CC BY
3СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
УДК 624.04:620.17
К РАСЧЕТУ СТЕРЖНЯ ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ, ПОДКРЕПЛЕННОГО НАКЛОННЫМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ
канд. техн. наук, доц. В.Н. КИСЕЛЕВ, И.Г. ЦЕЛУЙКО (Полоцкий государственный университет)
Демонстрируется методика построения алгоритма нахождения свободных членов системы канонических уравнений метода сил при уточненном расчете однопролетных шарнирно опертых и консольных двутавровых балок несимметричного сечения с «t» числом «противокрутильных связей». При этом исследуемый стержень (заданная система) расчленяется на ряд составляющих его полос (основная система) и рассматривается работа каждой полосы самостоятельно. Показано, что для правомерности самостоятельного рассмотрения каждой из этих полос к их смежным кромкам необходимо прикладывать неизвестные усилия взаимодействия, заменяющие влияния отброшенных частей.
С позиции функционального анализа поиск свободных членов системы канонических уравнений методом итераций представляет собой определение неподвижной точки Дцед евклидова пространства Д (пространства перемещений) при его отображении в себя. Определение последовательных приближений Д,а"(.г). сводящихся к неподвижной точке А,,/.-„.,. можно производить исходя из любого эле-
мента А
; А . Выбор элемента будет сказываться лишь на быстроте сходимости к своему пределу До,
0,К(х)-
Причем известно, что «я» - решение системы канонических уравнений метода сил А- X = (г1 через начальное приближение X0 выразится следующим образом:
Х(п) =В(„) +в +В(п
(1)
где Е1 - единичная матрица; А - матрица коэффициентов системы; О1 - столбец свободных членов; В = Е1 - А; X- столбец, элементами которого являются значения неизвестных.
Вопрос сжимаемости арифметического «-мерного пространства, которое представляет система канонических уравнений, здесь не рассматривается, но многочисленные числовые решения такого типа задач показывают, что итерационный процесс сходится, и весьма быстро.
Пусть имеется двутавровый стержень несимметричного сечения (рис. 1) с «/» числом наклонных ребер жесткости в виде листовых диафрагм толщиной 5р и 52р,, установленных с обеих сторон от стенки балки под углом ар, и а2р,, обеспечивающих бимоментные связи, противодействующие депланации сечения, и загруженный равномерно распределенным крутящим моментом интенсивностью ткр (рис. 1, б).
а)
, Щ „ Ь1
*-'-/-!-*-'-/
г/
/---/-;-/-==-*
\ \ \ \
, и2
/-=-/
1/2
б)
Рис. 1. Двутавровый стержень 31
Решая дифференциальное уравнение равновесия
ЕТа ■ (х) - Ыл ■ в11 (х) - т^ (х) = О
методом начальных параметров и используя принцип независимости действия сил, определим функции углов закручивания 9,(х) и меру депланации сечения 0'(х).
При этом необходимо отметить, что решение задачи при данном расположении наклонных ребер жесткости будет зависеть от шага последних, угла наклона геометрических размеров ребер. Для варианта, представленного на рисунке 1, а, будем иметь
к
■ < Ъх <
1 г
ЪЪр, 1-1
2
1 ~{а\+с\)
< Ь< ±
2
Ъх = Ъ2 = Ъ;
для у = 2,4,6,...,/; Оу +| \ь <х<а2 + [
8,(х) =-
' Ш/
Е <(»-!) - ау)(/ - ■*>- - *)]
1-х
— Ец кк(1 - х)
+М'(и ц [¿(1 - а2,.)(/ - х) - у2/кк(1 - х)] +М1,(п-\)кг2
1-х
— Е,2кк(1 - х)
+М
Л 1-а . {1-х)-V 5-М(/-х)
+М. кгх
.(«-О
1-х
.вкЩ-х)
I 2:
+М1,.
г.О-1)
¿а х-В ^ккх
2,- 2,— 2 2
+М1(п-\)кг2
— -л яккх
I 2/
2 .
