К теории фазовых превращений в композиционных материалах с нестабильными компонентами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4 А. Л. Сараев

К ТЕОРИИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ С НЕСТАБИЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ

Представлены математические модели фазовых превращений в нестабильных компонентах композиционных материалов. Статистическое осреднение нелинейных систем уравнений равновесия микронеод-нородных сред с нестабильными компонентами позволило установить макроскопические определяющие уравнения их деформирования и вычислить соответствующие эффективные характеристики.

1. Пусть двухкомпонентный композиционный материал занимает объём V, ограниченный поверхностью 5. Первый компонент VI образует связующую матрицу, второй компонент V2 — представляет собой отдельные сферические включения. Фазовый переход первого рода происходит в объёме включений V2. Объём зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри включений обозначим Vp, объем старой фазы — Vq, ^р + Vq = V?). При фазовом превращении * Vq) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации а(](г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала. Эти деформации являются ограниченными предельными сдвигами двойниковых доменов 0 ^ а = ^ атах, где атах — известный максимальный уро-

вень структурных деформаций. Закон Гука такой среды имеет вид [1]:

=2^г£1- + Хгекк (г е VI),

0(] =2^1] + д(]Л2£кк (г е Vq), (1)

01] = 2Н'Р [£1 ] - а1 ]’) + 81 ]Лр£кк (г е Ур)•

Здесь 01], £(] — тензоры напряжений и полных деформаций; , Л$ (* = 1, 2, 3) — параметры Ламе компонентов.

В качестве условий прямого и обратного фазовых принимаются поверхности нагружения:

з1]з1] = к+ (а) ^р * ^

з1]з1] = к- (а) (~^й * Ур)•

(2)

где к+,- = к+°- + а+((к^ - к+°-) + (п0- - пг^’_) • а) ^1 - ехр |^ • а|| • Здесь к+,-, п+,- — параметры

упрочнения, характеризующие скорость перемещения поверхностей (2) в шестимерном пространстве напряжений. Эти параметры зависят от температуры и их значения определяют тип поведения нестабильной среды (сверхупругость, эффект «памяти формы» или обычное пластическое течение), при этом параметрам к+, п+ соответствует прямой фазовый переход, параметрам к-, п- — обратный.

Геометрические особенности такой фазовой структуры описываются набором случайных изотропных индикаторных функций координат к*(г) (в = 1, р, й), каждая из которых равна единице в точках объёма Vs и равна нулю вне этого объёма.

С помощью этих функций локальный закон Гука для среды записывается в виде:

- (г) = 2 ((1 + {^2 - И-1) Кй (г) + [лр - Ц2) кр (г)) в1 - (г) - 2^рКр (г) а(] (г),

Окк (г) = 3 (К1 + (К2 - К1) Кй (г) + (Кр - К2) Кр (г)) Екк (г) • (3)

Здесь в^] = Окк - 381] • 01], в1] = £1] - 101]Екк, К* = 2+ Л*, структурные деформации удовлетворяют условию несжимаемости акк(г) = 0.

Индикаторные функции, напряжения, полные и структурные деформации предполагаются статистически однородными и эргодическими полями, поэтому их математические ожидания совпадают со средними значениями по полному объёму V и объёмам фаз V* [2]:

{/) = ^ /(г')йг, {/)$ = (г)йг (* = 1,2, p, й) ,

V

где угловыми скобками обозначена операция осреднения.

(4)

Для установления макроскопических определяющих уравнений материала и вычисления его эффективных характеристик необходимо усреднить по полному объёму V локальный закон Гука (3):

(хI= 2л\{ ец) + 2 (л2 - М1) Сй(е(])Й + 2 (м-рз - Мг) Ср(е1] )р - 2МрСр( а(])р,

{акк) = ЗК1 {екк) + 3(Кг - К1) ей {екк)й + 3 (Кр - К2) Ср {екк)р.

Соотношения (4) показывают, что для установления связи между макронапряжениями и макродеформациями необходимо выразить величины через . Это достигается статисти-

ческим осреднением системы уравнений, состоящей из уравнений (3), уравнений равновесия 01],](г) =0 и формул Коши 2£(](г) = щ,](г)+иц(г), связывающих компоненты тензора деформаций с компонентами вектора перемещений иг-(г). Граничными условиями такой системы являются условия отсутствия флуктуаций величин на поверхности 5 объема V.

