CC BY
38
раздел ФИЗИКА
УДК 532.5; 532.783; 536-12
К ВОПРОСУ О ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЯХ В ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ПЕРВОЙ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
© М. Е. Логинова*, Н. Г. Мигранов
Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы Россия, г. Уфа, 450000, ул. Октябрьской революции, 3-а.
Тел.: +7 (347) 273 13 08.
E-mail: [email protected]
Для несжимаемой жидкости в поле градиента температур, с помощью теории возмущений вблизи критической точки Рэлея-Бенара, получено стохастическое уравнение Ланжевена, путем введения соответствующих флуктуационных членов в исходные гидродинамические уравнения. В работе, учитывая соответствующие скейлинговые преобразования пространственных переменных и времени с использованием новых медленных переменных, построен обобщенный термодинамический потенциал (ОТП), описывающий стационарные диссипативные структуры вблизи и немного выше порога термоконвективной неустойчивости, связанный с параметром порядка w ■ Получено квазигауссовое приближение ОТП для трех плоскостей XOY, XOZ, ZOY.
Ключевые слова: функционал, дииссипатвные структуры, гидродинамические
флуктуации, уравнение Ланжевена, скейлинг.
Объектом исследования в данной работе является горизонтальный слой жидкости, подогреваемый снизу. Свойства жидкости вблизи критических точек существенно претерпевают изменения, и начинают доминировать кооперативные явления, например, неустойчивость Рэлея-Бенара. Возникают согласованные взаимосвязанные макрообразования [1], [2], которые
развиваются по определенным нелинейным законам. Усиливается роль флуктуаций, которые существенным образом начинают влиять на пороги устойчивости систем.
Г идродинамические флуктуации обладают рядом свойств, позволяющих судить о динамике системы вблизи точек бифуркаций. Важную характеристику о поведении системы можно получить, исследуя корреляционные функции этих флуктуаций. Особенностью данной работы является исследование задачи Рэлея-Бенара на языке функционала, представляющего аналог свободной энергии, но для открытой системы, находящейся вдали от термодинамического равновесия. В работе развивается механизм функционального подхода, который позволил исследовать индетерминированную задачу с включенными в нее флуктуационными членами.
Рассмотрим систему нелинейных уравнений, описывающих поведение бесконечного тонкого слоя жидкости толщиной I в поле градиента температур. Градиент температуры прикладывается перпендикулярно указанной плоскости вдоль оси 02. Предположим, что все переменные, описывающие поведение горизонтального слоя жидкости в поле градиента температур, зависят
только от координат х1 и х3.
Положим, Т = Т - (Т0 - АТх3 /І),
Р = Р - (Р0 - Ро №[1 + хъ(РКТ /І - ХР0 8)]), где в - коэффициент объемного расширения, % — изотермическая сжимаемость, 8 - ускорение
свободного падения. Рассмотрим уравнения движения для Т , V, р в приближении Буссинеска и в дальнейшем опустим штрихи при Т , р . Величина вДТ считается малой, величина %р0 8І -
исчезающе малой и в уравнении теплопроводности энергией вязкой диссипации не учитывается.
Система с включёнными в нее определенным способом [3] флуктуационными членами ,
q . запишется в следующем безразмерном виде [4]:
д jVj
0,
ду + Vjd jV. = -d.p + d jd jV. +'^RTSij +Э jSj, Pr(dtT + vd T) = д д T + 4Rv3 - d iqi,
(1)
(2)
(3)
где R
gPATl 3р2Су кц
ПСу
- число Рэлея, Pr ='^L -к
число Прандля, а ц, к, с, р0 - вязкость,
коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость на единицу массы и плотность жидкости соответственно.
Наша задача состоит в отыскании тех решений системы уравнений, которые удовлетворяют свободным граничным условиям, при которых на границах % = 0,1 имеем
-T = 0, d3V1 :
: d3V2 = 0.
(4)
V
3
10
раздел ФИЗИКА
Для этого мы вводим вектор, содержащий пять гидродинамических переменных и = (V, Т, р). Из основных уравнений движения жидкости во внешнем тепловом поле с включенными в них случайными силами (флуктуационными членами) (1-3) мы получаем одно, но гораздо более простое для анализа уравнение, описывающее поведение изотропной несжимаемой жидкости вблизи порога неустойчивости. Задачу решаем методом теории возмущений.
Тогда систему уравнений (1-3) можно записать в следующем компактном виде [4]
Ь(ы) = -I, (5)
здесь Ь - нелинейный матричный дифференциальный °перат°р, а I = (Э .э]х, Э, Э,-Э jgj,0) -вектор случайных потоков.
