CC BY
12
УДК 524.354
К ПРИРОДЕ АНОМАЛЬНОГО МОМЕНТА СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩЕГО НА ВРАЩАЮЩИЙСЯ НАМАГНИЧЕННЫЙ ШАР В ВАКУУМЕ
B.C. Бескин, A.A. Желтоухов*, А. К. Обухова, Е. Е. Стройнов
Уточнена величина аномального момента сил, действующего на вращающийся намагниченный шар в вакууме. Показано, что его величина зависит от структуры магнитного поля, внутри тела.
Ключевые слова: нейтронные звезды, радиопульсары, аномальный момент.
Введение. Простейшей моделью, описывающей магнитосферу нейтронных звезд, является вакуумная модель [1. 2]. Согласно этой модели, нейтронная звезда представляет собой хорошо проводящий намагниченный тиар, вращающийся в вакууме. При этом основное энерговыделение происходит за счет магнитодипольного излучения, которое приводит к замедлению вращения и к уменьшению угла х между осью вращения и магнитным моментом т [3].
Несмотря на то. что вакуумная модель известна довольно давно, по некоторым вопросам все еще не достигнута полная ясность. В частности, на данный момент нет единого мнения о т.н. аномальном моменте сил. т.е. о моменте, действующем в направлении, перендикулярном плоскости (тО.) и приводящем к прецессии оси вращения. Такое название связано с тем. что его величина
где Д — радиус шара, а £ численным коэффициент порядка единицы, оказывается в (QR/c)-1 раз больше, чем тормозящий момент. При этом разные авторы дают разные значения величины £, а именно £ = 1 [3, 4] и £ = 3/5 [5] (см. также работы [6, 7], в которых, однако, заведомо не учитывался вклад электрического поля). С другой стороны, согласно [8, 9] аномальный момент вообще равен нулю (£ = 0), и поэтому подобная прецессия должна отсутствовать. Данная работа посвящена прояснению указанного
ФИАН, Россия, 119991, Москва, Ленинский пр-т, 53; * e-mail: zhelto@gmail.com. Московский физико-технический институт, Долгопрудный Московской обл.
(1)
вопроса и вычислению аномального момента сил. действующих на вращающийся намагниченный тттар в вакууме.
Метод вычисления момента сил. Для определения аномального момента необходимо определить объемные и поверхностные токи и заряды, связанные с вращением тттара. Ниже мы будем считать тттар идеально проводящим, так что в нем выполнено условие вмороженности
Е + вк х В = 0, (2)
где здесь и далее вк = П х Ё/с. В результате силы, действующие на шар, могут быть записаны в виде
¿Ё = реЕ ¿V + [Ё х В]/с ¿V + аеЁд^Б + Ё х В]/сЯБ, (3)
где первые два слагаемых соответствуют объемному, а вторьте поверхностному вкладу. Однако если предположить, что в объеме тттара существуют литтть токи коротации Ё = сревк, то, как легко проверить, объемная часть силы (3) будет равна нулю. Тогда, учитывая, что на поверхности шара Ё = Я ■ п и ¿Б = Я2¿о, где ¿о — элемент телесного угла, для полного момента сил, действующих на поверхность тттара, получим
к = гх аЁ
сЯ
3
Ёп ВЁ
В ■и) +
Ёп ЕЁ
ЕЁ ■ Ёп ¿о,
4п J
где фигурными скобками обозначены скачки поля на поверхности тттара. Таким образом, задача о нахождении момента сил сводится к задаче нахождения электромагнитного поля внутри и вне тттара.
Мы будем решать задачу методом разложения по параметру (ПЯ/с), причем, как видно из соотношения (4), нам достаточно ограничиться литтть членами первого порядка для электрического и второго порядка для магнитного поля. При этом мьт воспользуемся известным свойством квазистационарньтх конфигураций, когда для полей, зависящих от угла р и времени Ь лишь в комбинации р — Ш, временные производные можно заменить на пространственные, в результате чего уравнения Максвелла могут быть переписаны в виде [101
V х [ Е + вк х В) =0, (5)
4п -
с
Поскольку же как внутри, так и вне тттара правая часть второго уравнения оказывается равной нулю (внутри есть только токи коротации), получаем в итоге
V х (в — вк х Ё) = ^Ё — 4превк- (6)
Ё + вк х В = —^ф, (7)
B — pR х E = Vh, (8)
где ф и h суть две скалярные функции, которые следует находить из условия непрерывности соответствующих компонент электрического и магнитного полей и из условий V • I = 0и V • B = 0 вне шара.
