Аналитические решения линейных обобщенных дифференциальных уравнений вида x n u (m) = f(x) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аналитические решения линейных обобщенных дифференциальных уравнений вида x п u = f(x)

о см о см

!Л

О Ш

т

X

<

т О X X

Шипов Николай Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Мытищинский филиал, [email protected]

В известных обзорных публикациях и курсах уравнений математической физики [1,2] для класса линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (порядка т) имеется лишь незначительное число уравнений, решения которых могут быть представлены в аналитическом виде. В настоящей работе ставится задача аналитического решения линейных дифференциальных уравнений вида х п и (т) = 1(х), которые не имеют классического решения на множествах, содержащих начало координат. Однако в ряде практических задач источник воздействия на систему (излучения или возмущения системы) расположен именно в начале координат. На базе дифференциальных свойств функционала Р(1/хп) в пространстве D' [3,4], указаны аналитические процедуры нахождения общих обобщенных ре-

1(х). Найдены фундаменталь-

. п+1 и(п) .

(т) .

б(х), где п и т натураль-

шений уравнений вида х 11 1 и ные решения уравнений вида х п и ные числа.

Найденные аналитические решения в методике преподавания курсов уравнений математической физики расширяют узкий класс аналитически решаемых линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Ключевые слова: функционал, обобщенная функция, пространство основных функций D, пространство обобщенных функций D', дельта-функция б(х).

В классе линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (порядка п) имеется лишь незначительное число уравнений[1,2], для которых найдены общие решения в виде аналитических выражений.

В настоящей работе на базе свойств функционала Р(1/хп) ставится задача нахождения общего решения обобщенных дифференциальных уравнений вида х п и (т) = 1(х). (1)

где 1(х) также в общем случае должна рассматриваться как заданная произвольная обобщенная функция.

Основные свойства используемых функционалов

Функционал Р(1/х2) удовлетворяет обобщенному алгебраическому уравнению х2 Р(1/х2) = 1 [1,2], а Р(1/х п) -уравнению хп Р(1/х п) = 1. При этом производные указанных функционалов при п = 1 и сами функционалы для п + 1 связаны следующими соотношениями [3-4]:

(Р(п)(1/х), ф) = (-1) " п! У.Р.

1

(р(х) - р(0) - хр(0) -.... - Р("-1) (0)х"-1 /(п -1)! )Сх =

х

• п + 1 \

= (-1) " п! Р (1/ х п + 1). (2)

Проводя операции обобщенного дифференцирования и вычисляя производные функций присутствующих в (2) в точке х = 0, приходим к выводу, что производная порядка п функционала в левой части первого равенства (2) удовлетворяет следующему обобщенному дифференциальному уравнению:

х п + 1 у (п) = (-1)п п!. (3)

Далее будем искать общее решение обобщенного уравнения (3). Пусть у = у(х) есть произвольное решение обобщенного уравнения (3). Тогда обобщенная функция у = и(х) - Р(1/х) удовлетворяет равенству

х п + 1 у (") = 0.

Обобщенное уравнение х п + 1 у = 0,

как известно [1], имеет общее обобщенное решение у = Е^о^М«, (4)

где со, С1, ..., с п - произвольные постоянные. Здесь под знаком суммы стоят обобщенные производные порядка к от 5-функции аргумента х.

При интегрировании (4) используем то обстоятельство, что обобщенное уравнение у (п) = 0

имеет общее обобщенное решение вида у = р п-1 (х), где р п -1 - произвольный многочлен степени п -1, коэффициенты которого являются произвольными константами. Обобщенное интегрирование уравнения (4) приводит к следующей формуле общего обобщенного решения уравнения (3)

п-1

у

= Р(1/х) + ^ (ак + Ькв( х)) хк + со б(х). (5)

к=0

где все присутствующие константы в правой части (5) являются постоянными числами, а в(х) - обобщенная регулярная функция, равная нулю при х < 0, и равная единице при х > 1. Обобщенная производная этой функции, как хорошо известно, равняется 5-функции аргумента х. Число эти констант в уравнении (5) равно 2п+1, хотя порядок этого обобщенного дифференциального уравнения равен п.

