CC BY
42Стохастическое поведение газового пузырька в
кавитационном поле
Соседко Е.В. ( 8 [email protected] )
Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева ДВО РАН
Анализ нелинейной динамики пузырька в акустическом поле, состоящем из мощной гармонической и шумовой составляющих, показывает, что влияние стохастической компоненты существенно в области бистабильности динамических состояний пузырька. Поведение пузырька в этой области характеризуется значительным увеличением длительности переходных процессов и существенно не гауссовским распределением флуктуаций вблизи устойчивых траекторий.
Открытие и детальное изучение режима стабильной сонолюминесценции (СЛ) [1,2] проявляющееся в том, что одиночный пузырек в течение суток с точностью хронометра излучает вспышки света в такт частоте акустического поля, а его коллапс сопровождается нагревом газа до температур превышающих 15000 градусов Кельвина, вызывает естественный вопрос о существовании аналога этого режима в пелене пузырьков. До сих пор в кавитационной области наблюдался только переходной режим СЛ, причем данные экспериментов свидетельствовали о нагреве газа до температур порядка 5000 градусов [2].
Важная информация об особенностях физических процессов, протекающих при СЛ в кавитационной области содержится, помимо оптического в акустическом излучении, спектр которого имеет вид отдельных линий, располагающихся на шумовом основании [35]. Положение линий соответствует гармоникам, субгармоникам и ультрасубгармоникам частоты возбуждения. Наличие в спектре отдельных линий связано с существенно нелинейной динамикой одиночных газовых пузырьков в акустическом поле. Устоявшейся точкой зрения на природу шумового основания является генерация коротких импульсов при коллапсе одиночных включений [6-10].
Отдельные спектральные линии акустического излучения имеют конечную ширину
и даже определенную форму. В то время как изучение структуры и особенностей спектра оптического излучения при СЛ имеет более чем тридцатилетнюю историю, аналогичный вопрос о природе подобных характеристик акустического излучения не получил до настоящего времени должного объяснения.
Реальный спектр акустического давления, под действием которого пульсируют одиночные пузырьки в пелене, существенно отличается от используемого при теоретических расчетах, и сводящегося, как правило, к учету одной - основной гармоники. Шагом в обобщении традиционной модели является учет шума, т.е. анализ нелинейной динамики пузырька в поле мощного гармонического сигнала при наличии существенно меньшей случайной составляющей [11, 12]. Форма спектральных линий кавитационного излучения была описана в работе [12] в рамках такой модели
Анализ нелинейной динамики пузырька в поле мощного гармонического сигнала и малой случайной составляющей, выполненный в [12], основывался на использовании приближенных аналитических методов. Влияние флуктуаций, связанных со случайной составляющей поля, оказывается наиболее существенным в окрестности бифуркационных значений амплитуды поля и расстройки, отвечающих изменению числа устойчивых колебательных состояний пузырька. Настоящая работа посвящена исследованию с помощью численных методов этого, наиболее интересного режима (бистабильности) колебательных состояний пузырька и сопоставлению с результатами, полученными аналитическими методами.
Наличие шумовой составляющей в уравнении Рэлея-Плессета, описывающем радиальные пульсации пузырька, учитывается дополнительным слагаемым в выражении для внешнего поля, действующего на пузырек
здесь P0, р0, P, R0, R - равновесные и текущие значения давления и плотности жидкости, радиусов пузырьков; у - показатель политропы; 5 - постоянная затухания; P(t) = P0 + pm sin((pt) + pN (t) (pm, (op - амплитуда и частота мощной гармонической
составляющей, pN(t) — случайная составляющая). Воспользуемся, как и в [12], простейшей моделью, полагая, что pN описывается гауссовским, дельта-коррелированным случайным процессом.
Уравнение Рэлея (1) решалось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с использованием программ пакета MATLAB. Результат решения представлен на Рис. 1 в виде карты фазовых
портретов — зависимостей y = (TlR/R0) от x = ((R-Rq)/R0), для различных значений расстройки п = (((R0 )/ () -1.
з.г
0.1
01
03
оя
fl.S
о
* 0,5
оа 06 ** 0
У
J 4 ФБ ьв
Рис. 1. Карта фазовых портретов пульсаций газового пузырька под действием мощного резонансного и слабого шумового сигналов для различных значений расстройки.
Вычисления проводились для безразмерных переменных - радиуса пузырька х и скорости у, время измерялось в периодах резонансной компоненты внешнего поля Т = 2п / а р .