1
2
2
- г|1 рккх
(2)
- ц2 рккх
г
+ X [М°(»-1) - Еу^Ш] +М1. (иЧ) [¿у2,.х - е2 ,.5Мх] -
2
--А,, ,5/гАх
-Ми(п-1)кг2
--А, яккх
/ 2''
+ 60(х);
/
1=1
/
2
2
2
2
X
/
X
/
8'. (х) =-
ТлМ1(п-1) [«у -УусМг(/ -х) -1] +М.(п_Г)Г1
(скЩ - х) - -
+м1(п-1) [а2,,- - ч21скк(! - х) -1] +М,-,(И-1)Г2
+М'
^.(я-1)
а - V ,с1гк{1 - х) — 1
1,- 1,-
+М1,.
^.(я-1)
к^2 ¡скк{1 - х) -
а -В сМх
2,- 2,-
+МК
у2,(п-1) 1
Щ }скк(1-х)-у
+М1(п-1)Г2
1
/
--¿г) ^.сМх
+ X [<(»-!) [аи - Ру^] +М,'(иЧ) [а2, - р2 ,.сМг] +
(3)
+Мип-1)1
— -сИкх
—-сИкх
+М,-,(И-1)Г2
+ X [М°(»-1) [ь - Е1=,с/гЬ£г] +М1. (иЧ) [у2. - е2 ,.сМх] -
— сМх
-М,-,(И-1)Г2
— сккх
I 2''
+ 9'0(х);
для у = 1; 0<х<ах,
]' =3,5,7,...,(/-1); а2 + <х<Я!
1 ГГ
(х)=17=т\ X <(»-!) - «1Д' - *) - - *)]
^"а 1=1 I
1-х
- ^ - х)
+м1(п-1) [^(1 ~ 002 г)(/ - х) - у2/кк(1 - х)] +М1,(п-1)кг2 м1(„-о " IVм*] +Ми(п_1)кг1 1) ,.х ~ Рг,/^^] +М1,(„-1)кг2
1-х
- Е,2кк(1 - х)
!
2
+ Х
2
— Л, А'ккх
~-Г[2/ккх
г
+ X [М°(И-1) - Еу^АЬ] +М\Хп_Г) [ку2 .х - г21яккх] -
2
-МЦп-гМ
- ккх
-М1,(п-\)кг2
- - Х2ккх
+ 90(х);
(4)
1=1
2
2
/
/
где
8'. (х) =-
£ О [«у " - х) -1] +М„и_1)г1
¡скк{1 - х) - у
+м«и-1) [а2,,- " У2>,.сМ(/ - х) -1] +М,-,(И-1)Г2
¡скк{1 — х) -
/2
+ Е [М°(»-1) [аи " +М'(И_1) [ау - Р2 ,сМх] +
— ¿Т1, -сИкх
+М,-,(И-1)Г2
—-сИкх
(5)
<
+ X |_М>>-1) " 8усМх] +М V1) [У2,,- - е2 ,с/гЬ:] -
2
- ,сМх
-М1,(п-Г}Г2
- - кХ2 ¡сккх
+ 6'„(*),
т
е0(х) = —-г-0 к СМ„
к х(1 - х) скк(0,51 - х) 2 с/гО,5М
9'0(х) =
А<7./
к х(1 - х2) вИк(0,51-х)
2 сИ0,5М
М° = х° -г М1 = х1 -г
Здесь х°(я1), х' (я- (и -1) - решение системы соответственно для верхнего и нижнего поясов балки [ 1; 2]. Гиперболотригонометрические функции, входящие в выражения (2) - (5), имеют вид:
/-(я, + (/'-1)й) /-(я, +(/-2)Ь + с1 + с';) а,,=-—-, У/,, =---
I
I
якк I - (ау + (/ -1 )Ь) скк I - (оу + (/ - 2)Ь)
зМ/
5'М:(а/ + (/-1)Ь) скк(а/ + (/ - 1)й) «М /-(а/+(/-2)Ь+с1+с'1)
У/'' = ¡Ш ' " "
зм/
.уМ/
1=1
ОТ
да
V,- =
вЫй
скк(а/ +(1—2)Ь+с1+с\)
в которых
а/ =а0 +
с, =--
7 2
--1 6
г/
с , =--
7 2
--1 6
(6)
2 рг
I
I
г
г
г
г
а0 +
а 0 +
2
2
/- принимает последовательно значения 1 и 2; а0, (а'0) - рассмотрение от левого (правого) конца исследуемого стержня до первой «противокрутильной связи», отсчитываемое по нейтральной оси; гу - координаты центра изгиба.