Если множество значений х, для которого ищется решение уравнения (3), не содержит точки х = 0 начала координат, тогда обобщенное решение (5) принимает простейший вид у = 1/х + £Ск хк,

где суммирование по индексу к распространяется от 0 до п -1.

Решение обобщенных уравнений вида х п+1 и (п) = ^х)

Кратко рассмотрим с использованием основных вышеизложенных свойств функционалов (прежде всего интеграла в смысле главного значения в точке х = 0) обобщенные решения уравнения вида

х п + 1 и <п> = ^х), (6)

где ^х) принадлежит пространству бесконечно дифференцируемых функций С Классическое решение дифференциального уравнения (5) на множествах, содержащих точку х = 0, не существует.

Вначале рассмотрим обобщенное уравнение х п + 1 у = ^х), (7)

где ^х) принадлежит D' - пространству обобщенных функций на множестве финитных бесконечно дифференцируемых функций. Общее решение уравнения (7) представляется в виде [1,4]:

У = Ур + сп8( х) + сп_х5\х) +... + е0б(") (х),

и— = х) + €пв( х) + Ьп + €п_гё( х) + ... + Со^(П_1}( х). Продолжая процесс, находим первообразную F п (порядка п) для первого слагаемого в (7) и общее решение уравнения (5) в виде:

где Ур - частное решение уравнения (7), со,

У(х) = J p(t) - ©(t) jW)d#

dt а ©(t) - функция

из D (например, «шапочка»), нормированная условием

да

= 1. Интегрированием равенства (8) получаем

u = F n (x) + £ (ak + Ькв(x))xk-' + со 6(x).

(9)

Если Дх) = (-1)пп(п _ 1)...1, то Бп(х) = Р(1/х), а общее решение (9) сводится к общему решению (5) уравнения (3).

Решение уравнения вида х п + 1 и (п +1) = 5(х)

Рассмотрим уравнение (6), в правой части которого стоит б(х):

х п + 1 у = б(х). (10)

Используя легко проверяемое тождество х п б<п'(х) = (-1)п п!б(х),

найдем частное решение уравнения (10) в виде у = (-1)п + 1 б<п +1)(х) /(п + 1)! .

Таким образом, общее решение уравнения (10) аналогично вышеизложенному в предыдущем разделе имеет вид

у = (-1)п + 1 б<п +1>(х) /(п + 1)! + Сп8( х) + Сп_х3' (х) + ... + С0£( п \ х). (11)

Далее рассмотрим уравнение х п + 1 и <п+1> = б(х). (12)

Из (10) следует, что производная порядка п + 1 от общего решения уравнения (12) удовлетворяет равенству

и (п+1) = (-1)п + 1 б<п +1)(х) /(п + 1)! + ся3( х) + с_хд1 (х) +... + Со^(п)( х). Отсюда аналогично (9) получаем

Cn -

произвольные константы. Для нахождения частного решения уравнения (7), где ^х)

принадлежит С", используем то обстоятельство, что обобщённая функция (-1)п ^х) Р(п)(1/х) / п! удовлетворяет равенству

(х п + 1 Р(п)(1/х) ^х) , ф(х)) (-1)п/ п! = (f(x), ф(х)).

Справедливость этого равенства подтверждается тем обстоятельством, что производные от (х ф(х) порядка не выше п -1 обращаются в ноль в точке х = 0.

Таким образом произвольное обобщенное решение и уравнения (6) необходимо удовлетворяет равенству и(п) = ед^а / х)(_1)п / п(п _ 1)...1 + Сп5(х) + С^'(х) +... + С0дМ (х).

