CC BY
30
К теории локализации макроскопической пластической деформации
В.Ф. Бадаева, П.П. Каминский, Ю.А. Хон
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Коллективные моды макроскопической пластической деформации описываются двумя параметрами порядка. Из анализа устойчивости однородного состояния относительно малых неоднородных возмущений найдены условия и выявлены факторы, способствующие локализации деформации.
1. Введение
К числу отличительных особенностей необратимого формоизменения твердых тел относится локализация макроскопической деформации, завершающая стадию однородного пластического течения. Локализация деформации приводит к образованию шейки при растяжении образца и последующему разрушению. Во многом благодаря этому обстоятельству изучению механизмов и построению моделей локализации деформации посвящено большое число работ (см., например, [1-13], в которых приведены данные об основных закономерностях ее протекания). Локализация макроскопической деформации происходит в материалах, имеющих самую различную исходную внутреннюю структуру. Ими могут быть монокристаллы, поликристаллы, субмикрокрис-таллические и аморфные материалы и пр. Механизмы и соответствующие им моды однородной пластической деформации также могут быть самыми различными. В любом случае до момента локализации деформации действуют, как минимум, две моды деформации. При этом изменения внутренней структуры происходят в объемах, характерные размеры которых меняются от долей микрона до размеров образца в целом, и носят коллективный характер [1, 8-11].
Локализация деформации обычно связывается с неустойчивостью однородного пластического течения относительно неоднородных крупномасштабных возмущений внутренней структуры (см., например, [1, 8-11]). Но удовлетворительных ответов на вопросы об услови-
ях и факторах, способствующих возникновению данной неустойчивости, пока найти не удалось. Основная трудность состоит в том, что при пластической деформации изменения внутренней структуры происходят в объемах, характерные размеры которых меняются в широких пределах. В этой связи говорят, что пластическая деформация протекает на всех структурных и масштабных уровнях [8]. Для описания макроскопической пластической деформации необходимо учесть коллективные свойства не только ансамблей элементарных дефектов кристаллической решетки, но и структурных элементов с большим характерным размером, включая зерна в поликристаллах. Неудивительно поэтому, что в рамках только дислокационных моделей задача о локализации макроскопической деформации решена быть не может [1].
В наиболее распространенных подходах к описанию макроскопической пластической деформации сред со сложной внутренней структурой в качестве динамических переменных используются, как правило, плотности дефектов различного типа, включая объемные [8, 14]. Вследствие многоуровневого характера изменения внутренней структуры неизбежно возникает большое число переменных и соответственно уравнений для их определения. В такой постановке учет коллективных эффектов в деформируемой среде затруднен, а решение задачи об особенностях протекания макроскопической пластической деформации невозможно. Коллективные переменные можно ввести так же, как и в [15].
© Бадаева В.Ф., Каминский П.П., Хон Ю.А., 2001
Но в этом случае рассматриваются только коллективные свойства дислокационных ансамблей и, следовательно, микроскопическая пластическая деформация.
В серии работ [16, 17] развивается другой подход к описанию макроскопической пластической деформации, учитывающий коллективный характер изменений внутренней структуры на всех масштабных уровнях. Его суть состоит в следующем. В деформируемой структурно-неоднородной среде выделяются дополнительные по отношению к плотностям дефектов кинетические переменные — параметры порядка, связанные с коллективными модами возмущений внутренней структуры и соответственно с коллективными модами макроскопической пластической деформации. Параметры порядка определяются решениями системы нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа. Было показано, что при активной одноосной деформации образца, происходящей путем сдвигов по двум сопряженным системам плоскостей скольжения, решения уравнений для двух параметров порядка описывают стадии I, II и III пластического течения. При этом линейная зависимость напряжения от деформации обусловлена автомодельными решениями, описывающими распространение различного типа автоволн. Представляется, что на основе развиваемого в работах [16, 17] подхода задача описания закономерностей локализации макроскопической пластической деформации может быть существенно упрощена. Одному из вариантов ее решения посвящена настоящая работа.
