CC BY
4
и
К определению критической нагрузки на однопролетную двухэтажную
шарнирно опертую раму
А.Д. Ловцов, И.Е. Мишакин, Ю.А. Пак Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск
Аннотация: Рассматривается расчет на устойчивость однопролетной двухэтажной шарнирно опертой рамы. Введено понятие р-подобных рам, как рам с одинаковым отношением р погонных жесткостей ригеля и стойки. Показано, что параметр усг ,
определяющий критическую нагрузку на раму, одинаков для р-подобных рам. Для практически важных случаев получены приближенные формулы, позволяющие определить критический параметр нагрузки усг и расчетные длины сжатых стержней с погрешностью не более 5%.
Ключевые слова: плоская рама, потеря устойчивости, критическая сила, расчетные длины, уравнение устойчивости, р -подобные рамы, аппроксимация, метод наименьших квадратов.
Согласно [1], причиной отказов строительных конструкций являются ошибки проектирования (18 - 51%). Для металлических конструкций наиболее частой (22 - 44%) причиной отказов является потеря устойчивости ее элементов. На этапе эскизного проектирования важно иметь простые способы определения расчетных длин сжатых элементов конструкции [2-5].
В справочниках [6, 7] приведена информация, позволяющая получить расчетную длину сжатого стержня лишь для некоторых типов одноэтажных рам.
В СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции» в табл. 31 приведены формулы для определения коэффициентов расчетных длин для рам одноэтажных и многоэтажных. В последнем случае используются понятия «верхний», «средний» и «нижний» этажи. Вопрос об определении расчетных длин стоек двухэтажной рамы, таким образом, остается открытым.
Рассмотрим однопролетную двухэтажную шарнирно опертую раму (рис. 1, а). Отношение изгибных жесткостей ригеля и стойки определим, как а = Е1 1Е1С. Высота этажа Н = @!. Введем погонную жесткость стойки
и
г = Е1с ¡И, погонную жесткость ригеля гр = Е1р // и отношение погонных
жесткостей ригеля и стойки р = ^¡г, которое, с учетом принятых
л - Е1 р И аЕ1с р/
обозначений, равно р = —р--= —- • = аВ.
Р / Е1С / Е1с В
Нагрузка Г = (7 = 1,2,3,4) такова, что ^ К = 1. В этом случае Г
можно трактовать как нагрузку на раму.
Определим критическую нагрузку Гсг из расчета на устойчивость по Эйлеру, используя классический метод перемещений [7, 8]. Примем за параметр V, применяемый при расчете на устойчивость, величину, равную:
у=и,\ЩкТс.
Тогда для сжатых стоек 1, 2, 3, 4 рамы (рис. 1, а) V =4К + К • V, V = 4К + К • V,
V = Л(/к3 • V, V4 = Л/к4 • V.
а)
И
И
б)
в)
Рис. 1. Рама: а - расчетная схема рамы; б - загружение, соответствующее минимальной критической силе; в - загружение, соответствующее максимальной критической силе.
Величина критической нагрузки на раму Гсг зависит от распределения сил по узлам рамы [9, 10]. Проводя серию расчетов, обнаруживаем, что: минимальное значение Г™" получается при загружении левой стойки второго этажа силой Г, т. е., при кг=к2=к4 =0 и к3 =1 (рис. 1, б); максимальное значение Гтах получается при загружении стоек первого этажа одинаковыми
3
1
силами Е/2 (^ = = 0.5 и £3 = = 0, рис. 1, в). При этом для р> 0.5 параметры у™ и ус7*, соответствующие Г™" и Е™*, отличаются один от другого не более чем на 5% (табл. 1).
Таблица 1
Максимальные (числитель) и минимальные (знаменатель) значения усг
р усг % р усг % р усг %
0.2 1.464 12.84 0.5 1.767 4.96 2 2.063 1.30
1.298 1.683 2.036
0.3 1.606 8.77 0.6 1.818 3.99 4 2.136 1.04
1.477 1.748 2.114
0.4 1.699 6.43 1 1.942 2.23 10 2.186 0.93
1.597 1.900 2.165
Указанное обстоятельство наводит на мысль получить решение задачи при р> 0.5 для наиболее опасного нагружения (рис. 1, б) и распространить его результаты, с некоторой погрешностью, на произвольные случаи нагружения.
