К теории электрического зонда в случае эмиссии частиц с поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том ХЫ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ 6

УДК 519.6:517.958

К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗОНДА В СЛУЧАЕ ЭМИССИИ ЧАСТИЦ С ПОВЕРХНОСТИ

А. В. КАШЕВАРОВ

В рамках теории электрического зонда рассмотрено второе уравнение Пенлеве в случае эмиссии положительных ионов с поверхности зонда, что позволило провести непосредственное численное интегрирование этого уравнения при значениях свободного параметра V > 1/2. Представлены графики различных численных решений.

Ключевые слова: электрический зонд, второе уравнение Пенлеве, численное решение.

Электрический зонд остается одним из основных средств диагностики плазмы и до сих пор используется в экспериментальной практике, например [1]. Теория электрического зонда в плазме сплошной среды, позволяющая установить связь между параметрами плазмы и точками вольт-амперной характеристики, довольно сложна. Одной из первых работ, посвященных этой проблеме, была классическая работа [2]. В дальнейшем были опубликованы сотни статей и подготовлены десятки диссертаций по данной тематике, среди них [3]. Оказалось, что разработка теории зонда, первоначально направленная на решение прикладной физической задачи — интерпретации зондовых измерений, приводит также к интересному математическому приложению. Так, в [4] было отмечено, что выведенное в [2] уравнение для напряженности электрического поля в слое объемного заряда вблизи зонда представляет собой в частном случае термического равновесия второе уравнение Пенлеве (Р2)

Ухх = 2 у3 + хУ -V, (1)

возникшее в рамках аналитической теории дифференциальных уравнений [5].

Более ста лет назад Пенлеве начал исследования класса уравнений вида:

Ухх = Я (, У, Ух )

где Я — рациональная по у, ух функция с коэффициентами, аналитическими по х. В результате анализа было выделено 50 уравнений этого класса, интеграл которых не содержит подвижных критических точек, т. е. функции, определяемые этими уравнениями, не имеют таких точек ветвления, положение которых зависит от начальных данных интегрирования. Большинство из этих уравнений сводились к ранее известным, и только шесть оказались неприводимыми, т. е. их нельзя было заменить более простым уравнением или системой уравнений. Эти шесть уравнений Пенлеве порождают трансцендентные функции, свойства которых до сих пор изучаются математиками [6]. В частности, получено полное описание асимптотического поведения решений Р2

при больших значениях аргумента [7]. сотрудник ЦАГИ

Г \

КАШЕВАРОВ Алексей Васильевич

кандидат физикоматематических наук, старший научный

Долгое время изучение уравнений Пенлеве представляло чисто математический интерес. Затем обнаружились их приложения в различных областях теоретической и математической физики. В [7] сообщается о таких приложениях уравнений Пенлеве, как резонансные колебания на мелководье, конвективные течения с вязкой диссипацией, вихри Гертлера в пограничном слое, задача Хеле-Шоу. Сейчас имеется твердое убеждение, что решения уравнений Пенлеве представляют собой новые нелинейные специальные функции [8, 9]. В связи с этим становится актуальным их построение во всей области изменения аргумента, а не только при |х| ^ да.

Лишь в двух случаях решения уравнения (1) могут быть выражены через известные функции. При целых значениях V существуют решения в виде рациональных функций. При V = 1/2

имеется решение, выражающееся через комбинацию функций Эйри Ai (х), Bi (х) и их производных. В общем случае отсутствует какое-либо представление в виде ряда или интеграла, позволяющее вычислить значения этой специальной функции Пенлеве второго рода. Единственной возможностью остается численное интегрирование. Оно затруднено тем, что функция может быть разрывной. Разрывы представляют собой полюсы первого порядка, положение которых зависит от начальных данных интегрирования. Как правило, не известны условия интегрирования, обеспечивающие построение решений с заданной асимптотикой на бесконечности.

Примеры численного интегрирования Р2 достаточно редки. В [10—12] были получены решения (1) при V = 0 с асимптотикой

у (х)^ kAi (х), х ^+да, (2)

где к — произвольная константа.

Дальнейшие численные исследования проводились в [4, 13] в рамках теории электрического зонда. В [4] было показано, как в теории зонда возникают решения с асимптотикой

у (хх, х ^+со. (3)

Более подробное асимптотическое представление (3) имеет вид [7]:

у(х)~ х Ё \+кА (х), (4)

п = 0 х

где

ь0 = I Ьп+1 =(3п + 2)3п + 1)Ьп - 2^ Ё ЁЬтЬ1-тЬп-1, п ^ °.

I = 0 т = 0

Вытекающие из теории зонда условия, которым должны удовлетворять эти решения в случае полного поглощения заряженных частиц поверхностью, позволили выполнить интегрирование уравнения (1) при различных v^ 0. В [13] рассмотрение было обобщено на случай неполного поглощения частиц, что привело к построению множества различных решений при фиксированном значении свободного параметра V, в том числе и с асимптотикой (2) в предельном случае v^0.

В настоящей работе рассматривается численное интегрирование Р2 в третьем возможном случае: наличии эмиссии заряженных частиц с поверхности зонда.

