К ТЕОРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 3, 2022 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: [email protected]

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

К ТЕОРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Мухамадиев Э., Наймов А. Н.

Вологодский государственный университет [email protected] [email protected]

Аннотация. Для одного класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с выделенной главной положительно однородной частью сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия, обеспечивающие априорную оценку ограниченных решений. В условиях априорной оценки, применяя методы направляющих функций и Важевского, доказан критерий существования ограниченного решения. Полученные результаты уточняют и обобщают ранее полученные результаты авторов в многомерном случае.

Ключевые слова: ограниченное решение, априорная оценка, гомотопные функции, метод направляющих функций, метод Важевского.

1 Введение

В статье исследовано существование ограниченных решений системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

X(г) = уф(г)) + ](г,х(г)), х(г) е яп, (1)

где п > 3 Rn ~ пространство п-мерных векторов с евклидовым скалярным произведением (•, •), У^ - градиент функции V € Vm / € Здесь т > 1, Vm - множество функций вида

v(y) = |y|m+1-qII(<Q,y>- di|y|), y e Rn,

i=i

q = q(v) > 1, di e R, ci e Rn, i = 1,..., q. Множество Rm состоит из непрерывных отображений f : R1+n ^ Rn, удовлетворяющих условию

lim |y|-msup |f(t,y)| =0.

teR

В системе уравнений (1) выделена главная нелинейная часть Vv, a f является возмущением. В терминах свойств коэффициентов di e R ci e Rn, i = 1,..., q функции v исследованы условия априорной оценки и существования ограниченных решений системы уравнений (1) при любом возмущении

f e Rm-

Ограниченным решением системы уравнений (1) называем такую вектор-функцию x(t), которая на всем R = (-то, определена и ограничена, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет системе уравнений (1).

Вопрос о существовании ограниченных и периодических решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений представляет научный интерес с точки зрения применения и развития идей и методов нелинейного анализа в теории дифференциальных и интегральных уравнений. В теории нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений применяются такие методы нелинейного анализа, как метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения векторных полей, метод Важевского. Основы перечисленных методов и их применения изложены в монографиях [1] - [6].

Системы уравнений вида (1) являются подклассом класса уравнений, рассмотренных в работах [7, 8]. В работе [7] исследовано существование ограниченных и периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейностью. Из результатов данной работы следует, что для v e Vm, f e Rm существует ограниченное решение системы уравнений (1), если Vv(y) = 0 Vy = 0 и y(Vv) = 0, где Y (Vv) - вращение (степень отображения) векторного поля Vv : Sn-1 ^ Rn па единичной сфере Sn-1. Условие y(Vv) = 0, в общем, достаточно для существования ограниченного решения. В работе [9] доказано, что при n = 3

для любой положительно однородной функции V порядка т + 1 (т > 1), удовлетворяющей условию Vv(у) =0 Vу = 0, система уравнений (1) имеет ограниченное решение при любом / е тогда и только тогда, когда множество нулей функции V на единичной сфере Бп-1 пусто пли не связно; при этом возможно 7(Vv) = 0. Этот результат в настоящей работе уточнен и обобщен для функций V е Ут при всех п > 3. А именно, сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия на V е Ут, обеспечивающие априорную оценку ограниченных решений системы уравнений (1) при любом / е В условиях априорной оценки, применяя методы направляющих функций и Важевского [6, гл. 10, §3], доказан критерий существования при любом / е ограниченного решения системы уравнений (1). Критерий существования ограниченного решения, в отличие от работы [9], сформулирован в терминах свойств коэффициентов ^ е Я, с е Яп, г = 1,..., д функции V е Ут.

Существование периодических и ограниченных решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений исследовано в многочисленных работах других авторов. Среди них можно отметить работы [10], [11 где применяются подходы и методы, близкие к настоящей работе.

2 Основные результаты

Введем следующие обозначения: C(R; Rn) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на R = (-то, вектор-функций z(t) с нормой

||z|| := sup |z(t)|, teR

C 1(R; Rn) - банахово пространство непрерывно дифференцируемых и ограниченных на R вместе с производной вектор-функций z(t) с нормой ||z||1 := ||z || + ||z/||.

