CC BY
27
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 2 (2014)
УДК 512.548
К ТЕОРЕМЕ ПОСТА О СМЕЖНЫХ КЛАССАХ
А. М. Гальмак (г. Могилев, Белоруссия ), Н. А. Щучкин (г. Волгоград )
mti@mogilev.by nikolaj_shchuchkin@mail.ru Аннотация
В теории полиадических групп велика роль групп А* и Ао, фигурирующих в теореме Поста о смежных классах [2], утверждающей, что для всякой п-арной группы (А, [ ]) существует группа А*, в которой имеется нормальная подгруппа Ао такая, что фактор-группа А*/Ао — циклическая группа порядка п — 1. Образующий смежный класс хАо этой циклической группы является п-арной группой с п-арной операцией, производной от операции в группе А*, при этом п-арные группы (А, [ ]) и (хАо, [ ]) изоморфны. Группу А* называют универсальной обертывающей группой Поста, а группу Ао — соответствующей группой.
В начале статьи рассматривается обобщение теоремы Поста о смежных классах: для всякой п-арной группы (А, [ ]), п = к(т — 1) + 1, в универсальной обертывающей группе Поста А* имеется нормальная подгруппа тА такая, что фактор-группа А*/тА — циклическая группа порядка т — 1. Причем, Ао С тА С А* и тА/Ао - циклическая группа порядка к.
В статье изучается перестановочность элементов в п-арной группе. В частности, изучается т-полуабелевость в п-арных группах, которая является обобщением широко изучаемых понятий абелевости и полуабеле-вости. Напомним, что п-арная группа (А, [ ]) называется абелевой, если в ней для любой подстановки и множества {1, 2,... ,п} верно тождество
[а1а2 • • • ап] [а<г(1) а<г(2) • • • аа(п)],
и п-арная группа (А, [ ]) называется полуабелевой, если в ней верно тождество
[аа1 • • • ап-2Ь] = [Ъа\ • • • ап-2о]^
Обобщая эти два определения, Э. Пост назвал п-арную группу (А, [ ]) т-полуабелевой, если т — 1 делит п — 1 и
(аа1 • • • ат—2Ъ, Ъа1 • • • ат—2а) ^ @ А
для любых a,a1,..., am-2, b € A.
Установлен новый критерий m-полуабелевости n-арной группы, сформулированный с помощью подгруппы mA универсальной обертывающей группы Поста: n-арная группа {A, [ ]) является m-полуабелевой тогда и только тогда, когда группа mA абелева.
Для n = k(m — 1) + 1 с помощью фиксированных элементов ci,... ...,cm-2 € A на n-арной группе {A, [ ]) строится (k + 1)-арная группа {A, [ \k+ici..xs^2). На смежном классе A(m-1) из обобщенной теоремы Поста строится (k + 1)-арная группа {A(m-1'), [ ]k+i). Доказывается изоморфизм построенных (k + 1)-арных групп. Этот изоморфизм позволяет доказать еще один критерий m-полуабелевости n-арной группы: n-арная группа {A, [ ]) m-полуабелева тогда и только тогда, когда для некоторых c1,..., cm-2 € A (k + 1)-арная группа {A, [ ]k+1,c1...cm-2) является абелевой.
Ключевые слова: n-арная группа, полуабелевость, смежный класс.
Библиография: 16 названий.
TO THE POST’S COSET THEOREM
A. M. Gal’mak (Mogilev), N. A. Shchuchkin (Volgograd)
mti@mogilev.by nikolaj_shchuchkin@mail.ru Abstract
In the theory of polyadic groups plays an important role groups A* and A0, appearing in Post’s Coset Theorem [2], asserts that for every n-ary groups {A, [ ]) exists a group of A*, in which there is normal subgroup A0 such that the factor group A*/A0 — cyclic group of order n — 1. Generator xA0 this cyclic group is the n-ary group with n-ary operation derived from operation in the group A*, wherein n-ary groups {A, [ ]) and {xA0, [ ]) isomorphic. Group A* is called the Post’s universal covering group, and the group A0 — appropriate group.
The article begins with a generalization of the Post’s Coset Theorem: for every n-ary groups {A, [ ]), n = k(m — 1) + 1, the Post’s universal covering group A* has a normal subgroup mA such that the factor group A*/mA — cyclic group of order m — 1. Moreover, A0 С mA С A* and mA/A0 - cyclic group of order k.