Приведенные на Рис. 1 зависимости отвечают следующим значениям определяющих
параметров: расстройка п = (^(Д,)/®1 (О0 = 43уРаР- Д-1 собственная частота
пульсаций) меняется в пределах от -0,26 до 0,2 с шагом 0,06; добротность ( = О0 / £=10;
амплитуда внешнего поля составляет (рт / р0) = э = 1,1; интенсивность шума
(Щ
= 0,1. Данный выбор диктуется следующими обстоятельствами: анализируется
окрестность основного (фундаментального) резонанса для значений расстройки п и амплитуды давления э, при которых возникает область бистабильности. В то же время степень нелинейности не столь велика, так что возможно качественное сопоставление с результатами аналитического рассмотрения полученными в [12]. Длительность временной эволюции фазовых траекторий составляет 400 периодов внешнего поля. Мы не приводим результаты для больших временных интервалов, поскольку в этом случае нарушается применимость уравнения (1), и следует учитывать процессы выпрямленной диффузии, поступательные перемещения пузырька, а при описании внешнего воздействия -корреляционные поправки к среднему самосогласованному полю. Как следует из Рис.1 имеется интервал значений расстройки (совпадающий с областью бистабильности пульсаций пузырька в отсутствие шума), для которых поведение траекторий характеризуется значительным увеличением длительности переходных процессов. В установившемся режиме траектории группируются вблизи одного из двух устойчивых состояний. Наличие случайных блужданий, порожденных шумовой компонентой внешнего поля приводит к тому, что стационарные траектории заполняют некоторую полосу, характерная ширина которой пропоциональна интенсивности шума. При аналитическом описании [12] эта характеристика выражается через полуширину функции распределения
динамических состояний пузырьков, определяемой как решение уравнение Фоккера-Планка. Вдали от бифуркационных значений определяющих параметров функция распределения имеет гауссовский вид и полуширина пропорциональна коэффициенту диффузии (корню из интенсивности шума).
Для описания характера бифуркационных переходов более удобным инструментом является не «глобальное» поведение траекторий на фазовой плоскости, а построение отображений Пуанкаре. Начиная с работы Лаутерборна [5] при анализе бифуркаций нелинейных колебаний пузырьков анализируется зависимость максимального радиуса пузырька от определяющих параметров [13-14]. Эта характеристика не является отображением Пуанкаре в течение начального промежутка времени, когда эволюция определяется переходными процессами, и становится таковой по достижении установившегося режима. Удобство этой величины состоит в том, что рассматриваемая как функция расстройки она описывает амплитудно-частотную характеристику пульсаций пузырька в приближении слабой нелинейности, т.е. позволяет проводить прямое сопоставление с результатами приближенного, аналитического рассмотрения.
На Рис. 2a. представлены результаты расчета плотности распределения максимальных радиусов /(хтзх,п)для значений расстройки г/ (-0,26^0,2), из области
фундаментального резонанса. Плотность определяется как /(хтх,ц) = \_N(хтзх)/(МАх)] ,
где М(хтзх) - число значений максимального радиуса на интервале [хтзх - Ах /2, хтзх +Ах /2],
хтзх = ((ж - Д)/ Ко, N - общее число значений Ятзх на интервале вычислений (в данном
случае на 400 периодах). Для справочных целей более тонкой линией изображены гауссовские распределения, имеющие такие же значения средних и дисперсии, что и ряд хтзх, по которому строится функция распределения.
за к
30
1С
ь о
ъе
0-7
Ой
■и.г
и А
О.Г5
0.3
-Й.1
-0.15 И
-2.lt
Рис. 2а. Плотность распределение / максимальных (за период внешнего поля) радиусов пузырьков
при различных значениях расстройки.
В плоскости х, п для тех же значений расстройки маркерами помечены значения хтзх (максимального радиуса) для установившихся колебаний в отсутствие случайной силы, что позволяет проводить сопоставление с известными данными [5, 13-14]. Поскольку в области бистабильности реализация одного из двух устойчивых состояний зависит от выбора начальных условий и способа изменения расстройки, следует отметить, что приведенные результаты отвечают Я(0) = Я0, Я(0) = 0 и росту п (уменьшению частоты внешнего поля а>р при фиксированном радиусе пузырька).
Для того чтобы проследить, как наличие случайной составляющей влияет на характер бифуркационного перехода из одного устойчивого состояния в другое на Рис. 2Ь представлены результаты расчета плотности распределения / в окрестности бифуркационного значения расстройки.
25 И 15 14 5
Ч Г К
а
14
й7 X
0Л х
-0-2
Хгш. ьь л . йаоа
-о.ян
в.д ■ "" ■ пгэс.
ч -ая 1
Рис. 2Ь. Поведение плотности распределение / максимальных радиусов в окрестности бифуркационного значения расстройки.
