УДК 533.951.8
К ТЕОРИИ ГЕНЕРАЦИИ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ПАДЕНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ПОЛУОГРАНИЧЕННУЮ ПЛАЗМУ
Ю.М. Алиев1, А. А. Фролов2
В настоящей работе рассмотрена генерация квазистатических магнитных полей при наклонном падении p-поляризованной электромагнитной волны на полуограниченную плазму, плотность электронов в которой превышает критическое значение. Показано, что появление магнитных полей обусловлено возбуждением нелинейного поверхностного тока на нулевой гармонике волны накачки.
Ключевые слова: квазистатические магнитные поля, р-поляризованное электромагнитное излучение, сверхкритическая плазма, поверхностный ток.
Введение. Интерес к вопросам генерации квазистатических магнитных полей в плазме возник сравнительно давно, еще в середине 60-х годов прошлого столетия, что было связано с исследованиями по проблеме лазерного управляемого термоядерного синтеза (см. обзор [1] и цитированную там литературу). В дальнейшем в связи с быстрым развитием лазерной техники и получением оптических импульсов релятивистской интенсивности исследование магнитных полей в плазме, достигающих мегагауссовых величин, приобрело самостоятельный интерес. В настоящее время экспериментально регистрируются магнитные поля с напряженностью порядка десятка мегагаусс при облучении твердотельных мишеней лазерным излучением с интенсивностью около 1017 Вт/см2 наносекундной длительности [2]. В настоящей работе предложен новый механизм генерации квазистатических магнитных полей, связанный с возбуждением поверхностного тока при наклонном падении р-поляризованной электромагнитной волны накачки на полуограниченную сверхкритическую плазму.
1 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: yumaliev@yandex.ru.
2 ОИВТ РАН, 125412 Россия, Москва, Ижорская ул., 13, стр. 2.
Рассмотрим генерацию квазистатических магнитных полей при падении волны накачки на полуограниченную полностью ионизованную плазму сверхкритической концентрации. Пусть р-поляризованная электромагнитная волна с амплитудой Е0 и частотой ^о падает из вакуума под углом а относительно нормали к поверхности плазмы, которая занимает полупространство г > 0. Тогда электрическое и магнитное поле такой волны можно представить в следующем виде
Einc = (ex cos а — ez sin a)E0 cos
—0t--(x cos а + z sin а)
c
B1
ey E0 cos
—0t--(x cos а + z sin а)
c
где c - скорость света, ex, ey, ez - базисные вектора декартовой системы координат. При описании генерации квазистатических магнитных полей будем использовать систему уравнений Максвелла для электрического E и магнитного B поля и уравнения гидродинамики для возмущения N плотности и скорости V электронов в поле электромагнитной волны
^ 1 д ^ . „ 1 д „
rot B = -—E + — j, rot E = -—B, cdt c cdt
д / i \ д e I
8tN+div e =00 mV = meE—2VV2'j =e(N- + N)V•
д
1
e
e J dt me
где e, me - заряд и масса электрона, N0e - плотность электронов плазмы, которая является скачкообразной функцией координаты z, то есть N0e = N09(z), здесь 9(z) - единичная ступенчатая функция Хэвисайда. Систему уравнений (2) будем решать по теории возмущений, представляя все величины в виде разложения по степеням амплитуды падающего поля, которое для электрического поля имеет вид E = E(1) + E(2) + .... Тогда в линейном приближении по падающему полю имеем следующую систему уравнений
rotB(1) = 1 дE(1) + —j(1), rotE(1) = 1 дB(1), cdt c cdt
д-N(1) + div (No,V(1)) = 0, IV(1) = — E(1), j(1) = eNo,V(1). dt dt m,
(3)
Решая систему уравнений (3) с граничными условиями непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного поля на границе и принимая во внимание структуру падающего поля (1), в вакууме (при г < 0) получаем следующую суперпозицию полей падающей и отраженной волны
E(1) = -E0 exp (-i—0t + i—0x sin а^ x 2c
X < ex cos а
—G —G
exp ( i—z cos а J — R exp i—z cos а
—ez sin а
/G \ . „ / G \
exp ^i—z cos а J + R exp i—z cos а J
+ c.c,
x
B(1) = ieyEg exp i—Gt + i—— x sin а^ x
+ c.c., z < O,
—G —G
exp ( i—z cos а J + R exp i—z cos а
где коэффициент отражения R имеет вид
R
e cos а
—i
sin2 а — e
e cos а
+ i\/sï
2
sin а — e
здесь е = 1 — шр/ш0 - диэлектрическая проницаемость плазмы на частоте волны накачки, шр - плазменная частота, sin2а — е > 0.
В плазме электромагнитное поле является бегущей вдоль поверхности плазмы волной с амплитудой, экспоненциально спадающей при удалении вглубь от ее границы
E(1)
EG cos а
e cos а
+ i\/sï
2
sin а — e
exp —i—Gt + i—x sin а--z у sin а — e x
cc
x
iex\/sïî B(1) = ey
EGe cos а
e cos а
+ i\/sï
2
+ c.c.,
: x
sin а — e 2
( Шо Шо /—2-\
х exp —гш01 + i—x sin а--zy sin а — е + c.c., z > 0.