Таким образом, зная магнитное поле в нулевом порядке по параметру (QR/c), можно, используя уравнение (7), найти электрическое поле, соответствующее первому порядку по параметру (QR/c). Как хорошо известно, вне шара оно складывается из радиационного поля излучения магнитного диполя и квадрупольного поля зарядов, наводимых в тттаре. В свою очередь, уравнение (8) позволяет однозначно найти магнитное поле во втором порядке по параметру (QR/c). Оно складывается из волнового поля как магнитодипольного, так и квадрупольного излучения.
Подчеркнем, что предлагаемый здесь метод неприменим для расчета момента, ответственного за магнитодипольное излучение, поскольку он не может различить запаздывающие и опережающие потенциалы [10]. Однако эта неопределенность появляется лишь на следующем тттаге разложения, поскольку, как мы видели, аномальный момент (1) в (QR/c)-1 больше тормозящего момента, направленного против оси вращения. Поэтому описанная вьтттте процедура оказывается адекватной поставленной задаче.
Результаты. Прежде всего, рассмотрим случай, когда в нулевом порядке по параметру (QR/c) магнитное поле как внутри, так и вне шара является дипольным
^ 3(m • r)r — mr2 . ,
B =-r-'
В этом случае поверхностные токи нулевого порядка отсутствуют, и поэтому для вычисления аномального момента требуется определение лишь электрического поля. При этом его непрерывная тангенциальная компонента может быть определена непо-
ф=0
1 m í qr\
ae = — — í -j (cos2 0 cos x + sin в cos в sin х) - (10)
В итоге, получаем
£ = 0- (и)
В случае же однородно намагниченного тттара магнитное поле в нулевом порядке по параметру (ПД/с) внутри шара определяется через магнитный момент формулой
В = 2ш/Я3, а вне шара является дипольным (9). Это значит, что на поверхности шара должны существовать электрические токи (а. значит, и скачок магнитного поля) нулевого порядка. Поэтому в этом случае, помимо электрического поля первого порядка. необходимо определить и магнитные поля второго порядка. В результате, после элементарных, хотя и достаточно трудоемких вычислений, получаем
Таким образом, мы видим, что аномальный момент сил. действующий на вращающийся намагниченный тттар в вакууме, не равен нулю и при этом зависит от структуры его внутреннего магнитного поля. Отличие же от предыдущих расчетов, по-видимому, связано с тем. что в них не были учтены токи коротации внутри звезды.
Отметим, наконец, что для реальной магнитосферы радиопульсара в уравнении (7) с хорошей точностью можно положить ф = 0 не только внутри, но и вне нейтронной звезды [10]. В результате в модели с магнитным диполем в центре звезды скачок нормальной компоненты электрического поля (а, значит, и поверхностный заряд) будут равны нулю. Следовательно5 для нулевого продольного тока ^вдоль магнитных силовых линий) в магнитосфере аномальный момент также будет отсутствовать (£ = 0).
Авторы благодарят Я. Н. Истомина и А. А. Филиппова за полезное обсуждение. Работа была поддержана ФЦП Министерства образования и науки, соглашение 14.А18.21.0790.
[1] A. J. Deutsch, Annales d'Astrophysique 18, 1 (1955).
[2] J. P. Ostriker and J. E. Guim, Astrophys. J. 458, 347 (1969).
[3] L, Davis and M. Goldstein, Astrophys. J. 159, L81 (1970).
[4] P. Goldreich, Astrophys. J. 160, 111 (1970).
[5] A. Melatos, MXRAS 313, 217 (2000).
[6] M. L, Good and K. Iv. Xg, Astrophys. J. 299, 706 (1985).
[7] L, Mestel and D. Moss, MXRAS 361, 595 (2005).
[8] F. C. Michel, Theory of neutron star magnetospheres (University of Chicago Press Chicago, 1991).
(12)
ЛИТЕРАТУРА
[9] Ya. X. Istomin, in Progress in Neutron Star Research. A. P. Wass (Ed.) (Xova Science Publisher, New York, 2005), p. 27. [10] V. S. Beskin, MHD Flows in Compact Astrophysical Objects (Springer-Verlag, Berlin, 2010).
Поступила в редакцию 22 июля 2013 г.
