К вопросу о гидродинамических флуктуацияхв жидкости вблизи первой точки бифуркации Текст научной статьи по специальности «Физика»

раздел ФИЗИКА

УДК 532.5; 532.783; 536-12

К ВОПРОСУ О ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЯХ В ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ПЕРВОЙ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ

© М. Е. Логинова*, Н. Г. Мигранов

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы Россия, г. Уфа, 450000, ул. Октябрьской революции, 3-а.

Тел.: +7 (347) 273 13 08.

E-mail: [email protected]

Для несжимаемой жидкости в поле градиента температур, с помощью теории возмущений вблизи критической точки Рэлея-Бенара, получено стохастическое уравнение Ланжевена, путем введения соответствующих флуктуационных членов в исходные гидродинамические уравнения. В работе, учитывая соответствующие скейлинговые преобразования пространственных переменных и времени с использованием новых медленных переменных, построен обобщенный термодинамический потенциал (ОТП), описывающий стационарные диссипативные структуры вблизи и немного выше порога термоконвективной неустойчивости, связанный с параметром порядка w ■ Получено квазигауссовое приближение ОТП для трех плоскостей XOY, XOZ, ZOY.

Ключевые слова: функционал, дииссипатвные структуры, гидродинамические

флуктуации, уравнение Ланжевена, скейлинг.

Объектом исследования в данной работе является горизонтальный слой жидкости, подогреваемый снизу. Свойства жидкости вблизи критических точек существенно претерпевают изменения, и начинают доминировать кооперативные явления, например, неустойчивость Рэлея-Бенара. Возникают согласованные взаимосвязанные макрообразования [1], [2], которые

развиваются по определенным нелинейным законам. Усиливается роль флуктуаций, которые существенным образом начинают влиять на пороги устойчивости систем.

Г идродинамические флуктуации обладают рядом свойств, позволяющих судить о динамике системы вблизи точек бифуркаций. Важную характеристику о поведении системы можно получить, исследуя корреляционные функции этих флуктуаций. Особенностью данной работы является исследование задачи Рэлея-Бенара на языке функционала, представляющего аналог свободной энергии, но для открытой системы, находящейся вдали от термодинамического равновесия. В работе развивается механизм функционального подхода, который позволил исследовать индетерминированную задачу с включенными в нее флуктуационными членами.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений, описывающих поведение бесконечного тонкого слоя жидкости толщиной I в поле градиента температур. Градиент температуры прикладывается перпендикулярно указанной плоскости вдоль оси 02. Предположим, что все переменные, описывающие поведение горизонтального слоя жидкости в поле градиента температур, зависят

только от координат х1 и х3.

Положим, Т = Т - (Т0 - АТх3 /І),

Р = Р - (Р0 - Ро №[1 + хъ(РКТ /І - ХР0 8)]), где в - коэффициент объемного расширения, % — изотермическая сжимаемость, 8 - ускорение

свободного падения. Рассмотрим уравнения движения для Т , V, р в приближении Буссинеска и в дальнейшем опустим штрихи при Т , р . Величина вДТ считается малой, величина %р0 8І -

исчезающе малой и в уравнении теплопроводности энергией вязкой диссипации не учитывается.

Система с включёнными в нее определенным способом [3] флуктуационными членами ,

q . запишется в следующем безразмерном виде [4]:

д jVj

0,

ду + Vjd jV. = -d.p + d jd jV. +'^RTSij +Э jSj, Pr(dtT + vd T) = д д T + 4Rv3 - d iqi,

(1)

(2)

(3)

где R

gPATl 3р2Су кц

ПСу

- число Рэлея, Pr ='^L -к

число Прандля, а ц, к, с, р0 - вязкость,

коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость на единицу массы и плотность жидкости соответственно.

Наша задача состоит в отыскании тех решений системы уравнений, которые удовлетворяют свободным граничным условиям, при которых на границах % = 0,1 имеем

-T = 0, d3V1 :

: d3V2 = 0.

(4)

V

3

10

раздел ФИЗИКА

Для этого мы вводим вектор, содержащий пять гидродинамических переменных и = (V, Т, р). Из основных уравнений движения жидкости во внешнем тепловом поле с включенными в них случайными силами (флуктуационными членами) (1-3) мы получаем одно, но гораздо более простое для анализа уравнение, описывающее поведение изотропной несжимаемой жидкости вблизи порога неустойчивости. Задачу решаем методом теории возмущений.

Тогда систему уравнений (1-3) можно записать в следующем компактном виде [4]

Ь(ы) = -I, (5)

здесь Ь - нелинейный матричный дифференциальный °перат°р, а I = (Э .э]х, Э, Э,-Э jgj,0) -вектор случайных потоков.

