CC BY
12
- © В.И. Мслик-Гайказян, Н.П. Емельянова,
Т.И. Юшина, 2012
УДК 622.765
В.И. Мелик-Гайказян, Н.П. Емельянова, Т.И. Юшина
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПЕННОЙ ФЛОТАЦИИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ КАПИЛЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
Сообщение 2*
Введен критерий в новый вариант расчета энергетической возможности перехода свободного пузырька А в прилипший к подложке-частице пузырек М или кратко переход А ^ М (ПАМ). Установлено, что результаты расчета ПАМ зависимы от величины капиллярного давления РМ в пузырьке М и могут быть как правильными, так и ошибочными. Введенный критерий позволяет их легко разделить, но это потребовало повторного, более точного расчета ПАМ. В результате открылись новые обстоятельства, иллюстрирующие влияние РкМ на процесс прилипания. Приведен числовой пример расчета ПАМ от источника точных данных параметров пузырьков М до конечных однозначных результатов расчета.
Ключевые слова: уравнения капиллярной физики, энергетическая возможность прилипания, капиллярное давление, пенная флотация, механизм прилипания, гидрофобная поверхность, гидрофильная поверхность.
Влияние капиллярного давления в пузырьке на его прилипание к подложке-частице. (Часть 1)
1. Энергетический расчет возможности прилипания
пузырька к подложке (частице)
Представим схемой на рис. 1, а процесс перехода маленького свободного сферического пузырька А в прилипший к подложке пузырек М. Для краткости назовем этот процесс переходом А ^ М и разделим его для расчета на три этапа [1].
Первый этап. Соприкосновение сферического пузырька А с твердой, горизонтальной, гладкой поверхностью в точке О.
Второй этап. Прилипание. Рассмотрим его после третьего этапа.
Третий этап. Прилипание состоялось и образовался периметр контакта с малым радиусом Ох2. Пузырек А с формой в = 0 превратился в пузырек М с формой - в, описываемой уравнением Лапласа [2].
Используя результаты численного решения уравнения Лапласа для выбранного значения - в, можно рассчитать все параметры пузырька М: его объем Vм, площадь боковой поверхности Пм, площадь контакта ПаМ, радиус кривизны Ь поверхности пузырька в его куполе, диаметр ёе его экватора, краевой угол вм у основания пузырька, высоту г пузырька и величину капиллярного давления РкМ газа в нем.
Забегая вперед, отметим, что за величину РкМ в сообщении [1] было принято давление в куполе пузырька М, что оказалось неприемлемым и привело к ошибочным результатам в случае пузырьков с от 3 до 0,03 мм.
"Сообщение 1 - ГИАБ, 2011, № 5, с.135-144. 194
а б н
Рис. 1. Схема прилипания маленького сферичного свободного пузырька А (а) к предельно гидрофильной (б) и предельно гидрофобной (в) подложке (частице). Переход А ^ М (а): 1, 2, 3 - водная, газообразная и твердая фазы; о-12 - поверхностное натяжение на границе пузырек-вода до и после прилипания; а23 - поверхностное натяжение на границе водной прослойки с воздухом пузырька; ПА и ПМ - площади поверхности пузырьков соответственно до и после прилипания; ПаМ - площадь границы пузырек-подложка; г - радиус пузырька А; Ь - радиус кривизны прилипшего пузырька М в его куполе; Се - экваториальный диаметр пузырька М; г - высота пузырька М, а - диаметр основания пузырька М; вМ - угол наклона поверхности пузырька М к горизонту у его основания; Ох1 - начальный радиус периметра контакта пузырька М с подложкой
Затем вычисляются параметры пузырька А. При этом поначалу предполагается, что в момент прилипания объемы пузырьков А и Модинаковые, т.е. [/А = VМ.
Таким образом, рассмотрение процесса прилипания (второй этап) сводится к расчету параметров пузырьков М и А, вычислению заключенной в них энергии, определению знака и величины приращения энергии при переходе А ^ Ми оценке их соответствия существующим представлениям о процессе.
