К вопросу аналитического решения линейных обобщенных дифференциальных уравнений специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

К вопросу аналитического решения линейных обобщенных дифференциальных уравнений специального вида

Шипов Николай Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Мытищинский филиал, nvshi@mail.ru

В известных обзорных публикациях и курсах уравнений математической физики [1-7] для класса линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (порядка т) имеется лишь незначительное число уравнений, решения которых могут быть представлены в аналитическом виде. В настоящей работе ставится задача аналитического решения линейных дифференциальных уравнений вида х п и (т) = ^х), которые не имеют классического решения на множествах, содержащих начало координат. Однако в ряде практических задач источник воздействия на систему (излучения или возмущения системы) расположен именно в начале координат. На базе дифференциальных свойств функционала Р(1/хп) в пространстве D' и S', указаны аналитические процедуры нахождения общих обобщенных решений уравнений вида х п+1 и(п) = ^х). Найдены фундаментальные решения уравнений вида х п и (т) = б(х), где п и т натуральные числа. В пространстве S' найдены коэффициенты разложения функционала Р(1/х) по полиномам Эрмита. Найденные аналитические решения в методике преподавания курсов уравнений математической физики расширяют узкий класс аналитически решаемых линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Ключевые слова: функционал, обобщенная функция, пространство основных функций D и S, пространство обобщенных функций D' и S, дельта-функция б(х).

В классе линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (порядка п) имеется лишь незначительное число уравнений[1,2], для которых найдены общие решения в виде аналитических выражений.

В настоящей работе на базе свойств функционала Р(1/хп) ставится задача нахождения общего решения обобщенных дифференциальных уравнений вида х п и (т) = Г(х). (1)

где ^х) также в общем случае должна рассматриваться как заданная произвольная обобщенная функция.

Функционал Р(1/х2) удовлетворяет обобщенному алгебраическому уравнению х2 Р(1/х2) = 1 [1,2], а Р(1/х п) -уравнению хп Р(1/х п) = 1. При этом производные указанных функционалов при п = 1 и сами функционалы для п + 1 связаны следующими соотношениями [3-4]:

(Р<п>(1/х), ф) = (-1) " п! У.Р. г (ф(х) - р(0) - хр'(0) -.... - (0)хп-1 /(п -1)! )ах =

= (-1) " п! Р (1/ х п + 1). (2)

Проводя операции обобщенного дифференцирования и вычисляя производные функций присутствующих в (2) в точке х = 0, приходим к выводу, что производная порядка п функционала в левой части первого равенства (2) удовлетворяет следующему обобщенному дифференциальному уравнению:

х п + 1 у (п) = (-1)п п!. (3)

Далее будем искать общее решение обобщенного уравнения (3). Пусть у = у(х) есть произвольное решение обобщенного уравнения (3). Тогда обобщенная функция у = и(х) - Р(1/х) удовлетворяет равенству

х п + 1 у <п) = 0.

Обобщенное уравнение х п + 1 у = 0,

как известно [1], имеет общее обобщенное решение у = Е^о^М«, (4)

где со, С1, ..., с п - произвольные постоянные. Здесь под знаком суммы стоят обобщенные производные порядка к от 5-функции аргумента х.

При интегрировании (4) используем то обстоятельство, что обобщенное уравнение у (п) = 0

имеет общее обобщенное решение вида у = р п-1 (х), где р п -1 - произвольный многочлен степени п -1, коэффициенты которого являются произвольными константами. Обобщенное интегрирование уравнения (4) приводит к следующей формуле общего обобщенного решения уравнения (3)

X X

о

го А с.

X

го т

о

у = Р(1/х) + £ (ак + ъкв( х)) хк + со б(х).

(5)

где все присутствующие константы в правой части (5) являются постоянными числами, а в(х) - обобщенная регулярная функция, равная нулю при х < 0, и равная единице при х > 1. Обобщенная производная этой

2 О

м о

х

к=0

о см о см

<0

о ш т

X

3

<

т О X X

функции, как хорошо известно, равняется 5-функции аргумента х. Число эти констант в уравнении (5) равно 2п+1, хотя порядок этого обобщенного дифференциального уравнения равен п.

