К РАСЧЕТУ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ф

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2022. № 4 (19)

EXPERT: THEORY AND PRACTICE

Научная статья УДК 624.04

ГРНТИ: 67: Строительство. Архитектура

ВАК: 2.1.9. Строительная механика; 2.1.1. Строительные конструкции, здания и сооружения doi:10.51608/26867818_2022_4_51

К РАСЧЕТУ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ

© Авторы 2022 SPIN: 2090-4982 AuthorID: 499723

ПЕТРОВ Владилен Васильевич

академик РААСН, профессор кафедры «Строительные материалы, конструкции и технологии»

Научно-исследовательский институт строительной физики РААСН (Россия, Москва);

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. (Россия, Саратов, e-mail: vladilen307@gmail.com)

SPIN: 6657-0301 AuthorID: 1131557

ГОРБАЧЕВА Ольга Александровна

ассистент кафедры «Строительные материалы, конструкции и технологии»; инженер научно-исследовательской группы Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. Научно-исследовательский институт строительной физики РААСН (Россия, Москва, e-mail: olga12zakirova@inbox.ru)

Аннотация. Статья посвящена исследованию возможностей метода коллокаций для решения задач нелинейной механики. Предложен метод построения последовательности узлов коллокации на основе пропорции «золотого сечения».

Ключевые слова: физическая нелинейность, метод коллокаций, определение узлов коллокации, золотое сечение, модифицированный метод последовательных нагружений, строительная механика, строительные конструкции

Для цитирования: Петров В.В., Горбачева О.А. К расчету конструкций из нелинейно-упругого материала методом коллокаций // Эксперт: теория и практика. 2022. № 4(19). С. 51-54. Сок10.51608/26867818_2022_4_51.

Original article

ABOUT THE COLLOCATION METHOD CALCULATION OF STRUCTURES MADE OF NONLINEAR ELASTIC MATERIAL

© The Author(s) 2022 PETROV Vladilen Vasilievich

Academician of the RAACS, Dr. of Technical, Professor of the department

«Building materials, structures and technologies»

Saratov State Technical University named after Yuri Gagarin

(Russia, Saratov, e-mail: vladilen307@gmail.com)

NIISF RAASN (Russia, Moscow)

GORBACHEVA Olga Aleksandrovna

assistant of the department "Building materials, structures and technologies"

Saratov State Technical University named after Yuri Gagarin

(Russia, Saratov, olga12zakirova@inbox.ru)

engineer of the research group at NIISF RAASN (Russia, Moscow)

Annotation. The article is devoted to the study of the possibilities of the collocation method for solving problems of nonlinear mechanics. A method for constructing a collocation by external nodes based on the "golden section" is proposed.

Keywords: physical nonlinearity, collocation method, search for collocation nodes, golden section, modified method of consecutive loads, construction mechanics

For citation: Petrov V.V., Gorbacheva O.A. About the collocation method calculation of structures made of nonlinear elastic material // Expert: theory and practice. 2022. № 4 (19). Pp. 51-54. (InRuss.). doi:10.51608/26867818_2022_4_51.

Рассмотрим один из методов определения приближенного решения операторного уравнения Аи = /, где А - непрерывный оператор, области определения О(А) и значений К(А) которого являются подмножествами гильбертова пространства Н со скалярным произведением (.,.). Перемещая заданный

элементf в левую часть уравнения, получим равенство Аи-/ = 0 (1)

где 0 - нулевой элемент в Н. Приближенное решение этого уравнения будем искать в виде

= Y°nUn , un 6 D (

(2)

Подставляя (2) в (1), найдем невязку решения

N

А^апип -/. Так как (2) есть приближенное решение,

п=1

то необходимо выбрать способ минимизации невязки. Один из способов минимизации был предложен Л.В. Канторовичем [1] в 1934 г. и использовался затем разными авторами для решения разнообразных задач. В соответствии с этим методом коэффициенты ап в (2) будем искать из условия равенства невязки решения операторного уравнения в заданной системе N натуральных чисел (координат точек, принадлежащих области V занятой конструкцией) нулевому элементу. В результате получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов а

N

ТапАип (хк)-Г(хк) = 0, хк е V, к = 1.....N (3)

п=1

Решая эту систему уравнений, найдем коэффициенты ап . Подставляя их в (2), получим приближенное решение операторного уравнения (1). Точность приближенного решения будем оценивать по величине разницы между последовательными приближенными решениями в фиксированной точке.

В качестве примера рассмотрим задачу изгиба физически нелинейной балки, жестко защемленной по двум концам под действием равномерно распределенной нагрузки %. Расчет выполним модифицированным методом последовательных нагружений (ММПН) [2-3], для применения которого необходимо дифференциальное уравнение изгиба балки в инкрементальной форме для применения метода последовательных нагружений (МПН)

d

2 (

Jk (un )

d2 Aun

d 4

\

= Apn+1tf), (n = 1,2.....) (4)

df

Jk (un-1 )

d'Aun df

= pn-if) ( n =1,2.....)

