К условию максимальности для подгрупп локально разрешимой группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 3 (2015)

УДК 512.544

К УСЛОВИЮ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ПОДГРУПП ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМОЙ

ГРУППЫ

С. Р. Султанов (г. Рязань) s.sultanov@rsu.edu.ru

Аннотация

Исследуются группы с ограничениями на подгруппы. Рассматриваются локально разрешимые группы с условием максимальности для подгрупп. Выделена подгруппа локально разрешимой группы, такая, что из выполнимости для неё условия максимальности следует выполнимость данного условия на всей группе.

Ключевые слова: Группа, условие максимальности, разрешимость, локальная разрешимость.

Библиография: 2 наименования.

TO CONDITION THE MAXIMAL CONDITION FOR SUBGROUPS OF A LOCALLY SOLVABLE

GROUP

S. R. Sultanov

Abstract

Studied groups with restrictions on subgroups.Considered locally solvable groups with the maximal condition for subgroups. Selected subgroup of a locally solvable group, such that satisfiability for the conditions maximal condition should the feasibility of the conditions throughout the group.

Keywords: Group, the maximal condition, solvability, local solvability.

Bibliography: 2 titles.

418

С. Р. СУЛТАНОВ

1. Введение

Как известно, из выполнимости условия минимальности или максимальности для абелевых подгрупп разрешимой группы G еледует выполнимость данного условия для произвольных её подгрупп. Более того, и для локально разрешимой группы из выполнимости условия минимальности для абелевых подгрупп следует, что сама группа является разрешимой черниковской ( [1], е. 244). Однако, для условия максимальности подобное обобщение невозможно. Мы здесь определим подгруппу локально разрешимой группы такую, что из выполнимости на ней условия максимальности следует его выполнимость на самой группе.

Определение 1. Пусть G — группа, {Si}i&I — множество классов сопряженных элементов группы G. Подгруппу H группы G мы назовем Ts-подгруппой группы G, если для каждого i Е I H f]Si = %.

Теорема 1. Если в разрешимой группе G существует её конечно порождённая Ts-подгруппа, то она совпадает с группой G.

Доказательство. Если группа G абелева, то утверждение очевидно. Пусть G — некоммутативная группа. Будем проводить доказательство индукцией по числу s — ступени разрешимости группы G.

Пусть s = 2 тогда имеем ряд коммутантов: G > G' > G2 = 1 (под 1 понимаем единичную подгруппу группы G).Заметим, что G — нормальный делитель группы G, и при естественном гомомоформизме ф группы G на фактор группу G/G' классы сопряжённых элементов группы G переходят в классы сопряжённых элементов фактор-группы G/G.

Пусть T — конечно порожденная Д-подгруппа группы G , тогда

T = (M) =< ai,...,an > .

Если G = Si, где Si — все различные классы сопряженных элементов данной

i&I

группы G, то для каждого i Е I найдем qi Е Si T и рассмотрим множество iv(qi)}ш. Это множество содержит по представителю каждого класса сопряженных элементов группы <^G), но тогда в силу коммутативности факторгруппы G/G ([2], е. 28), {ф^)}ш = G/G .

Поскольку множество [qi}i^I С T , то G/G = (a1Gl,..., anG'). Действительно для каждого i Е I qi = gh ■ gi2 ■ ... ■ gik, где gk Е M[j M-1 (l = 1, k), и

qtG = (g4) ■ ... ■ (gik)Gf = (g4G)(gt2G) ■ ... ■ (gtk)G,

и следовательно {ф(qi)}i^I порождается множеством {a1G, ...,anG'}. Отсюда следует, что группа G = (M)G поскольку каждый смежный класс

gG Е< a1G, ...,anG >,

К УСЛОВИЮ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ПОДГРУПП...

419

и G = и gG'.

g^G

Покажем, что если A — произвольная подгруппа группы G, а N — абелева нормальная подгруппа G такие,что A ■ N = G , то A Р| N — нормальная подгруппа группы G . Действительно A Р| N — подгруппа G как пересечение подгрупп, и если g Е A Р| N, то для любого x Е G найдутся a Е A и b Е N такие, что x = ab и x-lgx = (ab)-1g(ab) = b-1a-1gab = b-1 (a-lga)b. Поскольку подгруппа N — нормальная и g Е N, то a-1ga Е N, а тогда, в силу коммутативности N, x-1gx = b-1b(a-1ga) = a-1ga Е A. С другой стороны x-1 gx Е N, и следовательно A N — нормальная подгруппа G.

Заметим, что G — нормальная абелева подгруппа группы G (коммутант G(2) = 1); было показано, что G = (M) ■ G', поэтому, в силу вышеизложенного, (M) Р| G является нормальным делителем группы G.

Покажем, что G' С (M). Действительно, подгруппа (M) содержит по представителю каждого класса сопряженных элементов группы G. Пусть g Е G', тогда найдется i Е I такой, что класс сопряженных элеме нтов группы G Si Э g, в силу нормальности G' класс Si С G', и поскольку Si Р|(M) = 0, то (M) Р| G' содержит класс Si (в силу нормальности (M) G в группе G ), и следовательно g Е M.