Уравнение устойчивости представляет собой условие равенства нулю определителя матрицы жесткости ЩИ, I, р, у) [7, 8]. Компоненты этой матрицы зависят от известных для рамы величин И, I, р и искомого параметра у. Ввиду громоздкости получаемых выражений приведем это уравнение в общем виде
П(И, I, р, у) = Щ(И, 1,р, у)\ = С(И,1) ■ Б(р, у) = 0.
Здесь: С (И, I) ^ 0 - константа, зависящая от высоты этажа И и погонной жесткости стойки I, В(р, у) - функция, зависящая от отношения погонных жесткостей ригеля и стойки и искомого параметра V.
Таким образом, уравнение устойчивости, переписанное в виде:
Др, у) = 0,
М Инженерный вестник Дона, №7 (2022) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n7y2022/7803
задает неявную функцию V = v(р). Получить выражение для у(р) в аналитическом виде не представляется возможным. Однако можно сделать вывод о том, что критический параметр зависит только от отношения погонных жесткостей ригеля и стойки. Следовательно, для множества рам с одинаковым отношением р и одинаковым распределением нагрузки (одинаковым набором коэффициентов (у = 1,2,3,4)) параметр ^ останется неизменным. Назовем такое множество рам р -подобными рамами. Поэтому результаты, представленные в таблице, справедливы для любой рамы, расчетная схема которой изображена на рис. 1, а.
Поставим задачу построения приближенного выражения для v = v(р). Проведем серию вычислений vcr при переменном р>0.5 для рамы, показанной на рис. 1, б. Результаты этих вычислений представлены крестиками на рис. 2.
Рис. 2. Аппроксимация результатов численного эксперимента
Указанные результаты с использованием метода наименьших квадратов были аппроксимированы функциями:
^ (р) = 1.0962 + 0.6943 • агеЬ§(2.274р) (0.5 <р< 3); (1)
и
усг (р) = 1.1572 + 0.6590 ■ агеЬ§(2.087р) (0.5 <р< 10) (2)
(показаны сплошной линией на рис. 2). Для обеих функций максимальная погрешность аппроксимации составила 0.34%.
При р^да точное значение критического параметра усг определяется
3
из уравнения ^ (у) +1 = 0 и равно усг = 2.204 (здесь ^ =- [8]).
3^у - у)
Построенные функции асимптотически стремятся к этому значению при р^да (рис. 2, пунктирная линия).
Установим максимальную погрешность определения у . Для этого:
загрузим раму с р = 0.5 по схеме рис. 1, в; определим точное значение уесг = 1.766679; определим приближенное значение усг по формулам (1), (2) у(1) = 1.68595, у(2) = 1.688835;
сг сг
определим погрешность приближенных формул
т у' - у(1) т у' - У(2)
£т = -сг-^-100 = 4.6%, £(2) = -сг--100 = 4.4% .
уе уе
сг сг
Таким образом, при любом загружении рамы погрешность определения усг по полученным формулам (1), (2) составит не более 5%.
Коэффициенты расчетной длины стоек равны
_ 1 ж _ 1 ж
1 л]кг + кз ус/ 2 Л¡к 2 + к4 усг '
1 ж 1 ж
\1к3 усг \1к4 усг
и погрешность их определения также составляет не более 5%.
Отметим, что с использованием полученных значений усг критическая
нагрузка на раму Е = у2 2 определяется «в запас».
и
Пример
Рассматривается рама (рис. 3) пролетом 6 м, высотой этажа 3 м и разными вариантами: загружения; жесткостей ригеля I и стойки 1с. Момент
инерции I = 52400 см4 соответствует двутавру 40К1, I = 23910 см4 - двутавру 30К3, I = 96150 см4 - двутавру 50Ш4.
В табл. 2 в строке, соответствующей усг : в числителе приведено точное значение усг; в знаменателе - приближенное значение усг (подсчитанное по формуле (1)); правее - разница в процентах между точным и приближенным значениями. Для строк, соответствующих ц (у = 1~4) и ^ - аналогично.