Г гг
Причем верхний знак перед коэффициентами —-— и —-— в выражениях (6) имеет место при
tgap¡ tga2p¡
f = 1, нижний - при f = 2, а координаты центра изгиба (в данном случае рассматривается одна координата, так как сечение симметрично относительно оси OY) определяются по формулам:
о
и в* _ Р_
3„ ~
|сов -х-ск
3 „
Г2=К+\ ^ + 1"Г1'
У У
где Л",| , - секториальный статический момент.
Практически для определения координаты г принимаем центр тяжести верхнего горизонтального листа за полюс отсчета.
Строим эпюры секториальных координат ю с выбранным полюсом и линейных координат x. Интегрируя эти две эпюры, будем иметь
М-Ал или
12у 1 ^
Знак минус указывает на то, что искомую координату следует отложить от полюса B по отрицательному направлению ОТ. Подставляя значения углов закручивания в известную формулу [1; 2]
с/в(х)
М-О/,
КЛх)=-
йх
к
и проведя некоторые преобразования, получим равнодействующую секториальных касательных напряжений тю - перерезывающую силу в виде
КАх) =
и.
1 (т ■/ т (/
^--А сИкх - В сЩ -х)+-^--вкк \--х -С |.
(7)
Коэффициенты Aj, Bj, Cj, Fj, входящие в выражение (7), определяются по формулам (8): для У = 2,4,6,...,/
А1=~
X [М°(»-1) 'Ру +М',(и-1) 'Р2,,- +к м<,(и-1) +М«„-1) -г2 -л2, ] +
I 2
О
- X [М°(»-1) • Ем +К(-1) • Е2,,- + * ■ Г; • +М,-,(„-!) • г2 ■ Я-у ] +М\ П • (32 / +М1 (и-1) ■ Л: • г2 • л ,
2 2
ЕК-) +М«»-1) М.>-1) ■1 у +М,-,(и-1) т2 1+М 1=1
1-1 2
^ 1) "X К\п-Г> +К*-» "М
• V . +М . -Ьг,^, 2 2 2 2
^.(я-1)
С,=
_
X
<(»-1) • («У " 1) +К(П-1) ' («2,,- " 1) " У • Г; +М,,М • Г2
МФ-1) '«у +МФ-1) -ау +у - Г; +М(,(„-1) -г2
(8)
■х
М°(И-1) -Уу +М,'(И-1) ■ Ь - у ■,(„-!) -П +М,-,(и-1) Т.
в которых MA,(n-1) - реактивный изгибающий момент.
2
1=1
-1
1=1
2
Тогда получаем изгибающий момент и поперечную силу в верхнем и нижнем поясах исследуемой балки
0,(х) = ^.(х),
1-х 2 к2с1г0,
---скк(— -х | --\Ashx-BshkQ-x) 1+ К-С,. х + £>,.
:0,5 Ы 12 ) к1 1 1 ] 1 1 1
(9)
где Бу - константа интегрирования, имеющая вид:
1
к -к
т —к ■В1 ■ $1гк1
£>.=- К ,-К +С.-С. , -ЛГ + —Г Л.-Л. , -яккх- В.-В. , -якШ-х)] + £>.,, / = 2,3,4,...,2/ +1
(10)
В выражении (10) х принимает значение абсцисс краевых точек участков балки, на которые ее делят «противокрутильные связи».