2. Модель деформируемой структурнонеоднородной среды
Рассмотрим в пространстве координат х, у, z плоский образец в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами X, У, Z, равными длине, ширине и толщине рабочей части образца соответственно. Элементами внутренней структуры могут быть дислокации и их ансамбли, зерна в поликристаллах, включения различных фаз и пр. Предполагается, что в единице объема содержится достаточно большое число всех типов структурных элементов. Поэтому все макроскопические свойства среды, например плотность вещества, компоненты тензоров напряжений т = а jm (г), деформации % (г) и пр., представляют непрерывные функции координат. Здесь г — радиус-вектор выделенной точки. Под точкой понимается физически малый объем с характерной для образца в целом исходной внутренней структурой.
Из-за различия свойств структурных элементов поля внутренних напряжений тт1 в каждом таком объеме являются неоднородными. Имеются области, называемые зонами концентрации напряжений, в которых тт1 > т. Число зон концентрации напряжений, их размеры и форма зависят от исходной внутренней структуры и внешнего напряжения. В соответствии со сказан-
ным выше, число зон концентрации напряжений N в единице объема удовлетворяет неравенству N >> 1. Поэтому плотность N (г) представляет непрерывную функцию, зависящую от внешних напряжений и температуры. Амплитуды внутренних напряжений в зонах концентрации напряжений имеют различные значения и растут при увеличении т.
При достижении определенного критического значения т в некоторых зонах концентрации напряжений (в [17] они названы активными зонами) происходят необратимые изменения исходной внутренней структуры. Переход отдельной зоны концентрации напряжений в активное состояние сопровождается изменением ее размеров и формы. Как следствие, в некоторых из окружающих ее зон концентрации напряжений внутренние напряжения возрастают. Причем изменение внутренних напряжений носит, вообще говоря, случайный характер. В результате многочисленных актов взаимодействия между зонами концентрации напряжений в каждый момент времени деформирования устанавливается вполне определенное пространственное распределение плотности ЖДг) активных зон. Отношение N^1N согласно
[17] принято в качестве параметра порядка.
Механизмы микроскопической пластической деформации в активных зонах могут быть самыми различными, например генерация и эволюция ансамблей дефектов кристаллической решетки, диффузия атомов, структурные и фазовые превращения, переориентация зерен и их смещение друг относительно друга в поликристаллах, образование пор, микротрещин и ряд других. При заданных температуре и скорости макроскопической деформации в образце в целом, в каждой зоне концентрации напряжений действует та совокупность связанных между собой механизмов, которая обеспечивает требуемое изменение формы образца при наименьшем внешнем напряжении. Число параметров порядка определяется доминирующими модами пластической деформации.
Будем предполагать, что удлинение образца при одноосном растяжении обусловлено двумя модами макроскопической деформации Р и Q. Это могут быть, например, сдвиги как по кристаллографическим, так и некристаллографическим плоскостям скольжения. Свяжем с каждой модой деформации один параметр порядка. Тогда пространственные и временные распределения макроскопической пластической деформации будут определяться скалярными полями двух параметров порядкар = р(г, ?), q = q(r, Ь). При упругой деформации структурные изменения в зоне концентрации напряжений не происходят, поэтому р = q = 0. Каждая мода макроскопической пластической деформации характеризуется временами протекания процессов массопере-носа и длинами, на которых происходят изменения внутренней структуры, а также критическими значения-
ми напряжений тp и Tq, при которых протекает пластическая деформация в активных зонах.
При одноосном растяжении пластическая часть деформации в может быть записана в скалярном виде [16,
17]:
в = Hpp2 + Hqq2. (1)
Коэффициенты Hp, Hq определяют вклады соответствующих мод деформации в удлинение образца.