Следует также учесть, что при прилипании пузырька к гидрофильной поверхности между прилипшим пузырьком и подложкой образуется тонкая прослойка жидкости (см. рис. 1, б). В случае предельно гидрофобной подложки (рис. 1, в) эта пленка распадается на мелкие капельки. Оба явления были обнаружены под пузырьком, сидящим на поверхности ртути при различных ее поляризациях А.Н.Фрумкиным с сотрудниками [3, 4].
Поскольку толщины прослоек воды на отдельных частицах неизвестны, то в расчетах рассматриваются два предельных случая. Первый случай с гидрофильной (Ф) подложкой (рис. 1, б), когда толщина прослойки настолько велика, что поверхностное натяжение на ее границе с воздухом пузырька о23 « 012. Этот случай наиболее неблагоприятный для прилипания. Второй предельный случай изображен на рис. 1, в. Он соответствует условию предельно гидрофобной (Г) подложки, наиболее благоприятному для прилипания и флотации.
Естественно, что сделанные допущения могут не соответствовать реальности, но все реальные случаи расположатся веером между рассматриваемыми предельными. Расчет проводится для этих предельных случаев.
Энергия бмГ пузырька М, сидящего на гидрофобной (Г) поверхности, равна сумме объемной энергии газа в пузырьке Ркм^м и поверхностной энергии а12-Пу[. Вычисляется 6МГ по уравнению (1)
Смг = РкМ^М + <У12'Пм . (1)
Энергия 6МФ пузырька М, сидящего на гидрофильной (Ф) поверхности (рис. 1, б), больше, чем 6МГ на величину поверхностной энергии ст12-ПаМ и вычисляется по уравнению (2)
Омф = РкМ ■ Vм + &22 ■ (Пм + ПаМ) . (2)
Энергия ОА пузырька А рассчитывается по уравнению (3) Оа = РкА ■ VА + СГ22 ■ Па . (3)
Далее определяется знак и величина приращений энергии АО при переходе А ^ М по уравнениям (4) и (5)
АОг = Омг - Оа , (4)
АОф = Омф - Оа . (5)
Если приращение АОГ или АОф окажется положительным, т.е. АО > 0, то прилипание пузырька данного размера и формы самопроизвольно произойти не может. В случае АО < 0 прилипание может быть самопроизвольным, а если АО ~ 0, то для прилипания необходимы некоторые флуктуации у периметра контакта, которые были рассмотрены в [5].
Чтобы установить роль капиллярного давления в переходе А ^ М, вычислим Ркм на трех уровнях пузырька М для каждого -в. Естественно, Ркм1, Ркм2, и РкМ3 получатся разными. Разными получатся и АО. Соотнося их знаки с реальными явлениями, можно установить, какое из значений Ркм ближе к истинному, а какого просто не может быть в пузырьке М.
2. Источник параметров пузырьков
Единственным надежным источником параметров пузырьков для расчета перехода А ^ М пока являются результаты численного решения уравнения Лапласа, оформленные в виде безразмерных точных таблиц типа таблиц Баш-форта и Адамса [2].
Авторами таблиц [2] являются выдающиеся английские ученые: Френсис Башфорт - баллистик, увлекавшийся на досуге капиллярными явлениями, и Джон К.Адамс - знаменитый астроном, вычисливший в 1845 г. в свои 26 лет точное положение на небе неизвестной тогда планеты (Нептун) по отклонению планеты Уран от предписанной ей орбиты.
Следует заметить, что уравнение Лапласа в своем первоначальном виде (1806 г.) не могло быть использовано для вычисления координат контуров пузырьков. По просьбе Ф.Башфорта (в 1855 г.) Дж.Адамс преобразовал уравнение и разработал метод численного его решения для простого случая симметричных капель и пузырьков. В 1883 г. таблицы [2] были опубликованы и содержали результаты решения для 30-ти положительных (в > 0) и 16-ти отрицательных (в < 0) форм. В пояснении к таблицам Адамс изложил свой метод решения уравнения Лапласа, причем отдельно для в > 0 и в < 0.