Р2 в теории зонда. Напомним, что работа сферического зонда в покоящейся плазме сплошной среды может быть описана следующими безразмерными уравнениями [4, 13]:

йп+/й^ + п+Е = -/+, йп_/й^- п_Е = -1_, а2^4 dE|d^ = п-- п+, (5) Е = - у/йЕ,, £е[0, 1], у( 0 ) = 0, п±( 0) = 0.

Здесь п+ и п- — концентрации положительно и отрицательно заряженных частиц; 1+ и 1- — их токи на зонд; Е — аналог напряженности электрического поля; у — электрический потенциал; 4 = 1/ г, где г — радиальная координата; а — отношение дебаевского радиуса экраниро-

вания к радиусу зонда.

Уравнение (1) возникает в результате асимптотического анализа краевой задачи для системы (5) при а — 0, когда главный член асимптотического разложения потенциала во внешней области

у0 (4) = 1п (1 -4/4, )->« (6)

при 4 — 4, где 4 , = 2/ (1+ + /-) — точка сингулярности выражения (6).

Сводя систему (5) к одному уравнению и вводя внутренние переменные у, х по формулам

х = 2'Ра-^Я (4, -4), Е(4) = 243а-Щ?Ру(х),

в пределе а — 0 получаем Р2 в форме (1).

Анализ краевой задачи дает и начальные условия интегрирования уравнения (1) [13]:

у0 =±-х^2 + (0 ++П0 -)4, Уo=(л°+_no-V4 (7)

Здесь у0, у0 — значения функции и ее производной в некоторой точке х0, соответствующей поверхности зонда, П0+ и П0- связаны со значениями концентраций заряженных частиц п0+ и п0- в этой точке по формуле

П0 ±= 213 а-2^23 п ±.

Условия (7) позволили выполнить численное интегрирование Р2 и получить при фиксированном IV < 1/2 несколько семейств решений. На рис. 1 воспроизведено одно из семейства непрерывных решений (1) при V = 0.4 (кривая 1), полученное в [13] при п0+ = 0 и п0- = 1.009605. Кривая 2 описывает непрерывное решение, принадлежащее другому семейству. Для нее параметры п0 + = п0- = 0.77966379 подобраны таким образом, что оба решения имеют практически

одну и ту же асимптотику на - да. Кривые 1, 2 можно трактовать как две ветви одного и того же решения. Кроме непрерывных колебательных имеется еще два семейства разрывных неограниченных решений. Представители этих семейств показаны на рис. 1 (кривые 3 и 4). Кривая 3 получена при п0+= 0, п0- = 1.009606,

4 — при п0+ = п0- = 0.779668. Наличие разрывов не позволяет продолжить интегрирование в сторону меньших х. Ограниченные и неограниченные решения разделены между собой решениями с асимптотикой

у (х ) — ±Л/-х/ 2 х — -да.

В теории Р2 установлено, что если известно некоторое его решение у (х, V) при фиксированном значении свободного параметра V (^-1/2), то можно построить решение

Рис. 2. То же, что на рис. 1, при V = 0.6: кривые 1 — 4 построены по соответствующим кривым рис. 1 с помощью

(2), (3); 5—8 получены непосредственным интегрирова- Рис. 3. То же, что на рис. 1, при V = 1.4: 5—7 — непосред-нием (1) ственное интегрирование

у (х, v + l). Поэтому достаточно знать общее решение уравнения (1) при всех V из диапазона 0^<1/2. Тогда общее решение при произвольном V можно получить, используя формулы [6]:

у (х -^ = -у (х ^,

у (х, V +1) = - у (х, V) - ^ +1) 2 у'(х, V) - 2 у2 (х, V) - х

(9)

(10)

Формулы (9), (10) позволяют построить решения уравнения (1) по представленным решениям при V = 0.6 (рис. 2) и 1.4 (рис. 3). Как видно из рисунков, при V >0.5 все решения разрывны. (Сепаратрисные решения с асимптотикой (8) не приведены.) Возникает вопрос, не существуют ли при V >0.5 непрерывные ограниченные решения Р2, наподобие имеющихся при V <0.5. На этот вопрос можно ответить непосредственным интегрированием уравнения (1) при V > 0.5.

Эмиссия заряженных частиц с поверхности. Параметр V в (1) связан с зондовыми токами следующим образом:

V =

11--1+ 2 1_ +1+

В отсутствии эмиссии частиц как 1-, так и 1+ > 0, поэтому ^|< 1/2. Эмиссия заряженных частиц означает, что поток частиц направлен с поверхности в плазму, т. е. 1- и/или 1+ < 0. Для численного исследования Р2 интересен случай эмиссии положительных ионов 1+ < 0, причем ток отрицательно заряженных частиц (обычно электронов) 1- должен находиться в диапазоне -1+ < 1- < 2 -1+. Тогда параметр V > 1/2 и, кроме того, точка сингулярности выражения (6)

4, е[0,1].

