх + аху (2.5)
при достаточно малых значениях Ь и а и больших 7 (во всяком случае, предполагалось, что ^ > 4). В этом случае отображение (2.5) при любом фиксированном ^ > 4 и достаточно малых а и Ь всегда имеет т.н. геометрическую подкову Смейла. Последнее означает, в частности, что существует такой квадрат Qj3 = [—в, 1+в] х [—в, 1+в], где в = в(а,Ь) ^ +0 при (а, Ь) ^ 0, который под действием отображения Т отображается в «подкову» ). Такая геометрия поро-
ждает существование на Qв замкнутого инвариантного множества Л = Л(а, Ь) — отображение (2.5) не имеет неблуждающих точек вне Qв. В работе [4] был получен ряд достаточно интересных результатов о структуре множества Л.
Рис. 14. Два типа полуориентируемых подков в случае отображения (2.5) при а = 2Ь и ^ > 4. Здесь целая линия у = 1/2 отображается под действием Т одну точку Р* = (1/2; 7/4), а квадрат Qв отображается в «подкову». Однако подковы различны в случаях (а) Ь > 0 и (Ь) Ь < 0. При Ь > 0 отображение Т ориентируемое на П0 и неориентируемое на В\, тогда как при Ь < 0 оно ориентируемое на и неориентируемое на Б0
Во-первых, было доказано, что у отображения (2.5) существуют полуориентируемые подковы. В частности, при а = 2Ь они имеют вид такой, как на рис. 14 (т.е. вполне аналогичны подковам рисунка 10 ^) и (Ь)). Как вытекает из утверждения 2 (см. также теорему 2 из [4]), подковы
(а) и (Ь) рисунка 14 имеют разный топологический тип.
7Отображение (2.5), как и его аналоги, было введено в [23, 24] как нормальная форма отображения первого возвращения вблизи гомоклинического касания. В отличие от стандартного отображения Эно, отображение (2.5) демонстрирует невырожденные бифуркации периодических траекторий с мультипликаторами е±г1р, и таким образом помогает исследовать соответствующие бифуркации в многочисленных классах систем с негрубыми гомоклиническими, а также гетероклиническими траекториями.
Во-вторых, было доказано существование полуориентируемых подков совершенно других типов. Дело в том, что, хотя отображение (2.5) (при любом фиксированном ^ > 4 и достаточно малых а и Ь) всегда имеет геометрическую подкову, эта подкова необычная — образ ) квадрата Qв имеет «точку коллапса»
^* = (1. ?(!-!)•
Рис. 15.
В эту точку «схлопывается», поддействием Т, прямая у = Ь/а, на которой якобиан отображения (2.5) обращается в нуль. Когда точка Р* лежит вне Qв, мы имеем либо обычные подковы (как на рис. 13, см. также рис. 16 ^) и (є) ниже), либо полуориентируемые подковы, такие как на рис. 14. Однако точка Р* может лежать и внутри Qв, тогда подковы могут быть весьма необычными, такими как, например, на рис. 15. Если при этом точка Р* не принадлежит Л (т.е. она попадает в промежутки соответствующих канторовских множеств), то Л является равномерно гиперболическим множеством — подковой Смейла, однако порождающее отображение Т будет иметь разную ориентацию при у < Ь/а и у > Ь/а. Момент Р* є Л — бифуркационный: здесь Л уже не подкова, поскольку бесконечное множество точек из Л, лежащих на линии у = Ь/а, «склеиваются» в одну точку Р*. Однако все такие бифуркации носят мгновенный характер, и на плоскости параметров (а, Ь) те значения, которые отвечают подковам, образуют открытое множество. Следующий результат установлен в [4].
Теорема 1. Зафиксируем ^ > 4. Тогда в любой достаточно малой окрестности V начала координат плоскости (а,Ь) существует конусообразная область I (примыкающая к точке (0,0))
0 < ^ < 1 + р(а, Ъ), (2.6)
где р(а, Ь) ^ 0 при а,Ь ^ 0, такая что
1) при (а, Ь) є V\1 неблуждающее множество Л(Т) является подковой Смейла — ориентируемой при Ь > 0 и неориентируемой при Ь < 0;
Рис. 16.
