CC BY
52
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №1
ФИЗИКА
УДК 532.55+533.95
Член-корреспондент АН РТ Х.Х.Муминов, член-корреспондент АН РТ Ф.Х.Хакимов, Т.А.Тошев, Д.Ю.Чистяков К ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА БИОЭНЕРГИИ В БЕЛКОВЫХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИСТЕМАХ
Многие биологические процессы связаны с переносом вдоль белковых молекул биоэнергии, высвобождаемой при гидролизе АТФ. Солитонный механизм переноса биоэнергии в биомолекулах, впервые предложенный Давыдовым [1,2], исследуется достаточно давно, однако все еще продолжает привлекать значительное внимание [3-8]. Согласно идее Давыдова [2], благодаря спариванию между амид-1 (С=0) вибрационными возбуждениями (экситонами) и акустическим фононами, появляющимися вследствие колебаний пептидных групп вблизи положения равновесия в полипептидной цепочке, возникает нелинейное взаимодействие, которое сопровождает распространение вибрационных квантов вдоль макромолекулы. Таким образом происходит формирование “волнового пакета”, или солитона, состоящего из связанного экситон-фононного возбуждения, который распространяется вдоль молекулярной цепочки и при этом сохраняет свою форму, энергию, количество движения и другие квазичастичные свойства. Именно благодаря нелинейности данного явления имеет место бездиссипативный перенос биоэнергии вдоль белковой молекулы.
Идея Давыдова оказалась очень плодотворной и инициировала целый ряд исследований, посвященных критическому анализу основ теории, ее точности [3], классических и квантовых свойств модели [4], а также тепловой устойчивости и времени жизни солитона [5,6].
Прежде всего следует отметить, что исследования устойчивости давыдовского солитона к тепловым возбуждениям и квантовым флуктуациям [5,6,8] показали, что давыдовский солитон в области биологических температур обладает достаточно коротким временем жизни (порядка 10-12-10-13 сек), и, таким образом, возможность переноса им биоэнергии начала ставиться под сомнение.
Во-вторых, точная волновая функция чисто квантовой модели Давыдова не может считаться известной. Предлагались различные виды волновых функций для описания состояний квантово-механической системы. Предполагалось, что солитоны с множественными квантовыми состояниями [4,7] и двухквантовыми состояниями [8] будут более устойчивыми к тепловым возбуждениям в области биологических температур в белковой молекуле. Стандартное когерентное состояние не может дать адекватного квазиклассического описания возбуждений в белковых молекулах, поскольку в этих когерентных состояниях может быть неограниченное число частиц. В то время как энергия, высвобождаемая при гидролизе АТФ (-0.43 эВ), может возбудить только два кванта амид-1 вибраций. Поэтому в данной работе мы модифицируем когерентное состоя-
ние, использованное Давыдовым таким образом, чтобы учесть возбуждение двухквантовых состояний в пептидной группе.
Построим пробную волновую функцию белковой молекулярной системы в следующем виде:
Ф і
I
1
1 + У0 / В+п н— У фп / я
Т п п /^| т п }
п ^ • \ п
(р і)\/3 і) =
1°)-ЄХр|-тХ[^ * Рп-”п * «я]||0>
(1)
р. |_' п п п и _1 I I I рк'
П п J
Здесь В+п и Вп - бозонные операторы рождения и уничтожения экситона; |о) и |о) - основные (вакуумные) состояния для экситонных и фононных возбуждений, со-
ответственно; ми и Рп - операторы координаты и импульса пептидной группы, расположенной в узле п и осциллирующей вблизи положения равновесия, соответственно. Функции , А,0(ф{$я|ф{}и гг„0(ф<р,„|ф<5 - Суть три множества неизвестных функций, описывающих на квазиклассическом, макроскопическом, уровне динамику экситонных возбуждений, координату и импульс пептидной группы в узле п, соответственно; Я - нормировочная постоянная. Далее везде полагаем Л-
Рассмотрим свойства экситонной части волновой функции (1). Вычислим среднее число экситонов в данном возбужденном состоянии, для этого проведем усреднение
оператора $ = ^В^Вп по экситонной части пробной волновой функции (1). В ре-
зультате получим
Ы =
здесь мы учли условие нормировки
ІМ1М
(2)
(3)
и коммутационные соотношения группы Гейзенберга-Вейля, которым удовлетворяют бозонные операторы рождения и уничтожения Вп и Вп
Ъ ,В+^3 . (4)
1й’ т | тп V /
Таким образом, построенная волновая функция (1) сильно отличается от волновой функции, предложенной Давыдовым [1,2], поскольку она может описывать двухквантовые экситонные возбуждения. Новая волновая функция имеет очевидное физическое обоснование, она хорошо согласуется с тем фактом, что энергия, высвобождаемая при гидролизе АТФ, может создать только два амид-1 вибрационных кванта.
