К теории генерации квазистатических магнитных полей при падении электромагнитной волны на полуограниченную плазму Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951.8

К ТЕОРИИ ГЕНЕРАЦИИ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ПАДЕНИИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ПОЛУОГРАНИЧЕННУЮ ПЛАЗМУ

Ю.М. Алиев1, А. А. Фролов2

В настоящей работе рассмотрена генерация квазистатических магнитных полей при наклонном падении p-поляризованной электромагнитной волны на полуограниченную плазму, плотность электронов в которой превышает критическое значение. Показано, что появление магнитных полей обусловлено возбуждением нелинейного поверхностного тока на нулевой гармонике волны накачки.

Ключевые слова: квазистатические магнитные поля, р-поляризованное электромагнитное излучение, сверхкритическая плазма, поверхностный ток.

Введение. Интерес к вопросам генерации квазистатических магнитных полей в плазме возник сравнительно давно, еще в середине 60-х годов прошлого столетия, что было связано с исследованиями по проблеме лазерного управляемого термоядерного синтеза (см. обзор [1] и цитированную там литературу). В дальнейшем в связи с быстрым развитием лазерной техники и получением оптических импульсов релятивистской интенсивности исследование магнитных полей в плазме, достигающих мегагауссовых величин, приобрело самостоятельный интерес. В настоящее время экспериментально регистрируются магнитные поля с напряженностью порядка десятка мегагаусс при облучении твердотельных мишеней лазерным излучением с интенсивностью около 1017 Вт/см2 наносекундной длительности [2]. В настоящей работе предложен новый механизм генерации квазистатических магнитных полей, связанный с возбуждением поверхностного тока при наклонном падении р-поляризованной электромагнитной волны накачки на полуограниченную сверхкритическую плазму.

1 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: yumaliev@yandex.ru.

2 ОИВТ РАН, 125412 Россия, Москва, Ижорская ул., 13, стр. 2.

Рассмотрим генерацию квазистатических магнитных полей при падении волны накачки на полуограниченную полностью ионизованную плазму сверхкритической концентрации. Пусть р-поляризованная электромагнитная волна с амплитудой Е0 и частотой ^о падает из вакуума под углом а относительно нормали к поверхности плазмы, которая занимает полупространство г > 0. Тогда электрическое и магнитное поле такой волны можно представить в следующем виде

Einc = (ex cos а — ez sin a)E0 cos

—0t--(x cos а + z sin а)

c

B1

ey E0 cos

—0t--(x cos а + z sin а)

c

где c - скорость света, ex, ey, ez - базисные вектора декартовой системы координат. При описании генерации квазистатических магнитных полей будем использовать систему уравнений Максвелла для электрического E и магнитного B поля и уравнения гидродинамики для возмущения N плотности и скорости V электронов в поле электромагнитной волны

^ 1 д ^ . „ 1 д „

rot B = -—E + — j, rot E = -—B, cdt c cdt

д / i \ д e I

8tN+div e =00 mV = meE—2VV2'j =e(N- + N)V•

д

1

e

e J dt me

где e, me - заряд и масса электрона, N0e - плотность электронов плазмы, которая является скачкообразной функцией координаты z, то есть N0e = N09(z), здесь 9(z) - единичная ступенчатая функция Хэвисайда. Систему уравнений (2) будем решать по теории возмущений, представляя все величины в виде разложения по степеням амплитуды падающего поля, которое для электрического поля имеет вид E = E(1) + E(2) + .... Тогда в линейном приближении по падающему полю имеем следующую систему уравнений

rotB(1) = 1 дE(1) + —j(1), rotE(1) = 1 дB(1), cdt c cdt

д-N(1) + div (No,V(1)) = 0, IV(1) = — E(1), j(1) = eNo,V(1). dt dt m,

(3)

Решая систему уравнений (3) с граничными условиями непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного поля на границе и принимая во внимание структуру падающего поля (1), в вакууме (при г < 0) получаем следующую суперпозицию полей падающей и отраженной волны

E(1) = -E0 exp (-i—0t + i—0x sin а^ x 2c

X < ex cos а

—G —G

exp ( i—z cos а J — R exp i—z cos а

—ez sin а

/G \ . „ / G \

exp ^i—z cos а J + R exp i—z cos а J

+ c.c,

x

B(1) = ieyEg exp i—Gt + i—— x sin а^ x

+ c.c., z < O,

—G —G

exp ( i—z cos а J + R exp i—z cos а

где коэффициент отражения R имеет вид

R

e cos а

—i

sin2 а — e

e cos а

+ i\/sï

2

sin а — e

здесь е = 1 — шр/ш0 - диэлектрическая проницаемость плазмы на частоте волны накачки, шр - плазменная частота, sin2а — е > 0.

В плазме электромагнитное поле является бегущей вдоль поверхности плазмы волной с амплитудой, экспоненциально спадающей при удалении вглубь от ее границы

E(1)

EG cos а

e cos а

+ i\/sï

2

sin а — e

exp —i—Gt + i—x sin а--z у sin а — e x

cc

x

iex\/sïî B(1) = ey

EGe cos а

e cos а

+ i\/sï

2

+ c.c.,

: x

sin а — e 2

( Шо Шо /—2-\

х exp —гш01 + i—x sin а--zy sin а — е + c.c., z > 0.

