Исследование разрешимости задачи о цилиндрическом зонде в неподвижной столкновительной плазме с химическими реакциями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXIV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 200 3

№ 3—4

УДК 533.9.08

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ О ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ЗОНДЕ В НЕПОДВИЖНОЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ С ХИМИЧЕСКИМИ РЕАКЦИЯМИ

А. В. КАШЕВАРОВ

С помощью методов асимптотического анализа при отношении дебаевского радиуса к радиусу зонда а << 1 и числе Дамкелера Бш << 1 исследована разрешимость краевой задачи для цилиндрического зонда в неподвижной столкновительной плазме, в которой протекают реакции ионизации присадки и рекомбинации заряженных частиц, при различных типах взаимодействия атомов и ионов присадки с поверхностью зонда. Установлено, что ограниченное на бесконечности решение задачи как для концентраций частиц, так и для электрического потенциала существует лишь в случае, когда атомы присадки не поглощаются поверхностью, а ионы теряют свой заряд и возвращаются в газ в виде атомов, причем потенциал зонда ур □ 1. Для умеренного потенциала зонда ур □ 1 необходима малая степень ионизации

атомов присадки к ^ 0, чтобы существовало решение задачи с условием ¿у!3т 0 при г х, а концентрации заряженных частиц и атомов присадки были ограничены. Приведены зондовые характеристики.

Электрический зонд широко используется как диагностическое средство не только в физике низкотемпературной плазмы, но и в аэрофизическом эксперименте, например, связанном с проблемой визуализации струйно-вихревого следа самолета с помощью ионно-молекулярных кластеров.

Работа электрического зонда в режиме сплошной среды описывается краевой задачей для сложной нелинейной системы дифференциальных уравнений [1]. Для установления связи зондового тока с концентрацией заряженных частиц в плазме требуется найти ограниченное на полубесконечном интервале решение этой системы, что, как правило, можно сделать лишь с помощью численных методов. При численном интегрировании обычно вводят достаточно удаленную от поверхности зонда внешнюю границу, на которую переносят условия из бесконечности, заранее считая при этом, что решение исходной краевой задачи для полубесконечного интервала существует. Примером такого подхода может служить работа [2], в которой для плоского случая были рассчитаны вольт-амперные характеристики (ВАХ) цилиндрического зонда, помещенного в неподвижную плазму высокой плотности, между компонентами которой протекают разнообразные химические реакции. Известно, однако, что при условии замороженных химических реакций не существует ограниченных на бесконечности решений краевой задачи для цилиндрического зонда, если отсутствует макроскопическое движение плазмы [3]. Этот факт вынуждает провести исследования существования решения плоской задачи о цилиндрическом зонде в неподвижной столкновительной плазме при наличии химических реакций в наиболее простой постановке.

1. Постановка задачи. Пусть цилиндрический зонд находится в неподвижной столкновительной плазме, состоящей из нейтральных частиц М, положительных однозарядных

ионов А+ и электронов е , причем заряженные частицы появляются или исчезают в результате реакции

л+ма л++е"+м.

(1)

Здесь А обозначает атомы ионизирующейся присадки, количество которых мало по сравнению с другими нейтральными частицами М, так что плазма является слабоионизованной. Реакция (1) находится в состоянии химического равновесия вдали от зонда.

Для модели неохлаждаемого зонда, когда температура плазмы и, следовательно, ее переносные свойства постоянны, справедливы следующие уравнения [1], описывающие массоперенос заряженных частиц в самосогласованном электрическом поле при наличии объемных источников (стоков) вещества:

Уравнения (2) — (4) записаны в безразмерном виде. В них п+ и п- — числовые концентрации ионов и электронов; па — концентрация атомов присадки, которые отнесены к своим значениям на бесконечности N и Ыа соответственно; у — безразмерный электрический потенциал, связанный с размерным потенциалом ф соотношением у = - еф/кТ, где е — заряд электрона, к — постоянная Больцмана, Т — температура газа; радиальная координата г выражена в долях радиуса зонда Я;

Дамкелера, где кг — константа скорости обратной реакции (1), Nm — концентрация молекул основных компонентов плазмы.

Уравнение стационарной диффузии атомов присадки при наличии объемной реакции представимо в виде

Здесь ва = В+/Da = 1, где Ба — коэффициент диффузии атомов присадки; к = Ы/Ыа — степень ионизации атомов присадки на бесконечности.