Вторая модификация, вводимая нами в модель Давыдова, заключается в учете пространственных смещений соседних пептидных групп вследствие диполь-дипольных взаимодействий (электрический момент которых составляет 3,5 Дб1). Это приводит к
2
п
п
1 Дб - 1 Дебай (внесистемная единица) = 10-18 ед. СГСЭ дипольного момента = 3,336-10"30 Кл-м (СИ)
36
появлению в гамильтониане дополнительного члена вида Хг ^п+\ ~ и„ ЗФи+А + В^Вп+1 Таким образом, гамильтониан модифицированной модели принимает вид
н = на + нф + ны =
=Yimв„-J д,х+1+в,д;, ]+£
(
п
\
1 „ 2 н—К и„—и„ , у2М 2 п пЛ у
+
(5)
+£[
Хх Ц
и+1
и+1
и,,
в+п+А+в+пвп+1 +Е1В+пВХВп
где = Ь,со0 -1665 ел/1 - энергия экситона (возбуждения амид - I С=0); J - постоянная
диполь-дипольного взаимодействия между соседними узлами; Х\->Хг~ постоянные нелинейного экситон-фононного спаривания, представляющие собой модуляции одно-узельной энергии и энергию резонансного диполь-дипольного взаимодействия, вызванные смещениями молекул, соответственно; М - масса молекулы аминокислоты, К - постоянная упругости молекулярной белковой цепочки. В гамильтониане (5) учтены также внутренние молекулярные возбуждения более высокого порядка, которые описываются членом, пропорциональным Еі.
Усредняя гамильтониан (5) с использованием пробных волновых функций (1), затем, переходя к континуальному приближению и варьируя полученный таким образом квазиклассический гамильтониан модели (5), получим следующую систему уравнений:
гП<р{ 4,іУ^Ід)хх 1,0“ б О «,С- 2ао & + Ж І, 2Е\<Р 0= °, (6.а)
мРи а1крхх і,0- 4«0 ІСх + х2 ^ Г о.
Здесь использованы следующие обозначения:
(6.Ь)
<2<УЕ0-ы+~(^От
£
2 [ ''2
- энергия акустических фононов.
Поскольку солитоны в белковых молекулах распространяются со скоростями намного меньшими скорости звука, V < У0, то решения системы (6) будем искать в виде бегущей волны ^ = х - УЇ в области скоростей, достаточно далеких от резонансного эк-ситон-фононного взаимодействия. Тогда уравнение (6.Ь) можно легко проинтегрировать
Ка0 Б2 ’
(7)
д^ дх
а уравнение (6.а) можно свести к уравнению Шредингера с кубической нелинейностью
iTl(pt4í,t'УJal(pxx4í,t'УQ(t)(p4í,t'J-F\(p4í,tJA(p4í,t^=Q, (8)
где
п
8 4^ + у '2' т/ /
Л = ~ 2^15 ^ = у у 5 17 " скорость солитона, У0 - скорость звука.
Искомое солитонное решение уравнения (8) имеет следующий вид
<р4,0=
1/2
8ЄЄ И
к2,
Ь4~Х0-Уї
а '
ЙК . ^ Еу
4~хо^- ~т*
п
2Jal
(9)
2 Ь+Х21 Ех
где о —--->----------.
Ж (-Б2^ 4/
Из уравнения (8) очевидно значительное увеличение энергии нелинейного взаимодействия в данной модели по сравнению с моделью Давыдова
К = 2Ид<+Ъ2/Х,2-2Е„ а
также
рост
амплитуды
солитона
1’"^ Е
и, вследствие этого, сокращение его ширины. Напомним, что
4 ь/
в модели Давыдова эти параметры имели вид: Ьд -
Хі
4^2
'. Таким
Ж<-^2; д к{-8\
образом, солитон (9) модифицированной модели (5) значительно лучше локализован по сравнению с моделью Давыдова. Учет более высоких степеней молекулярных возбуждений приводит к незначительной делокализации солитона, однако, поскольку энергия этих возбуждений мала E1«J, далее мы ею можем пренебречь.
