К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН СЛОЖНОГО ОЧЕРТАНИЯ В ПЛАНЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ф

УДК 624.03 DOI 10.51608/26867818_2021_5_21

К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН СЛОЖНОГО ОЧЕРТАНИЯ В ПЛАНЕ

© 2021 В.В. Петров, О.А. Горбачева*

Статья посвящена методам расчета пластинок полигонального очертания в плане, отдельные кромки которой могут быть криволинейными. Математическая модель изгиба пластины представлена в виде произведения главной части решения, где используются уравнения контурных линий пластины, на корректирующую функцию. В качестве примера рассмотрена пластина треугольного очертания в плане, которая рассчитана методом внутренней коллокации. Полученные результаты сравниваются с решением, полученным вариационным методом Бубнова-Галеркина. Проведен анализ невязок решения при различном наборе узлов коллокации.

Ключевые слова: полигональные пластины, вариационные методы, метод коллокаций, узлы коллокации, корректирующая функция, аппроксимирующие функции, невязка решения.

Расчету пластин классической формы (прямоугольных, круглых и т.п.) посвящено много исследований. Однако при проектировании различных строительных и машиностроительных конструкций часто необходимо рассчитывать пластины полигональные в плане, у которых отдельные кромки могут иметь и криволинейное очертание. Такие пластины будем называть пластинами сложного очертания.

Для расчета пластин сложного очертания можно применить численные методы (метод конечных разностей, метод конечного элемента). В этом случае будем иметь решение в виде численного массива. Если поставлена задача получить решение в виде формул, которые более удобны при вариантном проектировании, то пластины сложного очертания следует рассчитывать одним из вариационных методов (Ритца-Ти-мошенко, Бубнова-Галеркина, Галеркина-Петрова и др.). При этом математическую модель рассматриваемой задачи полезно

привести к безразмерному виду. В этом случае при решении задачи в первом или в первых приближениях решение можно представить в виде расчетных формул. Точность решения будет зависеть от удачного выбора или построения аппроксимирующих функций. Поэтому выбор (построение) систем аппроксимирующих функций, обеспечивающих точность результатов уже в первом или в первых приближениях, является важной проблемой.

В работе [1] для расчета пластин с кусочно-гладким контуром для построения системы аппроксимирующих функций использована рекомендация Л.В. Канторовича - для расчета пластинок, ограниченных прямыми и криволинейными отрезками, строить аппроксимирующие функции с помощью уравнений контурных линий. Этот же способ построения аппроксимирующих функций использован в работе [2] при расчете многоугольной пластины вариационным методом Бубнова-Галеркина в трех

* Петров Владилен Васильевич - академик РААСН, доктор технических наук, профессор кафедры «Строительные материалы, конструкции и технологии» СГТУ им. Гагарина Ю.А., руководитель научно-исследовательской группы в НИИСФ РААСН; Горбачева Ольга Александровна - аспирант, инженер научно-исследовательской группы в НИИСФ РААСН; все - ФГБОУ ВО СГТУ им. Гагарина Ю.А., (Саратов, Россия); ФГБУ «Научно-исследовательский институт строительной физики РААСН» (Москва, РФ).

приближениях. Исследование сходимости показало, что решение во втором приближении удовлетворяет инженерной точности, поэтому результаты этой работы примем за эталонные.

Полагаем, что пластина имеет вид выпуклого многоугольника, имеющего п сторон (прямолинейных или криволинейных). Уравнение изгиба пластины в безразмерной форме запишем в виде

Lu {4,л) = р {4,л) (1) где ¿. - бигармонический оператор, и - безразмерный прогиб, р - безразмерная поперечная нагрузка, 4,Л-безразмерные координаты. Для решения конкретных задач граничные условия на сторонах пластины необходимо сформулировать также в безразмерном виде. Приближенное выражение прогиба и*{4,л) будем искать в виде произведения двух функций

и'п(4,л) = <{4,л) К А ,4,л), {п = 0,1,2,...) (2)

где со{4,л)- главная часть решения, удовлетворяющая однородным граничным условиям на контуре пластины, а К{Ап,4,л)-корректирующая функция, с помощью которой можно повысить точность решения, определяя соответствующим образом численные значения коэффициентов Ап, {п = 0,1,2,3.....).

Главную часть решения со{4,л) представим в каноническом виде в виде произведения левых частей уравнений сторон многоугольника

= ...)5 (3)

где у - номер стороны многоугольника, уравнение которой имеет вид

у {4,л) = 4-кл + ь = о (4)

а 5 показатель степени, зависящий от вида граничных условий. Так как главная часть решения должна соответствовать области определения оператора I, то есть быть четырежды дифференцируемой по переменным 4,ц и удовлетворять граничным условиям, то при решении конкретных задач

необходимо определить показатель степени 5. Для удобства проверки выполнения граничных условий на каждой из сторон контура пластины функцию со{4,л)-запи-шем в виде

с{4,л)={У1У2.Ук ...)5у7г = Л (5) где ¥у{4,л) представляет собой произведение левых частей уравнений всех контурных линий пластины за исключением рассматриваемой у-ой, а 5 и г - соответствующие показатели степени. Минимальные значения показателей степени 5 и г определяем из условия сохранения в (5) структуры (4-+ Ьу) при выполнении граничных

условий на у-ой кромке пластинки. При этом в соответствии с выражением (4) во всех точках у - ой стороны структура (4-кул + Ьу) = 0 и граничные условия выполняются.

