К расчету аэродинамических характеристик тонких крыльев с постоянной по размаху стреловидностью в несжимаемом потоке вблизи экрана Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

УДК 533.6.011

А. И. Пастухов, Е. К. Галемин

К РАСЧЕТУ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКИХ КРЫЛЬЕВ С ПОСТОЯННОЙ ПО РАЗМАХУ СТРЕЛОВИДНОСТЬЮ В НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ ВБЛИЗИ ЭКРАНА

Рассмотрено применение метода непрерывной вихревой поверхности к расчету аэродинамических характеристик крыльев около экрана.

Известные работы, связанные с расчетами аэродинамических характеристик крыльев около экрана, базируются, в основном, на методе дискретных вихрей [1]. Недостаточное теоретическое обоснование этого метода, а также сомнения в правильности подхода, согласно которому свободные вихри, сходящие с кромок панелей отображенного крыла, индуцируют скорости "сквозь" его непроницаемую поверхность, обусловливают попытку использовать для решения вопроса метод непрерывной вихревой поверхности.

Основные допущения. Задача о движении крыла около экранирующей поверхности имеет непосредственное отношение к практическим проблемам взлетно-посадочных режимов самолетов и полета экранопланов. При движении крыла на малых расстояниях от экранирующей поверхности (земля, водная поверхность) его аэродинамические характеристики существенно отличаются от их значений в безграничном потоке. Опыт показывает, что зависимости коэффициентов подъемной силы и продольного момента от угла атаки становятся существенно нелинейными даже у крыльев, имеющих большие относительные удлинения.

Эффект влияния близости экранирующей поверхности к реальному крылу, как известно, можно воспроизвести крылом, зеркально отображенным относительно экрана. Увеличение нормальных к модели реального крыла скоростей набегающего потока за счет скоростей, индуцируемых вихревой моделью зеркально отображенного крыла, приводит согласно условию непроницаемости к увеличению интен-сивностей вихрей модели реального крыла и к перераспределению вихревой плотности по размаху и хордам.

При рассмотрении этой задачи для крыла конечного удлинения индукции свободных вихрей "сквозь" плоскость отображенного крыла

можно избежать, предположив, что все его свободные вихри лежат в плоскостях хорд. Это допущение не является очень грубым, так как полетные углы атаки экранопланов и самолетов на взлетно-посадочных режимах невелики, а следовательно, углы заклинивания свободных вихрей близки к нулевым значениям.

Тонкие крылья с симметричным профилем и с постоянной по размаху стреловидностью заменяются плоскими пластинами с непрерывными вихревыми поверхностями. Полуразмахи этих моделей крыльев разбиваются на п продольных панелей с номерами {(к) = 0,1, 2 ,...,п — 1, шириной 1/2п, где 1 — размах крыла. Абсциссы х присоединенных вихрей отсчитываются в корневых сечениях реального I и отображенного II крыльев (рис. 1). Положение точки А на крыле I, в которой вычисляются скорости, вызванные собственными вихрями и вихревой моделью отображенного крыла, определяется абсциссой X в корневом сечении и по размаху — рассто-

Рис. 1. Вихревая модель крыла. Схема отображения крыла вблизи экрана

янием от середины крыла до средней линии соответствующей панели:

z' = (k + °,5) •

В относительных координатах и величинах указанные параметры имеют вид

x = —0 cos в, dx = — sin OdO, x' = —0 cos в', dx' = — sin O'dO', 2 2 2 2

A* = A; = z' = (k + 0,5)-^ = (k + 0,5) An, b0 n b0n b0n ; n

где b0 — длина корневой хорды.

Относительное обратное сужение по середине i-й панели обозначается а*, по концевому торцу панели — ai+1, по торцу, обращенному к среднему сечению крыла, — ai (см. рис. 1):

а* = 1 - (i + 0,5)A; tg х**, аг+1 = 1 - (i + 1)A; tg x**,

di = (1 - 0,5)A; tgx**, tgx** = 0,5(tgХп - tgХз),

Хп и хз — углы стреловидности передней и задней кромок крыла соответственно.

