К теории сверхупругого поведения композиционных материалов с нестабильными компонентами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4

Е.А. Ильина, А.Г. Михеев, Л.А. Сараев

К ТЕОРИИ СВЕРХУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С НЕСТАБИЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ

Представлены математические модели фазовых превращений в композиционных материалах со случайной структурой, согласно которым новая фаза с новыми механическими свойствами образуется и вырастает из составляющих компонентов композита под воздействием внешних нагрузок, при этом в новой фазе возникают и развиваются ограниченные структурные остаточные деформации. Статистическое осреднение стохастической системы уравнений равновесия позволило установить макроскопические определяющие уравнения нестабильных сред и вычислить их эффективные характеристики.

1. Пусть двухкомпонентный композиционный материал, занимает объем V, ограниченный поверхностью 5. Первый компонент V1 образует связующую матрицу, второй компонент V2 -представляет собой отдельные включения сферической формы. Фазовый переход первого рода происходит в объеме включений У2. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри включений обозначим Vp, объем старой фазы - Vq (Vр + Vq ). При фазовом

превращении (Ур ®V2) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации а^ (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала. Эти деформации являются ограниченными предельными сдвигами двойниковых доменов: 0а^ а^ <ашах , где amax -

известный максимальный уровень структурных деформаций. Закон Гука такой среды имеет вид:

Ламе компонентов.

В качестве условий фазовых переходов второго компонента в первый и обратно принимаются поверхности нагружения:

Здесь к+ _ - пределы прямого и обратного фазовых переходов, соответственно; п+ _ -

коэффициенты линейного упрочнения, характеризующие скорость перемещения поверхностей (2) в шестимерном пространстве напряжений. Экспериментальные наблюдения показывают, что эти пределы зависят от температуры и их значения определяют тип поведения нестабильной среды (сверхупругость, эффект «памяти формы» или обычное пластическое течение).

Геометрические особенности такой фазовой структуры описываются набором случайных изотропных индикаторных функций координат к5 (г) (я = 1, р, q), каждая из которых равна единице в точках объема Vs и равна нулю вне этого объема.

С помощью этих функций локальный закон Г ука для среды записывается в виде

Индикаторные функции, напряжения, полные и структурные деформации предполагаются статистически однородными и эргодическими полями, поэтому их математические ожидания совпадают со средними значениями по полному объему V и объемам фаз Vs [1]:

(2)

(/)=VІ/(г№> (Д = тТ І/(г)г (*=1>2’p>q)>

т V т* V

где угловыми скобками обозначена операция осреднения.

Для установления макроскопических определяющих уравнений материала и вычисления его эффективных характеристик необходимо усреднить по полному объему V локальный закон Гука (3):

(я у) = 2 ^1 (Єу) + 2 (^2 - А )сд (Єу)д + 2 (^3 - т2 )ср (Єу)р _ 2 т Ср (ау /

=3вр\+3 (К2 - К С (вРРХ, + 3 (К3 - К2)ср (в

(4)

Соотношения (4) показывают, что для установления связи между макронапряжениями и макродеформациями необходимо выразить величины ^ е^ через (е^. Это достигается

статистическим осреднением системы уравнений, состоящей из уравнений (3), уравнений равновесия о^ ^ (г) = 0 и формул Коши 2е^ (г) = ui ■ (г) + и^ (г). Граничными условиями такой

системы являются условия отсутствия флуктуаций величин на поверхности 5 объема V .

С помощью тензора Грина Сй (г) эта система уравнений сводится к системе интегральных уравнений [2]

(5)

Здесь штрихами обозначены флуктуации величин в объеме V .