Если множество значений х, для которого ищется решение уравнения (3), не содержит точки х = 0 начала координат, тогда обобщенное решение (5) принимает простейший вид у = 1/х + £Ск хк,

где суммирование по индексу к распространяется от 0 до п -1.

Решение обобщенных уравнений вида

x " + 1 u (п) = ОД

Кратко рассмотрим с использованием основных вышеизложенных свойств функционалов (прежде всего интеграла в смысле главного значения в точке х = 0) обобщенные решения уравнения вида

х п + 1 и <п> = ОД (6)

где ОД принадлежит пространству бесконечно дифференцируемых функций С Классическое решение дифференциального уравнения (5) на множествах, содержащих точку х = 0, не существует.

Вначале рассмотрим обобщенное уравнение

х п + 1 у = ОД,

(7)

где ОД принадлежит D' - пространству обобщенных функций на множестве финитных бесконечно дифференцируемых функций. Общее решение уравнения (7) представляется в виде [1,4]:

У = Ур + С8(х) + +... + са8<п) (х),

где ур - частное решение уравнения (7), с0, ..., сп -

произвольные константы. Для нахождения частного решения уравнения (7), где ОД

принадлежит С", используем то обстоятельство, что обобщённая функция (-1)п ОД Р(п)(1/х) / п! удовлетворяет равенству

(х п + 1 Р<п'(1/х) ОД , ф(х)) (-1)п/ п! = (ОД, ф(х)). Справедливость этого равенства подтверждается тем обстоятельством, что производные от (х ф(х) порядка не выше п -1 обращаются в ноль в точке х = 0.

Таким образом произвольное обобщенное решение и уравнения (6) необходимо удовлетворяет равенству

и(п) = Дх)Р(п)(1/х)(-1)п /п(п -1)...1 +

( ) (8)

+еп8( х) + Сп-8'( х) +... + С08(п)(X).

Первообразная FОД для первого слагаемого в (8) строится по известной процедуре [1]:

^1, ф(х)) = -(-1)п ( f(x) Р(п)(1/х) , ф(х) ) / п!, где функция ф(х) из пространства D легко выражается через ф(х):

&, а 0(1) - функция

^(х) = | р(1) -из D (например, «шапочка»), нормированная условием

ад

10(1^ = 1. Интегрированием равенства (8) полу-ад

чаем

и(п-1) = Fl(x) + спв( х) + Ьп + Сп-8( х) +... + Со8(п-1)(х). Продолжая процесс, находим первообразную F п (порядка п) для первого слагаемого в (7) и общее решение уравнения (5) в виде:

и = F п (х) + £ (ак + Ькв(х))хк-1 + се б(х). (9)

к=1

Если Дх) = (-1)пп(п -1)...1, то Fn(х) = Р(1/х) , а общее решение (9) сводится к общему решению (5) уравнения (3).

Рассмотрим уравнение (6), в правой части которого стоит б(х):

х п + 1 у = б(х). (10)

Используя легко проверяемое тождество х п б<п'(х) = (-1)п п!б(х),

найдем частное решение уравнения (10) в виде у = (-1)п + 1 б<п +1)(х) /(п + 1)! .

Таким образом, общее решение уравнения (10) аналогично вышеизложенному в предыдущем разделе имеет вид

у = (-1)п + 1 б<п +1'(х) /(п + 1)! + сп8( х) + Сп-8'( х) +... + Со8(п)( х). (11)

Далее рассмотрим уравнение х п + 1 и <п+1> = б(х). (12)

Из (10) следует, что производная порядка п + 1 от общего решения уравнения (12) удовлетворяет равенству

и (п+1) = (-1)п + 1 б<п +1'(х) /(п + 1)! + с8( х) + Сп-18 ' (х) +... + Со8(п)( х). Отсюда аналогично (9) получаем

и ' = (-1)п + 1 б'(х) /(п + 1)! + ]Г(ак + Ьв( х)) хк-1 + сс б(х),

и = (-1)п + 1б(х) /(п + 1)! + ^ (ак + Ькв(х))хк , (13)

к=0

где новые константы после интегрирования обозначены теми же символами.

