К расчету на устойчивость П-образной рамы с шарнирным опиранием Текст научной статьи по специальности «Физика»

М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9494

К расчету на устойчивость П-образной рамы с шарнирным опиранием

А.Д. Ловцов

Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск

Аннотация: Рассматривается расчет на устойчивость П-образной шарнирно опертой рамы. Введено понятие р-подобных рам, как рам с одинаковым отношением р погонных жесткостей ригеля и стойки. Показано, что параметр \аг , определяющий критическую нагрузку на раму, одинаков для р-подобных рам. Получены приближенные формулы, позволяющие определить критический параметр нагрузки сг V и расчетные длины сжатых стержней с погрешностью не более 2%.

Ключевые слова: плоская рама, устойчивость, критическая сила, коэффициент приведенной длины, р-подобные рамы, аппроксимация, метод наименьших квадратов.

Причинами отказов конструкции в 18 - 51% случаев являются ошибки проектирования [1]. Для металлических конструкций потеря устойчивости является причиной отказов в 22 - 44% случаев. На этапе эскизного проектирования важно иметь простые способы определения расчетных длин сжатых элементов конструкции таких, например, как: крестовые решетки [2]; рамы правильного многоугольного очертания [3]; колонны, балки, плиты [4, 5], частные случаи рам [6]. В статье [7] для однопролетной двухэтажной шарнирно опертой рамы удалось получить простое выражение для параметра vcг, определяющего критическую нагрузку на раму. В настоящей статье показано получение аналогичной зависимости для П-образной рамы.

Рассмотрим одноэтажную однопролетную раму с шарнирным опиранием стоек (рис. 1).

Изменение критической нагрузки на этаж при произвольном распределении сил, сжимающих стойки рамы.

В случае многоэтажных многопролетных рам величина критической нагрузки на раму ¥сг зависит от распределения сил по узлам рамы [9, 10].

Для рассматриваемой же рамы замечено, что распределение сжимающих стойки сил ^ = а¥, ¥2 = (1 — а)¥ (а<1) практически не влияет

на величину равнодействующей Я сг = ^ сг + Р2 сг = ^ этих сил. Минимальное значение Я п наблюдается при загружении одной стойки

(рис. 1, а), максимальное значение R

max сг

при загружении стоек двумя

одинаковыми силами (рис. 1, б). Равнодействующая Я сг, именуемая в дальнейшем «нагрузка на этаж», для всех остальных комбинаций загружения

лежит в пределах R СГт < Rcr < R

■)тах cr ■

а)

Rr

б)

EIh

EI

■4-

у

птах /т R / 2

EIh

EI

ч

птах /т R / 2

А

Рис. 1. Расчетная схемам рамы. Варианты загружения:

а) минимальная нагрузка на этаж;

б) максимальная нагрузка на этаж

При этом RСГ1П незначительно отличается от R ™ах. Как показывают расчеты, это отличие составляет не более 2%.

Таким образом, если определить Fcr при загружении одной стойки, то, тем самым, оказывается с достаточной точностью определена для

всех прочих загружений.

р-подобные рамы

Возникает соблазн решить аналитически задачу для рассматриваемой рамы, загруженной одной силой , и, тем самым, получить решение для целой группы задач.

Используем классический метод перемещений [6, 8]. Обозначим: l,EIb)ib = Е Ib /l - пролет рамы, абсолютная и погонная жесткость ригеля; h,E I,i = ЕI/h - высота, абсолютная и погонная жесткость стоек; р = ib /i -

отношение погонных жесткостей ригеля и стойки; v = h-JF/Ш ; qt(v) =

l

l

и

V3 V2

, (у) = —-- = (у)---функции, применяемые при расчете

3О^г-г/)' 14 у З^г-г?) у 3

на устойчивость методом перемещений («поправочные коэффициенты»).

Для основной системы метода перемещений обозначим гг, г2 -

угловые перемещения левого и правого жестких узлов рамы, г3 - линейное

перемещение ригеля. Тогда матрица жесткости

/31(р±(у) + Мъ Иъ — 3 щг{у)/К

Я(у, 1,1Ъ, К) = 21ъ 31 + 41Ь —Ъг/К

\ - Ъщх{у)/К - 3£/Л. Ъ1дх{у)/\12 + ЗЬ/Ь2/

или, с учетом 1Ь = р1,

/Зср1(у) + 4р 2 р — 3 (рх{у)/К

Я(уЛ,р,к) = П 2 р 3 + 4 р -Ъ/К

\-Ъ<рг(у)/К -3//1 Ъдг(у)/К2 + 3//12,

Определитель

¿3

D(v,i,p,Л) = |Д(у,1,р,Л)| = —В*(у,р), где

й*(у,р) = (Ару2 - 12р2 - 36р + Зу2)ф±(у) + 4р2у2 - 12р2 + 4ру2. Следовательно, уравнение устойчивости, переписанное в виде

0*(усг>р) = 0, (1)

задает неявную функцию усг = усг (р).