Примем, что распределение вихревой плотности по модели отображенного крыла Yi (x, a), интенсивности присоединенных и свободных вихрей, лежащих в плоскости хорд, как было указано выше, имеют те же значения, что и на модели реального крыла в свободном потоке.

Вычисление скоростей, вызванных присоединенными вихрями модели отображенного крыла. Полагая вихревую плотность величиной постоянной вдоль размаха i-й панели, а ее значение в корневом сечении крыла Yi (x,a), интенсивность элементарного несущего вихря можно представить в виде Yi (x, a, h) a* cos x (x) dx, где x (x) — угол стреловидности несущего вихря с координатой x в корневом сечении.

В соответствии с формулой Био-Савара элементарную скорость, вызванную присоединенными вихрями i-х панелей обеих половин отображенного крыла, в точке А реального крыла, расположенной в среднем сечении k-й панели с координатой x' (в') в корневом сечении крыла, можно найти в виде

Y»a* cos xdx

dVm,k — ---

4п

~пт (cos »,k - cos Pl»,k) +

hnk

+ TT (cos ^2»,k - cos PÍ»,k)

' nk

, (1)

где и — длины перпендикуляров, опущенных из точки А реального крыла на присоединенные вихри г-х панелей обеих половин отображенного крыла (рис. 2):

Рис. 2. Схема к вычислению скоростей, вызванных присоединенными вихрями модели отображенного крыла

в безразмерном виде

Кк = 1 [ak (cos в - cos в') cos х(в) cos a* (в)]2 +

+ {2h + {2 [Л* - (k + 0, 5) АП] tgХз + Щ (1 + cos в')} sin а+

+a*k (cos в — cos в') cos х (в) sin а* (в)}

1 2 1 2

h'' -hnk —

ak (cos в — cos в') cos х(в) cos а*(в) +

+ 2(k + 0, 5)АП sinх(в) cos а*(в)

+

+ {2h + {2 Л* — (k + 0, 5)АП tg Хз + 2ak(1 + cos в')} sin а+

+ ak (cos в — cos в') cos х(в) sin a*

где a* — угол атаки в плоскости, нормальной к несущему вихрю (см. рис. 2).

cos Pii,k —

pi,k

\l (hn,k )2 + (p',k

cos P2i,k —

pi+1,k

\/(hn,k )2 + (Pi

2 ■ '-! )2 i+1,k/

cos Pii,k —

pi,k

(Kk)2 + (Pi'k)'

cos ^2i,k —

P''

r i+1,k

K,k) 2 +(Pi+i,k)'

2

i

2

[i - (k + 0,5)] \*n , .

<k = 1-Cos X (fl) n - ak (cos 9 -cos 0')sin X (0);

-/ [i + 1 - (k + 0,5)] ЛП „ „л .

PÍ+i,fc = 1-(COS X (fl) n - < (cos - cos fl') sin X (fl);

„ _ [i + (k + 0,5)] Л

Pí.fe —

cosX(fl)

- [ak (cos fl - cos fl') cos X (fl) + 2 (k + 0,5) Л*п sin x (fl)] tg X (fl);

„ _ 1 + (k + 0,5)] Л

Pí+1,k —

cos X(0)

- [а* (cos 0 - cos 0') cos X (0) + 2 (k + 0, 5) X*n sin x (0)] tg x (0), nT „ h

где 2h = 2^ — относительное расстояние по вертикали между концами торцовых хорд.