In this paper we study the permutability of elements in n-ary group. In particular, we study the m-semi-commutativity in n-ary groups, which is a generalization of of the well-known concepts of commutativity and semicommutativity. Recall that the n-ary group {A, [ ]) is called abelian if it contains any substitution a of the set {1,2,... ,n} true identity
[a1a2 . . . an] iaa(1)aa(2) . . . aa(n)],
and n-ary group {A, [ ]) is called a semi-abelian if it true identity
[aa1... an-2b] = [ba1... an-2a].
Summarizing these two definitions, E. Post called n-ary group {A, [ ]) m-semi-abelian if m — 1 divides n — 1 and
(aa1 . . . am—2b, ba1 . . . am—2a) € $ A
for any a,a1,..., am—2, b € A.
We have established a new criterion of m-semi-commutativity of n-ary group, formulated by a subgroup mA of the Post’s universal covering group: n-ary group {A, [ ]) is m-semi-abelian if and only if the group mA is abelian.
For n = k(m — 1) +1 by fixed elements c1,..., cm—2 € A on n-ary group of {A, [ ]) construct (k + 1)-ary group {A, [ ]k+1ci...Cm-2). On the coset A(m—1) in generalized Post’s Coset Theorem construct (k + 1)-ary group {A(m л []k+1). Proved isomorphism of constructed (k + 1)-ary groups. This isomorphism allows us to prove another criterion m-semi-commutativity n-ary group: nary group {A, [ ]) is m-semi-abelian if and only if for some c1,..., cm—2 € A (k + 1)-ary group {A, [ ]k+1,ci...cm-2) is abelian.
Keywords: n-ary group, semi-commutativity, coset.
Bibliography: 16 titles.
1. Введение
Алгебру {G, f) с n-арной операцией f (n ^ 3) называют n-арной группой ([1],[2]), если в ней выполняется обобщенный закон ассоциативности
f (f (a1,... ,an),an+1,... ,a2n—1) = f (a1, f (аш,... ,ai+n),ai+n+1, ■ ■ ■ ,a2n—1)
для всех i = 1,... ,n — 1 и разрешимы каждое из уравнений
f (х, a1), an—1) b, f (a1,..., an—1 ,y) b
для любых a1,... , an—1, b из G. Имеются и другие эквивалентные определения n-арной группы (см., например, [3], [4], [5]).
Теория n-арных групп относится к многочисленным алгебраическим теориям, которые являются как классическими объектами общей алгебры, так и разделами теории универсальных алгебр. Необходимость изучения таких теорий отмечал А.Г. Курош (см. [6]).
Пусть {A, [ ]) — n-арная группа, Fa — свободная полугруппа над алфавитом A, в a — отношение эквивалентности Поста [1], [7] определенное на Fa по правилу: (а, в) € в а тогда и только тогда, когда существуют последовательности Y и 8 из Fa такие, что [^а8] = [7в^]. Легко проверяется, что в а — конгруэнция на полугруппе Fa, а полугруппа A* = Fa^a является группой.
Для всякого i = 1,... ,n — 1 определим множество
A(i = {вА(а) | вА(а) € A*,1 (а) = i},
где 9а(о) — класс конгруэнции 9а, содержащий последовательность а; 1(а) — длина последовательности а. В частности
А' = {9А(а) | а Е А}, А" = {9А(аЬ) | а,Ь Е А}.
Для сокращения записей множество А(п—1') будем обозначать распостранен-ным в литературе по п-арным группам символом Ао, то есть Ао = А(п—1').
Легко проверяется (см., например, предложение 1.3.7 из [8], [9]), что А(г) П А& = 0 для любых г,] Е {1,... ,п — 1}, г = ].
Замечание 1. Если п = к(т — 1) + 1, где п ^ 3, т ^ 2, то легко проверяется, что множество А(т—1) являентся (к + 1)-арной группой относительно (к + 1)-арной операциии
[9А(а1 )9А (а2) . . . 9 А (ак+1)]к+1 = 9 А (а1а2 . . . ак+1) , а1, а2, . . . , ак+1 Е А^т 1).
Если т = 2, то к = п — 1 и получаем п-арную операцию [9А(а1 )9А(а2)... 9А(ап)]п = 9А(аа ...ап) = 9А([аа ... ап]), а1,а2, ...,ап Е А.
При этом, как не сложно установить, отображение ф : а 9а (а) является изоморфизмом п-арной группы (А, [ ]) на п-арную группу (А', [ ]п).
Если т = п, то к = 1 и получаем бинарную операцию
[9А(аа ... ап—1)9А(ЬЬ ... Ьп—1)]2 = 9А(аа ... ап—1 ЬЬ ... Ьп—1) =
= 9А([а1 а2... ап—1Ь1]Ь2... Ьп—1), а1, а2,..., ап—1, Ь1,Ь2,..., Ьп—1 Е А.