Получить аналитическое выражение для у(р) не представляется возможным. Однако можно сделать вывод о том, что критический параметр усг зависит только от отношения погонных жесткостей ригеля и стойки.

Следовательно, для множества рам с одинаковым отношением р и одинаковым распределением нагрузки (одинаковым коэффициентом а=1)

параметр усг останется неизменным. Нагрузка на этаж при этом Рсг = у2г ^.

Назовем такое множество рам - р-подобными рамами.

Коротко говоря - критический параметр усг для р-подобных рам одинаков.

Например, рама с I± = 1 8 ,КХ = 3 , Е1Ь± = 3 Е1 ( р± =

Е1Ь Н _ ЗЕ1 3

I Е1~ 18 Е1

подобна в указанном смысле раме с

Е/436Е/=12.

о Е1

Критические силы, однако, будут различными, поскольку Рсг = у2г а

жесткость и высота стоек отличаются одна от другой для -подобных рам. Так, для описанных выше рам, критическая сила в первом случае будет

Аппроксимация зависимости V сг = V сг ( р )

Поскольку нелинейное уравнение (1) не поддается аналитическому решению, построим искомую зависимость на основе численного

решения уравнения (1). Для этого проведем серию расчетов для рамы, меняя в ней только жесткость ригеля , а вместе с ней и отношение погонных жесткостей р = 1 X 1 0 т. Сведем результаты серии расчетов в таблицу, фрагмент которой показан на рис. 2, а. Графически эти результаты удобно представить в логарифмической шкале (рис. 2, б).

Прокомментируем график, полученный по результатам численного эксперимента.

При имеем предельный случай ригеля бесконечно малой

жесткости на изгиб и бесконечно большой жесткости на растяжение/сжатие. Расчетная схема такой рамы приближается к механизму с ригелем, шарнирно соединенным со стойками. Критическая сила при этом стремится к нулю.

При имеем предельный случай ригеля абсолютно жесткого на

изгиб и на растяжение/сжатие (рис. 3). Для этой рамы решением уравнения устойчивости является значение

в 4 раз больше, чем во

втором

Реп _ Щ

Рсг2

Е1 (з)

0. 7тт.

а)

т Уст Р

-6 0.003464 1.00е-06

-5 0.010954 1.00е-05

-4 0.034638 1.00е-04

-3 0.109435 1.00е-03

-2 0.342984 1.00е-02

-1 0.99697 1.00е-01

0 1.894847 1.00е+00

1 2.164775 1.00е+01

2 2.199604 1.00е+02

3 2.203238 1.00е+03

4 2.203603 1.00е+04

5 2.20364 1.00е+05

6 2.203643 1.00е+06

б)

усг (т)

2.5

0 2 4 6

т = 1о§р

Рис. 2. Результаты численного эксперимента: табличное - а) и графическое - б) представление результатов

Таким образом, критический параметр усг лежит в пределах 0 < усг < 0.7п (рис. 2, б).

И

Е1

Л

м

3Е1

3Е1 "й3

Рис. 3. Шарнирно опертая рама с бесконечно жестким ригелем.

На отрезке от — 6 <т< — 4 параметр усг близок к нулю. На отрезке от 3 < т < 6 параметр усг практически не меняется и близок к предельному (см. рис. 2).

I

М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9494

На отрезке — 4 < т < 3 зависимость усг = усг ( 1 о gр) = усг (т) была

аппроксимирована (с использованием метода наименьших квадратов)

выражением следующего вида:

Г1. 247 + 0.994 агс^(1 . 02 5ш + 0. 768) п р и т < 0, ^сг (ш) = (1.9 77 + 0. 1 60 аг^ (2 .909ш — 0. 5 54 ) п р и ш>0 . (2)

График этой функции представлен на рис. 4 (крестиками показаны

результаты численного эксперимента, сплошной линией - аппроксимация

(2)). Погрешность определения критической силы = г^ ^ (с

использованием аппроксимации ггсг согласно (2) при загружении одной стойки и при 0 . 0 1 < р < 1 00 0 составит не больше 1%.

