CC BY
41
К теории стадийности высокотемпературной ползучести поликристаллического свинца
В.Ф. Бадаева, П.П. Каминский, Ю.А. Хон
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Изменения мезоскопической внутренней структуры при высокотемпературной ползучести поликристаллического свинца учитываются дополнительными по отношению к плотностям дефектов коллективными переменными — параметрами порядка. На основе анализа решений кинетических уравнений для параметров порядка показано, что вид кривой ползучести и число стадий на ней определяются характером устойчивости исходной внутренней структуры относительно возмущений различного типа. Найдены условия и выявлены факторы, способствующие локализации деформации и переходу к стадии ускоренной ползучести.
1. Введение
Несмотря на большой объем накопленных экспериментальных и теоретических данных об особенностях дислокационной структуры и механизмах деформации (см., например, [1-7]), задача описания неоднородности и стадийности высокотемпературной ползучести поликристаллических материалов до сих пор остается не решенной. Имеются две основные причины такого положения дел. Во-первых, это сложность внутренней структуры материала, обусловленная наличием структурных элементов с различным характерным размером: точечных дефектов, дислокаций, зерен и их конгломератов. При ползучести меняется плотность дефектов, их пространственное распределение, могут появляться новые механизмы и носители неупругой деформации. Во-вторых, и это особенно важно, деформация протекает на всех структурных и масштабных уровнях [8]. Другими словами, изменения внутренней структуры при деформации носят коллективный характер [3-10] и проявляются на всех масштабах наблюдения. При этом с увеличением степени деформации характерные размеры неоднород-ностей внутренней структуры возрастают и на третьей стадии ползучести становятся сравнимыми с размерами образца. В этой связи анализ результатов экспериментальных исследований высокотемпературной ползучести на высоких масштабных уровнях становится особенно важным.
Подобного типа исследования были проведены в [11] на поликристаллическом свинце, деформируемом в условиях ползучести при 328 К. Так как отношение этой температуры к температуре плавления свинца близко к 1/2, то кривая зависимости деформации от времени имеет характерный для высокотемпературной ползучести трехстадийный вид. Использование метода координатных сеток позволило выявить характерные особенности протекания деформации на мезоуровне на каждой из трех стадий кривой ползучести. Показано, что на первых двух стадиях характерные размеры изменения внутренней структуры близки к среднему диаметру зерна. При деформации обнаруживается смещение зерен друг относительно друга по границам раздела, а также следы внутризеренного сдвига. Начало третьей стадии совпадает с образованием конгломератов зерен, которые ведут себя как единое целое. Характерный размер этих конгломератов равен десяткам диаметров зерен. При этом на границах конгломератов возникают микротрещины.
Наблюдаемые в [11] закономерности показывают, что последовательное теоретическое описание высокотемпературной ползучести должно с самого начала явным образом учитывать коллективный характер изменения внутренней структуры на мезоуровне. Один из таких подходов предложен в серии работ [12, 13]. Он основан на том, что в деформируемой среде выделяются
в Бадаева В.Ф., Каминский П.П., Хон Ю.А., 2001
^ 5 10 15 20 25 Время, ч
Рис. 1. Кривая ползучести свинца при Т = 328 К, о = 4 МПа
дополнительные по отношению к дефектам коллективные переменные — параметры порядка. Параметры порядка определяются решениями системы нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа. Указанный подход был применен к анализу стадийности и неоднородности пластического течения при активной
одноосной деформации [13]. Настоящая работа является продолжением [12, 13] и ставит своей задачей теоретическое описание наблюдаемых закономерностей высокотемпературной ползучести поликристаллического свинца на основе развиваемого подхода.
2. Модель пластической деформации поликристалла при постоянной нагрузке
Рабочая часть образца в экспериментах [11] представляла прямоугольный параллелепипед со сторонами X = 40 мм, У = 8 мм, Z = 1.2 мм, равными длине, ширине и толщине соответственно. Размер зерен составлял около 0.5 мм. К образцу прикладывалась растягивающая нагрузка о = 4 МПа при температуре Т = 328 К. Для изучения распределения деформации на мезоуровне на поверхность образца наносилась квадратная координатная сетка с шагом 0.1 мм.