Существование ограниченных решений системы уравнений (1) проведем по аналогии с работой [9], применяя методы априорной оценки, направляющих функций и Важевского.

Скажем, что для функции v e Vm имеет место априорная оценка ограниченных решений системы уравнений (1), если при любом f e Rm множество ограниченных решений системы уравнений (1) либо пусто, либо ограничено по норме пространства C(R; Rn).

Справедлива следующая теорема об априорной оценке.

Теорема 1 . Для функции V € Ут имеет, место априорная оценка ограниченных решений системы уравнений (1) тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1. Vv(y) = 0 Уу = 0.

2. Коэффициенты ^ € Я, с € Яп, г = 1,... функции, V удовлетворяют двум условиям:

a) |с»| = г = 1,...

b) для любых двух номеров г = ^ верна импликация

(|сг| > ^^ ^| > ^|) ^ ^ - ^сг|2 > |сг|2|с^-|2 -(с^)2.

5. Существуют а0 > 0 и г0 > 0 такие, что для любой вектор-функции х € ОЯп) при ||х|| > г0 верно неравенство ||х' — Vv(z)|| > а0||х||т.

Обозначим через У°т множество функций V € Ут, удовлетворяющих условиям 2а и 2Ь теоремы 1. Две функции VI, v2 € У^п назовем гомотопными, если существует семейство функций V(•, Л) € А € [0,1], непрерывно зависящее от А и такое, что V(•, 0) = VI, V(•, 1) = v2.

Аналогично теореме 2, доказанной в работе [9], верна следующая теорема о гомотопической инвариантности существования ограниченного решения.

Теорема 2 . Если функции, VI, v2 € У°т гомотопны и для V = VI существует ограниченное решение системы уравнений (1) при, любом / € то для V = v2 также существует ограниченное решение системы уравнений (1) при, любом / €

На основе теорем 1 и 2, применяя методы направляющих функций и Ва-жевского, доказана

Теорема 3 . Для V € У°т существует ограниченное решение системы уравнений (1) при, любом / € тогда и только тогда, когда отлично от единицы число

р^) := саг^(г : |с^| > |^|}.

Из теоремы 3 и результатов работы [7] вытекает, что если р^) = 1, то 7(Vv) = 0. А если р^) = 1, то возможно 7(Vv) = 0. Например, полагая п = 3 и у = (у1,у2,уз)т, рассмотрим функцию

V, (у) = |у|т—2(уз — й|у |)(уз — ¿2|у|)(уз — ^з |у|),

где 0 < d1 < d2 < d3 < 1. Очевидно, p(v*) = 3 и v* e V^- Согласно формуле, доказанной в работе [12, Theorem 1], имеем 7(Vv*) = p+(v*) — p_(v*), где p±(v*) - число связных компонент множества точек y единичной сферы S2, где ±v*(y) > 0. В данном случае p±(v*) = 2, следовательно, 7(Vv*) = 0. Таким образом, 7(Vv*) = 0 и в силу теоремы 3 для v = v* существует ограниченное решение системы уравнений (1) при любом f e Rm.

3 Априорная оценка

В этом параграфе приведем доказательство теоремы 1.

v e Vm

шений системы уравнений (1) равносильна условию 1. Необходимость условия 1 очевидна, так как если Vv(y0) = 0 при некото ром y0 = 0, то функции Xk(t) = ky0, к = 1, 2,... будут ограниченными решениями системы уравнений (1) при f (t,y) = 0 и в совокупности не ограничены по норме пространства C(R; Rn).

v e Vm

ром f e Rm существует последовательность ограниченных решений Xk (t), к = 1,2,... системы уравнений (1), не ограниченная по норме пространства C(R; Rn): rk = ||xk|| ^ то при к ^ то. Рассмотрим функции zk(t) = r—1xk (tk + r^t), к = 1, 2,..., где |xk (tk )| > rk _ 1/к. Для этих функций имеем: |zk (0)| > 1 _ 1/(кгк), || Zk || = 1 к = 1, 2,.. .и z'k (t) = Vv(zk (t)) + o(1) при к ^ то равномерно по t на каждом конечном отрезке числовой прямой R (учитывая условие f e Rm). Переходя к пределу па расширяющихся отрезках