Рис. 4. Аппроксимация (сплошная линия) результатов численного эксперимента (X):

а) - на интервале — 6 < Ш < 6; б) - на практически значимом интервале —2 11 771 < 3

Алгоритм расчета на устойчивость:

1. по данным расчетной схемы определяем относительную погонную

EIrh ,

жесткость ригеля р =-и т = 1 о gp;

Ell

2. по зависимости (2) определяем значение параметра i;cr = i;cr (m);

VqTEI

3. определяем нагрузку на этаж Fcr =

h2

4. распределяем нагрузку на этаж по стойкам: задаем а;

F II со?2 EI I

5. определяем vL = h I= h I = h I ^ = vcrva, v2 = vcrV1— а;

л л

6. определяем коэффициенты приведенных длин ^ = —, = —.

V-y v2

Ясно, что изменением жесткости ригеля можно «регулировать» величину критической силы. Отсюда возникает следующая задача.

Обратная задача

Пусть для рассматриваемой рамы заданы пролет I, высота h, жесткость стойки EI и предполагаемая критическая нагрузка на этаж Rcr. Требуется определить жесткость ригеля, обеспечивающую устойчивость рамы при F < Rcr.

Предлагается следующий алгоритм решения задачи:

1. по заданным параметрам задачи определяем vcr = h J"Щ;

2. по найденному vcr определяем т = 1 о g р , используя (2) и рис. 4. б;

3. определяем р = 1 0 т.

4. из равенства р = ib / i = — — определяем жесткость ригеля E Ib = -р El.

I EIC ¡1

Пример

Рассмотрим три р -подобных рамы с р = 0 . 5 (рис. 5). Реализуем приведенный выше алгоритм расчета на устойчивость для рамы на рис. 5. а:

1. р=ЕЪ± = Ш:1 = 1 т = i о go. 5 = —0. 3 0 1 03 ;

r Ell EI-18 2' ь '

2. vcr = vcr (т) = 1. 675 096;

3. F cr = = 2 .80 5946 ■

4. Полагаем ;

5. vL = vcrva = 0.9 671 1 7, v2 = vcrV 1 — а = 1. 3 6771 ;

М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9494

71

6. д1 = - = 3 . 24841,

71

д2 = - = 2. 2 969 73 .

а)

н

аЕ

Е1

-о-

3 Е1

1=18м

(1-а)Е

б)

СП II

Е1

-О

Е1

1=6 м <->-

в)

Е1/4

Е1

1=3 м

■<->■

Рис. 5. Расчетные схемыр-подобных рам (р = 0.5)

Ясно, что для двух других рам результаты выполнения первых 4-х пунктов приведенного расчета будут одинаковыми. Отличия появятся только в результатах выполнения п. п. 5, 6.

Для всех трех рам были проведены расчеты, результаты которых представлены в таблице, где приняты следующие обозначения. /сг а , / сг е - приближенное и точное значение критической нагрузки на этаж (в долях от ).

1гсг а, ггсг е - приближенное и точное значение критического параметра. г сг 1 _ а, г сг 1 _е, гг сг 2 _ а, гг сг 2 _е - приближенное и точное значение критического параметра для левой (индекс «1») и правой (индекс «2») стоек. Д1 _а, Д1 _ е, Д 2 _ а, Д 2 _ е - приближенное и точное значение коэффициента приведенной длины для левой (индекс «1») и правой (индекс «2») стоек.

Таблица

Результаты расчетов

а ^сг а ^cr е F 1 сг а F 1 er е Verl а Verl е vcr2 а vcr2 е Д1 а Д1 е ß2 а ß2 е

1 1.680 2.823 1.675 1.6802 - - 1.876 1.870 - -

1/2 1.675 1.686 2.806 2.844 1.184 1.1925 1.1845 1.1925 2.652 2.636 2.652 2.635

1/3 1.686 2.842 0.9672 0.9732 1.3677 1.3764 3.248 3.228 2.297 2.282

По результатам приведенных расчетов можно сделать следующие выводы.

Приближенные значения усг и Fcr (в долях от Е1/К2) для всех р-подобных рам при любом распределении нагрузки, не меняются, поскольку отношение погонных жесткостей ригеля и стойки для всех рам одинаковы.

Точные значения усг, Fсr (в долях от Е1с/к2), коэффициенты приведенных длин д2 при заданном распределении сил (при заданном а) не меняются для всех р-подобных рам.

