CC BY
14
--© В.И. Мелик-Гайказян, Н.П. Емельянова,
Т.И. Юшина, 2012
УЛК 622.765
В.И. Мелик-Гайказян, Н.П. Емельянова, Т.И. Юшина
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПЕННОЙ ФЛОТАЦНН НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ КАПИЛЛЯРНОЙ ФИЗИКИ Сообщение 2. Влияние капиллярного давления в пузырьке на его прилипание к подложке-частице (Часть 2)*
Расчет энергетической возможности перехода А ^ М (ЛАМ) показал, что с уменьшением диаметра пузырьков М капиллярное давление РкМ в них растет, диапазон возможного изменения РкМ в пузырьках резко сужается, влияние РкМ на прилипание сохраняется и пузырьки микронных размеров энергетически могут почти в равной мере прилипать как к гидрофобным, так и к гидрофильным поверхностям. Этому способствует уменьшение краевого угла 0М у микронных пузырьков до 0,02° и начинающийся рост коэффициента растекания прилипшего пузырька по подложке-частице.
Ключевые слова: уравнения капиллярной физики, энергетическая возможность прилипания, капиллярное давление, пенная флотация, механизм прилипания, гидрофобная поверхность, гидрофильная поверхность, коэффициент растекания микропузырька по подложке.
4. Расчет энергетической возможности перехола А ^ М пузырька лиаметром 30 мкм и формой в= — 3,15-10—5
Для расчета используются данные, содержащиеся в табл. 2 с фрагментами результатов решения уравнения Лапласа для формы ¡5 , равной: -3,1510-5.
Расчеты показали, что для пузырька М с экваториальным диаметром <е > 30 мкм VA = V* и параметры пузырька А (<д и ПА) могут быть легко вычислены, как это сделано в пп. 3.2 и 3.3 первой части статьи. Однако, оказалось, что пузырек А с <е <30 мкм в момент перехода А ^ М слегка расширяется и параметры пузырька А вычисляются на основе принципа, что поверхность шара не может быть
больше поверхности любого тела того же объема. Параметры пузырька А (ПА, <д и VA) вычисляются на основе соотношения (6)
Па = (Пм + Дм) — х, (6)
где х — единица, вычитаемая из последнего разряда числа (ПМ + ПаМ).
Пример вычисления ПА возьмем из табл. 4.
Подставив в уравнение (6) значение (ПМ + ПаМ) из графы 7 Таблицы 4 и вычтем из него величину х = 0,000000001-10-9 м2, получим тождество (7).
ПА = 2,827492144-10-9 -
- 0,000000001-10-9 = = 2,827492143-10-9 м2.
(7)
Сообщение 1 — ГИАБ, 2011, № 5, С.135-144; сообщение 2 (часть 1) — ГИАБ, 2012, № 8, С. 194—203.
Возможно, х должно быть большим числом. Это следует исследовать.
Подставим полученное значение ПА в графу 6, строку 4 табл. 4.
По вынисленному значению ПА определяем аД — диаметр пузырька А , а затем по аД — объем которые вносим в графы 5 и 4 соответственно.
Таким образом, переход А ^ М для пузырьков диаметром до 30 мкм вычисляется полностью по схеме п.3, а для пузырьков с < 30 мкм — с некоторым отклонением от этой схемы в самом начале расчета. Для них расчет ведется в следующей последовательности.
1. Вычисление Vм (по п.3.1).
2. Вычисление ПМ (по п.3.4).
3. Вычисление ПаМ (по п.3.5).
4. Вынисление (ПМ + ПаМ) (по п. 3.6).
5. Вычисление ПА по уравнению (6) (вместо п.3.3).
6. Вычисление аД = (ПА/я)0'5 (вместо п.3.2).
7. Вычисление VA = =п(аД)3/6 (вместо п.3.1).
Далее весь расчет продолжается в последовательности, принятой в п.3, а полученные результаты вносятся в табл. 4, которая построена по типу табл. 3.