Граничными условиями для системы (2) — (5) вдали от зонда являются

На поверхности зонда потенциал задан, а заряженные частицы, как обычно считают, полностью поглощаются поверхностью

Исходя из физических соображений, для концентрации атомов присадки можно поставить три типа граничного условия на поверхности зонда. В первом случае атомы присадки также полностью поглощаются поверхностью

(2)

(3)

(4)

дебаевский радиус (система СГС); Р = Д+/В- □ 1

отношение коэффициентов диффузии ионов и электронов; Бш = кгКтЖ2/п+

число

(5)

у( г ) —— 0, п±( г ) —1, па ( г ) —1, г

(6)

у(1) = уР, п±(1) = °-

(7)

Па (1) = 0.

(8)

Во втором случае поглощение отсутствует

йПа/йг\г=1 = 0. (9)

Наконец в [4] для сферического зонда рассматривался случай, когда атомы присадки не поглощаются поверхностью, а ионы присадки, попадая на зонд, рекомбинируют и возвращаются в газ в виде свободных атомов, что приводит к условию

ёпа/ёг \г=1 =-кРа/+, (10)

где 1+ — безразмерный ток ионов на зонд.

Условие (9) является частным случаем (10) при к ^ 0.

Исследование разрешимости краевых задач для системы (2) — (5) при указанных выше граничных условиях будем проводить в предположении а << 1 и Бш << 1, что делает постановку задачи о цилиндрическом зонде близкой к постановке работы [5], рассматривавшей сферический зонд в неподвижной реагирующей плазме.

2. Анализ задачи для концентраций частиц. Наличие малых параметров в системе (2) — (5) позволяет применить для ее анализа асимптотические методы.

При числе Бш << 1 изменение концентраций частиц в пространстве происходит главным образом за счет их диффузии на зонд. Пренебрегая правой частью уравнений (2), (3), (5), после интегрирования получим

ёп+/ёг -п+ёу/ёг = 1+/г, (11)

ёп-/ ёг + п- ёу/ ёг = 1-/ г, (12)

па = а0 + а11п г. (13)

Здесь 1_ — безразмерный ток электронов на зонд, а0) и а — постоянные интегрирования.

Условие а << 1 определяет так называемый случай тонкого слоя объемного заряда, так как при этом из (4) следует, что в бльшей части пространства плазма квазинейтральна п+ = п-= п . Для квазинейтральной области, складывая (11) и (12) и интегрируя, получим

п = Ь + 1 + +1 - 1п г. (14)

2

Здесь Ь — постоянная интегрирования. Логарифмический член в выражении (14) свидетельствует о невозможности существования решения системы (2) — (4), имеющего

физический смысл, если химические реакции заморожены, т. е. Бш = 0, так как хотя бы один из

токов I+

или 1-Ф 0.

Для конечных чисел Бш<< 1 выражение (14) описывает распределения концентраций заряженных частиц в квазинейтральной области лишь вблизи зонда, а формула (13) справедлива кроме того и в слое объемного заряда вплоть до поверхности зонда. Они представляют собой главные члены внутренних асимптотических разложений концентраций по числу Бш.

Для исследования внешней квазинейтральной области необходимо сохранить правые части уравнений (2), (3), (5). Складывая (2) и (3) и пренебрегая в по сравнению с единицей, получим

1

г ёг

(15)

Умножая (15) на 2кРа и складывая с (5), будем иметь для суммы 2кРап + па уравнение Лапласа, решение которого есть

2кРап + па = А0 + А11п г.

Для выполнения внешних граничных условий (6) необходимо, чтобы постоянная интегрирования А = 0. Для постоянной А) имеем А) = 1 + 2кРа и получаем следующую связь между концентрациями:

Подставляя (16) в (15) и вводя переменную п = 1 - п, после линеаризации уравнения (15),

Здесь К0 — модифицированная функция Бесселя второго рода. Для определения постоянных интегрирования в (14), (17) используем принцип асимптотического сращивания. При Бшо □ 1, имея в виду известную асимптотику функции Ко (х) при х — 0, найдем внутреннее представление внешнего решения (17):

Здесь С = 0,5772... — постоянная Эйлера. Сравнивая с (14), получим для внутренней квазинейтральной области

Аналогично, принимая во внимание связь между концентрациями (16), во всей внутренней области, включая слой объемного заряда, имеем

Из (19) видно, что при Бшо □ 1 всегда па (1) > 0 , и граничное условие (8) не может быть выполнено, т. е. краевая задача в этом случае не имеет решения. Для выполнения условия (9) необходимо, чтобы к —— 0. При этом па = 1 во всем пространстве. Наконец для разрешимости краевой задачи при условии (10) требуется, чтобы 1_ — 0, т. е. решение возможно только при больших потенциалах зонда ур □ 1.