Умножая уравнения (5) на к, (г), усредняя их затем по объему V, принимая во внимание

изотропность структуры композита и используя известное соотношение (/)2 = /) + с2 ^к'/, , находим [2]:

еї)„а = -^\ьр.*Ы+dpq а

(6)

Здесь

(1 + а1 ( -т2)-СР)) .ад =(1 + а1 ( -1)(^-сд)) ;

(1 + ( ( - q2 ) - СР )) ) ) =(1 + ( (q2 -1)(^- сд)) )

ЬР = 1 + «1Сд ( - 1)ад > Ьд = 1 + «1СР (3 - т2 )ар Яр = 1 + І1Сд («2 - 1)(°д Яд = 1 + 7Ср (3 - q2 )®р ;

dp = а1т3 (1 - СР ) - а^СрС9ть ( - 1)С1д> ^ = -а1т3Ср + ®1Ср (1 - СР ) т3 (т3 - т2 )ар ;

®р =1

2 4 - 5п1 15 1 -у1

71 =

11+п 1

3 1 - у1

13 К1 - 2 и1 и*

1 т* = —

2 3 К1 + 2 т

и

д* =

К*

К1

К

V

Подстановка формул (6) в соотношения (4) дает макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды:

*„)=2и (е, )-2иа(а

°рр =3К Врр

(7)

Здесь

и = и

1 + -

(т2 - 0Сд аЧ Ьд +(т3 -т2 )Ср ар Ьр

д

и = и-1

К = К1

1 +

(«2 - 0Сд ®д Яд + (т3 - т2 )ср ®р Яр

д

срт3 --

(т2 - 1) Сд^д +(т3 - т2 ) Сpapdp

звездочкой обозначены эффективные модули упругости микронеоднородной среды [2].

Для определения макроскопических условий прямого и обратного фазовых превращений в рассматриваемой среде и закона ее деформирования необходимо усреднить соотношения (2) по объему новой фазы Vp :

*у - 2п+,-%/р\*у - 2П+-аУр

(8)

Подстановка в условие (8) локального закона Гука (3) и применение правила механического смешивания дают макроскопические поверхности нагружения

а

в

в

рр

рр

р

р>д

V

*У.) - 2 п+

а,

■I

а

1= к+

и ассоциированные с ней законы деформирования -

* у)=к+

* л *

пу + 2 п+,-

а

У/ 2

Пу =

а

а

а

(9)

(10)

Здесь к, = к.

и * д

03 ар Ьр

- эффективный начальный предел фазового перехода;

к,

+ ^3

1-ар р

Ьр иа + dp и*Л

и д

- эффективный коэффициент упрочнения,

/у

характеризующий скорость перемещения поверхности (9) в шестимерном пространстве макронапряжений. Уравнения (10) описывают нелинейное деформирование среды при фазовом

превращении. Структурные средние деформации (а. необходимо выразить через объемное

содержание новой фазы ср и величину атах.

Процесс фазового перехода можно разбить на два этапа. На первом этапе происходит интенсивное образование зон новой фазы (зародышей). Этот процесс сопровождается быстрым ростом концентрации зародышей при относительно небольшом уровне структурных деформаций. На втором этапе образование новой фазы происходит, в основном, за счет объемного роста самих зародышей, внутри которых структурные деформации развиваются до своих максимальных значений. Деление процесса фазового превращения на два этапа достаточно условно, так как на практике оба процесса наблюдаются параллельно с преобладанием одного из них в разных стадиях развития уровней структурных деформаций [3]. С достаточной степенью точности этот процесс может быть описан эволюционным уравнением

d а dcp

=Н а

1-я

(0 < Я £1).

(11)

Параметр роста 1 уравнения (11) служит показателем разделения этапов фазового перехода. Решение уравнения (11) с учетом граничных условий

ср\ = 0

р\а=0

С

р

=С

зависимость роста концентрации новой фазы от уровня структурных деформаций:

? \Я

Ср

С2

а

а т

Соотношение (10) принимает вид

V=

к+ - + 2 п+ -

С2

2

ат

у ■

дает

(12)

(13)

\ /

2. Пусть теперь фазовый переход первого рода происходит в объеме матрицы V

композиционного материала со сферическими включениями. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри включений обозначим Vp, объем старой фазы -