Для выделения в деформируемой среде параметров порядка обратимся вначале к эксперименту [11]. На рис. 1 приведена экспериментальная кривая ползучести поликристаллического свинца, имеющая типичный для высокотемпературной ползучести трехстадийный вид. Проведенные структурные исследования дают следующую картину деформации. На первой стадии пластическая деформация протекает в отдельных зонах концентрации напряжений, создаваемых границами и стыками зерен (рис. 2). При увеличении степени деформации раз-
Рис. 2. Развитие деформации в свинце на I стадии ползучести, 8 = 1.2 %. х 300
мер области, охваченной деформацией, возрастает, а расстояние между зонами концентрации напряжений, в которых произошли изменения внутренней структуры, уменьшается. Уменьшается и скорость деформации (стадия I на рис.1). Доминирующими механизмами изменения внутренней структуры являются внутризерен-ные сдвиги и смещения зерен друг относительно друга. При этом длина следов внутризеренного сдвига, как это видно из рис. 2, достигает нескольких десятых миллиметра. В то же время, смещения линий сетки на границах зерен проявляются слабо. На второй стадии (рис. 3) длина следов внутризеренного сдвига остается примерно той же самой, но проскальзывание зерен друг относительно друга становится заметным. В конце стадии деформирующиеся подобным образом зерна заполняют весь объем образца. Подобная картина деформации, по мнению авторов [11], означает, что структурным элементом деформации является зерно, а вторая стадия ползучести обусловлена движением зерен как целого. На третьей стадии (рис. 4) наблюдаются протяженные полосы деформации, образованные внутризеренными сдвигами. Характерная длина полос превышает размеры отдельного зерна в десятки раз. Проскальзывание происходит по границам образующихся конгломератов зерен. При деформации конгломераты ведут себя как единое целое. На границах этих конгломератов зарождаются микротрещины. Сделан вывод [11], что структурным элементом деформации на третьей стадии ползучести являются конгломераты зерен.
Таким образом, на всех трех стадиях ползучести доминируют одни и те же механизмы крупномасштабных (мезоскопических) изменений внутренней структуры: деформация зерна и проскальзывание по границам зерен. Различие заключается в том, что на первых двух стадиях характерный размер крупномасштабных изменений внутренней структуры по порядку величины равен среднему размеру зерна ^ Другими словами, характерные длины, на которых микроскопические процессы массопереноса (диффузия атомов и внутризеренные сдвиги, связанные с кристаллографическим скольжением дислокаций) протекают когерентно, ограничены сверху средним размером зерна. На третьей стадии ползучести характерная длина, на которой скольжение дислокаций протекает когерентно, возрастает на порядок. Длина когерентных изменений внутренней структуры определяет характерный размер структурного элемента.
Согласно [12, 13], в качестве параметров порядка следует выбирать относительные концентрации зон концентрации напряжений, в которых действуют рассматриваемые механизмы и связанные с ними моды деформации. В соответствии со сказанным выше обозначим через q относительную концентрацию зон концентрации напряжений, в которых диффузия атомов по границам зерен приводит к их проскальзыванию друг относи-
тельно друга. Относительную концентрацию зон концентрации напряжений, в которых протекают внутризеренные сдвиги, обозначим через p. Из определения параметров порядка следует, что локальная деформация является функциейp, q. Явный вид этой функции в дальнейшем не потребуется. Отметим лишь, что при p = q = = 0 деформация является упругой. Скалярные поля p = = p(r, t), q = q(r, t) характеризуют пространственные особенности внутренней структуры и соответственно деформации в каждый момент времени. Здесь r и t — координаты рассматриваемой точки и время соответственно.