V c c /

Распределение скоростей электронов плазмы в поле волны (6) имеет вид

VW = —

VE cos а

e cos а

+ i\/i

sin2 а — e

exp —i—Gt + i—x sin а--zy sin а — e x

cc

x

ex\¡sin2 а — e + iez sin а

2

— c.c., z > O,

(7)

где УЕ = еЕо/(тешо). В рассматриваемом случае р-поляризованной волны накачки на границе плазмы возникает поверхностная плотность заряда

N(1) = --

rE sin а cos а

e cos а

+ i\¡\

sin2 а — e

exp i—Gt + i—x sin а j

dN—e

—--c.c.,

dz

2

где rE = VE/—0. Согласно (8) плотность заряда существует только на границе, так как в рассматриваемом случае, когда плазма занимает полупространство z > 0, имеем

—-0e = N0S(z), где S(z) есть дельта-функция Дирака. dz

В квадратичном приближении по амплитуде волны накачки из уравнений (2) находим

rotB(2) = -дE(2) + —j(2), rotE(2) = -dB(2), cdt c cdt

dN(2) = div(No,V(2) + N(1)V(1)) = 0, dV(2) = — E(2) — -V(V(1))2, (9)

dt dt me 2

rotV(2) + — B(2) = 0, j(2) = eNo,V(2) + eN(1)V(1). mec

Из выражения для нелинейного тока второго порядка j(2) с учетом формул (7), (8) следует, что в этом приближении возникает поверхностный ток на нулевой и второй гармонике волны накачки. Так как мы интересуемся возбуждением квазистатических магнитных полей, то найдем выражение только для нелинейного поверхностного тока на нулевой гармонике

• / л7-(1)лт-(1)\ 2erEVe—2 sin а cos2 ал/sin2 а — е dNo, ,1гЛ

j0 <eN( )V( = —--(е +i)sin2а — е ~(10)

где угловые скобки (...) означают усреднение по периоду электромагнитной волны. Из формул (9) следуют уравнения, описывающие пространственное распределение магнитных полей

-d-B2) = — -(eNo,Vx(2) + jox), -d-K(2) + m^By2) = 0. (11)

dz y c dz mec y

Решения системы уравнений (11) в вакууме и в плазме имеют соответственно вид

ВУ2) = B-,z< 0,

ВУ2) = В+ ехр(—крг), г > 0, (12)

где кр = Шр/е. Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся краевым условием, которое следует из первого уравнения системы уравнений (11)

+о 4п Г

В+ - В- =--йгзо(г). (13)

-о

Соотношение (13) описывает скачок тангенциальной компоненты магнитного поля на границе плазмы из-за возникновения поверхностного тока. Тогда с учетом условия B+ = —B- и выражения (10) находим неизвестные коэффициенты B+,B-

АпвТвVeш0 sin a cos2 ал/sin2 а - е

В- = -В+ =-2--1—i in • 2-(14)

ш^с (е + 1) sin2 а — е

Формулу для величины магнитного поля в вакууме (12), (14) можно переписать в терминах циклотронной частоты следующим образом

eB- VE sin a cos2 ал/sin2 а — е

me сшо с2 (е + 1)sin2 а — е

:15)

В соответствии с (15) напряженность магнитного поля пропорциональна квадрату электрического поля волны накачки, зависит от угла падения и плотности электронов плазмы. Отметим, что возбуждение магнитных полей происходит только при углах падения электромагнитной волны на плазму, отличных от нуля и п/2 при выполнении условия sin2а > е, которое можно переписать в виде шр > ш0 cos а. Если плотность электронов значительно превосходит критическое значение (шр ^ ш0), то из формулы (15) имеем

eB- VE шо

-

mecw0 с2 шр

sin а. (16)

В этом случае напряженность магнитного поля убывает по закону 1 / л/Ñ с увеличением концентрации электронов. При взаимодействии лазерного излучения с малоплотной мишенью концентрация электронов в образующейся при ионизации вещества плазме может незначительно превышать критическую величину (шр > шо). В этом случае магнитное поле согласно (15) определяется в пределе |е| < 1 выражением

eB V

2

e „„„2

-

mecw0 с2

cos а. (17)

В заключение оценим величину магнитного поля для характерных параметров современных экспериментов. Если плотность плазмы на 2 порядка превосходит критическое значение (шр = 10ш0), то при воздействии лазерного излучения с интенсивностью = 1017 Вт/см2 и длиной волны А0 = 1.06 мкм происходит генерация магнитных полей с напряженностью около 1 МГс, как это следует из формулы (16). Для случая же малоплотной мишени напряженность генерируемых магнитных полей согласно (17) может достигать величины около 10 МГс.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ю. М. Алиев, В. Ю. Быченков, А. А. Фролов, Труды ФИАН (М., Наука, 1992), 219, с. 55.

[2] J. J. Santos, M. Bailly-Grandvaux, M. Ehret, et al., Physics of Plasmas 25(05), 056705 (2018).

Поступила в редакцию 24 декабря 2018 г.

После доработки 23 апреля 2019 г. Принята к публикации 23 апреля 2019 г.