Jc (un-1 )

df2

(5)

Оба уравнения записаны в приращениях и в безразмерном виде [3-4]

где 4 = x /1 - безразмерная координата (I - длина балки), u(4) = W / h - безразмерный прогиб ^ - прогиб, Л - высота балки прямоугольного сечения), Лu(4) = ЛШ / Ь - приращение безразмерного прогиба, un-1 (4) = Wn-1/Ь - безразмерный прогиб, накопленный на предыдущих итерациях, Лр(4) = % / Е10 - приращение безразмерной равномерно распределенной поперечной нагрузки р (4) (Е - модуль упругости, 70 - осевой момент инерции сечения балки), ]к (и(4)) = ]к / Шо, ^ (и(4)) = ]с ^)/ЕО переменные жесткости балки, зависящие соответственно от касательного и секущего модуля.

Диаграмму деформирования ст1 (е) аппроксимируем кубической параболой ст, = Ее - те3. В этом случае переменные жесткости имеют вид

э4

Jk (un-1 ) = 1 - 9g-(un-1 )2, Jc (un-1 ) = 1 - "-g(un-1 )2

(6)

и дифференциальное уравнение метода Ньютона-Канторовича (МНК)

у = т/ Е, - безразмерный коэффициент, р = Ь/1 -безразмерная длина балки.

Для решения линейных уравнений МПН (4) с известными коэффициентами (6) применим метод Буб-нова-Галеркина [4-5]. Решение полученное МПН для максимальной заданной нагрузки используем в качестве нулевого приближения для итерационного метода Ньютона-Канторовича. Для решения уравнения МНК (5) применим метод внутренней коллокации. Координатные функции прогиба балки и ее приращения ищем в виде произведения главной части решения на корректирующую функцию, которая в случае прогиба симметричного относительно оси 4 будет иметь вид неполного полинома с четными степенями:

ип (4)=р(4)к + к242 +...+кп42 п), лип (4) =р(4)(лк1 + лк242 +...+лкпп), (7) (п = 1,2,3,....,N где К1...Кп - обобщенные координаты, п - количество узлов коллокаций, а р(4) - главная часть решения, удовлетворяющая граничным условиям. Эту функцию строим статическим методом В.З. Власова на основе выражения прогиба балки из упругого материала. В результате получим

q(4) = 2f4 - 3f3 + 4

(8)

Подставляя (7) в уравнение МНК (5) найдем невязку решения

u » u

N

n=1

ф

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2022. № 4 (19)

EXPERT: THEORY AND PRACTICE

d?

+-

d?

c?

Ы)

d2Aun d? d U

d?

- P(?) +

= F?,Kn )

(9)

В соответствии с методом внутренней коллока-ции, необходимо по длине балки выбрать систему узлов коллокации и приравнять в этих точках невязку решения нулю. В результате получим систему п линейных алгебраических уравнений, из решения которой находим коэффициенты кп. Точность решения зависит от удачного размещения узлов коллокации и их числа. В работах [6-8] приведены примеры решения линейных и нелинейных задач механики методом коллокаций с различными вариантами размещения узлов.

Анализ невязки решения показывает, что она достигает наибольших значений в областях жесткого закрепления краев балки, поэтому целесообразно расположить в определенном порядке большее количество узлов коллокаций в данной зоне. Такое расположение узлов можно получить при использовании пропорций «золотого сечения».

Пропорция золотого сечения - универсальная числовая константа, которая является совершенной для развития разнообразных объектов, систем и процессов. Почему именно эта пропорция стала основой практически любого процесса в нашем мире? Золотое сечение - не что иное как форма, которая обеспечивает развитие как живых существ, так и многочисленных материальных объектов и процессов энергетически наименее затратным способом.

На рис. 1 представлена расчетная схема симметричной балки с предложенной системой расположения узлов, на которой реализуется сгущение узлов коллока-

(10)

ции при приближении к зоне защемления концов балки. Узел А - (£ = 0), узел В - золотое сечение отрезка (0 -1/2), узел С - золотое сечение отрезка (В - 1/2), узел D - золотое сечение отрезка (С - 1/2).

Приравнивая невязку решения (9) на каждой итерации МНК к нулю в выбранных точках (1 приближение - узел А; 2 приближение - узлы А, B; 3 приближение - узлы А, В, С; 4 приближение - узлы А, В, С, D), получаем системы линейных алгебраических уравнений вида

Я (0,К ,К2 ,К3 ,К4) = 0 Я (0.191, К К ,К3 ,КА) = 0 Я (0.309,К К ,К3 ,К4) = 0 " Я (0.382,К ,К2 ,К3 ,К4) = 0 Здесь в круглых скобках приведены координаты узлов коллокаций и искомые обобщенные координаты. Решая эти системы уравнений, найдем коэффициенты К,К2,К3,К4 и, подставляя их в (7), получим искомую функцию прогиба балки. Далее по известным формулам определяем необходимые характеристики для определения напряженно деформированного состояния балки.