При этом группу (А(п—1') = Ао, [ ]2) называют соответствующей для п-арной группы (А, [ ]) и для сокращения записей обозначают одним символом Ао.
Замечание 2. Для п-арной группы (А, [ ]) обозначим символом [ \п п-арную операцию, производную от операции в А*:
[9А(а1)9А(а2) . . . 9А(ап)]п = 9 А (а1а2 . . . ап), а1 ,а2, . . . ,ап Е А*.
Легко проверяется, что для любого г = 1,... ,п — 1 множество А(г) замкнуто относительно этой п-арной операции, а универсальная алгебра (А(г\ [ ]п) является п-арной подгруппой п-арной группы (А*, [ ]п). Ясно, что на множестве А' п-арная операция [ \п совпадает с п-арной операцией из замечания 1.
Если т — 1 делит п — 1, где п ^ 3, т ^ 2, то положим
тА = {9А(а) Е А* I 1(а) кратно т — 1}.
При т = 2 множество тА совпадает с универсальной обертывающей группой А*, а при т = п множество тА совпадает с соответствующей группой Ао:
2А = А*, пА = Ао.
2. Обобщение теоремы Поста о смежных классах
Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Поста о смежных классах.
Теорема 1. Пусть (А, [ ]) — п-арная группа, п = к(т — 1) + 1. Тогда:
1) Ао С тА С А*;
к
2) тА = 0 А(г(т—1));
1 =1
3) тА — инвариантная подгруппа группы А*;
4) группа тА порождается множеством А(т—1);
5) тА/Ао = {А(т—1), А(2(т—1)),... ,А(к(т—1')') = Ао} — циклическая группа порядка к, порожденная элементом А(т—1);
6) А* /тА — циклическая группа порядка т — 1.
Доказательство. 1) Так как ¥а/9а = А*, то из определения множества
тА вытекает включение тА С А*. А так как п = к(т — 1) + 1, то п — 1 кратно
т — 1. Следовательно, Ао = А^’п—1') С тА. к
2) Включение 0 А(г(т—1)) С тА очевидно.
1=1
Пусть теперь 9А(а) = 9А(а1... аг(т—1)) — произвольный элемент из тА. Если 1 ^ ^ к, то
к
9А(а) Е А(г(т—1)) С у А(г(т—1)).
г=1
Если же £ > к, то £ = вк + г, где 5 ^ 1, 1 ^ г ^ к. Тогда
9А(а) 9 А (а1 . . . а1(т—1)) 9А(а1 . . . а(вк+г)(т—1)')
9 А(а1 . . . авк(т—1)+т(т—1)) 9 А(а1 . . . ав(п—1)+т(т—1))
9 А([а1 . . . аз(п—1)+1]а8(п—1)+2 . . . ав(п—1)+т(т—1))
к
= 9а(ЬЬ ...Ьг(т—1)) Е А(г(т—1)) С и А(г(т—1)),
г=1
где Ь1 [а1 . . . ав(п—1)+1],Ь2 ав(п—1)+2,. . . ,Ьг(т—1) ав(п—1)+т(т—1).
к
Таким образом, доказано включение тА С у А(г(т—1'1\ Из доказанных вклю-
г=1
чений следует требуемое равенство.
3) Если 9А(а), 9а(Р) — произвольные элементы из тА, то длины 1(а) и 1(в) кратны т — 1. Тогда 1(а@) = 1(а) + 1(в) также кратно т — 1. Следовательно,
9А(а)9А(в) = 9А(ав) Е тА, то есть множество тА замкнуто относительно операции в группе А*.
Так как Ао С тА, то в тА имеется нейтральный элемент Е, совпадающий с классом конгруэнции 9а, содержащим все нейтральные последовательности п-арной группы (А, [ ]).
Пусть 9а(а) — произвольный элемент из тА и 9А(а) = 9а(@) — обратный к нему в А* . Так как
Е = 9А(а)9—1 (а) = 9А(а)9А(в) = 9А(ав),
то а/З — нейтральная последовательность п-арной группы (А, [ ]), длина 1(ав) которой, как известно, кратна п — 1. А так как п = к(т — 1) + 1, то число 1(ав) кратно т — 1. Так как числа 1(а) и 1(ав) кратны т — 1, то из равенства
1(ав) = 1(а) + 1(в)
следует, что длина I (в) последовательности в также кратна т — 1.