По описанию в [2] для в < 0 метод Адамса был воспроизведен в [6, с.161^165]. Учитывая трудоемкость расчета, он был снабжен поясняющим числовым примером (в = -0,15) и использован для получения большого числа таблиц от форм крупных сидячих пузырьков, содержащихся в [2], до весьма малых. Применительно к пенной флотации уравнение Лапласа рассмотрено также и в [7] с изображением контуров пузырьков с различными формами в.
Для пояснения проводимого ниже расчета энергетической возможности перехода А ^ М приведена табл. 1 в качестве источника исходных данных для пузырька с диаметром ёе ~ 3 мм и формой в = -3,15-10-1. Табл. 1 составлена почти также как и таблицы [2], но содержит вместо шести семь граф: в/Ь; Ь/р; р; х/Ь; г/Ь; V/Ь3 и П/Ь2.
Поясним смысл параметров пузырька, указанных в этих графах. Величина Ь - радиус кривизны формы в ее куполе, является масштабом к таблицам и вычисляется по преобразованному уравнению Лапласа. Величина в/Ь - длина дуги, отсчитанная от купола в единицах Ь, является независимой переменной при решении уравнении для форм в < 0. Величина Ь/р- второй главный радиус кривизны. Параметр р - угол, который составляет с осью симметрии нормаль к контуру пузырька в точке с координатой в/Ь. Параметры х/Ь и г/Ь - декартовские координаты этой точки. Параметры ^Ь3 и П/Ь2 - соответственно объем и площадь поверхности части пузырька, заключенной между куполом формы и уровнем, проходящим через точку с указанными параметрами в/Ь, х/Ь, г/Ь или р. Дополнительной к таблицам [2] является графа П/Ь2. Ее пришлось досчитать [6], поскольку площадь поверхности пузырька необходима для расчета его поверхностной энергии.
Чтобы оценить влияние размера пузырька и величины давления РкМ в нем на переход А ^ М, расчеты проводились также с пузырьками значительно меньшего размера с формами в, равными; -3, 5-10-2; -3,15-10-3; -3,15-10-5; -3,15-10-7. Они соответствуют пузырькам диаметром в 1 мм, 300, 30 и 3 мкм. Все расчеты проводились по одной схеме, которая поясняется приведенным в п.3 числовым примером, выполненным для пузырька диаметром 3 мм. В табл. 2 приведены фрагменты таблиц типа табл. 1 для перечисленных выше форм -в, которые послужили основой для расчетов связанных с переходом А ^ М пузырьков меньших размеров.
3. Расчет энергетической возможности перехода А ^ М пузырька
диаметром 3 мм и формой в= -3Д5-10"1. Числовой пример
Чтобы использовать для расчета безразмерные данные, содержащиеся в табл. 1, их надо умножить на масштаб, т.е. на величину Ь в соответствующей степени. Величина Ь вычисляется по уравнению Лапласа [7, ур-е (5)] после подстановки в него соответствующих параметров, связанных с пузырьком М: в = -3,15-10-1; (Г = 0,070 Н/м; А = 0 кг/м3 (для воздуха); = 1-103 кг/м3 (для воды); д = 9,8 м/с2.
Ь = ]<•10-^0'070 = -Д^ = 1,5.10-3 м
Ч<Ц - А) • 8 \( <0 -1103) • 9,8 '
Вычисленные параметры пузырьков М и А вносятся в соответствующие графы и строки табл. 3.
Лля расчета рационально из табл. 1 выбрать пузырек, основание которого соответствует точке перегиба на контуре формы. В этой точке второй главный радиус Ь/р кривизны поверхности пузырька меняет свой знак, угол р максимален, а выбранный пузырек имеет минимальный краевой углом дм, с которым он может закрепиться на данной подложке, если дм<др. Угол дР характеризует смачиваемость подложки и удовлетворяет закону Юнга.