Вычислим энергию солитона модифицированной модели. Используя (9), получим
Г СІХ
Е = 2 І — Міфі -М +Я(р х,1
* п
аа
—со О
-н
(р х,і
1
+С0 у
4 х+КаІРІ х
+
2 аа
—со О
(10)
= єп+-М V
0 2 сол
^ ^ У ^ 2 + у ^
Здесь е0 = 2 С0 ~27^г 2 “ энергия покоя солитона, Ж = 1 2 - энергия де-
3К2 J
д. ^ о 8^+ь^^2-3^4 + 2'
формация цепочки и Мсол - 2тэкс н——— ; ^~ эффективная масса солито-
3 K2J{-S2Jr02
на (9).
Вычислим энергию связи экситонной подсистемы с фононной в модифицированном со-литоне (9):
Е =-*Ь + Х^=ЯЕ
г \А
Хг
3К2 J
свД
1+
V Хх
(11)
где ЕсвД = -
Хі
ЗK2J
- энергия связи давыдовского солитона. С учетом того, что оценки
физических параметров а- спирали белка [2-8] составляют = 62-10 21Н,
38
Х2 =(10 -18) -10 12 Н, очевидно, что энергия связи модифицированного солитона (7) в несколько десятков раз превышает энергию связи давыдовского солитона.
Таким образом, учет двухквантовой природы экситонных возбуждений в молекуле белка, а также дополнительного экситон-фононного взаимодействия в гамильтониане привели к большей степени локализации солитона и значительному увеличению энергии связи по сравнению с давыдовским солитоном. Эти свойства солитона модифицированной модели должны обеспечить ее большую устойчивость к квантовым флуктуациям и тепловым возмущениям в области биологических температур. Поэтому, следует ожидать, что время жизни солитона (9) должно значительно превышать время жизни давыдовского солитона, что делает его более подходящим кандидатом на роль переносчика биоэнергии.
Таджикский государственный Поступило 29.08.2005 г.
национальный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Davydov A.S. - Sov. Phys. JETP, 1980, v. 51, p. 397-400.
2. Davydov A.S. Solitons in molecular systems. D. Riedel Publishing Company, Dordrecht, 1985, 319 p.
3. Scott A.C. - Phys. Rev. A, 1982, v.26, p. 578-595.
4. Cruzeiro-Hansson L, Shozo Takeno. - Phys. Rev. E, 1997,v.56, p. 894-906.
5. Cottingham J.P., Schweitzer J.W. - Phys. Rev. Letters, 1989, v.62, p. 1792-1795.
6. Wang X., Brown D.W., Lindenberg K. - Phys. Rev. Letters, 1989, v.62, p. 1796-1799.
7. Voulgarakis N.K., Kalosakas G., Bishop A.R., Tsironis G.P. - Phys. Rev. B, 2000, v.63, p.20301-20305.
8. Cruzeiro-Hansson L - Phys. Rev. A, 1992, v.45, p.4111 -4115.
Х,.Х,.Муминов, Ф.Х.Хакимов, ТА.Тошев, Д.Ю.Чистяков ОИДИ НAЗAРИЯИ КУЧИШИ БИОЭНЕРГИЯ ДAР OTCTEMA^OH
МОЛЕКУЛИИ СAФЕДA
Гамилтониан ва функсияи мавции назарияи Давыдов оиди кучиши биоэнергия дар системадои молекулии сафеда бо назардошти таъсири мута^обилаи иловагии экси-тон-фононй ва хусусияти табиати ду-квантии вибратсиядои амид-I дар гуруддои петид беддошт карда шудааст. Дарацаи баландтари локализатсия ва афзоиши назарраси энер-гияи бандиши солитони модели модификатсияшуда назар ба солитони Давыдов усту-вории онро нисбат ба флуктуатсиядои квантй ва ангезишдои дароратй таъмин мекунад ва ба афзоиши мудлати даёти он оварда метавонад.
Kh.Kh.Muminov, F.Kh.Khakimov, T.A.Toshev, D.Yu.Chistyakov TO THE BIOENERGY TRANSPORT THEORY IN PROTEIN MOLECULAR SYSTEMS
Hamiltonian and wave function of Davydov theory of bioenergy transport in protein molecular systems are essentially modified taking into account an additional exciton-phonon interaction and the two-quanta nature of amid-I vibrations in peptide group. Higher rate of localization and the essential increase of the binding energy of the soliton of modified theory in comparison with the Davydov one could provide its higher stability in respect to the quantum and thermal fluctuations in the field of biological temperatures and could increase its lifetime.