Таким образом, множество тА содержит нейтральный элемент Е группы А* и все свои обратные. Следовательно, тА — подгруппа группы А*.
Так как
9А(в )Аи)9—1(в) = А(Л для любого 9А(в) Е А* и любого ] = 1,... ,п — 1, то
к
вА{в)тЛ9-А1(в) = 9л(в)(и А'гт~1))в-А1(в) =
г=1
кк = [_}(9А(в)А[г{т—1))9~А1(в)) = 1] А(г(т—1)) = тА.
г=1 г=1
Следовательно, подгруппа тА инвариантна в группе А*.
к
4) Пусть 9А(а) — любой элемент из тА. Согласно 2), 9А(а) Е и А(г(т—1')\ то
г=1
есть для некоторого г Е {1,... ,к} и некоторых а1,... , аг(т—1) Е А имеем
9А(а) 9А(а1 . . . аг(т—1))
— 9А(а1 . . . ат—1)9А(ат . . . а2(т—1)) . . . 9А(а(г—1)(т—1)+1 . . . аг(т—1)) , где 9А (а1 . . . ат—1) , 9А (ат . . . а2(т—1)) , ... , 9А (а(г— 1)(т—1)+1 . . . аг(т— 1)) Е А^ ).
Таким образом, произвольный элемент группы тА представим в виде произведения элементов из А(т—1'). Это значит, что группа тА порождается множеством А(т—1).
5) Инвариантность Ао в тА следует из инвариантности Ао в А*. Так как, согласно 4) теоремы 1.4.2 [8]
9А(в )Ао = Ао9А(в) = А(г(т—1))
для любого 9А(в) Е А(г(т 1)), то
тА/Ао = {А(т—1).1 А(2(т—1)),..., А(к(т—1))}. Из легко проверяемого равенства
А(т—1)... А(т—1) = А(г(т—1))
следует, что тА/Ао — циклическая группа, порожденная элементом А(т—1).
6) Так как А*/Ао — циклическая группа порядка п — 1, то, учитывая изоморфизм
(А*/Ао)/(тА/Ао) = А*/тА и порядок |тА/Ао| = к, видим, что А*/тА —циклическая группа порядка
|А*/тА| = (п — 1)/к = к(т — 1)/к = т — 1.
Теорема доказана. □
Так как А(г(т—1) П А(з(т—1) = 0 при г = ], то из 2) предыдущей теоремы вытекает
Следствие 1. Если п = к(т — 1) + 1, (А, [ ]) — конечная п-арная группа порядка 7, то порядок группы тА равен к7.
Замечание 3. Если в теореме 1 положить т = 2, то тогда к = п — 1, тА = А*, а утверждения 1) — 6) примут следующий вид:
1) Ао С А*;
п — 1
2) А* = У А(г);
г=1
3) А* — инвариантная подгруппа группы А*;
4) группа А* порождается множеством А';
5) А*/Ао = {А,А'',... ,А(п—1') = Ао} — циклическая группа порядка п — 1, порожденная элементом А ;
6) А*/А* — циклическая группа порядка 1.
Утверждения 3 и 6 тривиальны, а остальные утверждения содержатся в теореме Поста о смежных классах ([1], теорема 1.4.2 из [8]).
Замечание 4. Если в теореме 1 положить т = п, то тогда к = 1, тА = Ао, а утверждения 1) — 6) примут следующий вид:
1) Ао С А*;
2) Ао = Ао;
3) Ао — инвариантная подгруппа группы А*;
4) группа Ао порождается множеством Ао;
5) Ао/Ао — циклическая группа порядка 1;
6) А*/Ао — циклическая группа порядка п — 1.
Утверждения 2, 4 и 5 тривиальны, а остальные утверждения содержатся в теореме Поста о смежных классах.
Таким образом, теорема 1 является обобщением теоремы Поста о смежных классах. При этом утверждение последней о том, что А*/А0 — циклическая группа порядка п — 1, может быть получено из теоремы 1 двояко: из утверждения 5) при т = 2; из утверждения 6) при т = п. Вообще говоря, указанное обобщение является формальным, так как утверждения теоремы 1 могут быть извлечены из теоремы Поста о смежных классах. Например, цикличность группы тА/А0 вытекает из того, что тА/А0 — подгруппа циклической группы А*/А0; а цикличность группы А* /тА, как видно из доказательства утверждения 6), вытекает из цикличности группы А*/А0 и изоморфизма
(А*/Ао)/(тА/Ао) = А*/тА.
Используя утверждения 3) и 4) предложения 1.3.7 [8] несложно получить разложения групп А* и тА на непересекающиеся смежные классы по подгруппам тА и А0 соответственно.