В соответствии с вышесказанным находим в табл. 1, в графе 1 строку с в/Ь = 2,975 соответствующую уровню, ближайшему к точке перегиба, где значение Ь/р минимально или близка к нулю.
3.1. Вычисление объема пузырька ^ .
Из графы 6 на уровне в/Ь = 2,975 берем значение ^Ь3 и умножаем его на Ь3 Vм = ^Ь3 Ь3 = 5,95014256-(1,5-10-3)3 = 2, 00817311-10-8 м3.
^ Таблица 1
00 Результаты численного решения уравнения Лапласа для // = -3,15-10'1
5 Ь 9° X г V п
~ь Р ~Ь ~Ь ьъ
1 2 3 4 5 6 7
од 0,998820 5,727323 0,09983349 0,00499485 0,00007825 0,0313898
0,2 0,995290 11,441140 0,19867182 0,01991790 0,00123871 0,1252459
0,3 0,989442 17,128073 0,29553904 0,04458636 0,00615983 0,2806349
0,4 0,981329 22,774982 0,38949685 0,07870140 0,01898909 0,4960213
0,5 0,971022 28,369085 0,47966164 0,12185655 0,04490781 0,7692960
0,6 0,958606 33,898047 0,565219511 0,17354883 0,089596 1,0978162
0,7 0,944179 39,350060 0,64543876 0,23319215 0,15865648 1,4784528
0,8 0,927847 44,713902 0,71967964 0,30013234 0,25706308 1,9076454
0,9 0,909719 49,978970 0,78740107 0,37366309 0,38868308 2,3814625
1,0 0,889904 55,135288 0,84816445 0,45304232 0,55592075 2,8956645
1Д 0,868504 60,173489 0,90163465 0,53750826 0,75950446 3,4457688
1,2 0,845612 65,084764 0,94757848 0,62629475 0,99842579 4,0271146
1,3 0,821303 69,860785 0,98586091 0,71864552 1,27002179 4,6349254
1,4 0,795629 74,493596 1,01643964 0,81382689 1,57017826 5,2643695
1,5 0,768615 78,975464 1,03935820 0,91113896 1,89362365 5,9106158
1,6 0,740249 83,298693 1,05473829 1,00992513 2,23427869 6,5688857
1,7 0,710474 87,455401 1,06277162 1,10957993 2,58562743 7,2344995
1,76 0,691890 89,866048 1,06416830 1,16955924 2,79882075 7,6354973
1,9 0,646193 95,235014 1,05786599 1,30936602 3,29429328 8,5697770
2,0 0,611251 98,838335 1,04558865 1,40859288 3,63945790 9,2309234
2,1 0,573991 102,235014 1,02727433 1,50688660 3,97149689 9,8824374
2,2 0,533924 105,410438 1,00335312 1,60397014 4,28621578 10,5206594
2,3 0,490394 108,346733 0,97428714 1,69964134 4,58037933 11,1422100
2,4 0,442535 111,021689 0,94056909 1,79377569 4,85172941 11,7440098
2,5 0,389212 113,407397 0,90272314 1,88632965 5,09895162 12,3232989
2,6 0,328939 115,468482 0,86130894 1,97734494 5,32160087 12,8776572
2,7 0,259787 117,159835 0,81692967 2,06695382 5,51999722 13,4050299
2,8 0,179273 118,423762 0,77024532 2,15538551 5,69510290 13,9037577
2,9 0,084260 119,186504 0,72199314 2,24297304 5,8483907 14,3726193
2,975 0,001211 119,374147 0,68527800 2,30837176 5,95014256 14,7042081
2,980 -0,004736 119,373644 0,68282546 2,31272894 5,95654777 14,7256982
3,1 -0,165009 118,810200 0,62431239 2,41749581 6,09718439 15,2184132
3,3 -0,518598 115,001765 0,53277416 2,59527633 6,283718313 15,9441999
3,5 -0,957603 106,574568 0,46048036 2,78155896 6,42679155 16,5654088
3,7 -1,288435 93,444904 0,42469032 2,97788186 6,54555551 17,1168418
3,745 -1,314585 90,084353 0,42330038 3,02285393 6,57092808 17,2366615
3,8 -1,315353 85,931497 0,425211645 3,07780865 6,60195443 17,3831590
Примечание: Таблица составлена по типу Таблиц Башфорта и Адамса [2
Таблица 2
Фрагменты результатов численного решения уравнения Папласа для различных форм - /?