Подчеркнем, что величины собственно критических сил для всех рам и разных а будут отличаться.

При изменении распределения сил по стойкам рамы точные решения незначительно отличаются один от другого и от приближенного решения (не больше, чем на 2 %).

Получена приближенная формула для П-образной шарнирно опертой рамы, позволяющая определить критический параметр нагрузки Усг и расчетные длины сжатых стержней («в запас») с погрешностью не более 2%.

Литература

1. Арушонок Ю.Ю. Об ошибках проектирования строительных конструкций // Инженерный вестник Дона, 2021, №11. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n11y2021/7285

2. Лиманцев А.А. Универсальные формулы для определения расчетной длины элементов крестовой решетки // Инженерный вестник Дона, 2021, №5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n5y2021/6951

3. Журавлев Д.А. Упругая устойчивость статически неопределимой стержневой конструкции многоугольной конфигурации // Инженерный вестник Дона, 2019, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5564

4. Aghayere A., Vigil J. Structural steel design: a practice-oriented approach. Prentice Hall, 2009. P. 692.

5. Sukhvarsh J. Structural stability theory and practice: buckling of columns, beams, plates, and shells. Hoboken: Wiley, 2021. P. 642.

6. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 3. Под ред. д-ра техн. наук И. А. Биргера и чл.-кор. АН Латвийской ССР Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 569 с.

7. Ловцов А. Д., Мишакин, И. Е. Ю.А. Пак Ю. А. К определению критической нагрузки на однопролетную двухэтажную шарнирно опертую раму // Инженерный вестник Дона, 2022, №7. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n7y2022/7803

8. Смирнов А.Ф., Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. 415 с.

9. Дворников В. А., Ловцов А. Д., Чернобров Е. О. Влияние схемы загружения на величину критической силы для многопролетной многоэтажной плоской рамы / Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплекса: материалы Международной научно-практической конференции. - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2015. - Вып. 15. - С. 345 -347

10. Дворников В. А., Ловцов А. Д., Чернобров Е. О. Влияние схемы загружения на расчетные длины стержней многопролетной многоэтажной

рамы / Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплекса: материалы Международной научнопрактической конференции. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. унта, 2016. - Вып. 16. - С. 460 - 462

References

1. Arushonok YU. YU. Inzhenernyj vestnik Dona. 2021. №11. URL: ivdon.ru/ru/m agazine/archive/nl 1y2021/7285.

2 Limancev A. A. Inzhenernyj vestnik Dona. 2021. №5. URL: ivdon.ru/ru/magazin e/archive/n5y2021/6951.

3. Zhuravlev D.A. Inzhenernyj vestnik Dona. 2019. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazi ne/archive/n 1y2019/5564.

4. Aghayere A., Vigil J. Structural steel design: a practice-oriented approach. Prentice Hall, 2009. p. 692.

5. Sukhvarsh J. Structural stability theory and practice: buckling of columns, beams, plates, and shells. Hoboken: Wiley, 2021. p. 642.

6. Prochnost', ustojchivost', kolebaniya. [Strength, stability, vibrations] Spravochnik v trekh tomah. Tom 3. Pod red. d-ra tekhn. nauk I. A. Birgera i chl.-kor. AN Latvijskoj SSR YA. G. Panovko. M.: Mashinostroenie, 1968. p. 569.

7. Lovcov A. D., Mishakin I. E., Pak Ju. A. Inzenernyj vestnik Dona, 2022, №7. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2009/250/.

8. Smirnov A.F., Aleksandrov A. V., Lashhenikov B. Ja., Shaposhnikov N. N. Stroitel'naya mekhanika. Dinamika i ustojchivost' sooruzhenij. [Structural Mechanics. Dynamics and Stability of Structures] M.: Strojizdat, 1984. p. 415.

9. Dvornikov V. A., Lovcov A. D., Chernobrov E. O. Dal'nij Vostok: problemy razvitiya arhitekturno-stroitel'nogo i dorozhno-transportnogo kompleksa: materialy Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. Khabarovsk, 2015, Release. 15. pp. 345-347.

10. Dvornikov V. A., Lovcov A. D., Chernobrov E. O. Dal'nij Vostok: problemy razvitiya arhitekturno-stroitel'nogo i dorozhno-transportnogo kompleksa : materialy Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. Khabarovsk, 2016, Release. 16. pp. 460-462

Дата поступления: 14.07.2024 Дата публикации:2.09.2024