После преобразований (10) будем иметь для / = 2,4,6,..., /
Аналогично получаем вьфажения для / = 3. 5, 7, ..., (¿+1),
У = (/ + 2), (/ + 4), (/+6), ..., 2/, / = (¿ + 1), (¿+3), (¿ + 5), ..., (2/+1). Удельные изгибающие моменты и поперечные силы в поясах балки от единичных усилий
х' = Х/2+1 = ХМ = = 1
при данных граничных условиях и принятом правиле знаков получаем:
А/1 у. ( = —осу ,.х
^2,/,/ =-(1-а/,,Х/-Х)
02,/,,= !-«/,,■
^/,=-(1-8/,)(/-х)
г = 1,2,3,...,—, 2
М, ,.. =±-х
й^-Зд,
' 1,/
М2.Л,=±
О,. =±-
1-х
(11)
/ = (/ + !),(/ + 2),..., 2/.
Употребляемые здесь значения 1 или 2, поставленные справа снизу при Ы1 и ^, указывают на номер участка ломаной эпюры вышеназванных моментов и поперечных сил (первой или второй), / - в каком поясе балки определяются данные силовые факторы, а именно, если / = 1, то в верхнем, а если / = 2, в нижнем.
Знаки в (11) принимаются следующим образом:
при /' = (/ + 1),(/ + 2),(/ + 3),...,^- перед ух, ^ *, у необходимо поставить верхние знаки, а при + + + 3 2/-нижние.
I
I
Подставляя (9), (10) и (11) в формулу [2]
и преобразуя, получаем свободные члены системы соответственно для верхнего и нижнего поясов исследуемой балки.
Для верхнего пояса: /
2, 3, ..., -2
=\~Ху )' К{х)ёх + £
2 ,т \,т+Ь
/Ф1,2т (*)<& + | Ф1,(2т+1)(Х^Х
+1и
1 ,
2
/
--с2
2
I
т=-+1 "м 2
/// —I "
2
• Н (г3'.....'
= Т-Р1.
т=1»,,
"1=1 9,
+ | Ф1,((+1)М^ + Е 2» (*)<**+ Е I
т=-+\и2,т т=-+1 и1,т
2 2
/ »-1 Ч.м+ь 1
+р1
Для нижнего пояса: /
/=1, 2, 3, ...,
2
(1) /г
*о у о
\ "1 Х2,, ■ |Ф2Д
2,т
т=\ 9
+Х2
' /// / т /
">=< 92>я
Ч.м+Ь
+ Е (*)<**+Е 1^2
т=— и2,п. 2
/// и2,п.
2
0
О
"1=1 а
т=1 а
О
о
т /
и
1
2
н.Н Н г».....'
= 1--Р 2,/
2 2 \Ф2 д(Х)^ + Е I Ф2
(х)й?х + ^ |Ф11т(х)с1х +
т=1 9,
"1=1 9, „
т=—1-1 2
+ Р2,/
Ф1)3(х) = -
х-М3(х) | £(х) GFe.tr.
Ыув.п.
Тг 3(Х) = -
(/-х)-Мз(х) бз(^)
GFe.tr.
Е7 в.п.
Ф23(х) = -
Т2Лх) = ~
х-М3(х) | 63(х) GFn.tr.
Ыун.п.
(/-х)-Мз(х) | 63(х)
GFn.tr.
EJyH.tr.
где Х/,,= (1-Од,.)-!-; р/;. = (1-5^,.)^-; Э/>т +(да-1)6; и/^=а/+{ш-2)Ь+сг+с'у, 1 ув.п.,Рвп., Jун.п.,
"о "о
Енп. - соответственно экваториальные моменты инерции и площади сечения верхнего и нижнего поясов балки, коэффициенты - и £ принимают последовательно значения:
/ = 1, / = 2, 8 = 2т, Б = 2т + 1.