Vq V + Vq =У1 ). При фазовом превращении {Ур ) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации а. (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры

материала:

° V = 2 и в у + Я у Я1 в рр (гє ); О у = 2 и2 в у + Я у Я2 В рр (^ V )

°у=2 тр (еу ~ау)+8. \ ерр N ур). (14)

В качестве условий фазовых переходов второго компонента в первый и обратно принимаются поверхности нагружения

(5у. -2п+ )^у. -2п+ ) = к+2 ^р ® V); (5у. -2п_ )(* у. -2П-) = к_2 V ® V). (15)

р

к

*

+ .-

п, ,- =

п

,

'и

С

р

С помощью соответствующих индикаторных функций локальный закон Гука для среды записывается в виде

*у (г)=2(и +(и2 -и)к2(гМир -и)кр(г))еу(г)-2ир кр(г)ау(гХ

О рр (г)=3 (К +(К2 - К1 )к 2 (г )+(Кр - К )кр (г))врр (г). (16)

Для установления макроскопических определяющих уравнений материала и вычисления его эффективных характеристик необходимо усреднить по полному объему V локальный закон Гука (16):

=2 иА у+2 (и 2- и )с2 (еу), +2 (и р- и )ср(еу)р -2 и рс

у г ^\^2- Н*1)-2\-у 12' ^\Нр-«г р^у/^^р'р \ау/р +3(К2 - К )С2 (в*) 2 + 3 (Кр - К )ср (в*) р.

(17)

Процедура вычисления величин ( в у) , аналогичная описанной выше, дает

е„.) = ^ (Ьр2 (еу) + ^ (ау)р 1, (вк^р,2 = Ю р,ДЯ р ,2 (В кк) .

р,2

'у/р,2 д

(18)

Здесь

ар =1

= (1 + а(р -1)(1 -Ср)) \а2 =(1 + «1 (т2 -1)(1 -с2))-1;

:(1 + 71 (р - 1)(1 - ср )) \ ®2 =(1 + 71 («2 - 1)(1 - С2 )) 1 ;

Ьр = 1 + а1С2 (т2 - 1) а2 , Ь2 = 1 + «1Ср (р - 1) ар Яр = 1 + 71С2 («2 - 1) ®2,Я2 = 1 + 7Ср (р - 1) ®р ; dp = а1тр (1 - Ср ) - а12СрС2тр (т2 - 1) а2, d2 = -а1трСр + а12Ср (1 - Ср )тр (р - 1) ар .

®р =1

Подстановка формул (18) в соотношения (17) дает макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды:

8у)=2и (е у)-2иа(ау)р , Ы =3К (в*).

(19)

Здесь

и = и

1 , ( - 1)С2а2Ь2 +(тр - 1)СрарЬ, + д

и = и

сртр-

К = К1

(т2 - 1)с2а2d2 +(тр - 1)ра^

1 + (д2 - 1)с2^2Я2 +(тр -1)ср®рЯр + д

Для определения макроскопических условий прямого и обратного фазовых превращений в рассматриваемой среде и закона ее деформирования необходимо усреднить соотношения (15) по объему новой фазы Vp :

(*у -2п+,- ау)р (*у -2п+,- ау)р = к+, - . (20)

Подстановка в условие (20) локального закона Гука (16) и применение правила механического смешивания, дают макроскопические поверхности нагружения

* у - 2 п+ - а , к * у - 2 п+ - а, = к

и ассоциированный с ней закон деформирования -

/ у=к + - V у + 2 п+ - (а,.

(21)

(22)

Здесь к + - = к+

и * д

и рарЬр

- эффективный начальный предел фазового перехода,

к+

п+,-+и р

1-а

\ V

ьр иа+dp и*

и* д

- эффективный коэффициент упрочнения,

у У

характеризующий скорость перемещения поверхности (21) в шестимерном пространстве макронапряжений.