Характерные времена tp, tq изменения параметров порядка p, q определяются скоростью протекания элементарных процессов массопереноса в зонах концентрации напряжений. Обозначим через lp, l характерные длины изменения параметров порядкаp, q. На первых двух стадиях lp ~ d, а на третьей lp ~ 10d. Что касается l , то l всегда меньше lp, а на третьей стадии l << lp. Внутризеренные сдвиги протекают в том случае, если напряжение превышает критическое напряжение сдвига тp. Диффузионные же процессы протекают при любом напряжении, поэтому Tq = 0. В дальнейшем tp, tq, lp, lq, тp, Tq будем считать известными параметрами теории.
Кинетические уравнения для параметров порядка представляют уравнения баланса числа частиц [12-15]:
tp dp fit = P(p, q, A) + lp Ap, (1)
tq dq/dt = Q(p, q, A) + lqpAq. (2)
Здесь A — оператор Лапласа; P, Q — безразмерные нелинейные функции источников. Через A обозначена совокупность управляющих параметров. В рассматриваемом случае ими являются напряжение и температура, которые в условиях эксперимента [11] остаются постоянными. Явный вид функций источников зависит от процессов, протекающих в ансамбле зон концентрации напряжений. Вторые слагаемые в правых частях уравнений (1), (2) отражают случайный характер распределения внутренних напряжений.
Уравнения (1), (2) необходимо дополнить начальными и граничными условиями. Примем, что моменту времени t = 0 соответствует состояние, которое возникает сразу после окончания активной деформации в результате возрастания внешней нагрузки до постоянного значения. Тогда при t = 0 имеем p = q = 0. В качестве граничных условий примем отсутствие потоков параметров порядка через поверхность образца.
Качественные особенности решений p = p(r, t), q = = q(r, t) системы уравнений (1), (2) при постоянных значениях управляющих параметров, характерных времен и длин изменения параметров порядка хорошо известны. Эти решения делятся на два типа. К первому из них
Начало рис. 3
относятся автомодельные решения р = р(г - д = = д (г - у^, которые описывают распространяющиеся в однородной системе автоволны. Здесь у — скорость автоволн. Решения второго типа р(г, {), д (г, £) соответст-
вуют локализованным в пространстве структурам (дис-сипативным структурам) [14]. Рассмотрим указанные решения и описываемые ими режимы деформации более подробно.
Рис. 3. Структура свинца на II стадии ползучести: 8 = 5 %, х 120 (а); 8 = 9.8 %, х400 (б); интерференционная картина миграции границ зерен и фрагментации приграничных зон, х400 (в); растровая электронная микроскопия, фрагментация и экструзия приграничных зон стесненной деформации: х 800 (г), х 1000 (д), х 3 000 (е)
3. Волны заселения. Первая и вторая стадии ползучести
Система уравнений (1), (2) должна иметь, по крайней мере, два стационарных однородных решения Р0 = Ч0 = 0 и рн > 0, > 0. Первое из них описывает исходное состояние, возникшее после приложения внешней нагрузки. Решение рн, соответствует состоянию с однородным распределением в пространстве деформированных зерен при t ^ Это состояние должно быть устойчиво относительно малых однородных возмущений. В противном случае это состояние никогда бы не реализовалось. Физический смысл устойчивости состояния состоит в том, что случайное изменение плотности дефектов, например вследствие тепловых флук-туаций в какой-либо зоне концентрации напряжений, затухает за времена, сравнимые с характерными. Причиной затухания является появление встречных напряже-
ний со стороны материала, окружающего данную зону концентрации напряжений. В исходном состоянии вследствие неоднородного распределения амплитуд внутренних напряжений на границах и стыках зерен всегда имеются зоны концентрации напряжений, где внутренние напряжения превышают критическое напряжение сдвига для дислокаций. Что касается диффузионных процессов, то они в зонах концентрации напряжений протекают всегда. Другое дело, что при низких температурах и/или напряжениях их вклад в общую деформацию может быть мал. Но в рассматриваемом случае диффузия по границам раздела является одним из основных механизмов деформации. По этим причинам исходное состояние неустойчиво относительно малых однородных изменений параметров порядка. В конечном состоянии деформация зерен и их упрочнение приводят к повышению критического напряжения сдвига
¡11ШШ11Ш11ВК1
и выравниванию внутренних напряжений. Поэтому случайные однородные изменения плотности дислокаций быстро затухают. Случайные малые смещения зерен друг относительно друга вследствие повышения упругой энергии и малости градиентов концентрации точечных дефектов также затухают. По этим причинам состояние рк > 0, qh > 0 устойчиво относительно малых однородных изменений параметров порядка.