При наличии эмиссии положительных ионов их концентрация на поверхности зонда п+ (1) > 0. Для электронов же можно поставить условие как полного, так и неполного поглощения поверхностью. Таким образом, численное интегрирование уравнения (1) при V > 1/2 нужно проводить при тех же условиях (7).

Как и прежде [4, 13], для уравнения (1) сначала решалась краевая задача на полуограничен-ном интервале [ х0, +<х>) со свободным левым концом, т. е. для заданных у>1/2, По+, По- подбирается точка Хо такая, что при условиях (9) выполняется асимптотика (4) (учитывалось четыре члена ряда, к =0). Для численного решения этой задачи уравнение (1) сводится к системе двух уравнений первого порядка и используется неявная разностная аппроксимация [14]:

У+1 = У, + к (аг,+1/ь + г,/ъ),

=г +12 Ъ (Х,+ь у,+1)+(Х,, у, )).

Здесь а = 5->/24, Ъ = 6->/24, г = у', /(х,у) обозначает правую часть уравнения (1), к — шаг интегрирования (к = 10-4). Для решения получившейся системы алгебраических уравнений на каждом шаге используется метод простой итерации. После того, как значение Хо найдено и построено решение при х > Хо, решается задача Коши при х < Хо.

Полученные таким образом решения при V = о.6 и 1.4 также представлены на рис. 2 (кривые 5—8) и рис. 3 (кривые 5 — 7). На рис. 2 кривые 5, 6 соответствуют По- = о и По+ = о.1, По+ = о.3, кривая 7 — По+ = о.1, По- = о.9; 8 — По+ = о.3, По- = 13. На рис. 3 кривые 5, 6 получены при По- = о и по+ = о.7, по+ = о.9, кривая 7 — при по+ = о.9, по- = 15.

Как видно, непосредственное численное интегрирование уравнения (1) при v> 1/2 не приводит к появлению качественно новых решений. Таким образом, при V > 1/2 существуют только неограниченные разрывные решения (или непрерывные с асимптотикой (8)). Решение 4 (рис. 2) и 3 (рис. 3), а также решения 1, 2 обоих рисунков (до разрыва) можно было бы получить непосредственным интегрированием уравнения (1). Так, кривая 3 (рис. 3) соответствует По+ = о.3,

По- = °.

Учитывая недостаточность сведений о численных решениях Р2 в мировой научной литературе, на рис. 4 и 5 приведены графики решений при V =1.6 и 2.4, построенные с помощью (1о) из соответствующих решений рис. 2, 3. В [7] рассматривался вопрос о численных решениях урав-

Рис. 4. То же, что на рис. 1, при V =1.6 Рис. 5. То же, что на рис. 1, при V = 2.4

нения (1) при целых значениях v. Решения Р2 в этом случае здесь не приводятся. Качественно они совпадают с представленными на рис. 2—5.

Заключение. Рассмотренный случай эмиссии заряженных частиц свидетельствует, что в рамках теории зонда численно построены все возможные типы решений Р2 с асимптотикой (3). Полученные результаты могут быть использованы при расчете характеристик эмитирующего зонда.

Автор благодарит проф. П. А. Кларксона за любезно предоставленный электронный оттиск статьи [7].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00678 и 08-08-00618).

ЛИТЕРАТУРА

1. Герман В. О., Ершов А. П., Козлов П. В. и др. Зондовая диагностика сво-бодногорящей дуги в атмосфере // ТВТ. 2009. Т. 47, № 4.

2. Cohen I. M. Asymptotic theory of spherical electrostatic probes in a slightly ionized, collizion-dominated gas // Phys. Fluids. 1963. V. 6, N 3.

3. Кашеваров А. В. Электрические зонды в медленно движущейся и покоящейся столкновительной плазме. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Жуковский: ЦАГИ, 2005.

4. Кашеваров А. В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Некоторые численные решения // ЖВММФ. 1998. Т. 38, № 6.

5. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М. — Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит-ры, 1950.

6. Громак В. И., Лукашевич Н. А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. — Минск: изд. «Университетское», 1990.

7. Clarkson P. A. Asymptotic of the second Painleve equation // Contemporary Mathematics Series. 2008. V. 471.

8. Iwasaki K., Kimura H., Shimomura S., Yoshida M. From Gauss to Painleve: a modern theory of special functions // Aspects of Mathematics E. 1991. V. 16.

9. Clarkson P. A. Painleve equations — nonlinear special functions // J. Comput. and Appl. Math. 2003. V. 153, N 1 —2.

10. Rosales R. S. The similarity solution for the Korteweg-de Vries equation and the related Painleve transcendent // Proc. Roy. Soc. London. 1978. V. A361, N 1706.

11. Miles J. W. On the second Painleve transcendent // Ibid.

12. Miles J. W. The second Painleve transcendent: a nonlinear Airy function // Mechanics Today. 1980. V. 5.

13. Кашеваров А. В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда.

Численные решения в случае неполного поглощения заряженных частиц поверхностью //

ЖТФ. 2004. Т. 74, № 1.

14. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. — М.: Мир. 1969.

Рукопись поступила 23/VI2009 г.