Кинетические уравнения для параметров порядка представляют уравнения баланса числа частиц [17]. Представим их в удобном для дальнейшего анализа виде
[18]:
tp dp/dt = P(p, q, A) + lp Ap, (2)
tq dq/dt = Q(p, q, A) + l\Aq. (3)
Здесь t—время; tp, tq — характерные времена; lp, lq —
характерные длины изменения параметров порядка p и q соответственно; A — совокупность управляющих параметров, зависящих от внешнего напряжения. Явный вид безразмерных нелинейных функций источников P и Q определяется процессами, протекающими в ансамбле зон концентрации напряжений. В общем случае P и Q зависят также от tp и tq. Последние слагаемые в правых частях уравнений (2), (3) отражают случайный характер изменения внутренних напряжений в зонах концентрации напряжений.
Качественную зависимость функций источников от параметров порядка можно получить исходя из общих соображений. При т<<тp, T<<Tq деформация является упругой, структурные изменения в образце не происходят, поэтому единственным решением уравнений P(p, q, A) = 0, Q(p, q, A) = 0 должно быть p0 = q0 = 0. Кроме того, это решение p = p0 + 8p и q = q0 + 8q должно быть устойчивым относительно малых однородных возмущений 8p, 8q - exp(-yt). Таким образом, решаются уравнения (1) и (2) стандартным способом [19]. Анализ устойчивости решений этих уравнений (Rey > 0) приводит к следующим выражениям:
Pp + Qq < 0, (4)
PpQ'q - PqQ'p > 0. (5)
Производные вычисляются в точке p0, q0. Из (4) следует, что производные Pp = dP/dp, Q'q = dQ/dq в этой точке должны быть отрицательными. Поэтому коэффициенты ap, aq при первой степени p, q разложения P и Q в степенной ряд вблизи точки (0, 0) должны быть отрицательными. Для выполнения неравенства (5) Pq, Q должны иметь разные знаки, либо быть равными нулю.
При напряжении т/тp ~ 1, T<<Tq действует только одна мода деформации. Уравнение P(p, q, A) = 0 при q = 0 имеет, по крайней мере, еще одно устойчивое од-
нородное решение р3 > 0. Состояние р0 = 0 при этом напряжении должно стать неустойчивым, либо относительно устойчивым. В первом случае коэффициент ар должен стать положительным, а во втором оставаться отрицательным, то есть коэффициент ар при возрастании напряжения должен менять знак. Точно также при ^тч ~ 1, т << т р уравнение Q(p, q, Л) = 0 при p = 0 имеет решение q3 > 0. В результате функции источников, удовлетворяющие указанным выше условиям, могут быть аппроксимированы выражениями [16, 17]:
Р = арр + Ьрр1 - р3 + cpq, (6)
Q = aqq + bqq1 - q3 - dpq. (7)
Здесь первые три слагаемых в правых частях описывают деформирование образца в том случае, когда действует только одна мода деформации. Согласно [16, 17] коэффициенты Ьр и bq являются положительными. Последние слагаемые в правых частях (6), (7) учитывают взаимное влияние мод друг на друга. Для коэффициентов уравнений (6), (7) выполняются следующие неравенства: с > 0, d > 0. При с = 0, d = 0 система уравнений разбивается на два не связанных между собой уравнения. Заметим, что представление функций источников в виде (6), (7) стало возможным вследствие того, что переменные р, q являются малыми параметрами. При необходимости в правые части могут быть включены дополнительные члены разложения.
Характерные типы точек равновесия и соответствующих им устойчивых однородных решений при различных соотношениях между коэффициентами в функциях источников были рассмотрены в [16, 17]. Было показано, что основными параметрами в (5), (6), определяющими тип решения, являются коэффициенты ар, ац, с, d. Поэтому эти параметры являются управляющими. Их численные значения и знак зависят от напряжений [16, 17].
Неоднородные структуры, возникающие в системах, описываемых уравнениями типа (2), (3), принято называть диссипативными структурами, а их эволюцию при изменении управляющих параметров — самоорганизацией [18, 19]. Задача, таким образом, сводится к анализу возможных сценариев самоорганизации в деформируемом образце при изменении управляющих параметров и значений е и а.