R

системы z0(t) = Vv(z0(t)), |z0(t)| < |z0(0)| = 1, t e R. Для функции z0(t) при любом t e R имеем z0(t) = 0 и (v(z0(t)))t = |Vv(z0(t))|2 > 0 (в силу условия 1). Отсюда вытекает существование конечных пределов v(z0(t)) ^ v1? t ^ —то и v(z0(t)) ^ v2, t ^ +то, гДе v1 < v2. Вдоль последовательностей sk e (_к _ 1, —к) тк e (к, к + 1) к = 1, 2,..., определяемых из равенств

v(zo(_^) _ v^—к _ 1)) = (v(zo))t (sk), v(zo(к + 1)) _ v(zo^)) = (v(zo))t (тк),

имеем: |Vv(z0(sk))| ^ 0 |Vv(z0(rk))| ^ 0. Отсюда, в силу условия 1, следует, что z0(sk) ^ 0 z0(rk) ^ 0 и v1 = v2 = 0. Пришли к противоречию.

v e Vm

системы уравнений (1) равносильна условию 1.

В работе [12, Theorem 1] доказана равносильность условий 1 и 2 прпп = 3.

Схема доказательства применима и при n > 3. Следовательно, для v G Vm априорная оценка ограниченных решений системы уравнений (1) равносильна условиям 2а и 2Ь.

Пусть для v G Vm выполнено условие 3. Проверим, что при любом f G Rm имеет место априорная оценка ограниченных решений. В силу условия f G Rm для любого £ > 0 существует Me > 0 такое, что при любом y G Rn имеет место неравенство

sup |f(t,y)| <£|y|m + M£.

tGRn

Отсюда, фиксируя £ G (0,a"0), для любого ограниченного решения системы уравнений (1) выводим: либо ||x|| < r0, либо ||x|| > r0 и в силу условия 3

£||x||m + Me > ao||x||m, ||x|| < (Me(ao - £)-1)1/m . Следовательно, имеет место априорная оценка ограниченных решений:

||x|| <ro + (M£(ao - £)-1)1/m .

Теперь покажем, что для v G Vm из условия 1 следует условие 3. Действительно, если для v G Vm условие 3 не выполнено, то существует последовательность вектор-функций Xk G C 1(Rn; R), k = 1, 2,... такая, что rk = ||xk|| — го при k —^ ^ и ||xk — Vv(xk)|| < k-1||xk||m, k = 1, 2,.... Далее, рассматривая функции zk (t) = r—1xk (tk + r^-mt) k = 1, 2,..., где |xk(tk)| > rk - 1/k, и рассуждая выше проведенным образом, приходим к противоречию с условием 1.

Теорема 1 доказана.

Следствие 1 . Если для v G Vm имеет, место априорная оценка ограниченных решений, системы уравнений (1), то в вопросе существования ограниченных решений, системы уравнений (1) без ограничения общности можно считать, что f G Rm П C0,TO (R х Rn; Rn).

Доказательство. Отображение f G Rm приблизим отображениями

fe(t,y) = J K (|y - Z|) f (t,Z)dz, У G Rn, £ > 0,

Rn

где K£(s) = 0 при |s| > £ и

K(s) = Aee-A, |s| <£, J K(|z|)dz = 1.

Rn

Легко проверить, что f£ e Rm П C0^ (R x Rn; Rn) и при любых r > 0 и T > 0

suP |f£(t,y)|< suP |f (t,y)1,

teR,|y|<r teR,|y|<r+e

max |f£(t,y) _ f (t,y)|^ 0 при £ ^ 0.

|t|<T,|y|<r

Если при всех £ e (0,£1) система уравнений

x£ (t) = Vv(xe(t))+ f (t,xe(t)) (2)

X

sup ||x£|| < то. (3)

0<£<£ 1

Действительно, для r£ := ||x£|| при r£ > r0 в силу условия 3 имеем:

aorem < sup |x£(t) _ Vv(x£(t))| < sup |f (t,y)| < 1 ao(r£ + £)m + Mo.

teR teM,|y|<re+£ 2

Отсюда вытекает оценка (3). Учитывая эту оценку и переходя к пределу в системе уравнений (2) при £ ^ 0, получим ограниченное решение системы уравнений (1).