Полагая в (18) 1_= 0 и п (1) = 0, найдем выражение для ионного тока насыщения 1+, т. е. предельного тока на зонд при а — 0 и ур — да

па = 1 + 2кРа (1 _ п).

(16)

т. е. пренебрегая членом п2 по сравнению с 2п ввиду малости п при г >> 1, получим уравнение

Его решением, удовлетворяющим условию п — 0 при г — да, является

п = 5К0

( Бш0/2г ), БШ0 = Бш (1 + кРа ).

(17)

С + 1п

(18)

2

2

2

V

У

па = 1 _ кРа (1+ + 1_)(С + 1п (°Ш0/2/2))_кРа (1+ +1_)1п г.

(19)

>Д С + 1п ( Бш0;72)). (20)

1+ =_2/ (С + 1п (БшГ/2

3. Анализ задачи для электрического потенциала и построение ВАХ зонда. Полученные выше условия разрешимости краевой задачи являются необходимыми, но не достаточными, так как требуется проанализировать еще поведение электрического потенциала на предмет его ограниченности в бесконечности. Еще в ранней работе [6] подвергалось сомнению существование ограниченных решений для потенциала, и был сделан вывод о необходимости трехмерного анализа потенциала вдали от зонда при рассмотрении плоской задачи. Ниже будет показано, что ограниченное решение для потенциала все же существует.

Из (11), (12), (18) получим для распределения потенциала во внутренней квазинейтральной области

у = _А, 1п

1+

Вт 1

С + 1п ^

1++1_,

-------1п г

*■ = у-1^, (21)

1++1_

где й — постоянная интегрирования.

С другой стороны, умножая (2) на Р и вычитая из (3), получим для всей квазинейтральной области уравнение:

й (г (1 _Р) йп/йг + г (1 + Р) пйу/йг)/йг = 0.

Его решением является (пренебрегаем р по сравнению с единицей):

'йг гп

у = _ 1п п + В Г—. ) (22)

гп

Подставляя в (22) выражение (18) для концентрации заряженных частиц, производя интегрирование и сравнение получившегося результата с (21), определим постоянные: й = 0, В=1.

Так как п — 1 при г — да, то интеграл в (22) растет как 1п г при г — да, т. е. во внешней области имеем у ~ 1_1п г при г — да, и условие ограниченности потенциала на бесконечности может быть выполнено лишь в случае 1_ — 0.

Таким образом, краевая задача (2) — (5) с граничным условием (7) имеет ограниченное решение (6) как для концентраций частиц, так и для электрического потенциала лишь в случае большого потенциала зонда ур □ 1 при условии (10), когда атомы присадки не поглощаются

поверхностью, а ионы присадки, попадая на зонд, рекомбинируют и возвращаются в газ в виде свободных атомов.

В случае непоглощения атомов присадки зондом и малой степени ионизации присадки к — 0, когда существует ограниченное решение для концентраций частиц, вместо условия у(г) — 0 при г — да будем использовать более слабое условие для напряженности электрического поля Е = йу/йг — 0 и построим ВАХ при умеренных потенциалах зонда ур □ 1, когда 1_Ф 0.

Введем переменную ^ = 1п г . Из (21) следует, что у — да, когда £, — ^

2)_<

^ =_2/ (1++1_)_ 1п ( Бш0/2/2)_ С.