(8)

Первообразная F1(x) для первого слагаемого в (8) строится по известной процедуре [1]:

^1, ф(х)) = -(-1)п ( ^х) Р<п'(1/х) , ф(х) ) / п!,

где функция ф(х) из пространства D легко выражается через ф(х):

u ' = (-1)n + 1 6'(x) /(n + 1)! + £ (ak + Ьк0( x)) xk-' + со

k='

6(x),

u = (-i)n + 16(x) /(n + 1)! + £ (ak + Ькв(x))xk, (13)

k=0

где новые константы после интегрирования обозначены теми же символами.

На основе общего решения (11) уравнения (10) аналогичным образом можно находить общие решения обобщенных линейных уравнений более общего вида

x n + 1 u <m> = 6(x).

Найденные аналитические обобщенные решения расширяют узкий класс аналитически решаемых в курсах уравнений математической физики линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Например, линейные дифференциальные уравнения вида x n u (m) = f(x) не имеют классического решения на множествах, содержащих начало координат. Однако в ряде практических задач источник воздействия на систему (источник излучения или возмущения системы, например, 5-функция) расположен именно в начале координат.

Литература

1. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики: учеб. пособие. для физ.-мат. специальностей вузов. М.: Наука, 1986. 512с.

X X

о

го А с.

X

го m

о

2 О

м о

k='

-со

2. Широков Ю.М. Алгебра одномерных обобщенных функций.

//Теоретическая и математическая физика. - 1979. -Т. 39, № 3. С. 291-301.

3. Шипов Н.В. О функционале P(1/x) в пространстве обобщённых функций медленного роста. //Вестник МГУЛ - Лесной вестник, 2010, Т.75, Вып..6. - С. 183 -185.

4. Пожарский А.А. Лекции по методам математической физики: учеб. пособие. для физ.-мат. специальностей вузов. МФТИ. 2012. - 130 с.

Analytical solutions of linear generalized differential equations

of the view x n u ( m) = f (x) Shipov N.V.

Moscow State Technical University named after N.E.Bauman (Mytishchi branch)

In the well-known review publications and courses of equations of mathematical physics [1, 2], for the class of linear homogeneous and inhomogeneous generalized differential equations with variable coefficients (of order m), there are only a small number of equations whose solutions can be presented in an analytical form. In this paper, we pose the problem of analytically solving linear differential equations of the form x n u (m) = f (x), which do not have a classical solution on sets containing the origin. However, in a number of practical problems, the source of the impact on the system (radiation or disturbance of the system) is located exactly at the origin. Based on the differential properties of the functional P (1 / x) in the space D' and the calculation of all its derivatives P(n) (1 / x) of order n, including the recurrence relations between them [3,4], analytical procedures for finding general generalized solutions are indicated to equations of the form x n+i u (n) = f (x). The general fundamental solutions of equations of the form x n u (m) = 5 (x) are found. The found analytical solutions in the methodology of teaching courses of equations of mathematical physics expand a narrow class of analytically solvable linear homogeneous and inhomo-geneous generalized differential equations with variable coefficients.

Keywords: functional, generalized function, generalized function P (1 / x), space of basic functions D, space of generalized functions D ', delta function 5 (x). References

1. Vladimirov, V.S. The equations of mathematical physics: text-

book. allowance. for physical. university specialties. M .: Nauka, 1986.

2. Shirokov Yu.M. Algebra of one-dimensional generalized func-

tions.

// Theoretical and mathematical physics. - 1979. - T. 39, No. 3. S. 291-301.

3. Shipov N.V. On the functional P (1 / x) in the space of generalized

functions of slow growth. // Vestnik MGUL - Forest Gazette, 2010, V.75, Issue 6. - S. 183 - 185.

4. Pozharsky A.A. Lectures on methods of mathematical physics:

textbook. allowance. for physical. university specialties. MlPT. 2012 .-- 130 s.

о

CN О СЧ

io

О Ш

m

X

<

m о x

X