3. Условия локализации пластической деформации
Рассмотрим случай, когда напряжения т и, следовательно, управляющие параметры от х не зависят. Источники возмущений параметров порядка конечной амплитуды отсутствуют. Но источники возмущений малой амплитуды, например вследствие колебаний атомов, микроскопических неоднородностей структуры, естественно, всегда существуют.
Пусть однородное решение рк, qh при значениях управляющих параметров с0, d0 устойчиво относительно малых однородных возмущений. Условия этой устойчивости по-прежнему определяются неравенствами (4), (5), производные вычисляются в точке ph, qh. Но это однородное решение может стать неустойчивым относительно малых неоднородных возмущений 8р, 8q ~ ехр(-у? + г'кг) (к —волновой вектор). В результате происходит расслоение однородного состояния относительно возмущений с волновым вектором k > 0 (неустойчивость Тьюринга). Условие этой неустойчивости (1т у = 0, k > 0) имеет вид:
кЧ1/1 - (11 Р'р + ^ )к1 + Р'р^д - Р'^'р < 0. (8)
С учетом (4) отсюда следует, что производные 0[ц и Рр должны иметь разные знаки. Для функций источников (6), (7) производная Рр в области изменения параметров 0 < р < 1, 0 < q < 1 всегда отрицательна. Зависимость р(1), получаемая из уравнения Q = 0, имеет максимум 1ш . Если в точке равновесия l < 1т , то производная Q'q > 0. Такие точки равновесия, как нетрудно видеть из анализа (6), (7), существуют при выполнении неравенств Ър/1 + (ЪЦа + ар )^1 < а1^ < 1. Из них следуют ограничения на параметры a1 и d, при которых возможна локализация деформации: а1 > 0, d > а1. Заметим, что при ^1 > 0 переменная q является активатором, а р — ингибитором [18].
Значения к1, при которых выполняется неравенство (8), лежат в интервале
ко1 - D1/1 < к1 < ко1 + D1/1. (9)
Здесь D—дискриминант квадратного относительно к1 уравнения (8),
кс1 = (11 Р'р + 12р&1 )/2/р1р. (10)
Из условия D > 0 вытекает, что производная Ql должна удовлетворять неравенству
Q'l > -е1 Р'р + 1е(Рр^1 - Р'^'р). (11)
Это неравенство выполняется тем легче, чем меньше величина е. Другими словами, к локализации пластического течения приводят те моды деформации, для которых 11 << 1р. Причина неустойчивости однородного состояния состоит в том, что на длинах 11 << 1р параметр р меняется слабо, а малые возмущения 8q при Q'1 > 0 нарастают [18]. В результате на расстояниях порядка 11 переменная q резко нарастает.
Для образца в форме прямоугольного параллелепипеда с точностью до постоянного множителя, зависящего от граничных условий, имеем
к1 = (да1/X1 + п 7 Y1 + i 7 г1),
(12)
где да, п, i — целые числа, меняющиеся от нуля до бесконечности. При X >> У, X >> г и фиксированном значении к0 условие (9) может выполняться лишь при п = i = 0. Как следствие, образуется система полос, перпендикулярных оси растяжения. Наибольшее число образующихся полос определяется значением т, при котором неравенство (9) еще выполняется.
Из (12) следует, что число полос локализованной деформации зависит от размеров образца. Действительно, при уменьшении X постоянному значению к соответствует меньшее значение т. При X = Хс < 1/к условие (12) перестает выполняться. Поэтому локализации деформации в коротком образце при тех же самых модах деформации и том же самом внешнем напряжении не будет.
4. Обсуждение результатов
Как следует из приведенных в разделе 3 результатов, локализация деформации происходит тогда, когда параметр е = 11^р << 1. Но целенаправленных измерений этого параметра на стадиях однородной и локализованной деформации, насколько нам известно, не проводилось. Частично это обусловлено необходимостью выделения макроскопических мод пластической деформации и измерения их характеристик. Для этого необходимо проследить за изменениями деформационного рельефа поверхности на расстояниях, сравнимых с размерами образца. Такие экспериментальные данные приведены в работе [8], в которой проведен анализ общей картины пластической деформации, включая стадию локализации пластического течения, при одноосном растяжении плоских образцов. Воспользуемся этими данными для оценки е.