*2

к

*

+ ,-

С помощью уравнений, аналогичных уравнениям (11), (12), соотношение (22) принимает

вид

*у > =

к+ - + 2 п+ .

а т

(23)

3. Пусть компоненты композиционного материала У1 и V2 образуют стохастическую матричную смесь. Фазовый переход первого рода происходит в объеме первого компонента У1. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри У1 обозначим Vp, объем вытесняемой старой фазы - Vq ^р + Vq = УХ ). При фазовом превращении (ур ®V1) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации а. (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной

структуры материала. Закон Гука такой среды имеет вид (14), а условия фазовых переходов второго компонента в первый и обратно описываются поверхностями нагружения (15). Локальный закон Г ука для среды записывается в виде

*у (г )= 2 ( и) +и ]2 к2(г № ]р к 'р (г ))е у (г )-2 и р к'р (г )ау (г ),

: (г) = 3 КК) + [К]2 к2(г)+ Кр к'р (г))Вкк (г).

О кк г

(24)

Для установления макроскопических определяющих уравнений материала и вычисления его эффективных характеристик необходимо усреднить по полному объему V локальный закон Гука (24):

*у)=2 и (еу -

Ткк/ = 3\ К/ \В кк/ \Т кк /

Здесь Ту = 2ир кр ау -2 Ы]2 к2 ву -2 Ы]р < Ву -8у [Я]2 к2 Вкк -Яу [Я]р к'р вкк .

2 2 у

р р'-'у у" Пп-2С'кк иу1'Чр "-рС-кк

Применяя к соотношению (25) процедуру вычисления величин ( ву) , находим [2]

(25)

у р,2

Ьр, 2 (е у) + d р, 2 (ау

д

-кк/ р 2 '

1р,2

д

-'кк /

Здесь

(26)

Ьр = 1 + а [т]рар (1 - Ср )+ а [т]2 С2ар + а2 [т] ара2С2 (1 - С2 ) ;

Ь2 = 1 + а [т]2 а2 (1 - С2 ) - а [т]р Сра2 - а2 Ир ара2Ср (1 - Ср ) ;

Яр =1 + 7[д]р ^р (1 - ср) + 7[др с2®р + 72 [д] ®р,щс2 (1 - с2) ;

Я =1+7[д]2 ®2 (1 - С2)- 7[д]р ср®2- 72 [д]р ®р®2ср (1 - ср) ;

dp = атр (1 - ср )ар - а2 (1 - ср ) С2тр [т]2 ара2 , d2 = -атр (1 - Ср ) а2 - а2 (1 - Ср ) Сртр [т]р ара2 ';

д =1 + а 2 [т] р [ т]2 ара2СрС2; ар =(1 + а [т]2 с2а [т]р (1 - 2ср )) , а2 =(1 + а [т]рср + а [т](1 - 2с2 )) ;

®р = (1 + 7[д]2С2 + 7[д]р(1 -2ср)) ) ®2 = (1 + 7[д]рср + 7[дІ,!1 -2с2)) )

2 4 - 5п

а=-

11 + V 13 К - 2 и

7=---------V =--------- — ----- —-

3 1 -п’ 2 3( К + 2< и)

15 1 -V

Подстановка формул (26) в соотношения (25) дает макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды:

С

і

V

е

у=2и' (еу) - 2 иаау)г, =ък • {е„). (27)

Здесь и * =(и)

1 + [т]2

( Ь2-1Л д

V У

+ [тр ]ср

(Ь. - 1ЛЛ

д

V У У

иа = и

сртр -

[т]2 С2 d2 +[т]р Ср dp д

К * = К

1+[д]2

Л

+[др ]ср

Я лл 1р -1

д

V /У

Для определения макроскопических условий прямого и обратного фазовых превращений в рассматриваемой среде и закона ее деформирования необходимо усреднить соотношения (15) по объему новой фазы Vp :

' ' ' ' (28)

* у - 2п+,-а у / Д * у - 2п+,-а у ) р = к+,- .