Варианты 1, 2 и 3, 4 приведены для сравнения решений при изменении р и неизменном распределении сил по узлам рамы: изменение р приводит к изменению параметра усг и, следовательно, коэффициентов расчетных длин ц. (у = 1~4) и критической нагрузки на раму. Отметим, что вариант 4 близок к
самому неблагоприятному случаю с точки зрения точности приближенного решения.
1)
0.3^ г 0.3^ т
0.2Е г 0.2^
1с = ТР = 23910 96150 4 см 4 см4
-ь-
2)
-6-
0.3^
0.3^
4 = 52400 см4 I =96150 см4
3)
0.25^ ч г 0.15^
0.4^ ч г 0.2^
4 = 52400 1р =96150 4 см4 4 см
Ь *
4)
0.25^ 0.15^ ч Г
0.4^ 0.2^
т Г
4 =96150 4 см4
1р =96150 4 см4
-о- -О-
1=6 м
к-:-и
Рис. 3. Варианты расчетных схем
Таблица 2
Сравнение приближенного и точного решений
и
М Инженерный вестник Дона, №7 (2022) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n7y2022/7803
Вариан Вариант 1 к = к2 = 0.2, Вариант 2 к = к2 = 0.2, Вариант 3 к = 0.4, к2 = 0.2, Вариант 4 к = 0.4, к2 = 0.2,
-ты расчет- к з = к 4 = 0.3, к 3 = к 4 = 0.3, к3 = 0.25, к4 = 0.15, к = 0.25, к4 = 0.15,
ных /с = 23910 см4, /с = 52400 см4, /с = 52400 4 см , /с = 96150 см4,
схем 1р = 96150 см4 1р = 96150 см4 1р =96150 см 4 ^ = 96150 см4
Р 2.0107 0.9175 0.9175 0.5
Усг 2.0573 0.97% 1.9030 1.39% 1.9095 1.73% 1.7388 3.04%
2.0373 1.8765 1.8765 1.6860
М1 2.160 -0.97% 2.335 -1.41% 2.041 -1.76% 2.241 -3.12%
2.181 2.368 2.077 2.311
М2 2.160 -0.97% 2.335 -1.41% 2.781 -1.76% 3.054 -3.14%
2.181 2.368 2.830 3.15
Мз 2.788 -0.97% 3.014 -1.43 3.290 -1.76% 3.614 -3.13%
2.815 3.057 3.348 3.727
М4 2.788 -0.97% 3.014 -1.43 4.248 -1.77% 4.665 -3.13%
2.815 3.057 4.323 4.811
Рсг 22938 1.93% 43014 2.77% 43309 3.43% 65889 5.98%
(кН) 22495 41822 41822 61948
Варианты 2, 3 приведены для сравнения решений при изменении распределения нагрузки на раму: критическая сила практически не изменилась - разница между точными значениями составила 0.7%; погрешность приближенного решения не превышает 3.43%.
Если для варианта 3 положить I = 12 м, И = 3.273 м, то отношение погонных жесткостей окажется равным р = 0.5. Параметр усг и коэффициенты расчетных длин окажутся такими же, как и в варианте 4. Однако критическая нагрузка на этаж ^ = \]г Е1С/И2 будет равна: 30183 кН (точное значение) и 28378 кН (приближенное значение).
Заключение
Для однопролетной двухэтажной шарнирно опертой рамы:
установлено, что параметр v, определяющий критическую нагрузку на раму, одинаков для р-подобных рам - рам с одинаковым отношением р погонных жесткостей ригеля и стойки;
получены приближенные формулы для рам с р> 0.5, позволяющие определить критический параметр нагрузки vcr («в запас») и расчетные длины сжатых стержней с погрешностью не более 5%.
показано, что величина критической нагрузки на раму F = ^ Fj
определяется «в запас» и практически не зависит от распределения сил F; по узлам рамы с р > 0.5.