Сопоставим результаты перехода А ^ М пузырьков диаметром 3 мм и 30 мкм, т.е. в 100 раз меньше размера. Хотя числа в одноименных графах обеих таблиц различаются между собой от двух до восьми порядков, закономерности их изменения очень схожи и потому выводы, записанные в п.3.21 при обсуждении результатов табл. 3 остаются справедливыми и при трактовке результатов табл. 4. Именно из-за этой схожести не приведены таблицы с результатами расчета для промежуточных пузырьков диаметром 1 мм и 100 мкм, но некоторые из содержащихся в них результатов используются в дальнейших обсуждениях.
5. Расчет энергетической возможности перехола А ^ М пузырьков различного размера
Расчеты проводились по схеме п.3 для пузырьков с диаметром более 30 мкм (1 мм и 100 мкм), а для пузырьков меньшего размера (3 мкм, 1 мкм и 600 нм) с некоторыми изменениями в порядке расчета, поясненными в п.4. Чтобы не перегружать статью, в Таблице 5 приведены результаты, полученные в расчете перехода А ^ М для пузырька с а, = 600 нм. Отличия в том, что при всех значениях Р^ пузырек показывает энергетическую возможность прилипать к гидрофильной поверхности.
Для обсуждения полученных результатов представим их в сводной табл. 6 и в виде рис. 2. Кроме того, рационально ввести параметр ЯМ = ЦМ/ЦА , который помещен в строки 5 Таблиц 4 и 5. Параметр ЯМ монотонно растет с уменьшением размера пузырька, используемого в расчете перехода А ^ М.
Рассмотрение данных табл. 6 рационально начать с графы 3, содержащей результаты расчета перехода А ^ М пузырьком диаметром 3 мм, помещенные в табл. 3 первой части статьи.
Из строки 5 табл. 6 следует, что при РкМ2 = 87,7052 Н/м2 пузырек диаметром 3 мм может легко прилипнуть (знак минус в строке 6) к гидрофобной подложке, но из строк 1 и 8 следует, что при росте РкМ2 до РкМ1 = 93,333 Н/м2 этот пузырек уже не может (знак плюс в строке 8) прилипнуть к данной подложке, а из строк 2 и 9 следует, что при снижении РкМ2 до РкМ3 = 76,1408 Н/м2 он может прилипнуть даже к предельно гидрофильной поверхности.
Таким образом, при диапазоне изменений значений капиллярного давления от РкМ1 до РкМ3 18,4 % влияние РкМ на прилипание прослеживается довольно четко.
Результаты расчета энергетической возможности перехода А > М для пузырька диаметром с1е ~ 30 мкм и формой р = -3,15 -10'5 , а также выбора методики расчета Ркм
№ Пузы- -Р Ум, Уд, м3 С/а , М Пм, ПА, М2 (Пм + П,м), м2 Пам , м2
п/п рек
1 2 3 4 5 б 7 8
1 М1 3,15-Ю"5 1,413760842-Ю14 3,000015730-Ю"5 2,827476905-Ю"9 2,827492144-Ю"9 1,523816123-Ю14
4 А 0 1,413760761-Ю14 3,000031171-Ю-5 2,827492143-Ю"9 - -
5 Км = 1/м/1/А = 1,0000000573
Продолжение табл. 4
№ Пузы- <Т, Н/м Рим, РкА, Н/ м2 Рим- Ум; Рид- Уд, Дж 0-Пм, О-Па, ДЖ 0(ПМ + ПаМ), ДЖ
п/п рек
1 2 9 10 11 12 13 14
1 М1 0,525 0,070 9333,33333 1,319510119-Ю10 1,979233834-Ю10 1,979244501-Ю10
2 М2 0,525 0,070 9333,28440 1,319503200-Ю"10 1,979233834-Ю10 1,979244501-Ю10
3 МЗ 0,525 0,070 9333,18645 1,319489353-Ю"10 1,979233834-Ю10 1,979244501-Ю10
4 А 0 0,070 9333,23636 1,319496334-Ю10 1,979244500-Ю10 -
Окончание табл. 4
№ п/п Пузырек С5мг, бд, Дж С5мф, Дж ДС5г = С5мг — бд , Дж ДСзф — С?мф — вд , Дж Дж/м3 А6'"' Дж/м3
1 2 15 16 17 18 19 20
1 М1 3,298743952-Ю"10 3,298743952-Ю"10 3,118-Ю"16 3,118-Ю"16
2 М2 3,298737034-Ю"10 3,298747701-Ю"10 -3,800-Ю"16 6,867-Ю"16 -0,0269 0,0486
3 МЗ 3,298723187-Ю"10 3,298733854-Ю"10 -1,765-Ю"15 -6,980- Ю"16
4 А 3,298740834-Ю"10 -
Примечание. Радиус кривизны в куполе пузырька Ь = 1,5-Ю"5 м.