Предложение 1. Пусть (А, []) — п-арная группа, п = к(т —1) + 1, Ь Е А. Тогда:
1) А* = тА + вл(Ь)тА + 62л(Ь)тА + ... + вт-2(Ь)тА = = тА + тАвл(Ь)+ тА62л (Ь) + ... + тАвт-2(Ь); 2) тА = Ао + 6л(Ь... Ь)Ар + 6Л(Ь.... Ь)Ар + ... + 6Л 1(Ь.... 1>Ь)Ар =
т—1 т-1 т—1
= Ао + А06л(Ь_^) + Ао62Л (Ь^) + ... + Ао6к-1(Ь_^).
т—1 т—1 т—1
Известное разложение Поста ([1], предложение 1.4.6 из [8])
А* = А0 + 6 л (Ь)А0 + 6л (Ь)А0 + ... + 6л 2(Ь)А0 =
= А0 + А06л(Ь) + А06‘\(Ь) + ... + А0^л 2(Ь)
может быть получено либо из 1) предыдущего предложения при т = п, либо из 2) этого же предложения при т = 2.
Согласно Э. Посту [1] группа С называется обертывающей для п-арной группы (А, [ ]), если:
1) группа С порождается множеством А;
2) для любых х1} х2,... , хп Е А бинарная и п-арная операции связаны равенством
[Х1Х2 . . .Хп]= Х1Х2 ...Хп.
Любая обертывающая группа С п-арной группы (А, [ ]) является гомоморфным образом универсальной обертывающей группы Поста А* ([1], теорема 1.4.9 из [8]).
Замечание 5. Из утверждения 4) теоремы 1 и определения (к +1)-арной операции [ }к+1 следует, что группа тА является обертывающей для (к + 1)-арной группы (А(т—1\ [ ]к+1). Более того, группа тА изоморфна универсальной обертывающей группе Поста (А(т—1'))* для (к + 1)-арной группы (А(т'
Группа А* из теоремы Поста о смежных классах и ее подгруппа А0 используются при изучении п-арных групп. Яркими примерами эффективного использования этих групп являются описание В. А. Артамоновым свободных п-арных групп [10] и шрайеровых многообразий п-арных групп [11], а также разработанная Э. Постом [1] и С. А. Русаковым [12] силовская теория п-арных групп. Кроме того, в [13] с помощью группы А* описывались свободные абелевы п-арные группы, а в [14] с помощью подгруппы А0 описывались конгруэнции в п-арной группе (А, [ ]). В следующем разделе будет показано, что при изучении п-арных групп с успехом может быть использована и группа тА, частным случаем которой, как отмечалось в конце раздела 1, являются как сама группа А*, так и ее подгруппа А0.
3. Критерий т-полуабелевости п-арной группы
Сформулируем и докажем с помощью группы тА критерий т-полуабелево-сти п-арной группы. Предварительно напомним определения некоторых понятий и докажем две леммы.
п-Арная группа (А, [ ]) называется абелевой [15], если в ней для любой подстановки а множества {1, 2,... ,п} верно тождество
[а1а2 . . . ап] [аа(1)аа(2) . . . а<г(п)].
п-Арная группа (А, [ ]) называется полуабелевой [15], если в ней верно тождество
[аа1... йп—2Ь] = [Ьа1... ап—2а].
Э. Пост объединил абелевость и полуабелевость общим понятием, назвав [1] п-арную группу (А, [ ]) т-полуабелевой, если т — 1 делит п — 1 и
(аа1 . . . ат—2Ь) Ьа1 . . . ат—2а) Е 6л
для любых а,а1,... , ат—2, Ь Е А.
Лемма 1. В т-полуабелевой п-арной группе (А, [ ]) для всех
а} а1} . . . , а1(т—1) — 1,Ь Е А
при любом г ^ 1 последовательности
аа1 . . . аъ(т—1) — 1Ь и Ьа1 . . . аг(т—1) — 1а
Доказательство. Для сокращения записей положим
а1 а1 . . . ат—2, С1 ат—1, а2 ат . . . а2(т—1) — 1, С2 а2(т—1))
аг—1 а(г—2)(т—1)+1 . . . a(i—1)(m—1) — 1, Сг—1 a(i—1)(m—1),
аг а(г—1)(т—1)+1 ... аг(т—1) — 1.