Согласно [8] на стадии, предшествующей стадии локализованного пластического течения, однородная деформация протекает за счет сдвигов в плоскостях, не совпадающих с кристаллографическими. Возникающая система сопряженных мезополос отражает две сдвиговые моды макроскопической деформации и приводит к фрагментации материала. Характерный размер фрагментов меняется от десятков до тысяч микрометров. При этом размеры мезополос в каждой системе примерно одинаковы. Как следствие, параметр е = 1 и, следовательно, условия локализации не выполняются.
В начале стадии локализованной деформации (стадия V [8]) образуется одна макрополоса, пересекающая все поперечное сечение образца, вдоль которой происходит сдвиг одной части образца относительно другой. Характерная длина этой макрополосы имеет величину порядка 1 мм. Внутри и вблизи нее материал фрагментируется. Размер фрагментов составляет величину порядка 10^100 мкм. Данная фрагментация представляет вторую (аккомодационную [8]) моду деформации. Именно способность материала к фрагментации обес-
печивает возможность его деформирования при сохранении направления оси растяжения. Если в качестве 11 принять размер фрагмента, а 1р — длину макрополосы, тогда е = 0.01^0.1. Условия локализации оказываются выполненными. Естественно, что ответа на вопрос о причинах появления именно таких мод деформации в рамках данной теории дать нельзя.
Коэффициент деформационного упрочнения 0, определяемый дифференцированием (1) по напряжению, имеет вид:
0 = тр т 11 (1т1Ppdp|dт+ 1т pQqdq|dт). (13)
Значения параметров порядка и их производных вычисляются в точке равновесия. Постоянному значению 0 соответствует линейная зависимость напряжения от деформации. Из анализа (13) следует, что 0 не зависит от е. Поэтому на стадии линейной зависимости напряжения от деформации внутренняя структура и соответственно характеристики деформационного рельефа поверхности могут качественно меняться. По-видимому, именно этим обстоятельством можно объяснить характерную особенность зависимости фрактальной размерности от степени деформации, наблюдаемую на протяженной линейной стадии IV кривой течения поли-кристаллического дуралюмина Д16 в работе [8]. Она состоит в том, что растет не монотонно, а имеет три площадки, на которых не меняется. При посто-
янном значении параметра е фрактальная размерность должна возрастать монотонно. Дискретный характер изменения фрактальной размерности отражает, прежде всего, стадийный характер пластической деформации [8], обусловленный качественными изменениями внутренней структуры. Параметр е такие изменения как раз и характеризует.
При постепенном уменьшении параметра е до значения, при котором выполняются условия локализации, будет возникать одна полоса локализованной деформации. Если напряжения и внутренняя структура в каждом сечении рабочей части образца одни и те же, то местом локализации деформации и зарождения шейки будет его средняя часть. В том случае, когда параметр е уменьшается скачком до достаточно малых значений, полос локализованной деформации может быть несколько. Вопрос о том, в какой из них разовьется шейка, выходит за рамки настоящей работы.
5. Заключение
Выделим основные факторы, определяющие локализацию макроскопического пластического течения. Первым из них является наличие, как минимум, двух мод деформации и соответственно двух параметров порядка. К числу таких мод можно отнести, например, сдвиги по определенным системам плоскостей скольжения, фрагментацию материала и пр. Вторым фак-
тором является большое различие в характерных длинах, на которых изменяются параметры порядка, то есть возмущения внутренней структуры, характерные для одной моды деформации являются дальнодействующи-ми, а для другой — короткодействующими. Третий фактор заключается в том, что в слое с короткодействующими возмущениями должна существовать положительная обратная связь, приводящая к нарастанию малых неоднородных возмущений. Совокупность указанных трех факторов вызывает неустойчивость однородной деформации относительно малых неоднородных возмущений внутренней структуры. Развитие этой неустойчивости под действием внешнего приложенного к образцу напряжения приводит к локализации деформации. Наличие сдвиговой моды деформации при растяжении образца приводит к смещению одной его части относительно другой. В результате поперечное сечение образца уменьшается, что можно рассматривать как зарождение шейки.