Результаты расчета энергетической возможности перехода А > М для пузырька диаметром с1е = 600 им и формой р = -1,26 -10"8, а также выбора методики расчета Ркм
№ Пузы- -Р Ум, Уд, м3 Йд , М Пм, Па, м2 (Пм + Л, м), м2 /7ам , М2
п/п рек
1 2 3 4 5 б 7 8
1 М1 1,26-10"8 1,13097314023-Ю19 6,00000001256-Ю-7 1Д30973135391012 1,13097313784-Ю12 2,4444654284- Ю"21
4 А 0 1,13097302909-Ю19 5,99999942316-Ю-7 1Д3097313783 1012 - -
5 Км = Vu/V^= 1,00000009827
Продолжение табл. 5
№ п/п Пузырек 6м <7, Н/м Рим, РкА, Н/ м2 Рим- Ум; Рид- Уд, Дж СТ-Пм, Ст-Пд, Дж 0(Пм + ПаМ), ДЖ
1 2 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 М1 М2 МЗ А 0,020 0,020 0,020 0 0,070 0,070 0,070 0,070 466666,66667 466666,66569 466666,66364 466666,71153 5,2778746544-Ю"14 5,2778746434-Ю"14 5,2778746202-Ю"14 5,2778746432-10"14 7,9168119477-Ю"14 7,9168119477-Ю"14 7,9168119477-Ю"14 7,9168119648-Ю"14 7,9168119649-Ю"14 7,9168119649-Ю"14 7,9168119649-Ю"14
Окончание табл. 4
№ п/п Пузырек вмг, бд, Дж вмф, Дж ДС5г = Смг - вд , Дж ДСзф — (*МФ — вд , Дж Дж/м3 Аа" Дж/м3
1 2 15 16 17 18 19 20
1 М1 1,3194686602-Ю"13 1,3194686619-Ю"13 -5,82-Ю"23 1,13-Ю"22 -0,00051 0,00100
2 М2 1,3194686591-Ю"13 1,3194686608-Ю"13 -1,69-Ю"22 2,42-Ю"24 -0,0015 0,00002
3 МЗ 1,3194686568-Ю"13 1,3194686585-Ю"13 -4,00-Ю"22 -2,29-Ю"22 -0,0035 -0,0020
4 А 1,3194686608-Ю"13 -
Примечание. Радиус кривизны в куполе пузырька Ь = 3-10'м.
Параметры пузырьков различного размера, влияющие на их прилипание к подложке-частице
№ Параметры Экваториальные диаметры сидячих пузырьков
строк 3 мм 1 мм 100 мкм 30 мкм 3 мкм 1 мкм 600 нм
1 2 3 4 5 б 7 8 9
1 РкШ, Н/м2 93,3333 280,0000 2800,0000 9333,3333 93333,3333 280000,0000 466666,6667
2 РкМЗ, Н/м2 76,1408 275,0154 2799,5104 9333,1865 93333,3186 279999,9951 466666,6636
3 Дв(М= -РкМГ-РкМЗ. Н/м 17,1925 4,9846 0,4896 0,1468 0,0147 0,0049 0,0031
4 АРкм, % 18,4 1,78 1,75-Ю'1 1,5710'3 1,5810"5 1,7510"6 6,64-Ю"7
5 Ркмг, Н/м2 Приемлемые знаки, полу- 87,7052 278,3455 2799,8366 9333,2843 93333,3285 279999,9984 466666,6657
6 7 8 ченные с Ркмг , строка 2 у А^- — в графе 17, у АСФ — в графе 18 Абсурдные знаки у АСГ, II _|_М II II II _|_М II II II II II II
9 полученные с РкМ1 в графе 17, строка 1 Абсурдные знаки у АСф, II _|_М II II II _|_М II II II II
10 полученные с РкМз в графе 18, строка 3 град. 60,6 17,8 1,75 0,53 0,053 0,018 0,020
11 кЛка 1 1 1 2-3 21-34 90-140 170-270
Примечание. РкМ — капиллярные давления газа на различных уровнях пузырька М; Д(3г и Дбф — приращения энергий пузырьков при их прилипании к гидрофобной (Г) и гидрофильной (Ф) подложкам (переход А —> М); вы — краевой угол смачивания; Ко = К„ = аг/а! — коэффициенты растека-
ния пузырьков, прилипших к поверхности подложки-частицы [8].
