CC BY
9Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
3. Вновь одинаковые шарики надуем давлениями qe и (рис. 1), превышающими qmax, но разными
(qe > qf ). Шарик меньшего диаметра уменьшается,
накачивая шарик большой.
Физические эксперименты по взаимодействию сообщающихся сосудов давления - воздушных шариков, проведены в [5].
Выводы. В шаровой оболочке, внутреннее давление, прогиб, внутренний объем и толщина стенки так связаны между собой, что давление увеличивается до определенного значения, затем, оно начинает уменьшаться. Одному и тому же давлению соответствуют два деформированных состояния.
Библиографические ссылки
1. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Физматгиз, 1959. 400 с.
2. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М. : Физматгиз, 1963. 880 с.
3. Саусвел Р. В. Введение в теорию упругости для инженеров и физиков. Гос. изд-во иностр. лит. М., 1948. 675 с.
4. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
5. Моделирование шарового сосуда по деформированной схеме / А. В. Изохватов [и др.] // Проспект Свободный - 2016 : сб. материалов Междунар. конф.
студентов, аспирантов и молодых учёных / Сиб. фе-дер. ун-т. (15-25 апр. 2016, г. Красноярск). С. 34-38.
References
1. Van Czi-de. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Moscow : Fizmatgiz, 1959. 400 p.
2. Vol'mir A. S. Ustojchivost' uprugih sistem [Stability of elastic systems]. Moscow : Fizmatgiz, 1963. 880 p.
3. Sausvel R. V. [Southwell R. V.] Vvedenie v teoriju uprugosti dlja inzhenerov i fizikov. Gosudarstvennoe izdatel'stvo inostrannoj literatury [An introduction to the theory of elasticity for engineers and physicists]. M., 1948. 675 p.
4. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow : Nauka, 1975. 576 p.
5. Modelirovanie sharovogo sosuda po deformirovannoj sheme [Simulation of ball vessel on the deformed scheme]. A. V. Izohvatov, S. A. Polegot-chenkov, L. A. Burym, T. V. Dadyko, I. A. Motorkin. Sbornik materialov Mezhdunarodnoj konferencii studentov, aspirantov i molodyh uchjonyh "Prospekt Svobodnyj-2016", Sibirskij federal'nyj universitet, 15-25 aprelja 2016, Krasnojarsk, рp. 34-38.
© Сабиров Р. А., 2016
УДК 539.3
К УЧЕТУ КРАЕВОГО ЭФФЕКТА В ТОРОИДАЛЬНОМ БАКЕ ОТ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: rashidsab@mail.ru
На основе уравнений общей моментной теории оболочек получены уравнения расчета торового бака давления. Полученное дифференциальное уравнение преобразовано в вариационное; последнее реализовано вариационно-разностным методом. Расчет показал возникновение краевого эффекта в областях, примыкающих к закреплению.
Ключевые слова: теория оболочек, тор, краевой эффект.
INCORPORATING THE EDGE EFFECT INTO A TOROIDAL TANK FROM THE INTERNAL PRESSURE
R. A. Sabirov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: rashidsab@mail.ru
On the basis of the equations of General moment theory of shells equations are obtainedfor the calculation pressure tank. The differential equation is converted into the variation equation; the latter is implemented by variation-difference method. The calculations show the occurrence of the edge effect in the areas of adjacent to the fixations.
Keywords: theory of shells, Thor, edge effect.
<Тешетневс^ие чтения. 2016
Введение. Тороидальные баки высокого давления имеют применение в военно-морской и аэрокосмической технике. Для обеспечения прочности тора от влияния давления при рассмотрении безмоментного состояния применяется уравнение равновесия Лапласа [1]. В настоящее время компьютерное моделирование с помощью пакетов САПР позволяет решить самые сложные задачи проблемы прочности. Однако научное любопытство и интерес, связанный с целью лучшего понимания механики деформирования конструкций, подталкивает исследователей заниматься и математическим моделированием, полезным в том числе и для анализа решений, полученных с помощью прикладных программ. Цель работы, применив уравнения общей теории оболочек для расчета напряженно-деформированного состояния тора от внутреннего давления, изучить возникновение изгибающих локальных моментных факторов, так называемого краевого эффекта.
Постановка задачи. Используем уравнения общей теории оболочек В. З. Власова [2] в системе криволинейных координатах Oaßy . Здесь ось у - нормальная к базисной поверхности оболочки, находящейся в плоскости осей Oaß . Геометрические уравнения модели деформации представляются в форме рядов по переменной у
eaa =Sa + KaY + ФаТ2 > eßß = ^ß + KßT + ФРТ2 >
(1)
еар =ю+ху + уау
получены с помощью формул разложения коэффициентов первой квадратичной формы базисной поверхности до третьей степени. Компоненты разложения (1): ва, 8р, ю, ка, Кр, т совпали с уравнениями,
приведенными в [2].
