Аналитические решения некоторых обобщенных линейных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аналитические решения некоторых обобщенных линейных дифференциальных уравнений

Шипов Николай Викторович,

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и физики (Мытищинский филиал), Московский государственного технический университет им. Н.Э. Баумана, nvshi@mail.ru

Интеграл в смысле главного значения P(1/x) встречается во многих уравнениях теоретической и математической физики. Например, в формулах Сохоцкого в квантовой физике и электродинамике, статистической физике, интеграл в смысле главного значения P(1/x) применяются к волновым функциям ф(х) системы.. Найдены простые аналитические выражения для всех его производных функционала P(1/x) в пространстве D'. Установлены простые рекуррентные соотношения между производными порядка п и п + 1. Найденные выражения для функционала P(1/x) и всех его производных могут быть использованы для вычисления производных других функционалов, связанных с P(1/x) различными соотношениями, в том числе и дифференциальными уравнениями в пространстве D', что позволит проводить числовые оценки указанных функционалов.

Установлено линейное неоднородное обобщенное диффе-ренциальн0е уравнение порядка п с переменными коэффициентами в пространстве D', которому удовлетворяет функционал P(1/x). Доказано, что общее обобщенное решение указанного линейного уравнения может быть найдено только с помощью функционала P(1/x), то есть никакая другая обобщенная функция не удовлетворяет этому уравнению. На его основе построены частные решения неоднородных линейных уравнений с переменными коэффициентами типа уравнения Эйлера. Исследованные уравнения расширяют класс линейных неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений порядка п с переменными коэффициентами, для которых существуют явные аналитические обобщенные решения.

Ключевые слова: интеграл в смысле главного значения P(1/x), финитная функция, обобщенная функция, обобщенное линейное дифференциальное уравнение.

ВВЕДЕНИЕ

Обобщенная функция является обобщением классического определения функции, что позволяет выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как, например, плотность материальной точки, плотность точечного заряда или диполя [1-2]. На практике нельзя, например, измерить плотность вещества, или плотность заряда, в одной точке. Можно лишь измерить его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить это плотностью в данной точке, то есть обобщенная функция определяется своими средними значениями в окрестности каждой точки. В связи с этим обобщенные функции часто называют распределениями [1-2]. В уравнениях математической физики дельта-функция б(х) описывает плотность единичной массы (плотность заряда) в точке х = 0. В уравнениях электродинамики, в уравнениях Максвелла, плотность тока заряженной частицы можно математически описать только с помощью дельта-функции б(х). Преобразования Фурье уравнений математической физики приводит к возникновению ряда других общеизвестных обобщенных функций, например, интеграла P(1/x) в смысле главного значения [1-4], функции знака sign(x), «единичной ступенька» 0(х). Например, преобразование Фурье «единичной ступеньки» 0(х) выражается через интеграл в смысле главного значения:

Указанные функции находят свое широкое применение как в общей теории преобразования Фурье, так и в более узких прикладных задачах строительной механики и математических методах цифровой обработки сигналов при дискретном преобразовании Фурье [1-4].

Функционал P(1/x) часто встречается в уравнениях теоретической физики, в частности в статистической физике и квантовой физике в формулах Сохоцкого [1,2]. Функциональные операторы, стоящие в правой и левой частях этих формул, применяются к волновым функциям ф(х) системы. Они могут быть использованы, будучи связанными с другими физическими функционалами, для вычисления средних зна-

х

X

о

го А с.

X

го т

о

ю 5

М О

О)

о

см

ш

О!

О Ш

т х

<

т о х

X

чений физических параметров. Вычисление производных и интегралов любого порядка от обобщенных функций 5(х), 0(х) и э1дп(х) не представляет значительных трудностей [1-6]. Вместе с тем дифференциальные и интегральные свойства функционала Р(1/х) недостаточно изучены (в отличие от 5(х), 0(х) и э1дп(х)), имеется лишь выражение для первой производной Р'(1/х) [1,2].

Функционал Р(1/х2) удовлетворяет обобщенному алгебраическому уравнению х2 Р(1/х2) = 1 [1,2], а Р(1/хп) - уравнению хп Р(1/хп) = 1 [6].

В классе линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (порядка п) имеется лишь незначительное число уравнений, для которых найдены общие решения в виде аналитических выражений. [1,2,5]. Обобщенное аналитическое решение однородного уравнения Эйлера: с постоянными целыми коэффициентами найдено при п = 1 [5].

В настоящей работе ставится задача изучения дифференциальных свойств функционала Р(1/х) в пространстве й' и вычисления всех его производных Р (п)(1/х) порядка п, включая рекуррентные соотношения между ними. Это позволит вычислять производные других функционалов, связанных с Р(1/х), а также производить их числовые оценки.