Литература
1. Арушонок Ю.Ю. Об ошибках проектирования строительных конструкций // Инженерный вестник Дона, 2021, №11. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n11y2021/7285
2. Лиманцев А.А. Универсальные формулы для определения расчетной длины элементов крестовой решетки // Инженерный вестник Дона, 2021, №5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n5y2021/6951
3. Журавлев Д.А. Упругая устойчивость статически неопределимой стержневой конструкции многоугольной конфигурации // Инженерный вестник Дона, 2019, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5564
4. Aghayere A., Vigil J. Structural steel design: a practice-oriented approach. Prentice Hall, 2009. P. 692.
5. Sukhvarsh J. Structural stability theory and practice: buckling of columns, beams, plates, and shells. Hoboken: Wiley, 2021. P. 642.
6. Металлические конструкции. В 3 т. Т. 2. Стальные конструкции зданий и сооружений. (Справочник проектировщика) / Под общ. ред. заслуж. строителя РФ, лауреата госуд. премии СССР В. В. Кузнецова
(ЦНИИпроектстальконструкция им. Н. П. Мельникова) - М.: изд-во АСВ, 1998. - 512 с.
7. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 3. Под ред. д-ра техн. наук И. А. Биргера и чл.-кор. АН Латвийской ССР Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 569 с.
8. Смирнов А.Ф. и др. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. 415 с.
9. Дворников В. А., Ловцов А. Д., Чернобров Е. О. Влияние схемы загружения на величину критической силы для многопролетной многоэтажной плоской рамы / Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплекса: материалы Международной научно-практической конференции. - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2015. - Вып. 15. - С. 345 -347
10. Дворников В. А., Ловцов А. Д., Чернобров Е. О. Влияние схемы загружения на расчетные длины стержней многопролетной многоэтажной рамы / Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплекса: материалы Международной научно-практической конференции. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2016. - Вып. 16. - С. 460 - 462
References
1. Arushonok YU. YU. Inzhenernyj vestnik Dona. 2021. №11. URL:ivdon.ru/ru/m agazine/archive/nl 1y2021/7285.
2. Limancev A. A. Inzhenernyj vestnik Dona. 2021. №5. URL:ivdon.ru/ru/magazin e/archive/n5y2021/6951.
3. Zhuravlev D.A. Inzhenernyj vestnik Dona. 2019. №1. URL:ivdon.ru/ru/magazi ne/archive/n1y2019/5564.
4. Aghayere A., Vigil J. Structural steel design: a practice-oriented approach. Prentice Hall, 2009. p. 692.
5. Sukhvarsh J. Structural stability theory and practice: buckling of columns, beams, plates, and shells. Hoboken: Wiley, 2021. p. 642.
6. Metallicheskie konstrukcii. V 3 t. T. 2. Stal'nye konstrukcii zdanij i sooruzhenij. (Spravochnik proektirovshchika). [Metal structures. In 3 vol. T. 2. Steel Structures of Buildings and Structures. (The Designer's Handbook)]M.: izd-vo ASV, 1998. p. 512.
7. Prochnost', ustojchivost', kolebaniya. [Strength, stability, vibrations] Spravochni k v trekh tomah. Tom 3. Pod red. d-ra tekhn. nauk I. A. Birgera i chl.-kor. AN Latvijskoj SSR YA. G. Panovko. M.: Mashinostroenie, 1968. p. 569.
8. Smirnov A.F. i dr. Stroitel'naya mekhanika. Dinamika i ustojchivost' sooruzhenij. [Structural Mechanics. Dynamics and Stability of Structures] M.: Strojizdat, 1984. p. 415.
9. Dvornikov V. A., Lovcov A. D., Chernobrov E. O. Dal'nij Vostok: problemy razvitiya arhitekturno-stroitel'nogo i dorozhno-transportnogo kompleksa: materialy Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii.(Influence of the loading scheme on the critical force value for a multi-span multi-storey flat frame). Khabarovsk, 2015, Release. 15. pp. 345-347.
10. Dvornikov V. A., Lovcov A. D., Chernobrov E. O. Dal'nij Vostok: problemy razvitiya arhitekturno-stroitel'nogo i dorozhno-transportnogo kompleksa : materialy Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. (Influence of the loading scheme on the design lengths of the bars of a multi-span multi-storey frame). Khabarovsk, 2016, Release. 16. pp. 460-462.
