CC BY
162
УДК 514.112.3(07)
БЕЖАНУ Татьяна Вячеславовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики Карельского государственного педагогического университета. Автор 9 научных публикаций, в т.ч. двух учебнометодических пособий
К ВОПРОСУ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ
ГЕОМЕ ТРИЧЕ СКИХ ЗАДА Ч
Практика показывает, что большинство школьников пытается решить геометрическую задачу алгебраическими средствами, чисто геометрические методы используются редко. В настоящей статье рассматриваются планиметрические задачи на отыскание отношения отрезков, решаемые именно геометрическими средствами - с использованием вспомогательных подобных треугольников.
Геометрические задачи, дополнительные построения, прямая, вспомогательные подобные треугольники
Геометрические задачи разнообразны по своей тематике, сложности, педагогической направленности. Из их множества в данной работе выбраны для исследования задачи на отыскание отношения отрезков, решаемые с помощью дополнительных построений.
Дополнительные построения занимают достойное место среди различных приемов решения геометрических задач. В учебниках геометрии 7-9 классов имеется теоретический (практически половина теорем!) и задачный материал, при доказательстве, решении которого применяются различные дополнительные построения.
Суть приема дополнительного построения заключается в том, что чертеж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, преобразуется, а именно дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи ста-
новятся более ощутимыми или даже очевидными.
Для демонстрации использования средств преобразования первоначального чертежа в решении задач на отыскание отношения отрезков рассмотрим следующий пример.
Задача 1. Дан треугольник АВС. Точка N принадлежит АС, точка М принадлежит ВС. Известно, что АК:1ЧС=1:5 и ВМ:МС=1:2. АМ пересекает ВК в точке р. Определите Вр^К.
Отношение отрезков можно определить, к примеру, из подобных треугольников. На чертеже таких треугольников нет. Построим их. Для получения подобных треугольников воспользуемся прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже. Проведем ВБ параллельно АС, и отрезок АМ продолжим до пересечения с новой прямой {рис. 1). Тогда искомые отрезки Вр и РК будут сходственными сторонами подобных треугольников АрК и БрВ. Используя
Рис. 1
пары подобных треугольников АМС и БМВ, АрК и БрВ, определяем искомое отношение.
В учебной литературе1 рассматривается решение аналогичной задачи алгебраическими средствами. В сопоставлении с задачей 1 известными являются следующие отношения АМ:МС=р^ и ВК:КС=т:п. На основании решения авторы выводят формулы для нахождения
АО
отношения отрезков:
елт
и
вд_
ем
т
п
\
+1
. В защиту указанных формул
имеются отдельные статьи в методической литературе2.
Конечно, при таком подходе решение задачи получается в одну строку. Однако на передний план выходит алгебра, геометрия сводится к вычислениям и остается в стороне.
Преобладание в ныне действующих учебниках геометрии задач, решаемых с помощью алгебраических приемов, приводит к сужению роли практических действий, связанных с преобразованием геометрического чертежа. Вслед за И.Ф. Шарыгиным мы считаем бесспорным, что «геометрия должна быть геометрической, а не аналитической или алгебраической...» и что «... главным действующим лицом геометрии должна быть фигура, а главным средством обучения - рисунок, картинка»3. Для пробуждения интереса к изучению геометрии и развития способностей к ней следует представить учащимся геометрию в виде, наибольшим образом соответствующим ее реальной сущности. Дополнительные построения являются одним из наиболее геометрических приемов решения геометрических задач.
Геометрическое решение задачи 1 рассматривается в методической литературе4. Автор предлагает для получения необходимых в решении подобных треугольников выполнить дополнительное построение, представленное в решении задачи 1 (рис. 1). Однако прямую, параллельную одной из имеющихся на чертеже, можно провести по-разному. На чертеже имеются 6 точек, через которые можно провести вспомогательную линию, и 5 отрезков, параллельно которым можно построить новую линию:
• проведение прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через противоположную вершину;
• проведение прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через данные точки М, К, Р;
• проведение прямой, параллельной отрезку АМ;
• проведение прямой, параллельной отрезку ВК
Всего имеем 16 различных случаев использования одного и того же дополнительного построения, и при этом каждый раз можно получить решение. Автор такую ситуацию не рассматривает, тем самым оставляя открытым вопрос, почему именно так, а не иначе выполняется дополнительное построение. Различные способы построения прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, отражены в таблице.
В связи с полученным многообразием возможных решений одной задачи можно вести речь о поиске рационального решения. Одни из найденных решений будут более рациональными, другие - менее. Наиболее рациональное решение (без лишних алгебраических выкладок и изучения большего числа фигур) достигается путем построения дополнительной прямой таким образом, чтобы искомые отрезки являлись сходственными сторонами во вспомогательных подобных треугольниках. Такое построение иллюстрирует второй случай.
Вспомогательные подобные треугольники также полезны при решении задач, в которых требуется установить длину отрезка. Сказанное проиллюстрируем на следующем примере.
Задача 2. В треугольнике АВС АВ=6 см, ВС=12 см, ^ В=120°. Найдите длину биссектрисы ВВ1.
Для определения длины отрезка можно использовать, к примеру, подобные треугольники. Для получения подобных треугольников воспользуемся прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже. Построим СБ параллельно АВ, и отрезок ВВ1 продолжим до пересечения с новой прямой (рис. 2).
в
F
Рис. 2
Тогда треугольник ВСБ является равносторонним и ВР=СР=12 см. Отрезки ВВ1 и В^ являются сходственными сторонами подобных треугольников АВВ1 и СРВ1. Из подобия этих треугольников определяем отношение ВВ1:В1Р=1:2. Следовательно, ВВ1=4см.
В заключение заметим, что для решения задач на отыскание отношения отрезков (длины отрезка) помимо рассмотрения вспомогательных подобных треугольников можно применить теорему о пропорциональных отрезках. В такой ситуации наиболее рациональное решение будет получено путем построения прямой, параллельной отрезку АМ и проходящей через точку N (см. таблицу, случай 12). Однако практика показывает, что, приступая к решению указанных задач, учащиеся редко вспоминают об этой теореме.
Примечания
1 Атанасян Л.С., Бутузов Б.Ф., Кадомцев С.Б. Дополнительные главы к учебнику геометрии 8: учеб. пособ. М., 2001.
2 Пантелеев В.П. В защиту формулы, как решающего алгоритма//Математика в шк. 2005. № 5. С. 76-78.
3 Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе 21 века Геометрия? //Математика. 2004. № 12. С. 2-5.
4Генкин Г.З. Три подхода к решению некоторых задач II Математика в шк. 2002. № 3. С. 24-25.
Bezhanu Tatiana
ТО THE QUESTION ABOUT GEOMETRY SOLUTIONS TO GEOMETRY PROBLEMS
Practice shows that most of pupils try solving a geometry problem by algebraic means, purely geometry methods being used rarely. This article considers planimetric problems to finding the ratio of segments, which solved by the geometric means - by using subsidiary similar triangles.
Контактная информация: e-mail\ tania-utv@drevlanka.ru
Рецензент - ФефиловаЕ. Ф., кандидат педагогических наук, доцент, профессор кафедры методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