Во-вторых, в классе линейных неоднородных обобщенных уравнений порядка п с переменными коэффициентами ставится задача нахождения соответствующего линейного неоднородного уравнения порядка п, которому удовлетворяет функционал Р(1/х), нахождение его общего решения и доказательство того, что никакая другая обобщенная функция не удовлетворяет этому уравнению. На его основе можно построить частные решения неоднородных уравнений типа уравнения Эйлера.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛА Р(1/х)

Функция /(х) = 1п|х| локально суммируема (интегрируема по Лебегу) на любом ограниченном борелевском множестве числовой оси Р.. Таким образом функция 1п|х| определяет регулярную обобщённую функцию (1п|х|, ф(х)) - линейный непрерывный функционал на множестве й финитных (то есть имеющих ограниченный носитель на множестве Р) бесконечно дифференцируемых функций ф(х) [1,2,3]. Все производные этого функционала Р(п)(1/х), как обобщенной функции, существуют и являются линейными и непрерывными функционалами [1,2,3].

Выделяя на действительной оси симметричный интервал интегрирования (- К Р), содержащий ограниченный носитель функции ф(х),

водя функцию ф(х) = ф(х) - х ф'(0) - ф(0), ф'(х) = ф'(х) - ф'(0), после интегрирования по частям получаем выражение для первой производной в виде:

(р( х) - р(0) - хр'(0))с1х =

к

(Р '(1/х),ф) = - Пш [

- У.Р.

(р( х) - р(0))ёх

(1)

Аналогичным образом приходим к окончательному выражению для функционала производной порядка п ( п = 0, 1, 2, 3... ): (Р(п)(1/х), ф) = (-1)" п!

Пш Г

Я^т J

(р(х) -р(0) - хр(0) -....- р(п) (0)хп / я!)А =

=(-1)" п!

уР Г (р( х) - р(0) - хр'(0) -....- р(п-1) (0) хп-1 /(п -1)! Ух (2) Г хп+1

Полученные выражения могут быть использованы в расчётах для оценок производных функционала, а также для установления и проверки различных соотношений между обобщёнными функциями в пространстве й'. Например, п - кратным дифференцированием формул Со-хоцкого получаем явное выражение для п -ой

1

производной оператора -, действующего

х + ¡0

на волновую функцию ф(х).

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функционал

и = Р(1/х) удовлетворяет в й' уравнению

(п)

х п + 1 и (п) = (-1)п п!, (3)

„п + 1

поскольку все производные от функции хп ф(х) порядка не выше п обращаются в ноль при х = 0.

Существуют ли другие обобщенные функции, также удовлетворяющие этому уравнению? Для ответа на этот вопрос найдем общее решение уравнения (3). Пусть и = и(х) есть произвольное решение уравнения (5). Тогда разность функций

и0 = и(х) - Р(1/х) удовлетворяет однородному уравнению (3). Таким образом, общее решение уравнения (3) необходимо представляется следующей формулой:

п-1

и = Р(1/х) + X (ак + Ъкв(х))хк + сп

Сп б(х).

к=0

(4)

где ак, Ьк - постоянные числа. Непосредственной проверкой убеждаемся, что (4) обращает уравнение (3) в тождество.

2

х

2

х

х

Формула (4) есть общее решение неоднородного линейного (порядка п) обобщенного уравнения (3) и содержит 2п + 1 произвольных констант. Никакая другая обобщенная функция, кроме входящих в (4), не удовлетворяет уравнению (5), а Р(1/х) остается в общем решении даже при всех константах равных нулю.

В пространстве й'(х > 0) или й'(х < 0) обобщенных функций на множествах х > 0 или х < 0, исключающих точку х = 0, сингулярная обобщенная функция Р(1/х) единственным образом [1-3] сужается до регулярной обобщенной функции 1/х.

На этих множествах обобщенное решение (4) уравнения (3) упрощается до тривиальной регулярной функции: п-1

u = 1/x + 2 ^k Х

к=0

Дифференцированием обобщенного уравнения (3) по х нетрудно получить обобщенные рекуррентное соотношение, связывающее обобщенные производные и (п + 1 и и (п) .

Далее кратко рассмотрим одно из уравнений, которым удовлетворяет частное решение и = Р(1/х) уравнения (3). А именно, умножим уравнение (5) на произвольные числа ап- к (к =0, 1, 2, ..., п-1) и сложим п + 1 уравнений вида (3) начиная с п = 0, приходим к линейному неоднородному обобщенному уравнению порядка п для и = и(х) :

х ( хп и(п)+а1хп -1и(п - 1(+ ... + ап - 1 х и' + ап и ) = А, (5)

где константа

А = (-1)п п! + ап - 1 (-1)п - 1 (п-1)! + ... +ап .

Частное обобщенное решение этого уравнения (5) есть и = Р(1/х), поскольку каждое слагаемое в левой части (12) удовлетворяет уравнению (5). Таким образом общее решение уравнения (5) аналогично вышеизложенному представляется суммой двух слагаемых:

и = Р(1/х) + и0 ,

где и0 есть общее решение однородного обобщенного уравнения (5).