Например, при жестком защемлении у-ой стороны функция со{4,л) и ее первая производная в направлении нормали к контуру в точках {4 л) должны обращаться в

ноль. Для этого в выражении (3) и в его первых производных по переменным 4,Л должна сохраниться структура левой части уравнения -ой стороны многоугольника, которая обращается в ноль в точках {4 л).

В силу этого прогиб у-ой стороны обращается в ноль при 5 = г = 1. Первая производная функции с{4,л) по переменным 4,Л имеет следующую структуру

с={^5 )'¥г 5 (у ) (6)

В точках {4 л) линии контура первый

член обращается в ноль в силу сохранения структуры левой части уравнения -ой стороны многоугольника. Второй член обращается в ноль при показателе степени г>2. Следовательно, в случае жесткого защемления у-ой стороны многоугольника главную часть решения (5) следует взять в виде <о{4,л) = ¥5у2. Величина показателя сте-

fi

2021. № 5 (14)

(7)

пени 5 определяется после аналогичной проверки условий выполнения граничных условий на всех сторонах многоугольника. При других вариантах опирания сторон контура пластины при конструировании функции со(£,') следует выполнить аналогичные действия.

За корректирующую функцию К (Ап ,£,') берем полином

К (Ап ,£,') = А + А2$+ Азп + А^2 + +АЪЦ2 + +... содержащий неизвестные численные параметры Ап . Индекс п определяет конечное число членов удерживаемых в неполном полиноме. В конкретных случаях структура полинома изменяется для учета, например, наличия симметрии решаемой задачи при соответствующем выборе системы координат. Представление приближенного решения в виде (2) предполагает, что точность решения определяется числом удерживаемых искомых параметров Ап. Корректирующая функция может быть выбрана и в другом виде, но она должна содержать п неизвестных параметров. Для определения этих неизвестных параметров существуют различные методы позволяющие свести задачу решения дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

В качестве примера рассмотрим треугольную в плане равнобедренную пластину, жестко защемленную по всему контуру, под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q0.

Дифференциальное уравнение изгиба пластины имеет вид (1), где £ = х/а, ц = у/Ь - безразмерные координаты (а - основание треугольника, Ь - высота равнобедренного треугольника), и(£,') = Ш/h - безразмерный прогиб (Ш -прогиб, Ь - толщина пластины), р = а/Ь параметр удлиненности равнобедренного

треугольника, p0 = 12(l-j2^hj

-\ ^ - без-a I E

Дифференциальный оператор L в безразмерном виде запишется так

L =

54 54 o4 54

5Ç

- + 2pA

+ P"

Прогиб пластинки ищем в виде произведения главной части решения на корректирующую функцию, которая с учетом симметрии прогиба относительно оси £ представляет собой неполный полином и содержит три неизвестных параметра:

u" (£,л) = (л + 2Ç)2 (л - 2Ç)2 (л - 2)2 х

А + А2л + A3 (Ç +л2) + А£2л2

(8)

Так как 2£ = 0, ' + 2£= 0, 2 = 0 уравнения сторон треугольника в выбранной системе координат, то удовлетворение граничных условий жесткого защемления обеспечено.

Подставляя (8) в уравнение (1), найдем невязку решения

Fn (Ап ,£,') = ип-Р (9)

Если невязка решения обращается в ноль, то мы имеем точное решение задачи. Так как (8) есть приближенное решение, то необходимо выбрать способ минимизации невязки. Из имеющихся способов минимизации наиболее простым можно считать метод коллокации. Этот метод был предложен Л.В. Канторовичем [3] в 1934 г. и использовался затем разными авторами для решения разнообразных задач. Примеры решения линейных и нелинейных задач механики методом коллокаций можно найти, например, в монографиях [4-5].

А (0; 1.38) В(0;0.671 С(0.5;1.69) D (0; 1.8)

размерный параметр поперечной нагрузки.

Рис. 1. Расчетная схема

(10)

В соответствии с методом внутренней коллокации, выберем на пластине точки коллокации А, В, С, D (рис. 1) и приравняем в этих точках невязку решения нулю. В результате получим систему п линейных алгебраических уравнений, решая которую находим искомые коэффициенты А].