я/Ь Ь/р Ф° х/Ь г/Ь У/Ь3 П/Ь2
1 2 3 4 5 6 7
^ = -3,5 -10^
1,590 0,970304 90,164067 1,005939542 1,017275927 2,160605724 6,415070330
3,030 0,081679 162,203892 0,165544321 2,060120426 4,340513647 12,785544198
3,035 0,028601 162,219800 0,160783324 2,061647813 4,340641404 12,790670143
3,040 -0,029409 162,219809 0,156022112 2,063174529 4,340761759 12,795646509
3,050 -0,162827 162,165938 0,146500859 2,066231608 4,340981569 12,805150534
Р = -3,15 -10^
1,570 0,997379 89,872919 1,000523407 0,999032164 2,092362922 6,279125258
3,090 0,335664 174,629893 0,056446365 2,006993063 4,202016506 12,582845230
3,100 0,022102 174,741077 0,046489115 2,007916709 4,202024221 12,586079052
3,102 -0,067104 174,738611 0,044497535 2,008100035 4,202025414 12,586650738
3,110 -0,581669 174,601512 0,036531874 2,008840451 4,202029241 12,588687222
Р= -3,15 -10^
1,570 0,999974 89,953553 1,000004921 0,999201853 2,091896718 6,278188842
3.1365 0,206004 179,471371 0,005142994 2,000122511 4,188921013 12,566548652
3,1370 0,025802 179,474823 0,004643015 2,000127105 4,188921013 12,566564024
3,1375 -0,223509 179,472194 0,004143036 2,000131695 4,188921014 12,566577825
3,1380 -0,582380 179,460980 0,003643058 2,000136342 4,188921014 12,566590056
Р= -3,15-10'
1,570 1,000000 89,954360 0,999999735 0,999203548 2,091892048 6,278179476
3,1408 0,666204 179,939381 0,000793228 2,000001435 4,188790638 12,566368723
3,1410 0,402949 179,945717 0,000593228 2,000001635 4,188790638 12,566369595
3,1412 -0,362650 179,946769 0,000393228 2,000001820 4,188790638 12,566370214
3,1414 -4,887217 179,923751 0,000193228 2,000002033 4,188790638 12,566370583
Примечание: табл. 2 содержит фрагменты таблиц типа табл. 1 для уровня, ближайшего к экватору формы и нескольких уровней в районе точки перегиба на ее меридиональном контуре.
Внесем этот параметр в графу 4, в строку 1 табл. 3, а также и в строку 4, поскольку ранее было принято, что VА = Vм.
3.2. Вычисление диаметра пузырька А
<^а = (6^а /П1/3 = (6-2, 00817311-10-8/л)1/3 = 3,372361907-10-3 м. Полученное значение внесем в строку 4 графы 5 табл. 3.
3.3. Вычисление площади поверхности пузырька А
ПА = п- Ш2 = п- (3,372361907-10-3)2 = 3,57287829 -10-5 м2 .
Внесем этот результат в графу 6, в строку 4.
3.4. Вычисление площади поверхности пузырька М
М = П/Ь2- Ь2 = 14,7042081-(1,5-10-3)2 =3,30844682-10-5 м2. Внесем этот результат в графу 6, в строку 1.
3.5. Вычисление площади контакта пузырька М с подложкой
ПаМ = п-[(x/b)-b]2 = п-(0,6852780-1,5-10-3)2 = 3,31944877-10-6 м2. Внесем этот результат в графу 8, в строку 1.
3.6. Вычисление обшей площади поверхности пузырька М
Пм + Пм = 3,30844682-10-5 + 3,31944877-10-6 = 3,64039170-10-5 м2. Внесем этот результат в графу 7, в строку 1.