С помощью тензора Грина Сг-к(г) эта система уравнений сводится к системе интегральных уравнений [1]

£(г )=^ Сгк,1] (г - г 1) т'к1 (г 1) й г 1. (5)

V

Здесь штрихами обозначены флуктуации величин в объёме V.

Умножая уравнения (5) на к'$ (г), усредняя их затем по объем у V, принимая во внимание изотропность структуры композита и используя правило механического смешивания (/^ = {/)+ + с-1 ( к'/!), находим [1]

{еч)р,ц = “Д1 (ЬМ (еч> + йМ (ач )р), <£кк)р,Й = Й <£кк). (6)

ап = (1 + а1 {шр - Ш2){1 - Ср)) 1, аЙ = (1 + а1(т2 - 1) (1 - с^) \

Здесь

д-1

*р = ^1 + а1 утр - И12)\1 - Ср)

мр = (1 + п [йр - Я2) I1 - Ср))-, Мй = (1 + п (Й2 - ^ (1 - сй)) _1,

Ьр = 1 + а1 Сй (Ш2 - 1) аЙ, ЬЙ = 1 + а1Ср (Шр - ш^ ар,

Пр = 1 + Г1Сй [й2 - 1 Мй, Пй = 1 + Т1Ср {йр - й2) Мр,

йр = а1ш3 (1 - Ср) - а\срСйШр (ш2 - 1) ай, йй = -а^_ШрСр + а\ср (1 - Ср) Шр Шр - ш2) ар,

2 4 - 5v1 11 + v1 13К1 - 2и1 и,$ Кх Vs

а1 = —~-------, Т1 = -~------, VI = - —, ш$ = —, йх = ^~, Сх = —.

15 1 -VI 3 1 -VI 2 ЗК1+2М1 М1 К1 V

Подстановка формул (6) в соотношения (4) даёт макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды

> = 2и* {еь]> - 2иа {а1]>р, <окк) = 3К* <£кк). (7)

Здесь

' (Ш2 - 1) СйайЬй + Шр - Ш2) СрарЬр\ ( (й2 -1 СйМйПй + {йр - Й2) СрМрПр

1 +

, К* = К1

1 +

а

и = М1

Сршр

д

(ш2 - ^ Сйаййй + {.Шр - ш2) Срарйр

где звёздочкой обозначены эффективные модули упругости микронеоднородной среды [1].

Для определения макроскопических условий прямого и обратного фазовых превращений в рассматриваемой среде и закона ее деформирования необходимо усреднить соотношения (2) по объему новой фазы Vp. Ограничимся здесь и далее верхней оценкой

{х*7>р {зч>р = {к+,- (а^>р ■ (8)

Постановка в условие (8) локального закона Гука (3) и применение правила механического смешивания дают макроскопические поверхности нагружения

[{5г] > - 2п+,- {аг] >р) ({5^ > - 2п+,-{аг] >р) = к*2- >р) (9)

и ассоциированные с ними законы деформирования:

(сс, Л

= К-vij + 2п+- {а{])р, vij = (10)

1 \/(а к1 )(а к1)

Здесь к+__ = к+,- {(а)р) цЩа^Ър — эффективный начальный предел фазового перехода, п+__ = кк+Цр х

х ^1 - арЬрЛЛ+г~'} - эффективный коэффициент упрочнения, характеризующий скорость перемещения поверхности (9) в шестимерном пространстве макронапряжений. Уравнения (10) описывают нелинейное деформирование среды при фазовом превращении.

Структурные средние деформации {а,])рнеобходимо выразить через объёмное содержание новой фазы Ср и величину атах.

В процессе фазового перехода можно выделить два этапа. На первом этапе происходит интенсивное образование зон новой фазы (зародышей), которое сопровождается быстрым ростом концентрации зародышей при относительно небольшом уровне структурных деформаций. На втором этапе — насыщении — образование новой фазы происходит в основном за счёт объёмного роста самих зародышей, внутри которых структурные деформации развиваются до своих максимальных значений. Такое деление процесса фазового превращения является достаточно условным и оба процесса на практике наблюдаются параллельно с преобладанием одного из них в разных стадиях развития уровней структурных деформаций [3]. С достаточной степенью точности этот процесс может быть описан кинетическим уравнением

й а а

= к(1 -а)Лср (0 ^ Л ^ 1). (11)

аСр

Параметр роста Л уравнения (11) служит показателем разделения этапов фазового перехо-

да. Решение уравнения (11) с учётом граничных условий Ср мость роста концентрации новой фазы от уровня структурных деформаций