4 Существование ограниченного решения

В этом параграфе докажем теорему 3, применяя методы направляющих функций [3] - [5] и Важевского [6, гл. 10, §3]. Метод Важевского применяется при p(v) > 2. Суть данного метода состоит в том, что с помощью набора функций выделяется область в фазовом пространстве, где остаются некото-

X(t)

t

направляющие функции v(y), v(y) _ £|y|m+15 где £ - малое положительное число.

Необходимость. Пусть для v e Vm имеет место равенство p(v) = 1 и |c11 > |d11. Покажем, что функция v гомотопна другой функции из Vm для которой не существует ограниченное решение системы уравнений (1) при некотором f e Rm. Тогда в силу теоремы 2 для функции v ^е при всех f e Rm существует ограниченное решение системы уравнений (1).

v

v(y,A) = |y|m+1-q (<C1,y> - Ad1|y|) П ((Aci,y)- d<|y|), y G Rn, A G [0,1],

¿=2

гомотопируется к функции v1(y) = a|y|m<C1,y), где a = 0. Можно считать, что первая координата c11 векторa c1 отлична от нуля. В этом случае функция v1 гомотопна функции v2(y) = ac11|y|my1. Система уравнений

x'(t) = Vv2(x(t)) + acn(1,0,..., 0)т

не имеет ограниченного решения, так как правая часть первого уравнения

()

acn (|x(t)|m + m|x(t)|m-2x?(t) + 1) и по модулю не меньше числа |ac11|.

Достаточность. Пусть v G V^ и P(v) = 1- Покажем, что при любом f G Rm система уравнений (1) имеет ограниченное решение. Для этого достаточно построить последовательность вектор-функций Zk G C 1([0, +то); Rn), k = 1, 2,..., удовлетворяющих условиям

sup sup |zk(t)| < то, (4)

k t>o

zk (t) = Vv(zk (t)) + f (t - k,Zk (t)), t> 0, k = 1, 2,... . (5)

Тогда рассматривая последовательность вектор-функций Xk (t) = Zk (t + k), k = 1, 2,... и на расширяющихся отрезках числовой прямой R переходя к равномерному пределу, получим ограниченное решение системы уравнений

а).

Пусть p(v) = 0. Тогда v гомотопна -|y|m+1 ми |y|m+1. Поэтому в силу теоремы 2 можно считать, что v(y) = -|y|m+1 ми v(y) = |y|m+1. Достаточно рассмотреть первый случай, второй случай легко сводится к первому.

Рассмотрим решения Zk (t) систем уравнений

z;(t) = -V(|z(t)|m+1) + f (t - k,z (t)), t> 0, k = 1, 2,... ,

которые удовлетворяют начальному условию Zk(0) = 0. Такие Zk(t) k = 1, 2, . . .

рывными правыми частями.

r1 > 0 | y| > r1

sup |f(t,y)| < (m + 1)|y|m.

tGR

Тогда при |гк(*)| > г1 имеем:

(|г*(*)|2)' = 2(г&(*), 4(*)) = —2(т + 1)|г*(¿)|т+1 + 2(гк(*), /(* - к, ^(*))) < 0.

Следовательно, |г&(*)| < г1 при * > 0 и вектор-функции (*), к = 1, 2,... удовлетворяют условиям (4) и (5) при v(y) = —|у|т+1. Таким образом, достаточность при р^) = 0 доказана.

Пусть р^) > 2. Легко проверить, что р^) равно числу связных компонент множества

ад = {у е Яп : |у| = 1, v(y) = 0}

и р^) + 1 = р+ (V) + р— (V) где р±(V) - число связных компонент множества

«¿(V) = {у е Яп : |у| = 1, ±v(y) > 0}.

Из условия р^) > 2 следует, что р±^) > 1 и верно одно из неравенств р+^) > 2 р—(V) > 2. Можно считать, что р+^) > 2. В этом случае замыкание множества

Д,е(V) = {у е Яп : |у| > г v(y) > ф|т+1}

не связно и состоит из р+^) связных компонент при всех г > 1 и £ е (0, £0).