Проектируя скорость, вызванную элементарными присоединенными вихрями i-х панелей, на нормаль к поверхности реального крыла, получим (см. рис. 2)

dVjg = dVro,k sin (5 - а*). (2)

Интегрируя выражение (2) с учетом соотношения (1), получим нормальную к поверхности реального крыла безразмерную скорость, вызванную всеми присоединенными вихрями i-х панелей отображенного крыла в точке с координатой 0' среднего сечения k-й панели:

п

Vin)k (a,0'= f /Ч (a,0,h) ( sin[5lk (0,0',a) "a*] X

,k V У 2W V У l 2hílk (a, 0,0', h

г / t\ / T-M sin [52k (0,0', a)— a* ]

X [cos ^ (0,0',a,h) - cos (0,0',a,h)] + 2* ( , ' 1 -) ] x

2hnfe d 0, 0 , hj

X [cos (0,0', a, h) - cos (0,0', a,hh)] J cos x (0) sin 0d0 (3)

или

п

V^) (a, 0', h) = У Y, (a, 0, h) a*k (a, 0, 0', h) cos x (0) sin 0d0, 0

где a*k определяется выражением, заключенным в фигурные скобки

в формуле (3),

. a* (cos в — cos в') cos х (в) cos а* o1k = arcsin ( -—'-

¿2fc =

' [a* (cos в — cos в') cos х (в) + 2 (k + 0,5) АП sin х (в)] cos а*

= arcsin

T"

'"nfe

Суммируя по всем панелям отображенного крыла, можно получить

п—1

^П? (а, л) = Е ^ (а, л) .

г=0

Вычисление скоростей, вызванных свободными вихрями модели отображенного крыла. Для скорости, вызванной элементарными свободными вихрями, лежащими в плоскости отображенного крыла, сходящими с торцов г-х панелей, в точке А к-й панели реального крыла можно записать

„а 7га* cos xdx f 1 + cos ¿C¿+i,fc , 1 + cos ¿kfc ,

dVcí,k = —in— l т-+ ~~а?—+

+ 1 +cos ^C'i+i,fc + 1 +cos

+ h'' + h''

' ci+1 ,k hci,fe

где hC и hC — длины перпендикуляров, опущенных из точки А на оси свободных вихрей, сходящих с торцов г-х панелей обеих половин модели отображенного крыла (рис. 3). В безразмерной форме получим:

hCi,k = \/ П2 cos2 а + {[г - (k + 0,5)] Л^.}2,

h= ^ñ2 cos2 а + {[г + (k + 0,5)] Л^2;

hCi+i,k = ^ñ2 cos2 а + {[г + 1 - (k + 0,5)] Л^2;

h^ = yV cos2 а + {[г + 1 + (k + 0,5)] Л^2;

П = П (а, h, 0') =

= 2h + 2ak (1 + cos ) sin а + 2 [Л* - (k + 0, 5) Л^] tg Хз sin а,

где 2h + 2 [Л* — (k + 0,5) ЛП] tg хз sin а — относительное расстояние по вертикали между концами хорд, проведенных через средние сечения k-х панелей (стреловидное крыло);

Рис. 3. Схема к вычислению скоростей, вызванных свободными вихрями модели отображенного крыла

cos i+i,k

ä sin а + ai+1 (cos в - cos в') - [i + 1 - (k + 0, 5)] X*n tg x (в') Ь'ы+1,к) 2+ i^sin а + äi+i (cos в- cos в') - [i + 1 - (k + 0, 5)] A£ tg x (в')}2

cos 5'i,k =

ä sin а + äi (cos в - cos в') - [i - (k + 0, 5)] A*n tg x (в') \J(h'ci,k) 2 + iä sin а + äi (cos в - cos в') - [i - (k + 0, 5)] A£ tg x (в')}2

cos ö"i+1,k =

ä sin а + äi+1 (cos в - cos в') - [i +1 - (k + 0, 5)] A^ tg x (в') \J (h'ci+1,k)2+ in sin а + äi+i (cos в - cos в') - [i + 1 + (k + 0, 5)] АЩ tg x (в')}2

cos ö"i,k =

ä sin а + äi+1 (cos в - cos в') - [i - (k + 0, 5)] A^ tg x (в') (h C'i,k) 2 + in sin а + äi (cos в - cos в') - [i - (k + 0, 5)] A^ tg x (в')}2

Для лежащей в плоскости AAiBB" (см. рис. 3) составляющей скорости, вызванной в точке А реального крыла элементарными свободными вихрями г-х панелей отображенного крыла с координатами точек