Если состояние р0 = q0 неустойчиво, то любая положительная флуктуация приводит к изменению исходного состояния. Переход в устойчивое состояние ph, qh происходит гомогенным образом путем формирования и распространения волны заселения [15, 16]. Ее скорость Vограничена снизу величиной и0, то есть всегда
V > V0. (3)
При этом V ^ v0 при t ^ ж При значениях t, сравнимых с , tq, скорость волны может быть сколь угодно большой. Физическое объяснение этого результата состоит в следующем. Обозначим через г1, г2 координаты точек, в которых в моменты времени ц, t2 возникли флуктуации параметров порядка. Из-за неустойчивости исходного состояния расстояние |г1 - г2| может быть любым и ограничено лишь размерами системы. Поэтому отношение этого расстояния к интервалу времени t2 - t1 может быть сколь угодно большим.
Гомогенный характер изменений внутренней структуры при распространении волны заселения означает, что скорость движения подвижного захвата равна V. Отношение ^Хравно скорости пластической деформации. Таким образом, пластическая деформация в режиме распространения волны заселения протекает в две стадии. На первой стадии скорость ползучести уменьшается, а на второй остается постоянной. Именно такая зависимость имеет место на самом деле (рис. 1).
При tp
и 1р ~ по порядку величины
V(
0
'¡р^р- При термически активируемых механизмах
массопереноса, например,
tp ~ ехР[(ир
Рис. 4. Структурные изменения в свинце на III стадии ползучести. Растровая электронная микроскопия: х 1000 (а, в), х 3 000 (б)
-Гр т)/k ВТ ], (4)
где ир — энергия активации процесса массопереноса; Жр — активационный объем; т — напряжение; kB — постоянная Больцмана [1]. Коэффициент пропорциональности зависит от типа носителя деформации. Подобным же образом зависит от температуры и напряжение tq. Тогда с учетом зависимости V0 от tp получаем, что скорость стационарной ползучести экспоненциальным образом зависит от температуры и напряжения.
4. Локализованные решения. Третья стадия ползучести
Локализованные решения появляются тогда, когда решение в точке ph, qh, устойчивое относительно малых однородных возмущений, становится неустойчи-
вым относительно неоднородных. Обсудим этот вопрос подробнее.
Условия устойчивости однородных решений относительно малых однородных возмущений 8р, 8q -~ ехр(-уО имеют вид
Р'р + О' < 0, (4)
Р'р&ч - Р'О'р > 0. (5)
Здесь штрих означает производную от функции источника по соответствующей переменной. Все производные вычисляются в точке рк, дк.
Пусть при выполнении условий (4), (5) однородное решение рк, дк становится неустойчивым относительно малых неоднородных возмущений 8р, 8q - ехр(—у? + + ;кг) (к — волновой вектор). В результате происходит расслоение однородного состояния относительно возмущений с волновым вектором к > 0 (неустойчивость Тьюринга). Условие этой неустойчивости (1т у = 0, к > > 0) имеет вид [14]:
к41 у, - ¡2рр+1роч)к2+рроч - р'Ор < 0. (6)
С учетом (5) отсюда следует, что производные О' и
Рр должны иметь разные знаки. р 2
Значения к , при которых выполняется неравенство
(6), лежат в интервале
к02 - й1/2 < к2 < к02 + D1/2. (7)
Здесь Б — дискриминант квадратного относительно к 2 уравнения (6),
ко = (¡2 Рр + ¡2рО'ч )/21р^ (8)
Из условия Б > 0 вытекает, что производная О, должна удовлетворять неравенству
оЧ >-2 рр+21(ррОЧ - р' оОр). (9)
Это неравенство при О' > 0 выполняется тем легче, чем меньше величина I = . Другими словами, локализация пластического течения может наступать только в том случае, если характерные длины связаны неравенством I << ¡р. Именно эта ситуация имеет место в поликристаллическом свинце на третьей стадии ползучести, когда образуются конгломераты зерен.