Учитывая условия / е и Vv(y) = 0 Vy = 0, выберем £1 е (0,£0) и г1 > 1

(Vv(y) — £1(т + 1)|у|т—1у, Vv(y)) > 0 Vy = 0, (6)

(^(у) — £1(т + 1)|у|т—1у, Vv(y)+ /(*,у)) > 0 V* е Я, |у| > п. (7)

Лемма 1 . Для любого неограниченного решения, г* е [0,а) системы уравнений

г'(*) = Vv(г(*)) + /(* — к, г(*)), (8)

г<?е к - фиксированное число, существует, а1 е (0, а) такое, что г(*) е 1 (V) при * е (а1,а).

Доказательство. Из неограниченности г(*), * е [0,а) следует, что |г(*)| ^ то при * ^ а. Поэтому можно считать, что |г(*)| > г1 при * е [0,а).

В общем возможны два случая: 1^(г(*)) < £1|г(*)|т+1 при всех * е [0,а); 2) v(г (а1)) > £1|г(а1)|т+1 при некото ром а1 е [0,а). Покажем, что первый случай невозможен. Действительно, предположим, что имеет место первый

случай. Рассмотрим последовательность функций (г) = р- г(г, + р^- тг).

г е [—^^рт-1,0], ; = 1,2,.., где 0 < г1 < ¿2 < ...,

р, = ж? (г)| = №)1,

0

г, ^ а и р, ^ то при ^ ^ то. Для этих функций имеем: (г)| < (0)| =

1 (г)) < ЙГ+1, г;.(г) = уф,-(г)) + о(1) при г е [—г,рт—1,0],

] = 1, 2,.. .. Переходя к пределу получим: |*0(г)| < |*0(0)| = 1, V(*0(г)) < £1|г0(г)|т+\ *0(г) = Уи(*0(г)) при г е (—то,0]. Из ограниченности *0(г) следует, что *0(г) ^ 0 при г ^ —то. В силу системы дифференциальных уравнений ¿0(г) = Уv(z0(г)) выводим:

V (^0 (г)) —£11 ^0 (г) |т+1 = v(zo(s))—£1|г0(5)|т+1^ * ^(*)(т)) — ^(т )|т+1)Т ^Т,

v(zo(г)) — £1|^0(г)|т+1 = v(zo(s)) — £1Ы5)|т+1 + / ^(*0(т)) — £1(т + 1)|г0(т)|т—1*0(т), Уv(zo(т))>^т.

в

Переходя к пределу при в ^ —то и учитывая неравенство (6), получаем: v(z0(г)) > £1|г0(г)^1 при г е (—то,0]. Пришли к противоречию. Таким образом, первый случай невозможен.

Теперь рассмотрим второй случай, когда при некотором а1 е [0, а) имеет место неравенство V(г(а1)) > (а1 )|т+1. Проверим, что данное неравенство сохраняется при г е (а1, а) Действительно, если не так, то в первой точке в е (а1, а), где имеет место равенство v(z(в)) = (в)|т+1, должно выполнятся неравенство

М*(0) — £1|г(г)|т+1)*=_, < 0.

С другой стороны, в силу системы уравнений (8) и неравенства (7) имеем:

М*(г)) — (г)|т+1)*=в = (Уи(*(в)) — £1(т + 1)|г(в)|т—(в), *'(в)>

= ^(*(в)) — £1(т + 1)|*(в)|т—1*(в), Уv(z(в)) + /(в — к, *(в))> > 0. Лемма 1 доказана.

В последующем, учитывая следствие 1, можно считать, что / е П С0,то (Л х Лп). Тогда при фиксироваппом к и любом у е Лп существует единственное решение ^(г, у) системы уравнений (8), которое удовлетворяет начальному условию ^(0,у) = у и непрерывно зависит от у.

Лемма 2 . Существует, вектор ук е ВГ1 = {у е Яп : |у| < г1} такой, что соответствующее ему решение Zk(*,ук) системы уравнений (8) определено и ограничено на промежутке [0, +то).