Неоднородные структуры, возникающие в результате развития неустойчивости однородного состояния относительно малых неоднородных возмущений, принято называть диссипативными структурами [19], а их эволюцию при изменении управляющих параметров — самоорганизацией. С этой точки зрения формирующаяся шейка представляет частный случай диссипативных структур.
Необходимо заметить, что условия локализации деформации (11) и следующий из них сценарий образования шейки получены для идеально однородного состояния. Наличие малых неоднородностей системы может радикально изменить сценарии самоорганизации, приводя к появлению локализованных структур при напряжениях, меньших напряжения расслоения однородного состояния [18]. Анализ условий возникновения таких структур требует отдельного рассмотрения.
Литература
1. Альшиц В.И., Бережкова Г.В. О природе локализации пластической
деформации в твердых телах // Сб. науч. трудов «Физическая кристаллография». - Наука, 1992. - С. 129-151.
2. Nabarro F.R.N. Work hardening of face-centered cubic single crystals // Strength of Metalls and Alloys (ICSMA-7). - I.: Pergamon press. -1986. - V. 3. - P. 1667-1700.
3. Cowie J.C., Tuller F.R. Flow localisation models // Mater. Sci. and Eng. - 1987. - V. 95. - No. 1. - P. 93-99.
4. Pampillo C.A., Polk D.E. The strength and fracture characteristics of Fe, Ni-Fe and Ni-base glasses at various temperatures // Acta Met. -1974. - V. 22. - No. 6. - P. 741-749.
5. Argon A.S. Inelastic deformation and fracture in oxides, metallic and polymeric glasses // Glass Sci. and Technol. - 1980. - V. 5. - P. 79132.
6. Бенгус В.З., Табачникова Е.Д., Гайко и др. Вязкое и хрупкое разрушение металлических стекол при низких температурах // Металлофизика. - 1986. - Т. 8. - № 5. - С. 3-7.
7. Панин В.Е., Деревягина Л.С., ВалиевР.З. Механизм локализованной
деформации субмикрокристаллической меди при растяжении // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 89-95.
8. Panin V.E. Modern problems of physical mesomechanics // Proc. Int. Conf. Mesomechanics’2000 / Ed. by G.C. Sih. - Beijing: Tsinghua University Press, 2000. - V. 1. - P. 127-142.
9. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -
1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
10. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение материалов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.
11. Кооперативные деформационные процессы и локализация деформации / Под ред. В.В. Немошкаленко. - Киев: Наукова думка, 1989. - 320 с.
12. Бернер З., Кронмюллер Г. Пластическая деформация монокристаллов. - М.: Мир, 1969. - 272 с.
13. Баранникова С.А., Зуев Л.Б., Данилов В.И. Кинетика периодических процессов при пластическом течении // ФТТ. - 1999. -Т. 41. - Вып. 7. - С. 1222-1224.
14. Makarov P V. Character of localized deformation and fracture of solids at mesolevel// Proc. Int. Conf. Mesomechanics’2000 / Ed. by
G.C. Sih. - Beijing: Tsinghua University Press, 2000. - V. 1. - P. 143152.
15. AifantisE.C. Spatio-temporal instabilities in deformation and fracture // Computational material modelling / Eds. by A.K. Noon, A. Need-leman. - AD, Vol. 41/PVP - Vol. 294. - P. 199-222.
16. Каминский П.П., Хон Ю.А. Макроскопические стационарные структуры в кристалле с дислокационными механизмами пластической деформации // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 5. -С. 49-55.
17. Каминский П.П., Хон Ю.А. Параметры порядка и стадийность пластического течения структурно неоднородных сред // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 2. - С. 37-46.
18. Кернер Б.С., Осипов В.В. Самоорганизация в активных распределенных средах // Успехи физических наук. - 1990. - № 9. -С. 2-73.
19. НиколисГ., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979. - 308 с.