- / - bo ü, _ ,

схода или —а»— cos 0' и ai+1x' или —ai+1— cos 0', нормальной к 22 поверхности отображенного крыла, можно получить

a¿a* cos х sin 0d0 í cos (1 + cos

in

ah' I ¿V

ci+1,k

cos í1 +cos % +cos ^Ci+i,fc í1 +cos C+i,k

ah

a"

cos

ha

(1 + cos <£,fc) L (4)

где

cos

ci+i,fe

cos

ci+i,fe

[i + 1 — (k + 0, 5)] АП h'

[i + 1 + (k + 0, 5)] An h''

cos fe =

cos fe =

[i — (k + 0,5)] An h'

[i + (k + 0, 5)] An h''

Проецируя эту скорость на нормаль к поверхности реального крыла в точке А, получим

däS = cos 2а.

(5)

Интегрируя уравнение (5) с учетом выражения (4) по корневой хорде модели отображенного крыла, нормальную к поверхности реального крыла в точке А безразмерную скорость, вызванную всеми свободными вихрями, сходящими с торцов г-х панелей отображенного крыла, можно получить в виде

(а h) = aL I Yi К

[i + 1 — (k + 0, 5)] АП cos 2а

2п

2

ci+i,fe

а, в, в', h)

х

х [1 + cos (а, в, в', h)] —

[i — (k + 0, 5)] АП cos 2а

h'

а

,в,в',^

[1 + cos ¿Сг,к (а, в, в', h)] +

п

2

2

2

+

[г + 1 + (k + 0, 5)] Л; cos 2а

hci+1,k (a!,0,0',h)

[1 + cos ¿CW M,0',h)] -

2

2

[i + (k + 0, 5)] Л; cos 2а

2

h'

hci,k

а, 0,0',^

[1 + cos (а,0,0',^] > cos x (0) sin 0d0

(6)

или

VJi (а, 0', h) = Yi (а, 0)чк (а, 0, 0', h) cos x (0) sin 0d0,

2n .1

где через обозначено выражение в фигурных скобках формулы (6). Суммируя по всем панелям отображенного крыла, получим

n—1

VT (а, 0',hh) = £ Kg (а,0', h).

i=0

Распределение вихревой плотности по хордам панелей отображенного (а, 0) и реального (а, 0, крыльев представляется приближенно тригонометрическими рядами [2]:

Yi (а, 0) = 2

0

Аог (а) ctg 2 + (а) sin q0

q=1

Yi (а, 0, h) =2

( ) 0 ( ) Boi (а, h) ctg ^ + ^ Bqi (а, h) sin q0

q=1

Распределение вихревой плотности модели отображенного крыла считается заданным — полученным из расчета крыла в свободном потоке (по методике [2]), соответственно, заданными принимаются и коэффициенты ряда А0Да), А^(а),..., АрДа).

Уравнение непроницаемости. Вычисление величины и закона распределения вихревой плотности модели реального крыла около экрана. С учетом действия вихрей модели отображенного крыла уравнение непроницаемости реального крыла в точке среднего сечения к-й панели будет иметь вид

1

2П

n1

Yi (а, 0, h) Ki,k (а, 0, 0') sin 0d0 +

i=0

+ VПк (а, 0', h) + VС;) (а, 0', h) = sin а,

, T7(n)

2

п

п

где в соответствии с работой [2]

Кг,к (а, 0, 0') = а* [аг,к (0, 0') + с^ (а, 0')] cos х (0)

или

n—1

Е Y (а, 0, h) (а, 0,0') sin 0d0

п

1

2п „ о i=0

п

= sin а + — I > Yi (а

" n-1

/ Е Yi (а, 0) (а, 0,0', h) sin 0d0, (7)

J Л-_п

0 i=0

где

(а, 0,0', h) = а* (а,0,0'Д) + c*fc (а,0,0'Д)] cos х(0).