Тогда, используя т-полуабелевость (А, [ ]), будем иметь
6л(аа1... аг(т—1)—1Ь') 6л(аа1с1а2с2 ... аг—1сг—1агЬ)
= 6л(аа1С1а2С2 ... аг—1)6л(сг—1агЬ) = 6л(аа1С1а2С2 ... а—1)6 л(ЬагСг—1) =
= 6л(аа1С1а2С2 ... аг—2Сг—2аг—1Ь)6л(агСг—1) =
= 6л(аа1С1а2С2 ... аг—2)6л(Сг—2®г—1Ь)6л(®гСг—1) =
= 6л(аа.1С1а,2С2 ... а.г—2)6л(Ьа.г—1Сг—2)6л(агСг—1) =
= 6л(аа1С1а2С2 ... аг—2Ь)6л(аг—1Сг—2агСг—1) = ...
... = 6л(аа1Ь)6л(а2С1... агСг—1) = 6л(Ьа1а)6л(а2С1... агСг—1) =
= 6л(Ьа1)6л(аа2С1)6л(азС2 ... агСг—1) = 6л(Ьа1)6л(С1а2а)6л(азС2 ... агСг—1) =
= О л (Ьа1С1а2)6л (аазС2 ... агСг—1) = ...
... = 6л(Ьа1С1а2 ... аг—2Сг—2аг—1)6л(аагСг—1) =
6л(Ьа1 С1... аг—2Сг—2аг—1)6л(Сг—1ага)
6л(Ьа1С1... аг—1Сг—1ага) 6л(Ьа1... ai(m—l)—la),
то есть
6л(аа1 . . . аг(т—1) — 1Ь') 6л(Ьа1 . . . аг(т—1) — 1а').
Лемма доказана. □
Лемма 2. п-Арная группа (А, [ ]) является т-полуабелевой тогда и только тогда, когда для любых а1,..., ат—1, Ь1,..., Ьт—1 Е А последовательности
а1 . . . ат—1Ь1 . . . Ьт—1 и Ь1 . . . Ьт—1а1 . . . ат—1 (1)
Доказательство. Зафиксировав с1, ..., Ст—2 Е А, получим
6л(а1 . . . ат—1~) — 6л(аС1 . . . Ст—2),
6л(Ь1 . . . Ьт—1) = 6л(Ьс1 . . . Ст—2)
для некоторых а, Ь Е А.
Необходимость. Так как (А, [ ]) т-полуабелева, то
6л(а1 . . . ат—1Ь1 . . . Ьт—1~) — 6л(аС1 . . . Ст—2ЬС1 . . . Ст—2) —
6л(аС1 . . . Ст—2Ь')6л(с1 . . . Ст—2%) 6л(Ьс1 . . . Ст—2а)6л(с1 . . . Ст—2%)
— 6л(Ьс1 . . . Ст—2)6л(аС1 . . . Ст—2) — 6л(Ь1 . . . Ьт—1а1 . . . ат—1~),
то есть последовательности (1) эквивалентны.
Достаточность. Из эквивалентности последовательностей (1) следует
6л(а1 . . . ат—1Ь1 . . . Ьт—1) 6л(Ь1 . . . Ьт—1а1 . . . ат—1)->
откуда
6л(аС1 . . . Ст—2Ьс1 . . . Ст—2) — 6л(Ьс1 . . . Ст—2аС1 . . . Ст—2)?
6л(аС1 . . . Ст—2Ь')6л(с1 . . . Ст—2) 6л(Ьс1 . . . Ст—2а)6л(с1 . . . Ст—2)->
6л(аС1 . . . Ст—2Ь) = 6л(Ьс1. . . Ст—2а),
то есть последовательности аС1 . . . Ст—2Ь и ЬС1 . . . Ст—2а эквивалентны. По теореме 2.6.6 [8] п-арная группа (А, [ ]) будет т-полуабелевой. Лемма доказана. □
Замечание 6. Если в лемме 2 положить т = п, то получим результат
Э. Поста ([1], с.245), согласно которому п-арная группа (А, [ ]) является полу-абелевой тогда и только тогда, когда для любых а1,..., ап—1, Ь1,..., Ьп—1 Е А последовательности
а1 . . . ап—1Ь1 . . . Ьп—1 и Ь1 . . . Ьп—1а1 . . . ап—1
эквивалентны.
Замечание 7. Если п = к(т — 1) + 1, то непосредственным следствием леммы 2 является равносильность т-полуабелевости п-арной группы (А, [ ]) и абелевости (к + 1)-арной группы (А(т—1\ [ из замечания 1.
Замечание 8. При п = к(т — 1) + 1 еще одним непосредственным следствием леммы 2 является равносильность т-полуабелевости п-арной группы (А, [ ]) и абелевости п-арной группы (А(т—1\ [ ]п) из замечания 2.