От выбора размещения узлов коллокации и их числа зависит точность полученного решения. Точки В и С лежат на биссектрисах треугольника, точка А - на пересечении биссектрис, точка D добавлена для увеличения точности изгибающего момента Мп в точках основания треугольника. В результате получаем систему из четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными:

¿и*(0;1.38) - р(0;1.38) = 0 Lu''n(0;0.67) - р(0;0.67) = 0 Lu*(0.5;1.69) - р(0.5;1.69) = 0

Lun(0;1.8) - р(0;1.8) = 0

Здесь в круглых скобках приведены координаты узлов коллокации.

Решая эту систему уравнений, найдем коэффициенты А1, А2, А3, А4 и, подставляя их в (8), получим искомую функцию прогиба пластины. Далее по известным формулам определяем моменты, перерезывающие силы и определяем напряженно деформированное состояние пластины.

На рис. 2 представлены эпюры прогибов и изгибающих моментов в характерных сечениях при расчете пластины вариационным методом Бубнова-Галеркина в третьем приближении (пунктирная линия), методом внутренней коллокации с узлами А, В, С (точечная линия) и методом внутренней коллокации с добавлением узла D (сплошная линия).

Максимальное значение прогиба находится в центре тяжести пластины. В этой точке разница значений при решении задачи методом коллокаций и методом Буб-нова-Галеркина составила 3,6% (рис. 2). Эпюры изгибающих моментов М^, получен-

W(i-1. 3)*10A-3

4 V

4V A

VN. /

W(0;n): 10A-3 ^ /

\\ V. \\ /

1

V

M(Ç;1.3)

■ •

M(0;n) • / •/j

i

l I fcj

• ^

Рис. 2. Эпюры прогибов и изгибающих моментов пластины

ные этими двумя методами, практически слились. Изгибающие моменты Мп, полученные с тремя узлами коллокации А, В, С, отличаются от эталонных значений на 37%.

2021. № 5 (14)

Для уточнения решения вблизи основания треугольной пластины, был введен дополнительный узел коллокации D, изгибающий момент М' уменьшился на 23%.

Рис. 3. Эпюра невязки решения при расчете с узлами коллокации A, B, C

Рис. 4. Эпюра невязки решения при расчете с узлами коллокации A, B, C, D

На рис. 3 и рис. 4 показаны эпюры невязок решения, полученные с тремя и четырьмя узлами коллокации. Видно, что при добавлении дополнительного узла коллокации D близкого к основанию треугольника, значения невязок решения уменьшились во всех точках пластины, а в основании

треугольной пластины приблизились к нулю.

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что расчет полигональных пластин методом коллокаций позволяет получить решение с инженерной точностью при разумной расстановке узлов коллокации. Таким образом, не применяя вариационные принципы и процедуры вычисления определенных интегралов, решение сведено к решению системы линейных алгебраических уравнений. Предложенная методика построения аппроксимирующих функций на базе уравнений контурных линий пластинки позволяет решать сложные задачи не только численными методами, но и методом коллокаций.

Библиографический список

1. Петров В.В. Теория расчета пластин и оболочек / Петров В.В. - М.: АСВ, 2018. - 410 с.

2. Петров В.В. Расчет пластинок сложного очертания в плане / В.В. Петров, О.А. Закирова, С.А. Хмарин // Вестник Приволжского территориального отделения Российской Академии архитектуры и строительных наук. - 2019. № 22. С. 153-156.

3. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных //ДАН СССР. 1934. Т. 2, № 9. С. 532-534.

4. Рогалевич В.В. Коллокационные методы. Сущность. Примеры. / В.В. Рогалевич. - Екатеринбург: Изд-во АМБ, 2001. - 298 с.

5. Букша В.В. Расчет пластин и пологих оболочек коллокационными методами / В.В. Букша, О.В. Машкин, В.В. Рогалевич. - Екатеринбург: Изд-во АМБ, 2007. - 360 с.

Поступила в редакцию 02.09.2021 г.

TO THE CALCULATION OF PLATES OF A COMPLEX SHAPE IN THE PLAN

© 2021 V.V. Petrov, O.A. Gorbacheva*

The article is devoted to the methods of calculating the plates of a polygonal outline in the plan, the individual edges of which can be curved. A mathematical model of the plate deflection is presented in the form of the product of the main part of the solution (the equation of the plate contour lines) by the correction function. As an example, a plate of triangular shape in the plan was calculated using the internal collocation method. The obtained results are compared with the solution obtained during the calculation by the Bubnov-Galerkin variational method. The analysis of the constructed plots of the solution residuals for a different set of collocation nodes is performed.

Keywords: polygonal plates, variational methods, collocation methods, collocation nodes, correction function, approximating functions, solution residual.

Received for publication on 02.09.2021

* Petrov Vladilen Vasilievich - academician of the RAABS, Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department "Building Materials, Structures and Technologies" of the Gagarin State Technical University, head of the research group at the RAASN Research Institute; Gorbacheva Olga Aleksandrovna -Postgraduate, engineer of the research group at RAABS Research Institute; all - Saratov State Technical University named after Yuri Gagarin (Saratov, Russia); Scientific Research Institute of Construction Physics of the RAABS (Moscow, Russia).