Физическая причина неустойчивости однородного состояния относительно малых неоднородных возмущений состоит в следующем. С ростом степени деформации на второй стадии ползучести возрастает и характерный размер области когерентных изменений внутренней структуры, связанной с внутризеренными сдвигами. Пусть теперь при достижении определенной степени деформации выполняются неравенства О' > 0, Рр < 0. Тогда на длинах I << ¡р параметр порядка р будет меняться слабо, а малые возмущения 8q при О' > 0 нарастают [14]. В результате на расстояниях порядка I происходит резкое возрастание переменной q. Развитие этой неустойчивости приводит к локализа-
ции деформации за конечные времена, измеряющиеся десятками и сотнями tq. Сохраняющиеся при расслоении однородного состояния изменения внутренней структуры позволяют определить то значение ¡р, при котором выполняются условия локализации.
Установим форму областей локализованной деформации. Для этого заметим, что производные в неравенстве (6) зависят от напряжения. Естественно, что условия локализации выполняются, прежде всего, в тех объемах образца, где напряжения имеют максимальные значения. Геометрическим местом таких точек является плоскость максимальных касательных напряжений. Поэтому на поверхности образца должна наблюдаться полоса локализованной деформации (мезополоса), расположенная в указанной плоскости. Именно такая картина и наблюдается экспериментально [11]. В результате того, что развитие указанной мезополосы происходит за конечное время, скорость деформации на третьей стадии будет больше, чем на второй. При этом сама ме-зополоса дает дополнительный вклад в напряжения. При увеличении длины мезополосы характерный размер области максимальных значений напряжения возрастает. Вследствие этого возрастает и скорость движения фронта мезополосы. Поэтому на третьей стадии скорость ползучести с течением времени возрастает (стадия III на рис. 1). Получить явный вид указанной зависимости в общем случае не удается.
Обсудим теперь вопрос о причинах конечной длины второй стадии. Дело в том, что критические значения напряжений, при которых активируются механизмы деформации с большим значением ¡р, существуют при всех степенях деформации. Поэтому, казалось бы, протяженность второй стадии должна быть небольшой. Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Рассмотрим для простоты одномерный случай. Волновой вектор к с точностью до постоянного множителя равен т^, где т — целое число, L — длина области, в которой параметр порядка имеет значение, соответствующее конечному состоянию. В этой области внутренняя структура характерна для деформированного образца. Наименьшее значение т = 1. При т = 1, но малом значении L условие (7) не выполняется. Соответственно не выполняются и условия локализации деформации. При увеличении L волновой вектор уменьшается, и при некотором критическом значении L = L0 >> ¡р локализация деформации станет возможной. Значению L0 соответствует критическая степень общей деформации. В начале второй стадии изменения внутренней структуры локализованы в области с размером порядка ¡р. При увеличении степени деформации образца, изменения внутренней структуры захватывают все больший объем материала, приводя к увеличению L. Только при достижении критической степени деформации наступает локализация и переход к третьей стадии.
Заметим, что при повышении температуры и/или внешнего напряжения скорость изменения внутренней структуры возрастает. Как результат, критическая степень деформации достигается за меньшее время деформирования. Это должно проявляться в уменьшении протяженности второй стадии. Этот вывод теории имеет экспериментальное подтверждение [1, 2].
5. Заключение
Рассмотрение деформируемой структурно-неоднородной среды как активной распределенной системы и выделение в ней параметров порядка позволило с единых позиций описать наблюдаемые экспериментально [11] закономерности высокотемпературной ползучести поликристаллического свинца. Качественная картина эволюции внутренней структуры, приводящая к стадийности и неоднородности ползучести, определяется характером устойчивости внутренней структуры относительно возмущений различного типа.