2) область Ъ содержит бесконечно много открытых конусообразных областей, примыкающих к точке (0,0), при значениях параметров из которых Л(Т) является полуориентируемой подковой;
3) граница Ь = 0 области Ъ отвечает первой бифуркации, когда точка Р* совпадает с неподвижной точкой 0\ (при этом у точки 0\ появляется нулевой мультипликатор);
4) граница Ь = а(1 + р(а, Ь)) отвечает последней бифуркации, когда точка Р* становится (в последний раз) гомоклинической к 0\.
На рис. 16 приведена иллюстрация к этой теореме, где отмечены также некоторые бифуркационные моменты: в случаях первой бифуркации, при Ь = 0, на рис.16 (ф и (И), и последней бифуркации, при Ь/а = 1 + р(а, Ь), на рис.16 (Ь) и (1)
Многие из бифуркаций, происходящих в области Ъ, могут приводить к весьма интересным последствиям. Не останавливаясь на этом подробно (тем более что исследование соответству-
(Ь)
Рис. 17. При Ь > 0 многообразие Ш“(01) образует границу для Л. (Ь) При Ь < 0 «бывшую границу» перекрывают с двух сторон пара (или больше?) связных кусков некоторой периодической орбиты (рх,р2,... ,рп) (на рис. показана такая орбита (рх,р2,р3,р4) периода 4). Причем период п стремиться к бесконечности при Ь ^ 0, так какрх,р2 ^ 0х при Ь ^ 0
ющих бифуркационных явлений ещё продолжается), рассмотрим только лишь в общих чертах бифуркацию вблизи Ь = 0 при а < 0 (случай (Ь) рисунка 16). Как видно из рис.16, это бифуркационный момент перехода от полуориентируемой подковы к ориентируемой. Следующий результат из [4] показывает, что при таком переходе могут появляться (полуориентируемые) подковы, имеющие граничные точки сколь угодно больших периодов.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Для фиксированного а = ао < 0 рассмотрим интервал (—в, в) значений Ь. Тогда на полуинтервале (-в, 0) существует счетное множество интервалов 5к ^ 0 при к ^ ж значений Ь таких, что при Ь е 5к отображение Т(а0,Ь) имеет полуориентируемую подкову, у которой существует и-граничная периодическая точка периода пк, где пк при к ^ж.
Формальное (неконструктивное) доказательство этого утверждения — почти очевидно. Действительно, при Ь > 0 подкова является ориентируемой (рис. 17а), и инвариантное многообразие Ши(0\) образует границу для Л (поскольку в этом случае, в силу утверждения 1, неподвижная точка 01 является (в, и)-граничной). При Ь < 0 точка 01 уже не может быть и-граничной, поскольку её устойчивый мультипликатор становится отрицательным. Однако бифуркации, происходящие при Ь = 0, приводят к перестройкам в множестве периодических точек так, что некоторые из них становятся и-граничными — при этом их неустойчивые многообразия «окружают» Ши(01) с двух сторон и становятся граничными (на рис. 17(Ь) мы иллюстрируем такую ситуацию на примере точек цикла периода 4). Важно, что такая перестройка может произойти только с периодическими точками, орбита которых попадает в достаточно малую окрестность точки 01: причем эта окрестность тем меньше, чем ближе точка Р* к 01 (и она сжимается
до нуля при Ь ^ —0). Периоды всех таких траекторий (кроме самой точки 0\) в любой подкове Смейла стремятся к бесконечности, когда диаметр окрестности стремится к нулю. Это автоматически влечет, что периоды и-граничных точек стремятся к бесконечности при Ь ^ —0.
Рис. 18.
Из теоремы 2 вытекает, что в случае эндоморфизмов диска могут существовать (полуори-ентируемые) подковы Смейла бесконечно многих топологических типов. Однако, используя этот факт, легко установить, что то же самое справедливо и для диффеоморфизмов на неориентиру-емых двумерных многообразиях. Действительно, с каждой полуориентируемой подковой отображения T можно связать (с помощью «хирургической операции» на блуждающем множестве) одинаковую с ней подкову на многообразии, см. рис. 18, на котором соответствующая конструкция показана для листа Мёбиуса.