На множествах х > 0 или х < 0, исключающих точку х = 0, линейное однородное уравнение (5) сводится к известному в теории обыкновенных дифференциальных уравнений однородному уравнению Эйлера с постоянными коэффициентами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Найденные выражения для производных от Р(1/х) (включая рекуррентные соотношения) могут быть использованы для вычисления производных других функционалов, связанных с Р(1/х) различными соотношениями, в том числе и дифференциальными уравнениями в про-

странстве D', что позволит проводить числовые оценки указанных функционалов. Например, при дифференцировании формул Сохоцкого найденные производные для функционала P(1/x) найдут приложения в задачах квантовой физики и электродинамики применительно к волновой функции ф(х) системы.

Установлено линейное неоднородное обобщенное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами в одномерном пространстве D', которому удовлетворяет функционал P(1/x). Доказано, что общее обобщенное решение указанного линейного уравнения может быть найдено только с помощью функционала P(1/x), то есть никакая другая обобщенная функция не удовлетворяет этому уравнению. Полученное простое аналитическое выражение для обобщенного общего решения этого уравнения может быть использовано для поиска обобщенных решений других линейных обобщенных уравнений в пространстве D', либо для установления рекуррентных связей между ними.

Исследованные уравнения расширяют (весьма немногочисленный) класс линейных неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений порядка n с переменными коэффициентами, для которых в явном виде найдены аналитические обобщенные решения [1-3,5].

Литература

1. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики : учеб. пособие. для физ.-мат. специальностей вузов. L М.: Наука, 1986. L 512с.

2. Широков Ю.М. Алгебра одномерных обобщенных функций.

//Теоретическая и математическая физика. -1979. - Т. 39, № 3. С. 291-301.

3. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования

обобщенных функций. - М.: Наука, 1977. -288 с.

4. Шипов Н.В. К вопросу о равномерно рав-носходящихся рядах Фурье. // Лесной вестник / Forestry Bulletin. L 2018. L Т.22. Вып.1. L С. 112 L115.

5. Аленицын А.Г., Благовещенский А.С., Ля-линов М.А. Методы

математической физики. Сб.задач для студентов третьего курса.- Изд-во СПбГУ, 2005. -99 с.

6. Шипов Н.В. О функционале P(1/x) в пространстве обобщённых функций медленного роста. //Вестник МГУЛ - Лесной вестник, 2010, Т..75, Вып..6. - С. 183 - 185.

х

X

о

го А с.

X

го m

о

ю 5

М О

to

Analytical solutions of some generalized linear differential equations

Shipov N.V.

Bauman Moscow State Technical University

The integral in the sense of the principal value P(1/x) is found in many equations of theoretical and mathematical physics. For example, in Sokhotsky's formulas in quantum physics and electrodynamics, statistical physics, the integral in the sense of the principal value P(1/x) is applied to the wave functions 9 (x) of the system. The integral in the sense of the principal value P(1/x) is a functional, that is, a generalized function on the set D of finite infinitely differentiable functions 9 (x). These functions have a limited carrier on the set R of all real numbers. The functional P(1/x) in the space of generalized functions D' is represented as a simple analytic formula. Simple analytical expressions are found for all its derivatives in the space D'. Simple recurrence relations between derivatives of order n and n + 1 are established. The expressions found for the functional P(1/x) and all its derivatives can be used to calculate the derivatives of other functionals related to P(1/x) by various relations, including differential equations, in the space D'. Established linear inhomogeneous generalized differential equations in the space D', which the functional P(1/x) satisfies. It is proved that generalized solutions of these linear equations can be found only with the help of the functional P(1/x). Simple analytical expressions are obtained for generalized general solutions of the indicated linear inhomogeneous differential equations in the space D'. These equations expand the class of linear generalized differential equations for which explicit analytic generalized solutions exist.

Keywords: integral in the sense of the principal value P(1/x), finite function, generalized function, generalized linear differential equation.

References

1.Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 512 P.

2. Shirokov Yu.M. Algebra odnomernykh obobshchennykh funktsiy [Algebra of one-dimensional generalized functions]. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 1979, Vol. 39, no. 3, pp. 291-301.

3. Brychkov Yu.A., Prudnikov A.P. Integral'nyye preobra-zovaniya obobshchennykh funktsiy [Integral transforms of generalized functions]. Moscow, Nauka publ., 1977. 288 p.

4. Shipov N.V. K voprosu o ravnomerno ravnoskhodyashchikh-sya ryadakh Fur'ye. [On the question of uniformly equally convergent Fourier series]. Lesnoy vestnik/Forestry Bulletin [Forestry Bulletin], 2018, Vol. 22, no. 1, pp. 112-115.

5. Alenitsyn A.G., Blagoveshchensky A.S., Lyalinov M.A. Me-tody matematicheskoy fiziki. Sbornik.zadach dlya studentov tret'yego kursa [Methods of mathematical physics. Collection of problems for third year students]. Publishing hous SpbSU, 2005, 99 p.

6. Shipov N.V._On the properties of the functional P (1 / x) in the space of generalized functions of slow growth. Lesnoy vestnik /Forestry Bulletin [Forestry Bulletin], 2010, Vol. 75, no. 6, pp. 183-185.