Второе слагаемое правой части уравнения (7) при заданных значениях коэффициентов ряда для Yi приводит задачу к расчету вихревой плотности крыла с переменным по размаху и хордам углом атаки:

1 ?n-1

sin ак (0', а, h) = sin а + — / EYi (а, 0) (а, 0, 0', h) sin 0d0. (8)

o i-0

Для примера воспользуемся простейшим представлением вихревой плотности Yi трехчленным выражением:

Yi (а, 0, h) =2

( ) 0 ( ) ( )

B0i (а, h) ctg —Ь B1i (а, h) sin 0 + B2i (а, h) sin 20 2

которое позволяет вычислить суммарные аэродинамические характеристики как для каждой панели, так и для крыла в целом.

Для этого простейщего случая, опуская параметры в круглых скобках в выражениях (7) и (8) за исключением координаты точки 0' в среднем сечении k-й панели реального крыла, система уравнений непроницаемости будет иметь следующий вид:

п п

B00J Кц)^)(1 + cos 0)d0 + Bw J ^0,0(0;) sin2 0d0+

0 0

п п

+ B20 / K0,0(0'i) sin 20 sin0d0+ + B01 / Ki,0(0';)(1 + cos 0)d0+

00

п п

+ Biij Ki,o(0l) sin2 0d0 + 02^ Ki,o(0l) sin 20 sin 0d0+ 00

+ Bo2 у K^l)(1 + cos 0)d0 + B12J ^2,0(0;) sin2 0d0+

0 0

п

+ B22 ^ K2,0 (0;) sin 20 sin 0d0 = n sin a0 (0';);

0

П П

B00J K0,0(02)(1 + cos 0)d0 + B10 J K0,0(02) sin2 0d0+

00

П П

+ B20 J K0,0(02) sin 20 sin0d0+B0^ K;,0(02)(1 + cos 0)d0+

00

П П

+ Bn^ K;,0(02) sin2 0d0 + B21 J^ K;,0(02) sin 20 sin 0d0+

00

П П

+ B02J K2,0(02)(1 +COs 0)d0 + B;^ K2,0(02) sin2 0d0+

00

П

+ B22^ K2,0(02) sin 20 sin 0d0 = = n sin a0(02); 0

П

B00J K0,0(03)(1 + cos 0)d0 + B10 J K0M) sin2 0d0+

00

П П

+ B20 j K0,0(03) sin 20 sin0d0+B0i У K;,0(03)(1 + cos 0)d0+

00

П П

+ Bn^ Ki,0(03) sin2 0d0 + B21 J^ Ki,0(03) sin 20 sin 0d0+

00

П П

+ B02 / K2,0(03)(1 +cos 0)d0 + B;2 / K2,0(03) sin2 0d0+

+ B22y K2,0(03) sin 20 sin0d0 = n sin«0(03). 0

Для определения девяти коэффициентов ряда (0, 1 и 2-я панели) необходимо записать еще по три уравнения непроницаемости для

П

П

П

П

1 и 2-й панелей. Все эти девять коэффициентов вычисляются для фиксированных значений Л и а.

Вычисление аэродинамических характеристик. Вихревую плотность

Yi (а, 0, h) =2

Boi (а, h ctg 2 + В«» h sin M)

q=1

можно найти с учетом индукции отображенного крыла аэродинамические характеристики крыла около экрана можно вычислить по формулам, полученным для изолированного крыла [2].

Пренебрегая касательными составляющими скоростей, вызванными вихревой системой отображенного крыла, коэффициент нормальной силы, действующей на k-ю панель, можно определить по формуле

Cyk (а, h) = I Yk (а, 0', h) Vkx) (а, 0') sin 0'd0',

где

K(x) (а, 0') = [cos а + Vf (а, 0')J cos х (0') - (а, 0') sin х (0')

— безразмерное значение проекции полной относительной касательной скорости на нормаль к оси элементарного вихря с координатой

x' (0') в центральном сечении крыла в плоскости k-й панели; V^f и

—(z) —

— безразмерные значения проекций скорости (а, 0') на оси

Ox и Oz, вызванной собственной вихревой системой реального крыла, плотность которой 7¿:

К®)

К*)

V S? («,0') = ¿

n— i

(а, 0, h) ^ (а, 0,0') а* cos х (0)

i=0

sin 0d0,

(®) _ т(ж) . т'(®)

где wci,fe = Jci,fe + Jci,fe ,

T (x) =

Jcí,fe =

[i + 1 - (k + 0, 5)] A; sin а

hi+1,k

X

X

1+

^i+i,fe cos а

V^+i.k {[i + 1 - (k + 0, 5)] A;}2

+

+

[i - (k + 0, 5)] A; sin а

1+

Л k cos а

+ {[i - (k + 0,5)] A;}2

П

П

2

2

'(x) _ [(i + 1) + (k + 0, 5)] An sin а

Jci,k (_n \ 2 X hi+i,k )

, л , $i+i,k cos а

X < 1 + —F= , == > +

\M+i,k + {[i + 1 + (k + 0,5)] An}2

[i + (k + 0,5)] АП sin а I cos а

+ ; \ \ 1 +

0

где , ,(z) _ T(z) + j'(z)

(<k)2 l V^k + {[i + (k + 0,5)] An}

n— 1

E Yi (M,h) fe (а, 0,0') äj cos x (0)

П

1

i=0

sin 0d0,

7(z) _ #i+i,k J ч ,__#i+i,k cos а_

Jci,k _ /_, \ 2 l 1 + /-—2 / +

A+i,k) l V^2+i,k + {[i + 1 - (k + 0, 5)] АЩ2

+ ^i,fc I 1 + ^i,fc cos а

(hi,k)2 Г \Mk + {[i - (k + 0,5)] АЩ2

т;(z) _ #i+i,k I 1 ,__#i+i,fc cos а_ +

Jci,k _ /_'' \ 2 l 1 + I-+

(hi+i,^ l \M+i,k + {[i + 1 + (k + 0,5)] A^2

+ #i,k I 1 + $i,fc cos а

(<k)2 l + {[i + (k + 0, 5)] АЩ

_f \ 2 2

hi+i,k) _ fek sin2 а + {[i + 1 - (k + 0,5)] Aj , (hi,k\2 _ ^2,k sin2 а + {[i - (k + 0, 5)] A^2 ,

2

hi'+i,k) _ fek sin2 а + {[i + 1 + (k + 0,5)] V}2 (hi'k\2 _ <k sin2 а + {[i + (k + 0,5)] An}2 ,

2

= 4 (cos в - cos в') - [i + 1 - (k + 0,5)] ЛП tg х(в), = ak (cos в - cos в') - [i - (k + 0,5)] ЛП tg х(в).

Для коэффициента момента тангажа, действующего на k-ю панель относительно оси, проходящей через переднюю точку корневой хорды, параллельной Oz, и коэффициента давления в точке среднего сечения k-й панели с координатой в' в корневом сечении крыла можно получить

mzk (a, h) =

= 11 % (a,0', h) Vkx) (a, 0')

A

1 + ^n (k + 0,5) tg Хп - cos 0'

sin 0'd0'

Срк (а, 0', Ь) = 27^ (а, 0', 7) V (а, 0').

Суммарные характеристики крыла вблизи экрана определяются по следующим формулам:

n— 1

2 У^ Cyk (a, h) at

г=0

Cy (a, h = _ _ .

^ ^ П (1 + аконц)

n1

mzk (a, h) (ak)2

mz (a, h) =

г=0

n (1 + аконц)

Cd (a, h) =

—) mz a

i,h)

конц

Cy (a, h)

b

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ермоленко С. Д., Ровных А. В. Решение задачи о крыле произвольной формы в плане, движущемся вблизи экранирующей поверхности // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1971.

2. П а с т у х о в А. И. Вихревое математическое моделирование обтекания тел потоком сплошной среды // Нелинейная вихревая теория несущей поверхности. - Вып. 2. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994.

Статья поступила в редакцию 1.07.2005