Подстановка в условие (28) локального закона Гука (24) и применение правила механического смешивания, дают макроскопические поверхности нагружения

( *у) - 2 п*,-(ау]р )((*у) - 2 <-( ау)р )= к+2- (29)

и ассоциированный с ней закон деформирования -

*у)=к+,-пу + 2п+,- (ау

(30)

Здесь к+ - = к+

и д

и рЬ.

- эффективный начальный предел фазового перехода,

к+

р р /

п+,- + и р

Ьр иа + dp и и д

- эффективный коэффициент упрочнения,

/у

характеризующий скорость перемещения поверхности (29) в шестимерном пространстве макронапряжений.

Структурные средние деформации (ау^ выражаются через объемное содержание новой

фазы ср и величину атах соотношением

а у =

Тогда соотношение (30) принимает вид

* у=

++ к+ - + 2 п+ -

а V .

тах іу

ат

Параметрам (ср ® с1), к+, п+ соответствует прямой фазовый переход, параметрам

(с(] ® с1), к-, п- - обратный.

4. Применим полученные результаты для описания нестабильного поведения однородной упругой среды. Для этого в соотношениях (19), (21) следует устранить второй компонент композита, положив с2 = 0 . Тогда уравнения нелинейного упрочнения (23) принимают вид:

1

* У =

к+,-+ 2п+,- СЯатах

Здесь

+

,. , и ср * к

к + = к + --------------- , п + = —

+,- +,- иа +- к+,

п +,- + и2

г \\

1 а ст.

и =Ш)

1-а с ср [т] 2 1- а [т] [с]

1-

V V

2

р и/ 1

1 - а[т][с]

-и"

У У

7 с1 ср [д] 2 1 - 7 [д ][с ]

и = и2 Ср

1-

а с

1[т] 1-а [т][с ]

(31)

(32)

(33)

С

р

к

*

+

п+,- =

Я

С

р

р

С

я

С

р

С

На рис. 1 и 2 представлены сравнения теоретических расчетов по построенным моделям (31) - (33) с экспериментальными диаграммами сверхупругого поведения сплавов ЛпСп2п [4] и ЛыСё [5].

0 0,02 0,04

Рис. 1 . Сравнение теоретической и экспериментальной диаграмм сверхупругого поведения сплава ЛыСы2п [4]:

Сплошная линия - экспериментальная кривая; штриховая линия - теоретическая кривая. Расчетные значения:

Е = 11398,14 МПа; V = 0,3 ;

77+ = 34,34 МПа; О- =11,78 МПа; п = 1200 МПа; атах = 0,025 ; 1 = 0,434

0 0,02 0,04

Рис .2. Сравнение теоретической и экспериментальной диаграмм сверхупругого поведения сплава ЛиСё [5]:

Сплошная линия - экспериментальная кривая; штриховая линия - теоретическая кривая. Расчетные значения:

Е = 11284,02 МПа;П = 0,3 ;

7+ = 3 9,24 МПа; О- = 19,62 МПа; атах = 0,03 ; п = 1200 МПа; 1 = 0,365

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сараев Л. А Моделирование макроскопических пластических свойств многокомпонентных композиционных материалов. Самара: СамГУ, 2000. 182 с.

2. Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Уравнения изотермических фазовых превращений в твердых телах с микроструктурой // Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах. Труды II международного симпозиума ОМА II. Сочи. 2001. С. 289-292.

3. Физическое металловедение. Под ред. Р. Кана. Т. 2. М.: Мир, 1968, 490 с.

4. Murakami Y. Lattice softening, phase stability and elastic anomaly of the в-Au-Cu-Zn alloys//Journ.Phys.Soc. Japan. 1972. V.33. № 5. P. 1350-1361.

5. NakanishiN. Pseudoelasticity in Au-Cd thermoelastic martensite // Phyl. Mag. 1973. V. 28. № 2. P. 277-282.

Поступила 9.01.04 г.