Теорема 2. п-Арная группа (А, [ ]) является т-полуабелевой тогда и только тогда, когда группа тА абелева.
Доказательство. Необходимость. Пусть
и 6л(а1 . . . аг(т—1)) , у 6л(Ь1 . . . Ьj(m—1)'),
где г,] Е {1,...,к}, п = к(т — 1) + 1, произвольные элементы из тА. Если зафиксировать с Е А, то и и у можно представить в виде
и = 6л(а с ... с), у = 6л(Ь с . „ с)
г(т—1) — 1 j(m—1) — 1
для некоторых а,Ь Е А. Пусть для определенности г < ]. Тогда, дважды применяя лемму 1, получим
иу = 6л(а с ... д)6л(Ь с . „ д) = 6л(а с ... д Ь)6л(с ... д) =
г(т—1) —1 j(m—1) —1 г(т—1) —1 j(m—1) — 1
= 6л(Ь с ... д а)6л() = 6л(Ь с . „ д)6л(а сд^^^д с)6л(с ... д) =
г(т—1) —1 j(m—1) —1 г(т—1) —1 (j—г)(т—1) —1 г(т—1) —1
= 6л(Ь с . „ д)6л(с 0_^С а)6л(с ... д) = 6л(Ь с . „ д)6л(а ) = уи,
г(т—1) — 1 ^—г)(т—1) — 1 г(т—1) — 1 j(m—1) — 1 г(т—1) — 1
то есть группа тА абелева.
Если г = , то проводятся те же самые рассуждения, но лемма 1 применяется один раз.
Достаточность. Если а1,..., ат—1, Ь1,..., Ьт—1 — произвольные элементы из А, то из абелевости тА следует
6л(а1 . . . ат—1)6л(Ь1 . . . Ьт—1~) — 6л(Ь1 . . . Ьт—1~)6л(а1 . . . am—l'),
откуда
6л(а1 . . . ат—1Ь1 . . . Ьт—1~) — 6л(Ь1 . . . Ьт—1а1 . . . am—l'), то есть последовательности
а1 ... ат—1Ь1 . . . Ьт—1 и Ь1 ... Ьт—1а1 . . . ат—1
эквивалентны. Тогда по лемме 2 п-арная группа (А, [ ]) т-полуабелева. Теорема доказана. □
Полагая в теореме 2 т = 2, получим
Следствие 2. [1] п-Арная группа (А, [ ]) является абелевой тогда и только тогда, когда ее универсальная обертывающая группа А* абелева.
Полагая в теореме 2 т = п, получим
Следствие 3. [1] п-Арная группа (А, [ ]) является полуабелевой тогда и только тогда, когда ее соответствующая группа А0 абелева.
Заметим, что следствие 3 равносильно результату Э. Поста, сформулированному в замечании 6.
Для полноты изложения приведем еще один критерий т-полуабелевости парной группы [8], в формулировке которого присутствует (к + 1)-арная группа, изоморфная (к + 1)-арной группе из замечания 1. Предварительно зафиксируем в п-арной группе (А, [ ]), где п = к(т — 1) +1, элементы с1, ..., ст—2 и определим на А (к + 1)-арную операцию [ ]к+1,с1...ст-2 следующим образом:
[а1а2 . . . ак+1]к+1,с1 ...ст-2 = [а1С1 . . . Ст—2а2С1 . . . Ст—2 . . . акС1 . . . Ст— 2ак+1].
Проведя соответствующие вычисления (см., например, [8]), можно убедиться в том, что (А, [ }к+\,С1...Ст_2) — (к + 1)-арная группа. Этот результат может быть получен и как следствие изоморфизма из следующей леммы.
Лемма 3. Пусть п = к(т—1) + 1, (А, [ ]) — п-арная группа, с1, ..., ст—2 Е А. Тогда (к + 1)-арные группы (А(т~ —1), Пк+о и (А, [ )к+1,С1 ...Ст-2 ) изоморфны. Доказательство. Определим отображение т : А(т—1) ^ А по правилу:
т : 6л(ас1... Ст—2) ^ а.
Ясно, что т — биекция А(т—1) на А.