При программировании итерационного процесса наиболее удобно функции свободных членов представлять в виде подстановки:
Кк « = )/(х)ах = Щ (х)[ (й, )- ^ («,■). (12)
а,
Так, например, если балка с «противокрутильными связями» представляет собой симметричную систему, а именно тонкостенный стержень, усиленный симметрично расположенными ребрами жесткости, симметричный относительно нагрузки и условий на концах, то функцию ^(х) можно представить:
- для верхнего пояса при г = 1,2,3...,
1 2/-1 Г 2/+1 2<+1 ]
=-Е^и-м+хУ Е^м- Е[да*>,
«о У-1 [у-2< ]
1 Г 2/+1 2<+1 1
=тт Е^ <х>- Е[ДА*>;
"о' Ь'=2' >1 ]
- для нижнего пояса при таких же значениях ,
1 2/ Г 2<+1 2<+1 ]
=1-Е[^и«+Х2, Е (л-) Е> <х>.
"о Ь'=2>+1 ]
1 Г 2<+1 2<+1 1
=тт1 Е ^м-ЕКм+^м] .
"о' [>2/+1 ;=1 ]
где
Л.(х) =
1
Е1 е.п.(н.п.) 6
_1_
^ (хсккх - сккх) + (хскк (/ - х) + сМ (/ - х)
кскО,5Ы
хякк I — - х | + —скк [ — - х
2 ) к \2 у
о
о
2
т /
т /
и
X
т
ч>
R2J(x) =
ХЫ
GFe.n.(H.n.) | I. 2
Ц
-Fi-Gi--
' ' к
AjShkx - BjShk{l - х)
--——chk f — - х
kchO,5kl U
R3J(x)-
1
EJ в.п.{н.п.) 4
Ix3
4/2.D.
m^U^-G^S-J-
—-^AjChkx + BjChk{l - x) -
-——shk\ —-X
kchO,5kl \2 j
Предел Ь и а подстановки (19) принимают значения абсцисс краевых точек участков балки. Задача в данном случае упрощается, так как в силу симметричности системы будут выполняться следующие равенства:
в которых/ =1, 2, 3, ...,
2
т =-
t {t
2 12
- + 1
- + 2
2
Заключение. В представленной работе сделана попытка построения точного метода расчета тонкостенных призматических стержней открытого профиля с различным типом наклонных ребер жесткости и произвольным их расположением по длине стержня на действие скручивающих нагрузок. При этом исследуемый стержень (заданная система) расчленяется на ряд составляющих его полос (основная система) и рассматривается работа каждой полосы самостоятельно. Для правомерности самостоятельного рассмотрения каждой из этих полос к их смежным кромкам необходимо прикладывать неизвестные усилия взаимодействия, заменяющие влияния отброшенных частей.
ЛИТЕРАТУРА
2.
3.
4.
Киселев, В.Н. Расчет тонкостенных металлических стержней / В.Н. Киселев, Ю.В. Попков, В.А. Фетисов // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Серия F. Строительство. Прикладные науки. - 2010. - №2 12. - С. 57 - 63. Киселев, В.Н. Расчет на кручение тонкостенных стержней с наклонными ребрами жесткости / В.Н. Киселев, Ю.В. Попков // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Серия F. Строительство. Прикладные науки. - 2010. -№ 6. - С. 49 - 55.
Нормы проектирования. Стальные конструкции: СНиП 11-23-81*. - М.: Госстрой СССР, 1982. - 96 с. Власов, В.З. Тонкостенные упругие стержни / В.З. Власов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 1959. - 568 с.
Поступила 26.11.2012
t
t
t.
TO CALCULATION OF I-SECTION ROD REINFORCEMENTS LEANED STIFFENING RIBS
V. KISELYOV, I. CELUYKO
In the article the method of construction of the algorithm for finding the free terms of the canonical equations of the force method for adjusted calculating the single-span hinged-cantilever and simply supported I-beams with asymmetrical cross-section with the t-number of "anti-torsional connections" is enclosed. At the same time the given system is divided into a range of bands composing it (the basic system) and operation of each band is considered separately. It is shown that for appropriateness of separate consideration of each of these bands it is necessary to apply unknown efforts of interaction to their adjoining edges, which substitute for the influence of discarded parts.