Можно предложить следующую физическую интерпретацию полученных результатов. Вне области бистабильности влияние шума на характер пульсаций мало; время переходных процессов невелико, так что достаточно быстро флуктуации будут описываться гауссовским распределением, что согласуется с результатами аналитического рассмотрения [12]. При появлении двух устойчивых состояний характер пульсаций пузырька, по крайней мере, на не слишком продолжительном временном интервале (400 периодов) в значительной мере отличается от физической картины, принятой в [12]: достаточно быстрое достижение одного из двух положений равновесия, малые флуктуации вблизи него и относительно редкие перебросы в другое положение равновесия. Как следует из Рис.2я,Ь. распределение имеет сильноизрезанный характер и существенно отличается от гауссовского, что свидетельствует о слабоустойчивом характере пульсаций.
Следует подчеркнуть, что полученные результаты описывают динамику пузырька для определенной реализации случайного процесса рN и для нахождения устойчивых -средних характеристик следует провести усреднения по ансамблю реализаций. Чтобы избежать этой весьма громоздкой процедуры мы рассмотрим самоусредняющиеся величины, в частности К - энтропию [15, 16]
N
К = (хтах)1п[ / (ОДх], (2)
1=0
здесь суммирование ведется по всем значениям безразмерного максимального радиуса, полученным в ходе численного решения уравнения (1).
К
2.1-
^ ...
-о * -аэ а.: -0 1 о си аз о :■
Рис. 3. Зависимость энтропии Колмогорова-Синая К от расстройки в области бистабильности. Расчет выполнен при тех же значениях определяющих параметров, которые использовались при построении плотности распределения максимальных радиусов.
Как следует из приведенной зависимости, поведение энтропии является наглядным индикатором проявления слабоустойчивой динамики пузырька в окрестности бифуркационного перехода.
В заключение отметим, что представленные результаты являются промежуточными при достижении поставленной цели - описании формы линии акустического излучения при СЛ. Следуя [12], могут быть получены интегральные представления для когерентной и некогерентной компонент монопольного излучения пузырька. Нахождение спектральной плотности некогерентного излучения, которая и определяет форму линии, численным интегрированием для фиксированной реализации случайного процесса не представляет сложной задачи. Проблема состоит в интерпретации получаемых результатов, в проведении сопоставления с результатами, основанными на приближенном решении уравнения Эйнштейна Фоккера Планка, в нахождении самоусредняющихся величин, характеризующих форму линии.
Работа выполнена при поддержке
гранта РФФИ-Приморье 01-02-96901 и гранта РФФИ 01-05-64915. Литература
1. Gaitan D.F., Crum L.A. Sonoluminescence and bubble dynamics for a single, stable, cavitational bubble. // J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 91. P. 3166-3181.
2. Brenner M.P., Hilgenfeldt S., Lohse D. Single-bubble onoluminescence // Rev. Modern Phys. 2002. V. 74. No 2. P. 425-484.
3. Акуличев В.А. Пульсации кавитационных полостей. В книге Мощные ультразвуковые поля. Под ред. Розенберга Л.Д. М:. Наука, 1968.
4. Lauterborn W., Cramer E. Subharmonic route to chaos observed in acoustics // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P.1443-1448
5. Lauterborn W., Cramer E. On the dynamics of acoustic cavitation noise spectra // Acustica 1981. V 49. P. 280-287.
6. Harrison M. An experimental study of single bubble cavitation noise // J. Acoust. Soc. Am.
1952. V. 24. N 6. P. 776-781.
7. Ильин В.П., Жуков В.И., Левковский Ю.Л., Перник А.Д. Исследования статистических характеристик и шума пузырьковой кавитации / Тр. НТО Судпрома 1968. вып. 106. С. 95-101.
8. Морозов В.П. Кавитационный шум как последовательность акустических импульсов, возникающих в случайные моменты времени // Акуст. журн. 1968. Т. 14. вып. 3. С. 435440.
9. Левковский Ю.Л. Статистические характеристики пузырьковой кавитации // Акуст. журн. 1973. Т. 19. вып. 2. С. 200-206.
10. Latorre R. Bubble cavitation noise and the cavitation noise spectrum // ACUSTICA-acta acustica. 1997. V. 83. P. 424-429.
11. Максимов А.О. Нелинейные колебания пузырьков под действием резонансного и шумового акустических полей / Препринт Владивосток.: ТОИ. 1985. 19 с.
12. Максимов А.О. Форма спектральной линии акустического излучения при кавитации. Аналитическая модель // Акуст. журн. 2001. Т.47, №1. С.110-118.
13. Lauterborn W., Holzfuss J. Evidence for a low-dimensional strange attractor in acoustic turbulence // Physics Letters A. 1986. V. 115. N 8. P. 369-372.
14. Kamath V., Prosperetti A. Numerical integration method in gas bubble dynamica // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. N 4. P. 1539-1548.
15. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984
16. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.