= 0, ср

а=0 р

= С2 даёт зависи-

а=ашзх

С2 V \а В итоге соотношения (10) сводятся к

Г

{э,] ) = к+_+2п

- = \1 А — _ ^ Л (12)

V

1 -11 - 2

С2

1 \

1-Л

\

VI]. (13)

)

2. Пусть теперь фазовый переход первого рода происходит в объёме матрицы У\ композиционного материала со сферическими включениями. Объём зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри включений (как и в предыдущем случае) об означим через Ур, объём старой фазы — Уу (Ур + Уу = У\). При фазовом превращении (Ур ^ Уц) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации ai] (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала:

а,] = 2Ц1 е,] + Si]ЛХЕкк' (г е Уа), а,] = 2Ц2е,] + 8i]Л2£кк' (г е У2)' (14)

а,] = 2цр (е„ - а] + е,]Л„екк' (г е Ур). (14)

В качестве условий фазовых переходов второго компонента в первый и обратно принимаются поверхности нагружения (2).

С помощью соответствующих индикаторных функций локальный закон Гука для среды записывается в виде

б,] (г) = 2 [ц\ + Щ - Ц\) К2 (г) + (Цр - Их) кр (г)) е,с (г) - 2црКр (г) а,] (г)'

акк (г) = 3 (К1 + (К2 - К1) К2 (г) + (Кр - К1) Кр (г)) екк (г). ( )

Для установления макроскопических определяющих уравнений материала и вычисления его эффективных характеристик необходимо усреднить по полному объёму У локальный закон Гука (15):

{б,])=2щ{ е]+2ц - щ) с2{ е] 2+2 (и р- т) САе,^р- 2 црср (а]р'

(акк) = 3К1 (екк) + 3(К2 - К1 С2 (екк')2 + 3 (Кр - КХ) Ср (екк)р .

Процедура вычисления величин {£ij)s, аналогичная описанной в п. 1, даёт

ap 2 ( ^

(еч)р,2 = -Д [ьрА єч)+^А ач)р), (£kk)

>р,2 :

Шр, 2Пр, 2

Д

<£kk) ■

(17)

Здесь

ар = (1 + аг [шр -1)(1 - Ср)) \ а2 = (1 + аі(ш2 - 1) (1 - С2))

-1

О),

' = (1 + Т1 {Ур - 1) I1 - Ср)) ’ О2 = (1 + Т1 [й2 - 1) (1 - С2)) ’

Ьр = 1 + агс2(т2 -1) а2, Ь2 = 1 + агСр{шр -1) ар, Пр = 1 + Пс2 [й2 -1 &2, П2 = 1 + 71 ср($р - 1) йр = а^_тр (1 - Ср) - ^2_СрС2тр (т2 -1) а2, й2 = -а\трСр + Ср (1 - Ср) тр (тр -1) ар.

Подстановка формул (17) в соотношения (16) даёт макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды вида (7) со следующими эффективными модулями микро-неоднородной среды:

Н = Н1

1+

(Ш2 - 1) С2а2Ь2 + [шр - 1 СрарЬр

Д

На = Н1

, К* = К1

^ + [й2 -1С2Ш2 П2 + Шр - 1 Ср Шр Пр '

Сршр

(Ш2 -1) С2a2d2 + (Шр -1 Сpapdp

Д

Макроскопические поверхности выводятся как в п. 1 и имеют также вид (9), а ассоциированный с ними закон деформирования — (10). Коэффициенты к+_ и п+ имеют тот же вид, что и в п. 1.

С помощью уравнений, аналогичных уравнениям (11), (12), можно получить

(5ч) =

( (

К +2п

V

1-11-1 Ср >2' “

V

С1

ат

(18)

3. Пусть компоненты композиционного материала У\ и У2 образуют стохастическую матричную смесь. Фазовый переход первого рода происходит в объёме первого компонента У\. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри У\ обозначим Ур, объём вытесняемой старой фазы — Уц{Ур + Уц = У\). При фазовом превращении (Ур ^ Уц) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации aij (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала. Закон Гука такой среды имеет вид (15), а в качестве условий фазовых переходов второго компонента в первый и обратно принимаются поверхности нагружения (2).

Локальный закон Гука для среды записывается в виде

(г) =2^(н}+ [н]2к’2 (г) + [Нрк’р (г)) Єії (г) -2нрКр (г) аії (г),

akk (г) = 3 (<К) + [К]2 К2 (г) + Крк'р (г)) Єkk (г).