V c c /
Распределение скоростей электронов плазмы в поле волны (6) имеет вид
VW = —
VE cos а
e cos а
+ i\/i
sin2 а — e
exp —i—Gt + i—x sin а--zy sin а — e x
cc
x
ex\¡sin2 а — e + iez sin а
2
— c.c., z > O,
(7)
где УЕ = еЕо/(тешо). В рассматриваемом случае р-поляризованной волны накачки на границе плазмы возникает поверхностная плотность заряда
N(1) = --
rE sin а cos а
e cos а
+ i\¡\
sin2 а — e
exp i—Gt + i—x sin а j
dN—e
—--c.c.,
dz
2
где rE = VE/—0. Согласно (8) плотность заряда существует только на границе, так как в рассматриваемом случае, когда плазма занимает полупространство z > 0, имеем
—-0e = N0S(z), где S(z) есть дельта-функция Дирака. dz
В квадратичном приближении по амплитуде волны накачки из уравнений (2) находим
rotB(2) = -дE(2) + —j(2), rotE(2) = -dB(2), cdt c cdt
dN(2) = div(No,V(2) + N(1)V(1)) = 0, dV(2) = — E(2) — -V(V(1))2, (9)
dt dt me 2
rotV(2) + — B(2) = 0, j(2) = eNo,V(2) + eN(1)V(1). mec
Из выражения для нелинейного тока второго порядка j(2) с учетом формул (7), (8) следует, что в этом приближении возникает поверхностный ток на нулевой и второй гармонике волны накачки. Так как мы интересуемся возбуждением квазистатических магнитных полей, то найдем выражение только для нелинейного поверхностного тока на нулевой гармонике
• / л7-(1)лт-(1)\ 2erEVe—2 sin а cos2 ал/sin2 а — е dNo, ,1гЛ
j0 <eN( )V( = —--(е +i)sin2а — е ~(10)
где угловые скобки (...) означают усреднение по периоду электромагнитной волны. Из формул (9) следуют уравнения, описывающие пространственное распределение магнитных полей
-d-B2) = — -(eNo,Vx(2) + jox), -d-K(2) + m^By2) = 0. (11)
dz y c dz mec y
Решения системы уравнений (11) в вакууме и в плазме имеют соответственно вид
ВУ2) = B-,z< 0,
ВУ2) = В+ ехр(—крг), г > 0, (12)
где кр = Шр/е. Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся краевым условием, которое следует из первого уравнения системы уравнений (11)
+о 4п Г
В+ - В- =--йгзо(г). (13)
-о
Соотношение (13) описывает скачок тангенциальной компоненты магнитного поля на границе плазмы из-за возникновения поверхностного тока. Тогда с учетом условия B+ = —B- и выражения (10) находим неизвестные коэффициенты B+,B-
АпвТвVeш0 sin a cos2 ал/sin2 а - е
В- = -В+ =-2--1—i in • 2-(14)
ш^с (е + 1) sin2 а — е
Формулу для величины магнитного поля в вакууме (12), (14) можно переписать в терминах циклотронной частоты следующим образом
eB- VE sin a cos2 ал/sin2 а — е
me сшо с2 (е + 1)sin2 а — е
:15)
В соответствии с (15) напряженность магнитного поля пропорциональна квадрату электрического поля волны накачки, зависит от угла падения и плотности электронов плазмы. Отметим, что возбуждение магнитных полей происходит только при углах падения электромагнитной волны на плазму, отличных от нуля и п/2 при выполнении условия sin2а > е, которое можно переписать в виде шр > ш0 cos а. Если плотность электронов значительно превосходит критическое значение (шр ^ ш0), то из формулы (15) имеем
eB- VE шо
-
mecw0 с2 шр
sin а. (16)
В этом случае напряженность магнитного поля убывает по закону 1 / л/Ñ с увеличением концентрации электронов. При взаимодействии лазерного излучения с малоплотной мишенью концентрация электронов в образующейся при ионизации вещества плазме может незначительно превышать критическую величину (шр > шо). В этом случае магнитное поле согласно (15) определяется в пределе |е| < 1 выражением
eB V
2
e „„„2
-
mecw0 с2
cos а. (17)
В заключение оценим величину магнитного поля для характерных параметров современных экспериментов. Если плотность плазмы на 2 порядка превосходит критическое значение (шр = 10ш0), то при воздействии лазерного излучения с интенсивностью = 1017 Вт/см2 и длиной волны А0 = 1.06 мкм происходит генерация магнитных полей с напряженностью около 1 МГс, как это следует из формулы (16). Для случая же малоплотной мишени напряженность генерируемых магнитных полей согласно (17) может достигать величины около 10 МГс.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ю. М. Алиев, В. Ю. Быченков, А. А. Фролов, Труды ФИАН (М., Наука, 1992), 219, с. 55.
[2] J. J. Santos, M. Bailly-Grandvaux, M. Ehret, et al., Physics of Plasmas 25(05), 056705 (2018).
Поступила в редакцию 24 декабря 2018 г.
После доработки 23 апреля 2019 г. Принята к публикации 23 апреля 2019 г.