Доказательство. Предположим, что при любом у е ВГ1 решение Zk(*,у),

* е [0,а(у)) системы уравнений (8) не ограничено. Тогда в силу леммы 1 для любого вектора у е ВГ1 существует наименьшее а1(у) е (0,а(у)) такое, что ^(*,у) е Д-1>е 1 при * е (а1(у),а(у))-

Связные компоненты множества ^Г1>£ 1 (V) про-

нумеруем числами 1,... и каждо му у е ВГ1 сопоставим но мер (у)

связной компоненты >е 1 (V) где окажется Zk(*,у) при * е (а1(у), а(у)). Полученное отображение /к : ВГ1 ^ {1,... ,р+^)} локально постоянно в силу непрерывной зависимости Zk(*, у) от у. Следовательно, /к(у) принимает одно значение при всех у е ВГ1. Но, с другой стороны, если точка у е ВГ1 находится в малой окрестности границы связной компоненты с номером Э, то /к (у) = Э "1 это следует из доказательства леммы 1 и непрерывной зависимости Zk(*,у) от у. Пришли к противоречию. Лемма 2 доказана.

Из леммы 2 вытекает, что при р^) > 2 существует последовательность вектор-функций е С 1([0, +то); Яп), к = 1, 2,... с начальными значениями из ВГ1 и удовлетворяющих условию (5). Покажем, что данная последовательность вектор-функций удовлетворяет условию (4). Этим самым завершится доказательство теоремы 3.

Предположим, что

рк = вир |гк(*)| ^ то, к ^ то. ¿>о

Рассмотрим функции гк(*) = р—1гк+ рк—т*), * е [—рт—1, +то), к = 1, 2,..., где |гк )| > рк — 1/к и ^ +то при к ^ то. Для этих функций имеем: (0)| > 1 — 1/(кр*), (*)| < 1, ¿к(*) = Vv(ik(*)) + о(1),

* е [—Рт—1*к, +то), к = 1, 2,.... Переходя к пределу получаем ненулевое ограниченное решение автономной системы ¿0(*) = Vv(¿0(í)), |го(*)| < |¿о(0)| = 1,

* е Я. В ходе доказательства теоремы 1 установлено, что существование такого решения противоречит условию Vv(y) = 0 Vy = 0.

Теорема 3 доказана.

Список литературы

[1] Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ГИФМЛ, 1959.

[2] Плисс В. А . Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.

[3] Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

[4] Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

[5] Obukhovskii V., Kornev S., Van Loi N., Zecca P. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture notes in mathematics. GmbH,Springer-Verlag , 2076. 2013. Pp. 1-173.

[6] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

[7] Мухамадиев Э. О построении правильной направляющей функции для системы дифференциальных уравнений. М.: Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 190, № 4. С. 777-779.

[8] Мухамадиев Э. Ограниченные решения и гомотопические инварианты систем нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Доклады Академии наук. 1996. Т. 351, № 5. С. 596-598.

[9] Мухамадиев Э., Наймов А.Н. Критерии существования периодических и ограниченных решений для трехмерных систем дифференциальных уравнений. Екатеринбург: Труды ИММ УрО РАН. 2021. Т.27. № 1. С. 157-172.

[10] Перов А. И., Каверина В. К. Применение идей метода направляющих функций при исследовании неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Тамбов: Вестник Тамбовского универ. Серия: Естест. и техн. науки. 2018. Т. 23, № 123. С. 510-516.

[11] Перов А. И., Каверина В. К. Об одной задаче Владимира Ивановича Зубова. М.: Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 2. С. 269-272.

[12] Mukhamadiev Е., Naimov А. N. On the homotopy classification of positively homogeneous functions of three variables. Petrozavodsk: J. Issues Anal. 2021. V.10 (28). № 2. Pp. 67-78.

ON THE THEORY OF THE EXISTENCE OF BOUNDED SOLUTIONS OF SYSTEMS OF NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Mukhamadiev E., Naimov A. N.

Vologda State University [email protected] [email protected]

Abstract. We formulate and prove necessary and sufficient conditions that provide an a priori estimate for bounded solutions for one class of systems of nonlinear ordinary differential equations with the main positively homogeneous part. A criterion for the existence of bounded solutions is proved using the method of guiding functions and Vazhevski's method under the condition of an a priori estimate. These results refine and generalize the previously obtained results of the authors in the multidimensional case.

Keywords: bounded solution, a priori estimate, homotopic functions, method of guiding functions, Vazhevski's method.