(19)

Усреднённый закон Гука (19) имеет вид

^ії) = 2{н){єії) - ( Пї), <оkk) = 3 <К) <Єkk) - <тkk).

(20)

Здесь Tij = 2црКрaij - 2 [ц]2 к'2£ij - 2 [Цр Кр£ij - Sij Ш2 к'2£кк - Sij [Л]р Кр£кк.

Применяя к соотношению (20) процедуру вычисления величин {£ij)s, находим [2]

(Єіі)р,2 =

Ьр,2І Єії) + dp’2{ аії)р

Д

<£kk ) р,2 = д <£kk )

(21)

Здесь

Ьр = 1 + а [т]рар (1 - Ср) + а [т]2 С2ар + а2 [т]?, ара2С2 (1 - С2), Ь2 = 1 + а [т]2 а2 (1 - С2) - а [т] р Сра2 - а2 [т]р ара2Ср (1 - Ср),

Пр = 1 + у [й]р&р (1 - Ср) + у к]2 С2&р + у2 [ц]2&р&2С2(1 - С2),

П2 = 1 + Г к] 2 &2(1 - С 2) - г [й]рСр &2 - Г2 к] р &р&2Ср (1 - Ср) , йр = атр (1 - Ср) ар - а2 (1 - Ср) С2тр [т]2 ара2, й2 = -атр (1 - Ср) а2 - а2 (1 - Ср) Сртр [т]рара2,

ар = (1 + а [т]2 С2 + а [т]р (1 - 2Ср)) *, а2 = {1 + а [т]рСр + а [т}2(1 - 2с2)) 1

&р = (1 + Г кЬ С2 + Г к]р ^ - 2ср)) , &2 = [1 + Г ЫрСр + 7 [й]2(1 - 2С2)) ,

2 4 - 5v 11+ V 13 (К) - 2 (ц) 2

а =---------, у =------, V =-——, Д = 1 + а [т]р [т]2 ара2СрС2.

15 1 -V ' 31 -V 23(К) + 2(ц) р р 2 р 2

Аналогично пп. 1-2 получаем макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеод-нородной среды в виде (7) со следующими эффективными модулями микронеоднородности:

Ьр ^ а ( )( [т]2 С2й2 + [т ]рСрйр

И* = (И) I1 + [т]2 С2[ Д - ^ + [тр] Ср[Д - , Ца = (Ц) [сртр -

Д -} 1--1р\Сру Д 1JJ, И =\ц/ уСртр Д

К + = Ш I1 + [ц ]2 С2 (П- - ^ + [цр ] Ср | П. - 1Ц .

Для определения макроскопических условий прямого и обратного фазовых превращений в рассматриваемой среде и закона её деформирования необходимо усреднить соотношения (2) по объёму новой фазы Ур: ( ) ( ) ( )

МрМр = <к+,- (а))р■ (22)

Постановка в условие (22) локального закона Гука (19) и применение правила механического смешивания, дают макроскопические поверхности нагружения

хц-*- »+,- \а^)р} ^—- 2п+,л ач)р} = к+2-\а

(<— - 2п+,- (ач)р) ((— - 2п+,-{ ач)р) = к+,-1 (ач)р) (23)

и ассоциированный с ними закон деформирования

-) = к+^- + 2п+,-{ ах -)р. (24)

:+у-((а)р) ИЬ—эффективный начальный предел фазового перехода, п+_ = к1-цр х

х ^1 - ар Ьрцц+дрц | — эффективный коэффициент упрочнения, характеризующий скорость перемещения поверхности (23) в шестимерном пространстве макронапряжений.

Структурные средние деформации {а1^ выражаются через объёмное содержание новой

фазы Ср и величину атах формулой ^

Соотношение (24) принимает вид

=

2

к+- + 2п+- 1 - (1 -(^ Л1Х С1

ат

Vij ■

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Ильина, Е.А. К теории сверхупругого поведения композиционных материалов с нестабильными компонентами [Текст]: Е.А. Ильина, А. Г. Михеев, Л. А. Сараев // Вестн. Сам. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки.— 2004. —№ 26.—С. 108-114.— геБЫ 5-7964-0515-2.

2. Сараев, Л. А. Моделирование макроскопических пластических свойств многокомпонентных композиционных материалов [Текст] / Л. А. Сараев. — Самара: СамГУ, 2000. — 182 с.

3. Физическое металловедение (в 3-х томах) [Текст] / Под ред. Р. Кана. — М.: Мир. — Т. 2. — 1968. — 490 с.

Самарский государственный университет, г. Самара Поступила 21.11.2006