Рис. 2. Характер изменения удельной энергии AG/V от диаметра пузырьков при их переходе А ^ М на гидрофобной (Г) и гидрофильной (Ф) подложках. График построен по результатам расчетов на пузырьках диаметром от 3 мм до 600 нм. Треугольниками отмечены точки, соответствующие прилипанию пузырьков к подложке. Начиная с точки 6 (1 мкм), кривые (Г) и (Ф) сливаются, т.е.пузырьки энергетически в равной мере могут прилипнуть как к гидрофобной, так и к гидрофильной поверхностям. Точки 15 и 19, заимствованные из [8, рис.2], ошибочны. Новая методика расчета перехода А > М изначально исключает такие погрешности
При переходе к пузырьку с de = 1 мм (графа 4) диапазон изменения РкМ сужается с 18,4 % до 1,78 %, а влияние РкМ на возможность прилипания сохраняется до пузырьков микронных размеров, когда они практически в равной мере могут энергетически прилипать, как к гидрофобной, так и к гидрофильной поверхности.
Из данных табл. 6 следует, что с уменьшением размера пузырька диапазон изменения ДРкМ сужается
практически до нуля, но величина РкМ2 не выпадает из него. То есть, способ расчета капиллярного давления в пузырьке М, принятый для РкМ2 (см.п.3.9), правильный. Небольшое отклонение от РкМ2 в сторону РкМ1 исключает прилипание, а снижение в сторону РкМ3 способствует прилипанию. Отсюда следует, что РкМ является влиятельным фактором в процессе прилипания пузырька к подложке.
Возможно, что росту прилипаемо-сти микронных пузырьков к твердой поверхности способствует уменьшение краевого угла 6М до 0,02° (см. строку 10), с которым он может закрепиться на твердой поверхности, и увеличение способности прилипшего пузырька к растеканию по твердой поверхности-частице (см. строку 11) [8].
На рис. 2 показан характер изменения удельной энергии ДС/V от диаметра пузырьков при их переходе А ^ М на гидрофильной (Ф) и гидрофобной (Г) подложках.
Треугольниками отмечены точки, соответствующие прилипанию пузырьков к подложке. Начиная с точки 6 (de = 1 мкм), кривые (Г) и (Ф) сливаются, то есть, пузырьки энергетически могут прилипнуть в равной мере как к гидрофобной, так и к гидрофильной поверхностям.
Точки 15 и 19, рассчитанные ранее [8], ошибочны. Авторы сожалеют об этом. Ошибка произошла на стадии оценки величины капиллярного давления в пузырьке М и при оценке параметров пузырька А. Новая методика расчета (см.п.4) исключает такие погрешности.
Выволы
1. Установлено, что величина капиллярного давления газа в пузырьке является влиятельным фактором в процессе его прилипания к подложке-частице.
2. Найден способ расчета величины реального капиллярного давления в пузырьке М .
3. Энергетический барьер на пути перехода А ^ М к гидрофильным поверхностям заметно падает с уменьшением размера пузырька и достигает нуля в случае микронных пузырьков при а = 0,07 Н/м.
8. Мелик-Гайказян В.И., Емельянов В.М., Емельянова Н.Л., Емельянов В.В., Моисеев A.A., Юшина Т.И. К решению задач пенной
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ (продолжение)
флотации на основе уравнений капиллярной физики // ГИАБ. — МГГУ,. 2011. — № 5. — С. 135—144. ТШ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -
Мелик-Гайказян Виген Иосифович - профессор, доктор химических наук, Емельянова Нина Павловна - доцент, кандидат химических наук, Юго-западный государственный университет, [email protected], Юшина Татьяна Ивановна - кандидат технических наук, доцент, Московский государственный горный университет, [email protected].
А