В уравнениях равновесия в тороидальной системе координат (рис. 1) учтем осевую симметрию. Изгибающие моменты Ма , Мр и внутренние усилия Ыа ,
Ыр получены интегрированием по толщине оболочки
к с учетом разложений (1). Покажем здесь поперечную силу
ßa =
1 dMa
a cos a
R da R sin a(a + R sin a)
(Ma- Mß ). (2)
Обратим внимание в (2) на знаменатель второго члена, в котором появление sin a в точках a = 0 и a = и обращает поперечную силу в бесконечность. Поэтому, чтобы исключить такую возможность, второй член в (2) приравняем к нулю. Эти особенности криволинейных координат проявляются в особых точках [3].
Оболочка тонкая, поэтому в уравнениях для моментов Ma и Mp уберем соотношения при к5, по
сравнению с выражениями при к3. В уравнениях внутренних усилий Na, Np пренебрежем членами
при к3 по сравнению с соотношениями при к. Пренебрежение в Na и Np членами при к3 определяет,
что эти усилия зависят не от производных функции прогиба, а только от функции прогиба w . Тем не менее, получаем дифференциальное уравнение равновесия со старшей производной четвертого порядка. Для численного решения задачи о деформировании тора полученное дифференциальное уравнение преобразуем в вариационное уравнение:
Д
d 2 w d 2 Sw
1 ds2
d3w,
ds
„ dw dSw . „ . „
+ B2--+1 — + B4 | wSw
2 ds ds l R
dw,
ds +
d wdSw „„
B1 —— Sw + B1 —2---+ B2-Sw + B4 wSw
ds ds ds ds
-1 qySwds = 0 ;
(3)
Bj =
pEk3
12(1 -p2)
B3 =
B2 =
Ek
pa
12(1 -p2) R 2 (a + R sin a)
Ek a + (1 + p)R sin a
B4 =
(1 -p2) R(a + R sin a)
Ek pa + (1 + p)R sin a (1 -p2) R(a + R sin a)
В (3) оператор 8 - оператор варьирования. Отметим, что интегралы вычисляются по дуге 5 (s = R a) , где R есть внутренний радиус тора. Причем da = ds / R , d2Ma / da2 = R2 (d2Ma / ds2) . Другие обозначения: E - модуль Юнга; p - коэффициент Пуассона; qy - внутреннее давление; a - расстояние от
центральной оси тора до его внутренней оси (рис. 1).
Для численного расчета тора с помощью уравнения (3) применен вариационно-разностный метод [4]. Составлена программа расчета тора вариационно-разностным методом [5], реализующая уравнение (3).
Расчет. Рассмотрим торовый баллон, поперечное сечение которого изобразим на рис. 2. Баллон закреплен по внутренней стороне (точка A ) и вдоль внешней кромки (точка С ). Верхняя часть тора обозначена
точкой В. Примем R = 0,2 м , a = 3R , qy = 105 Н/ к = 5-10"3м, E = 2-1011 Па, p = 0,25.
Результаты. Эпюру изгибающего момента Ma, один из результатов расчета на конечно-разностной сетке в 200 узлов, приведем на рис. 3, где дуга ABC верхней части тора показана распрямленной. В области точек А и С проявляется краевой эффект. На удалении от краев (узлы 20-180 на рис. 3) и в окрестности точки B обнаруживается практически безмоментное состояние.
Мембранные внутренние усилия Na и Np несколько искажаются только в точках А и С за счет принятых выше пренебрежений членами при к3 в уравнениях равновесия. В области, удаленной от краев, решения ожидаемые и соответствуют зависимостям Лапласа для безмоментного состояния:
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Выводы. Таким образом, полученные уравнения позволяют учитывать изгибающие локальные мо-ментные факторы, так называемый краевой эффект, как в точках крепления тора, так и в областях установленных ребер жесткости.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
2. Власов В. З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. 783 с.
3. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Физматгиз, 1959. 400 с.
4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.
5. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов : учеб. пособие. М. : Наука, 1986. 560 с.
References
1. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow : Nauka, 1975. 576 p.
2. Vlasov V. Z. General theory of shells and its applications in engineering. Gostehizdat. M., L. 1949, p. 783.
3. Van Czi-de [Chi-Ten Wang]. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Fizmatgiz, Moscow, 1959, 400 p.
4. Vasidzu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti (Variational methods in elasticity and plasticity). Moscow, Mir, 1987. 542 р.
5. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov (Resistance of materials). Moscow, Nauka, 1986, 560 р.
Рис. 3. Эпюра момента Ma
© Сабиров Р. А., 2016
УДК 539.374
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-таП: fflyushma@sibsau.ru
Рассмотрены уравнения, описывающие пластическое течение призматических стержней и стержней переменного поперечного сечения со свободной боковой поверхностью, а также стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей. Показано, что все эти уравнения сводятся к квазилинейным уравнениям первого порядка в частных производных. Далее изучается квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Для этого общего уравнения найдена производящая функция высших симметрий, зависящая от независимых и зависимых переменных, а также от производных любого порядка, построена производящая функция законов сохранения, зависящая от независимых и зависимых переменных, а также от производных любого порядка. Подробно исследован случай, имеющий практическое
qR (2a + R sin a) qR
Na= +p ■ ) и .
2 (a + R sin a) 2
Здесь Na = 20000 Н/м и Np = 10000 Н/м .
Рис. 1. Фрагмент тора B
Рис. 2. Сечение баллона
1
А
20 40 60 &0 1 00 1 20 140 160 ISO >0
B
с
A