В дальнейшем нам будет удобно разделить масштабы конвективных роллов, определяемых толщиной слоя жидкости I, пространственными и временными масштабами, на которых заметно меняется комплексная амплитуда я(х, у, 2, г). Это достигается путем введения следующих "медленных" переменных вблизи порога нестабильности:

х = ф/е, у = п/л/г, г = Ц'^, г = Те'2 и заменой w(x, у, г, г) ^т(%,ц,£т), где е - малый параметр. Делая указанную подстановку в обезразмеренную систему (1)-(3)

д

д

д

д

д

,д, — £

д а

дх д£ 1 ду д^ дг д£ дт

и собирая члены при одинаковых степенях £, мы находим и1, и(3/2), и(2). Процесс итерации завершает-

2

ся для £ , так как для высших степеней £ в уравнении (5) появляется флуктуационный член. Эти решения существуют, если уравнения, которые мы получили, ортогональны нулевому собственному вектору сопряженного оператора ьо• Условие ортогональности приводит к выражению

У^,1112(и<У2)}+1л(и<1))+Ь}12(и<1/2))+Ь2(и<а))) — “(Го*, I )• (6)

Это условие образует уравнение, которому должна удовлетворять еще не определенная амплитуда w. Подставляя в (6) соответствующие выражения для ь1/2, Ь1, Ь3/2, Ь2 и раскрывая

скалярное произведение, получаем уравнение Ланжевена

(1 + Рг)дтм -

3 2 (Я - Я ) 1 2. |2

-п2--------с— — Рг21 мI2

2

Я

п

2_

п2

2

■і8—' 3п

м+4Э| м -

(7)

+ 8-

% м + " э4

2 -,4 2 ,

2 д} м + -(Г0,1 )•

3п 3п 3

Уравнению Ланжевена соответствует уравнение Фоккера-Планка для распределения вероят-

ности Ш флуктуации амплитуды медленной моды я. Поскольку я - функция пространственных переменных х и х2, то распределение вероятности должно быть функционалом этого поля и соответственно уравнение Фоккера-Планка будет функциональным уравнением. Уравнение Фоккера-Планка, соответствующее уравнению Ланжевена, запишется в виде

С0д(№ — {Цй Зх

3 1

дм (х)[(2 п2у - 2 Рг21 ю(х) I2)Ю(х) +

+ 4д>(х) - і Эхд2у м(х) —2 д4 м(х) -

(8)

п

п

.8Л-

8

- і^1 д хд2 м(х) + —— дууд2 м(х) + —— д4 м(х) -п 3п 3п

- 6д ,(х)]х№}+ с.с.-

М

Я - Я

где V — -

Я,

- управляющий параметр, С0 =

1+Рг, 5я (х) - функциональная производная по я(х) при фиксированном я*(х), Ш(|®|,г) - это плотность вероятности в функциональном пространстве найти комплексные функции я(х), я*(х) в момент времени г. Таким образом, ш является функционалом я(х), я*(х) и функцией времени г.

Из условий [4], которым удовлетворяет уравнение Фоккера-Планка (8), легко восстановить сам функционал:

Ф({й>}) = 6 1Ш й3 х[—п1V М +-Ш +

|2 1 | + , 4'

41 д х

(9)

- ^^-(Э хяЭ2уц>*-Э хя*Э2я)/2 —221 Э2я I2 + п п

+1 М(Э хяЭ2^* -Э хм>'Э 2я)/2+ п

+ —^(Э^Э 2я* + Э 2гя*Э 2я)/2 + —2 1Э2^ I2].

3п у у 3п

Поскольку экстремумы обобщенного термодинамического потенциала соответствуют наиболее вероятным реализациям диссипативных структур [6], то полученный функционал позволяет исследовать поведение системы вдали от термодинамического равновесия.

Также мы рассмотрели флуктуации, распространяющиеся во всех направлениях в плоскости Х07, Х07 и 707. Но следует заметить, что распространение флуктуаций вдоль оси 0Х остается выделенным, так как направление критического волнового вектора, кс, установившихся

роллов совпадает с направлением 0Х . Поскольку, не существует точных методов для решения этой задачи, мы воспользуемся квазилинейным приближением [4].