Таким образом G = (M) ■ G' С (M) ■ (M), следовательно G = (M), и утверждение леммы справедливо для s = 2.

Пусть утверждение выполняется при s < m, покажем его справедливость при s = m.

При s = m имеем ряд коммутантов:

G > G' > ... > G(m-1) > G(m) = 1.

Рассмотрим фактор-группу G/G(m-1') (G(m-1 — нормальный делитель G в силу ([2], етр. 28)). Поскольку при гомоморфизме "на" образом коммутанта является коммутант, то

(G/G(m-1))'

(G/G^m- 1))(m-2) __

= G'/G(m-1),

G(m-2) /G(m-1);

(G/G(m-1))(2) = G(2)/G(m-1),..., (G/G(m-1))(m-1) G(m-1) /G(m-1)

1,

где 1 — единица как фактор группы G/G(m-1').

Таким образом фактор-группа G/G(m-1') имеет ступень разрешимости s1 < m — 1.

Пусть а — естественный гомоморфизм группы G на фактор-группу G/G(m-1). Рассмотрим образ а(Т) = T'. Поскольку T — конечно порожденная, то Т' — конечно порожденная подгруппа в фактор-группе G/G(m- ^ и

Т' = (a1G(m-1),a2 G(m-1),..., anG(m-1)) .

Поскольку Т является Ts-подгруппой G и при гомоморфизме "на" классы сопряженных элементов прообраза переходят в классы сопряженных элементов образа, то Т' является Т,,-подгруппой группы G/G(m-1\ и следовательно,

420

С. Р. СУЛТАНОВ

по предположению индукции G/G(m-1 = T'. Тогда, применяя рассуждения, аналогичные проделанным выше при рассмотрении случая s = 2, получим, что

из равенства G = U gG<”‘- -1) и включения gG(m ^ С (M)G(m ^ для каждого

geG

элемента g Е G, выполняется равенство G = (M)G(m-1), а поскольку G(m-1) _ абелева нормальная подгруппа G, то (M) Р| G(m-1 является нормальной подгруппой G и G(m-1'> с (M), т.е. G = (M), что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Очевидным образом из доказанной теоремы следует следующее утверждение

Следствие 1. Если в разрешимой группе G найдется Т3-подгруппа с условием максимальности для подгрупп, то сама группа G удовлетворяет этому условию.

Следующая теорема позволяет перенести этот результат на локально разрешимую группу.

Теорема 2. Если в локально разрешимой группе G найдется Ts-подгруппа с условием максимальности, для подгрупп, то сама группа G удовлетворяет, этому условию.

Доказательство. В силу локальной разрешимости группа G является RI-группой по теореме Мальцева ([1], с. 211). Пусть д = — разрешимая

инвариантная система группы G. Возьмем произвольную подгруппу Нао из д, и покажем, что любая возрастающая цепочка подгрупп из системы д, начинающаяся с Нао, будет конечной.

Действительно, пусть

Нао < Наг < ••• < На, < ... (1)

— возрастающая цепочка подгрупп из д. По условию теоремы, в G найдется Ts-

подгруппа T с условием максимальности для подгрупп. Пусть G = и Sk, где

кек

Sk — различные классы сопряженных элементов группы G, тогда для каждого к Е K выберем по одному элементу qk Е Sk T, и полагаем Q = {qk}keK. Теперь, в каждой подгруппе На. из цепочки (1) возьмем все qk, попадающие в Q, они будут порождать подгруппу Н’а., т.е. Н’а. = (Q f| На.). Очевидно Н'а. < Наг+г для каждого натурального j, и таким образом получаем возрастающую цепочку подгрупп.

Нао < Н'п < ... < На, < ... (2)

Поскольку эта цепочка состоит из подгрупп группы Т, то цепочка (2) оборвется на некотором номере j = l, т.е. Н’аг, = Нга1 при m > l. Покажем, что и цепочка (1) также оборвется на этом номере l. Допустим найдется номер m > l такой, что Нат \Н' = 0, тогда, в силу нормальности подгрупп На., найдется

К УСЛОВИЮ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ПОДГРУПП...

421

класс сопряженных элементов группы G, содержащийся в Ham и не пересекающийся с Hai. Следовательно, в подгруппе H'am найдется элемент этого класса, не принадлежащий H'ai, поскольку H'ai является подгруппой Hai. Получили противоречие, следовательно, цепочка (1) оборвется на номере j = l. Таким образом, любая возрастающая цепочка из инвариантной системы ц будет конечной. Тогда не трудно показать, что группа G разрешима, и по теореме (1) группа G = T.

Теорема доказана. □

2. Заключение

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - 3-е изд. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

2. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. - М.: Наука, 1984. - 520 с.

REFERENCES

1. Kargapolov, M. I., Merzlyakov, Yu. I. " Osnovy teorii grupp." , [Foundations of group theory] 3rd edition, Nauka, Moscow, 288 p. (Russian)

2. Pontryagin, L. S. 1984, "Nepreryvnye gruppy." , [Continuous groups] Nauka, Moscow, 520 pp. (Russian)

Рязанский государственный университет имени С. A. Есенина.

Получено 29.04.2015