Благодарности. Авторы благодарят М. Малкина, Ming-Chia Li и Д. Тураева за весьма полезные замечания. Работа поддержана грантами РФФИ No. 07-01-00566 и No. 07-01-00715, грантом МНТИ-РФФИ No. 06-01-72023, а также грантом Президента РФ по поддержке ведущих научных школ No. 9686.2006.1.
Список литературы
[1] Smale S. A structurally stable differentiable homeomorphism with an infinite number of periodic points, Труды междунар. симпозиума по нелинейным колебаниям, Киев, т. 2, 1963, с. 365—366.
[2] Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция, в кн. Математические события XX века, М.: ФАЗИС, 2003, с. 1—18.
[3] Динамические системы - 9 (ред. Д. В. Аносов), Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 66, М.: ВИНИТИ, 1991.
[4] Gonchenko S., Li M.-C., Malkin M. Generalized Henon maps and half-orientable Smale horseshoes, Preprint of NCTU No. 2007-5-002, Hsinchu (Taiwan), 2007, submitted to Int. J. Bifurcation and Chaos.
[5] Гринес В. З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных базисных множествах, Часть 1, Часть 2, Труды ММО, 1975, т. 32, с. 35—61; 1977, T. 34, с. 243-252.
[6] Аносов Д. В., Арансон С. Х., Бронштейн И. У., Гринес В. З. Гладкие динамические системы, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Динамические системы-1, 1985, т. 1, ВИНИТИ.
[7] Afraimovich V. S., Shilnikov L. P. Strange attractors and quasiattractors, in Nonlinear Dynamics and Turbulence, 1982, Pitman, Boston, pp. 336-339.
[8] Afraimovich V. S. Strange attractors and quaiattractors, Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, ed. by R. Z. Sagdeev, Gordon and Breach, Harwood Academic Publishers, 1984, V. 3, pp. 1133— 1138.
[9] Гонченко С. В., Комлев Ю. А. Бифуркации и хаос в кубическом отображении плоскости, в кн. Методы качественной теории и теории бифуркаций, Горький, 1988, c. 33—39.
[10] Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points, Diff. and Comb. Topology, Princeton Univ. Press, 1965, pp. 63—80.
[11] Шильников Л. П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа, Матем. сб., 1967, т. 74(116), c. 378—397.
[12] Шильников Л. П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений, Докл. АН СССР, 1965, т. 160, № 3, с. 558—561.
[13] Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности состояния равновесия типа седло-фокус, Матем. сб., 1970, т. 81, с. 92—103.
[14] Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. Часть 1, Часть 2, Матем. сб., 1972, т. 88, № 4, с. 475—492; 1973, т. 90, № 1, с. 139—157.
[15] Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. направлениея, 1986, T. 5.
[16] Гомоклинические касания, Сб. статей под ред. С. В. Гонченко и Л. П. Шильникова, Москва— Ижевск, Изд-во «РХД», 2007.
[17] Devaney R., Nitecki Z. Shift automorphisms in the Henon mapping, Comm. Math. Phys., 1979, v. 67, pp. 137—146.
[18] Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца, Труды ММО, 1982, т. 44, с. 150—212.
[19] Shilnikov L. P. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial, Int.J. Bifurcation and Chaos, 1997, v. 6, № 6, pp. 969—989.
[20] Tedeshini-Lalli L., Yorke J. A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? Comm. Math. Phys., 1986, v. 106, pp. 635—657.
[21] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре, Докл. Акад. наук, 1993, т. 330, № 2, с. 144—147.
[22] Li M.-C., Malkin M. Bounded nonwandering sets for polinomial mappings, J. Dyn. and Control Sys., 2004, v. 10, pp. 377—389.
[23] Gonchenko S. V., Gonchenko V. S. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies, WIAS-preprint No. 556, Berlin, 2000.
[24] Гонченко С. В., Гонченко В. С. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями, Труды МИАН, 2004, т. 244, c. 87— 114.