3.7. Вычисление экваториального диаметра d пузырька М
Этот параметр можно определить по значению x/b на уровне s/b = 1,76 посредством тригонометрического соотношения
, 2 -(x / b)-b 2 1,0641683 1,5 10-3
de =-;-=-. оглогтло-= 3,192513625-10-3 м .
e sin (p sin89,866048
Внесем этот результат в графу 5, в строку 1.
3.8. Вычисление величины краевого угла вм 6М = 180 - p = 180 - 119,374147 и 60,6°.
Внесем этот результат в графу 9, в строку 1.
3.9. Вычисление величины капиллярного давления РкМ для трех уровней в пузырьке М с тем, чтобы потом по результатам расчета AGp и AGo выбрать то давление, которое реально действует в нем
РкМ1 = 2-cr/b = 2-0,070/(1,5-10-3) = 93,3333333 Н/м2 - в куполе пузырька; РкМ2 = 4c/de = 4-0,070/(3,192513625-10-3) = 87,7051856 Н/м2 - между куполом и экватором;
РкМ3 = 2c/b - (z/b\,-b-D2-g = 93,3333333 - 1,16955924-1,5-10-3-1-103-9,8 = = 76,1408125 Н/м2 - на уровне экватора.
Внесем полученные результаты в графу 11, в строки 1^3.
3.10. Вычисление величины капиллярного давления Ркд в пузырьке А
РкА = 4-c/dA = 4-0,070/(3,372361907-10-3) = 83,0278623 Н/м2 - по закону Лапласа.
Внесем полученный результат в графу 11, в строку 4.
3.11. Вычисление объемной энергии газа в пузырьке М для выбранных трех уровней
РкМ1* Vm = 93,3333333-2, 00817311-10-8 = 1,87429490-10-6 Лж; РкМ2 ■ Vm = 87,7051856-2, 00817311-10-8 = 1,76127195-10-6 Лж; РкМ3-VM = 76,1408125-2, 00817311-10-8 = 1,52903932-10-6 Лж. Внесем полученные результаты в графу 12, в строки 1, 2 и 3.
3.12. Вычисление объемной энергии газа в пузырьке А РкА^а = 83,0278623-2,00817311-10-8 = 1,66734320-10-6 Дж.
Внесем полученный результат в графу 12, в строку 4.
3.13. Вычисление поверхностной энергии пузырька М (Пм = 0,070-3,30844682-10-5 = 2,31591277-10-6 Дж.
Вносим этот результат в графу 13, в строки 1ч3.
3.14. Вычисление поверхностной энергии пузырька А (Па = 0,070-3,57287829-10-5 = 2,50101480-10-6 Дж.
Вносим этот результат в графу 13, в строку 4.
3.15. Вычисление полной поверхностной энергии пузырька М а-(Пм + Пам) = 0,070-3,64039170-10-5 = 2,54827419-10-6 Дж.
Внесем этот результат в графу 14, в строки 1ч3.
3.16. Вычисление энергии вмГ пузырька М по уравнению (1) вмг1 = РкМl•Vм + а-Пм = 1,87429490-10-6 + 2,31591277-10-6 = = 4,19020767-10-6 Дж.;
вмг2= Ркм2 ■ Vм + (-Пм = 1,76127195-10-6 + 2,31591277-10-6 = = 4,07718472-10-6 Дж.;
вмГ3= Ркм3 •VМ + а -Пм = 1,52903932-10-6 + 2,31591277-10-6 = = 3,84495209 -10-6 Дж.
Внесем полученные результаты в графу 15, в строки 1, 2 и 3.
3.17. Вычисление энергии вА
вА = РкА-VА + (Па = 1,66734320-10-6 + 2,50101480-10-6=4,16835800-10-6 Дж. Внесем полученный результат в графу 15, в строки 4.
3.18. Вычисление энергии вмФ по уравнению (2)
Суммируем значения граф 12 и 14 и заносим результат в графу 16.