Квазигауссово приближение потенциала (9) в плоскости Х07 выписывается

2

М -

2

Ф(М) = Q4 JjdX2(-2nzvl w I2 +1 Pr21 w I4 +4131w I2 -

w Г +-Pr21 w I4 4

-i4—(3jw32w* -31w'32w)/2 —^I 32wI2) =

K П

(10)

3,w —d2w 42k

= Q 1 jjdx2(-—n2v\wI2 +1 Pr21 wI4 +4 24

в плоскости XOZ

3 1

Ф(М) = Q- jjdx2(-2n2vI wI2 + 4Pr21 wI4 +4191wI2 +

+ г'8^2 (91w92w* -91w* 92w)/2 +—1 d2w I2) = (11)

3k 13 1 3 ' 3k2 3

= Q-1jjdx2 ( - 3K2vI w I2 + — Pr21 w I4 +

+ 4

d1w + 9^w

1 3k 3

+

18k2

-19—w I2

и в плоскости ZOY Ф(М) = Q-1 jjdx2| -—kV I w I2 +1 Pr

2

I w I2 +-Pr21 w I4 -4-I Э2wI2 -

8

2(d2wd2w* -9d2w)/2 +-----------2 I ^w I2) = (12)

3k 3k

21 3 KvI w I2 + 1 Pr2 I w I4

= Q 1 JJdx2 |- -3 K2v I w I2 + 4 Pr2 I w I4 + {d2w - 292 w| - 7 192w

3п

где е = (gPкT2р0/с„АТп2 + КТр0/п21 )п2/2(1 + Рг), а

Э = — I = 1 3. Теперь, вводя соответствующее

‘ Эх;

пространственное Фурье-преобразование я(Я) = ^хехр(-1ях)м>( х), я*(?) = (я(я)} , (13)

мы можем записать корреляционную функцию ^(Я) = |^Хехр(г^(х- х')} < м>*(х)я(х') >=

= I(я)ехр(г'я(х - х')} (14)

* 2п

в форме

< я*(я)я(я')>= 2п5(я - я')^„(я). (15)

Функционалы (10,11,12) можно диагона-лизовать с помощью этих преобразований и оценить формулу (15). Из уравнения (15) нетрудно получить правило сумм

(я)=<1 12> (16)

j -Пк„ (q)=<IwI2>

Kw(q)

Kw(q)mr=

2k

После диагонализации для Kw (q), получаем

Q (17)

о i '

---K2VH— Pr2 <I w I2 ) + 4(q1 + q2/42.K)2

2

4

Q

(18)

- 2^+ 4P^( wI2) + 3K ((q3 -2q2)2 - 7q2)

K(q)XOZ=

____________________Q___________________

-3K2v+1 P^IwI2)+4((q -— q2)2-------^ q^)

2 4 1 3k 18t

(19)

Из полученных формул видно, что корреляционную функцию (17) можно представить в виде

K(k ) =

4 Q^12

1 +|й(к2 - k2)/2kc] используя соответствующие обозначения

K

к = kc + q, K(k) = K (q), kc =

^ + q\/kc )2 = [(k2 - kc2 )/2kc j2, и ?1:

(20)

3 1

—K2v + - Pr(I w I2)

8

4

В нашей задаче - корреляционная длина, которая описывает изменение в системе термоконвективных роллов от их простанственно беспорядочного расположения к их упорядочению.

Таким образом, используя функционал, удалось построить корреляционные функции для гидродинамических флуктуаций вблизи порога термоконвекции в жидкости. Речь идет о флуктуациях параметра порядка я, модуль которого описывает интенсивность вращения конвективных роллов, а её фаза - отклонение в пространстве. Причем, учитывались новые условия, связанные с появлением дополнительного медленного переменного £, вдоль оси 07. Анализ полученных корреляционных функций (17), (18), (19) в пространстве Фурье-образов позволяет заключить, что корреляционная функция (20) позволяет выписать выражение для в

замкнутой форме

(у

Q

8 [-3v + (2Pt2/k2^ |w| ^ ]

2 I 2Pr2/, ,2

х-,1 +— arc tan I -3v + -K2~ \|w|

(21)

и связать ее с управляющим параметром v, числами Прандля, Рэлея и корреляционными функциями, введенными нами в исходную систему флуктуационных членов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. Введение в теорию диссипативных структур. М.-И.: Институт компьютерных исследований. 2003.-248 с.

2. Гетлинг А.В. //Успехи физических наук. 1991. Т.161, № 9.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 9.

Ч. 2. Статистическая физика. 3-е изд. - М.: Наука. 1978. - 448 с.

4. Graham R. Hydrodynamic fluctuations near the convection instability // Phys. Rev. Ser.A 1974. V. 10, no. 5. Р.1762 -1784.

5. Graham R., Haken H // Z. Phys. - 1971. V. 245, no. 2. Р. 141-153.

6. Migranov N. G., Loginova M. E. // Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2005, V.8, по. 3, Р. 274-280.

Поступила в редакцию 11.10.2006 г.

2

7

п