Первые две стадии ползучести обусловлены неустойчивостью внутренней структуры исходного поликристалла относительно малых однородных возмущений и протеканием деформации в режиме распространения волны заселения. Третья стадия связана с локализацией пластического течения. Выделены три основных фактора, определяющих протяженность второй стадии и появление третьей. Первый фактор — большое различие в длинах, на которых изменяются параметры порядка, то есть возмущения внутренней структуры, связанные с внутризеренными сдвигами, являются даль-нодействующими, а связанные с диффузией атомов — короткодействующими. Второй фактор — в подсистеме с короткодействующими возмущениями существует положительная обратная связь, приводящая к нарастанию малых неоднородных возмущений. Третий фактор — размер области с внутренней структурой, характерной для конца второй стадии, должен превышать критическое значение. Совокупность указанных факторов вызывает неустойчивость внутренней структуры относительно малых неоднородных возмущений. Развитие этой неустойчивости под действием внешней приложенной к образцу нагрузки приводит к образованию мезополосы локализованной деформации, расположенной в плоскости максимальных касательных напряжений.
Неоднородные структуры, возникающие в результате развития неустойчивости однородного состояния
относительно малых неоднородных возмущений, принято называть диссипативными структурами [14], а их эволюцию при изменении управляющих параметров — самоорганизацией. С этой точки зрения формирующаяся на третьей стадии ползучести полоса локализованной деформации представляет частный случай дис-сипативных структур.
Авторы благодарят Елсукову Т.Ф. за предоставленные рисунки и обсуждение результатов экспериментальных исследований.
Литература
1. Розенберг В.М. Ползучесть металлов. - М.: Металлургия, 1973. -276 с.
2. Фрост Г.Дж, Эшби М.Ф. Карты механизмов деформации. - Челябинск: Металлургия, 1989. - 328 с.
3. Конева H.A., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пласти-
ческой деформации // Изв. вузов. Физика. -1990. - Т. 33. - № 2. -С. 89-106.
4. Альшиц В.И., Бережкова Г.В. О природе локализации пластической
деформации в твердых телах // Сб. научных трудов "Физическая кристаллография". - М.: Наука, 1992. - С. 129-151.
5. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение материалов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.
6. Кооперативные деформационные процессы и локализация дефор-
мации / Под ред. В.В. Немошкаленко. - Киев: Наукова думка, 1989. - 320 с.
7. Иванова В.С. Синергетика. Прочность и разрушение металлических материалов. - М.: Наука, 1992. - 160 с.
8. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -
1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
9. Aifantis E.C. Spatio-temporal instabilities in deformation and fracture // Computational material modelling / Ed. by A.K. Noon, A. Needle-man. - AD, Vol. 41/PVP. - 1994. - Vol. 294. - P. 199-222.
10. Малыгин Г.А. Самоорганизация дислокаций и локализация скольжения в пластически деформируемых кристаллах (обзор) // ФТТ. -1995. - Т. 37. - Вып. 1. - С. 3-45.
11. Елсукова Т.Ф., Новоселова Е.М., Караваева В.В., Ангелова Г.В. Стадии высокотемпературной ползучести поликристаллов свинца как эволюция структурных уровней пластической деформации // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 91-99.
12. Каминский П.П., Хон Ю.А. Макроскопические стационарные структуры в кристалле с дислокационными механизмами пластической деформации // Физ. мезомех. - Т. 3. - № 2. - С. 37-46.
13. Каминский П.П., Хон Ю.А. Параметры порядка и стадийность пластического течения структурно неоднородных сред// Физ. мезо-мех. - Т. 2. - № 5. - С. 49-55.
14. Кернер Б.С., Осипов В.В. Самоорганизация в активных распределенных средах // Успехи физических наук. - 1990. - № 9. - С. 1-73.
15. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. - М.: Наука, 1987. - 240 с.
16. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272 с.