В дальнейшем нам будет удобно разделить масштабы конвективных роллов, определяемых толщиной слоя жидкости I, пространственными и временными масштабами, на которых заметно меняется комплексная амплитуда я(х, у, 2, г). Это достигается путем введения следующих "медленных" переменных вблизи порога нестабильности:
х = ф/е, у = п/л/г, г = Ц'^, г = Те'2 и заменой w(x, у, г, г) ^т(%,ц,£т), где е - малый параметр. Делая указанную подстановку в обезразмеренную систему (1)-(3)
д
д
д
д
д
,д, — £
д а
дх д£ 1 ду д^ дг д£ дт
и собирая члены при одинаковых степенях £, мы находим и1, и(3/2), и(2). Процесс итерации завершает-
2
ся для £ , так как для высших степеней £ в уравнении (5) появляется флуктуационный член. Эти решения существуют, если уравнения, которые мы получили, ортогональны нулевому собственному вектору сопряженного оператора ьо• Условие ортогональности приводит к выражению
У^,1112(и<У2)}+1л(и<1))+Ь}12(и<1/2))+Ь2(и<а))) — “(Го*, I )• (6)
Это условие образует уравнение, которому должна удовлетворять еще не определенная амплитуда w. Подставляя в (6) соответствующие выражения для ь1/2, Ь1, Ь3/2, Ь2 и раскрывая
скалярное произведение, получаем уравнение Ланжевена
(1 + Рг)дтм -
3 2 (Я - Я ) 1 2. |2
-п2--------с— — Рг21 мI2
2
Я
п
2_
п2
2
■і8—' 3п
м+4Э| м -
(7)
+ 8-
% м + " э4
2 -,4 2 ,
2 д} м + -(Г0,1 )•
3п 3п 3
Уравнению Ланжевена соответствует уравнение Фоккера-Планка для распределения вероят-
ности Ш флуктуации амплитуды медленной моды я. Поскольку я - функция пространственных переменных х и х2, то распределение вероятности должно быть функционалом этого поля и соответственно уравнение Фоккера-Планка будет функциональным уравнением. Уравнение Фоккера-Планка, соответствующее уравнению Ланжевена, запишется в виде
С0д(№ — {Цй Зх
3 1
дм (х)[(2 п2у - 2 Рг21 ю(х) I2)Ю(х) +
+ 4д>(х) - і Эхд2у м(х) —2 д4 м(х) -
(8)
п
п
.8Л-
8
- і^1 д хд2 м(х) + —— дууд2 м(х) + —— д4 м(х) -п 3п 3п
- 6д ,(х)]х№}+ с.с.-
М
Я - Я
где V — -
Я,
- управляющий параметр, С0 =
1+Рг, 5я (х) - функциональная производная по я(х) при фиксированном я*(х), Ш(|®|,г) - это плотность вероятности в функциональном пространстве найти комплексные функции я(х), я*(х) в момент времени г. Таким образом, ш является функционалом я(х), я*(х) и функцией времени г.
Из условий [4], которым удовлетворяет уравнение Фоккера-Планка (8), легко восстановить сам функционал:
Ф({й>}) = 6 1Ш й3 х[—п1V М +-Ш +
|2 1 | + , 4'
41 д х
(9)
- ^^-(Э хяЭ2уц>*-Э хя*Э2я)/2 —221 Э2я I2 + п п
+1 М(Э хяЭ2^* -Э хм>'Э 2я)/2+ п
+ —^(Э^Э 2я* + Э 2гя*Э 2я)/2 + —2 1Э2^ I2].
3п у у 3п
Поскольку экстремумы обобщенного термодинамического потенциала соответствуют наиболее вероятным реализациям диссипативных структур [6], то полученный функционал позволяет исследовать поведение системы вдали от термодинамического равновесия.
Также мы рассмотрели флуктуации, распространяющиеся во всех направлениях в плоскости Х07, Х07 и 707. Но следует заметить, что распространение флуктуаций вдоль оси 0Х остается выделенным, так как направление критического волнового вектора, кс, установившихся
роллов совпадает с направлением 0Х . Поскольку, не существует точных методов для решения этой задачи, мы воспользуемся квазилинейным приближением [4].