На основе общего решения (11) уравнения (10) аналогичным образом можно находить общие решения обобщенных линейных уравнений более общего вида

х п + 1 и <т> = б(х).

О функционале Р — в пространстве обобщен-

х

ных функций медленного роста

Рассмотренные выше вопросы нахождения аналитических решений обобщенных линейных дифференциальных уравнений специального вида в пространстве D' могут быть обобщены на более общий случай пространства обобщенных функций медленного роста S'. Одним из основных методов решения линейных обобщенных дифференциальных уравнений является преобразование Фурье[6-11] Важнейшим преимуществом пространства S' по сравнению с пространством D', как известно, является то обстоятельство, что преобразование Фурье функции из S' является обобщенной функцией, также принадлежащей пространству S' обобщенных функций медленного роста.

Ортонормальные функции Эрмита (волновые функции гармонического осциллятора) принадлежат пространству S и могут быть представлены в виде [1]:

к=1

H2*+1 (x) = i^)' £

(-1)M (2x)2

22K+W.Ж) Mi,M!(2k-2M +1)!

exp (-

х /2). (14)

Для произвольной обобщенной функции / из S ' числа

ап (/) = (/ Нп)

называются коэффициентами Фурье, а формальный

ряд

£ ап (/) Нп (х)

называется рядом Фурье по ортонормальной системе функций Эрмита.

Для того, чтобы / принадлежала S ', необходимо и достаточно, чтобы её коэффициенты Фурье удовлетворяли условию: существуют числа р > 0 и С такие, что

| ап (/) | < С (1 + п)Р , п = 0, 1, ...

При этом ряд Фурье / единственен, сходится к / в S ' (в смысле слабой сходимости) [1].

Опуская детали интегрирования, приведём окончательный результат для коэффициентов Фурье функции

РI:

x

a

2 K+1

(P1 )= ((2K + 1)!Ж £(-1)M2K-2M+1(2K-2M-1)!!, X Mi, M!(2K-2M+1)!

k = 0, 1, 2,... (15)

где для унификации удобно считать (-1)! = 1.

Выражения (14), (15) могут быть использованы для вычисления коэффициентов Фурье по ортонормальной системе функций Эрмита

для других обобщенных функций, связанных с P —,

x

например, дифференциальными уравнениями, а также для установления принадлежности этих решений пространству S'.

Найденные аналитические обобщенные решения и установленные соотношения расширяют узкий класс аналитически решаемых в курсах уравнений математической физики линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Например, линейные дифференциальные уравнения вида x n u (m) = f(x) не имеют классического решения на множествах, содержащих начало координат. Однако в ряде практических задач источник воздействия на систему (источник излучения или возмущения системы, например, 5-функция) расположен именно в начале координат.

Литература

1. Владимиров, В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 2007. - 280с.

2. Edwards R. E. Fourier Series.A Modern Introduction. - New York. Heidelberg. Berlin, Springer-Verlag. Publ., 1982, - 256 p.

3.Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически однородные обобщенные функции и граничные свойства функций голоморфных в трубчатых слоях. // Известия РАН. Сер. матем. - 2006. - Т.70, № 6. С. 121-125.

4. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учеб. пособие для физ.-мат. специальностей вузов. - М.: Физматлит, 2000. - 400 с.

5. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними: учеб. пособие для физ.-мат. специальностей вузов. - М.: Добросвет, 2007. - 408 с.

6. Бремерман Г.Р. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. - М.: Мир, 1968. -494 с.

7. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. - М.: Наука, 1977. -288 с.

8. Шипов Н.В. К вопросу о равномерно равносходя-щихся рядах Фурье. // Лесной вестник / Forestry Bulletin. - 2018. - Т.22. Вып.1. - С. 112

115.