Для любых
6л(а1С1 . . . Ст—2) , . . . , 6 л (ак+1С1 . . . Ст—2) Е А^т ^
имеем
т([6л(а1С1 . . . Ст—2) . . . 6л(ак+1С1 . . . Ст—2)]к+1) —
— т([6л([а1С1 . . . Ст—2 . . . акС1 . . . Ст—2ак+1 ]С1 . . . Ст—2)) —
[а1 С1 . . . Ст—2 . . . акС1 . . . Ст—2ак+1] [а1а2 . . . ак+1]к+1,с1...ст-2
= [т(6л(а1С1 . . . Ст—2))т(6л(а2С1 . . . Ст—2)) . . . т(6л(ак+1С1 . . . Ст—2))]к+1,с1...ст-2 , то есть
т([6л(а1С1 . . . Ст—2) . . . 6л(ак+1С1 . . . Ст—2)]к+1) —
= [т(6л(а1С1 . . . Ст—2))т(6л(а2С1 . . . Ст—2)) . . . т(6л(ак+1С1 . . . Ст—2))]к+1,с1...ст-2. Лемма доказана. □
Замечание 7 и лемма 3 позволяют сформулировать следующий критерий т-полуабелевости п-арной группы.
Предложение 2. ([8], предложение 2.6.14) Пусть п = к(т — 1) + 1, (А, [ ])
— п-арная группа. Тогда:
1) если (А, [ ]) — т-полуабелева, то для любых с1, ..., ст—2 Е А (к + 1)-арная группа (А, [ ]к+1,с1...ст-2) — абелева;
2) если для некоторых с1, ... ,ст—2 Е А (к + 1)-арная группа (А, [ ]к+1с1...ст_2)
— абелева, то (А, [ ]) — т-полуабелева.
Замечание 9. Для обозначения операции [ ]2>с1...сп_2 используется также символ ос из теоремы Поста-Глускина-Хоссу [8], [16], где элемент с определяется нейтральностью последовательности сс1 ... Сп—2.
4. Заключение.
Получены следующие основные результаты:
1) приведено обобщение теоремы Поста о смежных классах. В универсальной обертывающей группе A* n-арной группы (A, [ ]), n = k(m — 1) + 1, найдена инвариантная подгруппа mA, где A0 С mA С A*, такая, что A*/mA — циклическая группа порядка m — 1 и mA/A0 — циклическая группа порядка k (Ao -соответствующая подгруппа для (A, [ ])) (теорема 1);
2) получены разложения групп A* и mA на непересекающиеся смежные классы по подгруппам mA и A0 соответственно (предложение 1).
3) с помощью группы mA доказан критерий m-полуабелевости n-арной группы.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) — P. 208-350.
2. Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп. Харьков-Киев: Хозтехиздат, 1937.
3. Gleichgewicht B. and Glasek K. Remarks on n-groups as abstract algebras // Coll. Math. 17 (1967). P. 209-219.
4. Гальмак А. М. Об определении n-арной группы // Междунар. алгебр. конф., посвящ. памяти А.И. Ширшова: тез. докл., Новосибирск, 20-25 авг. 1991. / Ин-т мат. Сиб. отделения АН СССР, Алтайский гос. ун-т. Новосибирск, 1991. С. 30.
5. Usan J. n-Groups as variety of type <n,n-1,n-2> / J.Usan // Algebra and Model Theory, Novosibirsk. (1997) P. 182-208.
6. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 уч. года. М.: Наука, 1974.
7. Bruck R. A. Survey of binary systems. / Berlin - Heidelberg - Newyork.: Springer. 1971.
8. Гальмак А. М. n-Арные группы. Часть I. / Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.
9. Гальмак А. М. Конгруэнции полиадических групп. Минск: Беларуская наву-ка, 1999.
10. Артамонов В. А. Свободные n-группы // Мат. заметки 1970. Т. 8, №4. С. 499-507.
11. Артамонов В. А. О шрайеровых многообразиях n-групп и n-полугрупп // Труды семинара им. Г. И. Петровского. 1979. Вып. 5. С. 193-202.
12. Русаков С. А. Алгебраические n-арные системы. - Мн: Навука i тэхшка, 1992. 245 с.
13. Щучкин Н. А. Свободные абелевы n-арные группы // Чебышевский сборник. 2011. Т. Х11, вып. 2 (38) С. 163-170.
14. Щучкин Н. А. Разрешимые и нильпотентные n-группы // Алгебраические системы: сб. науч. тр. Волгоград: Перемена 1989. С. 133-139.
15. Dornte W. Untersuchungen uber ainen verallgemeinerten Gruppenbegrief. // Math. Z. Bd. 29 (1928) — P. 1-19.
16. Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. О теореме Поста-Глускина-Хоссу // Проблемы физики, математики и техники. 2013. № 1(14) С. 55-60.
Могилевский государственный университет продовольствия.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет.
Получено 19.05.2014