Это означает, что условие квазинейтральности нарушается в области слоя объемного заряда при 0 . Анализ слоя объемного заряда при умеренных потенциалах зонда, проводящийся

по методу классической работы [7] (см. также [8]), полностью повторяет проделанный в [3] для цилиндрического зонда в медленно движущейся плазме с замороженными химическими реакциями. Более того, нетрудно установить, что характеристика зонда в движущейся при электрическом числе Рейнольдса Яее □ 1 термически равновесной плазме с замороженными химическими реакциями и характеристика зонда в неподвижной химически реагирующей плазме

10

40

70 100

о

i

10 Vp 12

Рис. 1. ВАХ зонда при умеренных потенциалах для числа Бш0 = 0,1 и малой степени ионизации присадки к ^ 0 в случае ¿у/¿г ^ 0 при г ^ ж

Рис. 2. ВАХ зонда при больших потенциалах для числа Бш0 = 0,1 и произвольной степени ионизации присадки к в случае у ^ 0 при г ^ ж

при числе Dm0 = Яе^Дб совпадают при одном и том

же значении а << 1 (ср. также (20) с соответствующей формулой для ионного тока насыщения[3]).

В качестве примера на рис. 1 изображены зондовые характеристики при числе Вш0 = 0,1 (такое малое значение числа Дамкелера реально достигается, например, при экспериментах в пламени с присадкой натрия или лития [9]). Характеристики взяты из [3] и соответствуют Яее = 0,4 . Штриховой линией показан уровень тока насыщения (20).

При больших потенциалах зонда ур □ 1 ВАХ цилиндрического зонда могут быть

получены в строгой постановке у(г) ^ 0 при г ^ ж. Исследование слоя объемного заряда в этом случае проводится по методу [10], восходящему к классической работе [11]. При этом действует указанное правило переноса результатов [10] на изученный здесь случай неподвижной плазмы с химическими реакциями. ВАХ при Вш0 = 0,1 представлены на рис. 2.

В заключение заметим, что подобное исследование разрешимости краевой задачи весьма затруднительно при более сложных теоретических моделях, как, например в [2], где модель плазмы включала еще и отрицательные ионы, реагирующие с другими компонентами. Поэтому предпочтительно проводить расчеты характеристик цилиндрического зонда в неподвижной плазме в трехмерной постановке типа [12], где цилиндрический зонд аппроксимировался вытянутым эллипсоидом вращения. В этом случае не возникает сомнений в существовании решения. Двумерная постановка пригодна для расчета ионного тока насыщения на цилиндрический зонд в движущейся химически реагирующей плазме [9], [13].

Работа выполнена при финансовой поддержке ИНТАС, проект № 1817.

1. Чан П., Тэлбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме.— М.: Мир.— 1978.

2. Власов П. А., Карасевич Ю. К., Панкратьева И. Л., Полянский В. А. Зондовый метод диагностики низкотемпературной плазмы с отрицательными ионами // ТВТ.— 1988. Т. 26, № 6.

3. Егорова З. М., Кашеваров А. В. О вольт-амперной характеристике цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме // ПМТФ.— 1993, № 2.

4. Carrier G. F., Fendell F. E. Electrostatic probe in a reacting gas // Phys. Fluids. — 1970. Vol. 13, N 12.

5. Cohen I. M., Schweitzer S. First-order effects of production on the continuum theory of spherical electrostatic probes // AIAA J.— 1968. Vol. б, N 2.

6. Lam S. H. A general theory for the flow of weakly ionized gases // AIAA J. — 1964. Vol. 2, N 2.

ЛИТЕРАТУРА

б4

7. Cohen I. M. Asymptotic theory of spherical electrostatic probes in a slightly ionized, collision-dominated gas // Phys. Fluids.— 1963. Vol. 6, N 10.

8. Кашеваров А. В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Некоторые численные решения // ЖВММФ.— 1998. Т. 38, № 6.

9. Егорова З. М., Кашеваров А. В., Цхай Н. С. Об ионном токе насыщения на электрические зонды в плазме пламени со щелочной присадкой // ТВТ.— 1992. Т. 30, № 3.

10. Кашеваров А. В. Вольт-амперная характеристика цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме при больших потенциалах зонда // ТВТ.— 1994. Т. 32, № 2.

11. Su C. H., Lam S. H. The continuum theory of spherical electrostatic probes // Phys. Fluids. — 1963. Vol. 6, N 10.

12. Su C. H., Kiel R. E. Continuum theory of electrostatic probes // J. Appl. Phys.— 1966. Vol. 37, N 13.

13. Кашеваров А. В. О влиянии кинетики рекомбинации на ток насыщения зонда Ленгмюра в плазме пламени с присадкой // ТВТ.— 1994. Т. 32, № 2.

Рукопись поступила 31/X 2002 г.