В таблице представлены безразмерные прогибы в середине пролета балки при разном числе узлов коллокации и итераций полученных МНК. Расчеты выполнены для двух случаев деления отрезка пропорцией «золотого» сечения. В числителе расчетные значения для первого случая, когда первый отрезок от центра выбирается коротким, а второй длинным, в знаменателе приведены результаты, полученные во втором случае - первый отрезок от центра длинный, второй короткий:

Из таблицы следует, что значение прогиба в первом расчетном случае при 2 и 3 итерациях совпа-

2

Рис. 1

Безразмерные прогибы в середине пролета балки при разном числе узлов коллокации и итераций полученных МНК

№ итерации МНК МК 1узел (0) МК 2 узла (0; 0.191) (0,'0.309) МК 3 узла (0,0.191,0.309) (0;0.309;0.427) МК 4 узла (0;0.191;0.309;0.382) (0;0.309;0.427;0.472)

1 6.932*10-3 5.953*10-3 6.550*10-3 6.564*10-3

6.848*10-3 6.456*10-3 8.050*10-3

2 6.951*10-3 5.958*10-3 6.552*10-3 6.565*10-3

6.862*10-3 6.457*10-3 6.615*10-3

3 6.951*10-3 5.958*10-3 6.552*10-3 6.565*10-3

6.862*10-3 6.457*10-3 151.000*10-3

дают в точности до третьего знака и независимо от количества узлов коллокации сходимость МНК не изменяется. Во втором случае наблюдается резкое различие значений между 1,2 и 3 итерациями МНК при 4 узлах МК. Исходя из этого, систему узлов коллокаций следует выбирать по схеме, описанной в первом расчетном случае.

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -ОД О ОД 0,2 0,3 0,4 0,5

-1-

NX

i vr®

1

W( Vl у « i

Vk\ \\

\ ч 1

!

Рис. 2

На рис.2 показаны эпюры прогибов, изгибающих моментов и невязки решения при расчете балки ММПН. На этапах итерационного процесса МНК используется метод коллокаций с узлом А - пунктирная линия, с узлами А, В - точечная линия, с узлами А, В, С - штрихпунк-тирная линия, с узлами А, В, С, D - сплошная линия.

При задании трех и четырех узлов коллокации разница в прогибах в центре балки составляет 0,19%, а эпюры прогибов и изгибающих моментов практически совпадают (рис. 2). При этом эпюра невязки решения практически по всей длине балки приблизилась к нулевым значениям.

Вывод. Можно сделать вывод, что при решении линеаризованных дифференциальных уравнений нелинейно-упругой балки методом внутренней кол-локации с выбором узлов при помощи пропорций «золотого» сечения можно получить достаточно точное решение с тремя узлами коллокации. Использование в расчете метода внутренней коллокации упрощает решение задачи и требует меньших трудозатрат (решаются простые системы алгебраических уравнений) по сравнению с другими численными и аналитическими методами, так как отсутствует вычисление интегралов и матриц высокого порядка.

Библиографический список

1. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных //ДАН СССР. 1934. Т. 2, № 9. С. 532 - 534.

2. Petrov, V. V. Nonlinear Structural Analysis Based on the Modified Sequential Load Method / V. V. Petrov // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2021. - Vol. 17. - No 4. - P. 146-152. - DOI 10.22337/2587-9618-2021-17-4-146-152. - EDN DYNDVL.

3. Горбачева, О. А. Расчет конструкций из нелинейно-упругого материала модифицированным методом последовательных нагружений / О. А. Горбачева // Эксперт: теория и практика. - 2022. - № 2(17). - С. 28-31. - DOI 10.51608/26867818_2022_2_28. - EDN TWIJFO.

4. Петров, В. В. Нелинейная инкрементальная строительная механика / В. В. Петров. - Москва : Инфра-Инжене-рия, 2014. - 480 с. - ISBN 978-5-9729-0076-3. - EDN SFTTJV.

5. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975.

6. Рогалевич В.В. Коллокационные методы. Сущность. Примеры. / В.В. Рогалевич. - Екатеринбург: Изд-во АМБ, 2001, - 298 с.

7. Букша В.В. Расчет пластин и пологих оболочек кол-локационными методами / В.В. Букша, О.В. Машкин, В.В. Рогалевич. - Екатеринбург: Изд-во АМБ, 2007. - 360 с.

8. Голушко, С. К. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к решению задач механики анизотропных слоистых пластин / С. К. Голушко, С. В. Идимешев // Проблемы оптимизации сложных систем : Труды X международной азиатской школы-семинара, Бу-лан-Соготту, 25 июля - 05 2014 года. Том 2. - Булан-Соготту: Национальный центр научно-технической информации, 2014. - С. 225-233. - EDN YSMDDN.

9. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Чумакова С.В. Операторные методы в нелинейной механике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2003. №2. С. 70 - 80.

10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Статья поступила в редакцию 23.08.2022; одобрена после рецензирования 30.09.2022; принята к публикации 20.09.2022.

The authors declare no conflicts of interests. The authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication. The article was submitted 23.08.2022; approved after reviewing 30.09.2022; accepted for publication 20.09.2022.