3.19. Вычисление приращения энергии Двр по уравнению (4)
Двп = вмг1 - вА = 4,19020767-10-6 - 4,16835800-10-6 = 2,18497-10-8 Дж.; Двг2 = вмг2 - вА = 4,07718472-10-6 - 4,16835800-10-6 = -9,11733-10-8 Дж.; ДвГ3 = вмГ3 - вА = 3,84495209-10-6 - 4,16835800-10-6 = -3,23406-10-7 Дж. Внесем полученные результаты в графу 17 в строки 1, 2 и 3.
3.20. Вычисление приращения энергии ДвФ по уравнению (5)
ДвФ1 = вмФ1 - вА = 4,42256909-10-6 - 4,16835800-10-6 = 2,54211-10-7 Дж.; ДвФ2 = вмФ2 - вА = 4,30954614-10-6 - 4,16835800-10-6 = 1,41188-10-7 Дж.; ДвФ3 = вмФ3 - вА = 4,07731351-10-6 - 4,16835800-10-6 = -9,10445-10-8 Дж. Внесем полученные результаты в графу 18 в строки 1, 2 и 3 табл. 3.
3.21. Обсуждение результатов расчета энергетической возможности перехода А ^ М по п.3
Обсуждение проводится на основе данных табл. 3, куда сведены все результаты расчет.
Рассмотрим поначалу результаты, которые можно считать приемлемыми. Это: ДОг= -9,11733-10-8 Дж (графа 17) и Двф = 1,41188-10-7 Дж (графа 18). Согласно им, пузырек диаметром 3 мм может прилипнуть (Дв < 0) к гидрофобной (Г) подложке и не может прилипнуть (Дв > 0) к предельно гидрофильной (Ф) подложке.
Отсюда следует, что именно давление Ркм2 = 87,7051856 Н/м2, использованное при расчете величин ДвГ и ДвФ, является капиллярным давлением, действующим в пузырьке М.
§ Таблица 3
143 Результаты расчета энергетической возможности перехода А > М для пузырька
диаметром ~ 3 мм и формой /? = -3,15 -КУ1 , а также выбора методики расчета РкМ
№ п/п Пузырек -Р УМ, Уд, м3 М Пм, Пд, м2 (Пм + ПаМ), м2 Пам , м2
1 2 3 4 5 6 7 8
1 М1 3,15-Ю1 2,00817311-10а 3,192513625-10^ 3,30844682-10ь 3,64039170-10ь 3,31944877-10ь
4 А 0 2,00817311-10а 3,372361907 -10^ 3,57287829-10ь - -
продолжение таблицы
№ п/п Пузырек 6м <т, Н/м РкМ, РкД, Н/м2 РкМ' Ум; РкД' Уд, Дж <т -Пм, <т -Пд, Дж 0*(ПМ + ПаМ), Дж
1 2 9 10 11 12 13 14
1 М1 60,6 0,070 93,3333333 1,87429490-10~ь 2,31591277- 10~ь 2,54827419- 10~ь
2 М2 60,6 0,070 87,7051856 1,76127195-10ь 2,31591277- 10~ь 2,54827419- 10~ь
3 МЗ 60,6 0,070 76,1408125 1,52903932 -Ш6 2,31591277- 10~ь 2,54827419- 10~ь
4 А 0 0,070 83,0278623 1,66734320-10~ь 2,50101480- 10~ь -
продолжение таблицы
№ п/п Пузырек Смг, Дж С»мф, Дж Д(3г = СЗмг ■ С5д , Дж ДСЗф = СЗмф ■ бд , Дж АСГ V ' Дж/м3 АСФ К ' Дж/м3
1 2 15 16 17 18 19 20
1 М1 4,19020767-10ь 4,42256909-10ь 2,18497- 10"а 2,54211-10'
2 М2 4,07718472-10ь 4,30954614-10ь -9,11733-10а 1,41188-10' -4,540 7,031
3 МЗ 3,84495209- 10~ь 4,07731351-10ь -3,23406-10' -9,10445- 10~а
4 А 4,16835800- 10~ь -
Примечание: Радиус кривизны в куполе пузырька Ь = 1,5-10 3 м.