9. Владимиров, В.С. Сборник задач по уравнениям Математической физики: учеб. пособие для физ.-мат.специальностей вузов / В.С. Владимиров, В.П. Михайлов; под общ. ред. В.С. Владимирова. - М.: Физматлит, 2003. - 260 с.

10. Шипов, Н.В. О свойствах функционала P(1/x) в пространстве обобщенных функций медленного роста. // Вестник МГУЛ-Лесной Вестник. 2010. Т.75, Вып.6. С. 183 - 185.

11. Аленицын А.Г., Благовещенский А.С., Лялинов М.А. Методы математической физики. Сб.задач для студентов третьего курса. - Изд-во СПбГУ,2001. - 99 с.

Solutions of linear generalized differential equations of special

view Shipov N.V.

Moscow State Technical University named after N.E. Bauman In the well-known review publications and courses of equations of mathematical physics [1, 2], for the class of linear homogeneous and inhomogeneous generalized differential equations with variable coefficients (of order m), there are only a small number of equations whose solutions can be presented in an analytical form. In this paper, we pose the problem of analytically solving linear differential equations of the form x n u (m) = f (x), which do not have a classical solution on sets containing the origin. However, in a number of practical problems, the source of the impact on the system (radiation or disturbance of the system) is located exactly at the origin. Based on the differential properties of the functional P (1 / x) in the space D' and the calculation of all its derivatives P(n) (1 / x) of order n, including the recurrence relations between them [3,4], analytical procedures for finding general generalized solutions are indicated to equations of the form x n+1 u (n) = f (x). The general fundamental solutions of equations of the form x n u (m) = 5 (x) are found. The found analytical solutions in the methodology of teaching courses of equations of mathematical physics expand a narrow class of analytically solvable linear homogeneous and inhomogeneous generalized differential equations with variable coefficients.

Keywords: functional, generalized function, generalized function P (1/ x), space of basic functions D, space of generalized functions D ', delta function 5 (x). References

1. Vladimirov, V.S. Generalized functions in mathematical physics.

M .: Nauka, 2007. - 280s.

2. Edwards R. E. Fourier Series.A Modern Introduction. - New York.

Heidelberg. Berlin, Springer-Verlag. Publ., 1982, - 256 p.

3. Drozhzhinov Yu.N., Zavialov B.I. Asymptotically homogeneous

generalized functions and boundary properties of holomorphic functions in tubular layers. // Proceedings of the RAS. Ser. mate. - 2006. - T. 70, No. 6. S. 121-125.

X X О го А С.

X

го m

о

2 О

м о

4. Vladimirov V.S., Zharinov V.V. The equations of mathematical

physics: textbook. allowance for the physical. university specialties. - M .: Fizmatlit, 2000 .-- 400 p.

5. Gelfand I.M., Shilov G.E. Generalized functions and actions on

them: textbook. allowance for the physical. university specialties. - M .: Dobrosvet, 2007 .-- 408 p.

6. Bremerman G.R. Distributions, complex variables and Fourier

transform. - M .: Mir, 1968 .-- 494 p.

7. Brychkov Yu.A., Prudnikov A.P. Integral Transformations generalized functions. - M .: Nauka, 1977 .-- 288 p.

8. Shipov N.V. To the question of uniformly equal Fourier series. //

Forest Herald / Forestry Bulletin. - 2018. - T. 22. Issue 1. - S. 112- 115.

9. Vladimirov, V.S. Collection of problems by equations Mathematical Physics: Textbook. allowance for physical and mathematical specialties universities / V.S.Vladimirov, V.P. Mikhailov; under the general. ed. V.S.Vladimirova. - M .: Fizmatlit, 2003 .-- 260 p.

10. Shipov, N.V. On the properties of the functional P (1 / x) in the space of generalized functions of slow growth. // Bulletin of MGUL-Forest Newsletter. 2010.V.75, Issue 6. S. 183 - 185.

11. Alenitsyn A.G., Blagoveshchensky A.S., Lyalinov M.A. Methods mathematical physics. Sat. Tasks for third year students. -Publishing house of St. Petersburg State University, 2001. - 99 p.

o

CN O CN

<£

O HI

m x

3

<

m o x

X