Квазигауссово приближение потенциала (9) в плоскости Х07 выписывается
2
М -
2
Ф(М) = Q4 JjdX2(-2nzvl w I2 +1 Pr21 w I4 +4131w I2 -
w Г +-Pr21 w I4 4
-i4—(3jw32w* -31w'32w)/2 —^I 32wI2) =
K П
(10)
3,w —d2w 42k
= Q 1 jjdx2(-—n2v\wI2 +1 Pr21 wI4 +4 24
в плоскости XOZ
3 1
Ф(М) = Q- jjdx2(-2n2vI wI2 + 4Pr21 wI4 +4191wI2 +
+ г'8^2 (91w92w* -91w* 92w)/2 +—1 d2w I2) = (11)
3k 13 1 3 ' 3k2 3
= Q-1jjdx2 ( - 3K2vI w I2 + — Pr21 w I4 +
+ 4
d1w + 9^w
1 3k 3
+
18k2
-19—w I2
и в плоскости ZOY Ф(М) = Q-1 jjdx2| -—kV I w I2 +1 Pr
2
I w I2 +-Pr21 w I4 -4-I Э2wI2 -
8
2(d2wd2w* -9d2w)/2 +-----------2 I ^w I2) = (12)
3k 3k
21 3 KvI w I2 + 1 Pr2 I w I4
= Q 1 JJdx2 |- -3 K2v I w I2 + 4 Pr2 I w I4 + {d2w - 292 w| - 7 192w
3п
где е = (gPкT2р0/с„АТп2 + КТр0/п21 )п2/2(1 + Рг), а
Э = — I = 1 3. Теперь, вводя соответствующее
‘ Эх;
пространственное Фурье-преобразование я(Я) = ^хехр(-1ях)м>( х), я*(?) = (я(я)} , (13)
мы можем записать корреляционную функцию ^(Я) = |^Хехр(г^(х- х')} < м>*(х)я(х') >=
= I(я)ехр(г'я(х - х')} (14)
* 2п
в форме
< я*(я)я(я')>= 2п5(я - я')^„(я). (15)
Функционалы (10,11,12) можно диагона-лизовать с помощью этих преобразований и оценить формулу (15). Из уравнения (15) нетрудно получить правило сумм
(я)=<1 12> (16)
j -Пк„ (q)=<IwI2>
Kw(q)
Kw(q)mr=
2k
После диагонализации для Kw (q), получаем
Q (17)
о i '
---K2VH— Pr2 <I w I2 ) + 4(q1 + q2/42.K)2
2
4
Q
(18)
- 2^+ 4P^( wI2) + 3K ((q3 -2q2)2 - 7q2)
K(q)XOZ=
____________________Q___________________
-3K2v+1 P^IwI2)+4((q -— q2)2-------^ q^)
2 4 1 3k 18t
(19)
Из полученных формул видно, что корреляционную функцию (17) можно представить в виде
K(k ) =
4 Q^12
1 +|й(к2 - k2)/2kc] используя соответствующие обозначения
K
к = kc + q, K(k) = K (q), kc =
^ + q\/kc )2 = [(k2 - kc2 )/2kc j2, и ?1:
(20)
3 1
—K2v + - Pr(I w I2)
8
4
В нашей задаче - корреляционная длина, которая описывает изменение в системе термоконвективных роллов от их простанственно беспорядочного расположения к их упорядочению.
Таким образом, используя функционал, удалось построить корреляционные функции для гидродинамических флуктуаций вблизи порога термоконвекции в жидкости. Речь идет о флуктуациях параметра порядка я, модуль которого описывает интенсивность вращения конвективных роллов, а её фаза - отклонение в пространстве. Причем, учитывались новые условия, связанные с появлением дополнительного медленного переменного £, вдоль оси 07. Анализ полученных корреляционных функций (17), (18), (19) в пространстве Фурье-образов позволяет заключить, что корреляционная функция (20) позволяет выписать выражение для в
замкнутой форме
(у
Q
8 [-3v + (2Pt2/k2^ |w| ^ ]
2 I 2Pr2/, ,2
х-,1 +— arc tan I -3v + -K2~ \|w|
(21)
и связать ее с управляющим параметром v, числами Прандля, Рэлея и корреляционными функциями, введенными нами в исходную систему флуктуационных членов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. Введение в теорию диссипативных структур. М.-И.: Институт компьютерных исследований. 2003.-248 с.
2. Гетлинг А.В. //Успехи физических наук. 1991. Т.161, № 9.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 9.
Ч. 2. Статистическая физика. 3-е изд. - М.: Наука. 1978. - 448 с.
4. Graham R. Hydrodynamic fluctuations near the convection instability // Phys. Rev. Ser.A 1974. V. 10, no. 5. Р.1762 -1784.
5. Graham R., Haken H // Z. Phys. - 1971. V. 245, no. 2. Р. 141-153.
6. Migranov N. G., Loginova M. E. // Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2005, V.8, по. 3, Р. 274-280.
Поступила в редакцию 11.10.2006 г.
2
7
п