Рассмотрим результаты, которые абсурдны. Это: AGr= 2,18497-10-8 Дж (графа 17) и AGb = -9Д0445-10-8 Дж (графа 18). Согласно им пузырек не может прилипнуть (AG > 0) к гидрофобной (Г) подложке и может прилипнуть (AG < 0) к предельно гидрофильной (Ф) подложке. Очевидно, что такой вердикт ошибочен, и приведшие к нему давления РкМ1 и РкМ3 должны быть признаны как нереальные для пузырька М. Тем не менее они необходимы в познавательном отношении, ибо иллюстрируют, как небольшие отклонения от РкМ2 могут привести к ошибочным результатам.
Итак, абсурдные результаты являются индикатором, указывающим, какие из использованных в расчете значений Ркм не соответствуют реальности.
Отсюда следуют два вывода.
1. По-видимому, найден способ оценки величины реального капиллярного давления РкМ2 в пузырьке М и способ его расчета (см.п. 3.9).
2. Установлено, что РкМ является влиятельным фактором в процессе прилипания пузырька к подложке. Неправильная величина РкМ, принятая при расчете, может привести к ошибочным выводам.
Очевидно, что сделанные выводы рационально проверить расчетами с пузырьками других размеров (см. часть 2 статьи).
Поскольку абсолютные значения приращений энергий AG очень зависимы от размера пузырька, то для удобства сравнения AG, полученных для пузырьков различного размера их следует делить на объем V пузырька и сравнивать полученные удельные значения AGr/V и AGФ/V, помещенные в графы 19 и 20 табл. 3 соответственно.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мелик-Гайказян В.И., Емельянов Б.М., Емельянова Н.П., Емельянов В.В., Моисеев A.A., Юшина Т.И. К решению задач пенной флотации на основе уравнений капиллярной физики. // ГИАБ, МГГУ, 2011, № 5, с.135-144.
2. Bashforth F., Adams J.C. An attempt to test the theories of capillary action by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluids. Cambridge, 1883. - 140 p.
3. Фрумкин A.H., Городецкая A.B., Кабанов Б.Н., Некрасов Н.И. Электрокапиллярные явления и смачиваемость металлов электролитами. //Журн.физ.химии, 1932, т.3, № 56, с.351-367.
4. Фрумкин A.H., Городецкая A.B. Об явлении смачивания и прилипания пузырьков. II. Механизм прилипания пузырьков к поверхности ртути //Журн.физ.химии. 1938. Т.12, вып.5-6, с.511-520.
5. Мелик-Гайказян В.И., Емельянов В.М., Моисеев A.A., Емельянов В.В., Емельянова Н.П., Юшина Т.И., Кулешова М..A. О капиллярном механизме действия реагентов при пенной флотации, развитии методов его исследования и подборе реагентов //ГИАБ, МГГУ,. 2011, № 1, с.150-162; № 2, с.224-232.
6. Мелик-Гайказян В.И. Исследование механизма действия аполярных флотореаген-тов при флотации частиц с гидрофобными и гидрофобизированными поверхностями: Томский политехнический институт, 1966. Дис. ... д-ра хим. наук. Институт физической химии АН СССР, Москва, 1966, 263 с.; Приложение с таблицами, 107 с.
7. Мелик-Гайказян В.И., Емельянова Н.П., Козлов П.С., Юшина Т.И., Липная Е.Н. О капиллярном механизме действия реагентов при пенной флотации, развитии методов его исследования и подборе реагентов// ГИАБ, МГГУ, 2008, № 9, с.272-281. ГГ7Т?
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -
Мелик-Гайказян Виген Иосифович - профессор, доктор химических наук, Емельянова Нина Павловна - доцент, кандидат химических наук, Юго-западный государственный университет, rector@swsu.ru Юшина Татьяна Ивановна - кандидат технических наук, доцент, Московский государственный горный университет, ud@msmu.ru
