Анализ дифференциального вращения полярных шапок нейтронных звезд для случая анизотропной проводимости вещества шапок Текст научной статьи по специальности «Физика»

АСТРОФИЗИКА

УДК 524.354.4

А.И. Цыган, Д.А. Шалыбков, Д.П. Барсуков, О.А. Гогличидзе

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

анализ дифференциального вращения полярных шапок нейтронных звезд для случая анизотропной проводимости

вещества шапок

В статье рассматривается дифференциальное вращение жидких полярных шапок, вызванное магнитосферными токами, замыкающимися под поверхностью нейтронной звезды. При этом учтена анизотропия проводимости и вязкости вещества полярной шапки, связанная с сильным магнитным полем. Показано, что скорость этого вращения очень мала и почти весь электрический ток замыкается глубже — в твердой коре.

РАДИОПУЛЬСАР, НЕЙТРОННАЯ ЗВЕЗДА, МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ, АНИЗОТРОПНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ.

Введение

Согласно современным представлениям, токовый механизм — это одна из основных причин торможения радиопульсаров (см., например, работы [1—5]). Рассматривается, как правило, область открытых силовых линий [6] (пульсарная трубка), по которой протекает электрический ток ] [5]. Для того чтобы нейтронная звезда не заряжалась по границе открытых и замкнутых силовых линий, в противоположном направлении течет возвратный ток [2, 7, 8]. В результате суммарный ток по пульсарной трубке оказывается равным нулю [5, 9]. возвратный ток (весь или частично) может течь и внутри пульсарной трубки — вдоль силовых линий магнитного поля, на которых расположены внешние зазоры [9]. Эти токи замыкаются под поверхностью нейтронной звезды; при этом направление части электрического тока оказывается перпендикулярным вектору индукции магнитного поля В, что приводит к появлению силы Лоренца (1 / с) [] х В], действующей на вещество нейтронной звезды и тормозящей ее вращение [2]. При поверхностной температуре Т^ > 105 К поверхностные

Рис. 1. Схема к постановке задачи: на поверхности твердой коры (1) £ = ~Ь нейтронной звезды лежит слой жидкости (2) толщиной Ь (область выделена серым тоном), а над ним расположена область магнитосферы (3) (г > 0). Тонкие стрелки — силовые линии магнитного поля с индукцией В0; жирные черные стрелки — электрические токи ], поступающие из магнитосферы и протекающие в нейтронной звезде; й — вектор угловой скорости вращения твердой коры вокруг оси £ (направлена против силы тяжести)

слои нейтронной звезды представляют собой океан глубиной Ь, равной примерно 10 — 100 м, ниже которого расположена твердая кора [10]. Электрический ток может замыкаться как в глубине твердой коры, так и в океане (рис. 1). При этом сила Лоренца, приложенная к жидкости, приводит к появлению дифференциального вращения.

В данной статье мы будем рассматривать только случай нерелятивистского стационарного осесимметричного течения несжимаемой жидкости, пренебрегая всеми эффектами общей теории относительности, а также поправками порядка 1/ с2 [2, 11]. При этом мы будем учитывать анизотропию проводимости и вязкости вещества жидкого слоя полярных шапок, связанную с магнитным полем.

Уравнения магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости

Рассмотрим тонкий слой жидкости, лежащий на поверхности нейтронной звезды. Толщину слоя Ь будем считать малой по сравнению с радиусом нейтронной звезды Ят ~ 106 см, т. е. Ь « Ят [10]. Пренебрегая в связи с этим кривизной поверхности нейтронной звезды, будем считать слой жидкости плоским и бесконечным. введем цилиндрическую систему координат (г, ф, £) с осью, направленной вверх (против силы тяжести). Жидкий слой занимает область -Ь < £ < 0; при £ < -Ь расположена твердая кора, которая вращается твердотельно, с угловой скоростью О = Qe£, а при £ > 0 располагается пульсарная магнитосфера, заполненная крайне разреженной плазмой. Со стороны магнитосферы по магнитным силовым линиям пульсарной трубки подводится электрический ток ^ который может замыкаться как в области жидкого слоя, так и в области твердой коры (см. рис. 1). Наличие этого тока приводит к возникновению в слое дифференциального вращения жидкости. Будем считать жидкость в слое вязкой и хорошо проводящей. И чтобы найти течение жидкости, воспользуемся уравнениями магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости [12]:

divB = 0; (2)

p(dv / dt + (v • v)v ) =

1 (3)

= -VP + — [rotB x B] + Fvis + pg;

4n

divv = 0; p = const, (4)

где E — вектор напряженности электрического поля; B — вектор индукции магнитного поля; v — скорость течения жидкости; p, P — плотность и давление жидкости; Fl = CT0f (ст0в - тензор вязких напряжений); g — ускорение свободного падения

(g = ge,, g < 0).

В силу тонкости слоя будем считать, что g « const. В данной работе рассматриваются только установившиеся течения, поэтому ограничимся нахождением только стационарных решений, когда все величины не зависят от времени t. Кроме того, чтобы упростить задачу, ограничимся соосным случаем и будем рассматривать только осе-симметричные течения, когда все величины не зависят от азимутального угла ф . Чтобы исключить из уравнения (1) электрическое поле E, воспользуемся законом Ома, который запишем в следующем виде [13 — 15]:

E + i[v x B] =

c

(5)

= ^в х [j х eв]] + Я^в^ • ^ - Ян^ х Д,

где eв = B / В; (Я±, Я, Ян) — компоненты тензора сопротивления [13].

Согласно работе [13], при В0 « 1012 Гс для вещества на поверхности нейтронной звезды можно грубо оценить отношение сопротивлений как

%и

Ян я,

1

Х|| =

я,

2 2 Ю DT„„,

10-2 << 1:

10-4 < Хн,

dB / dt = -crotE;

(1)

где оВ — циклотронная частота ионов, %сса( — характерное время столкновений. Тогда уравнение (1) примет вид с2

го^ х B] = — го!^^ х [rotB х eв] +

4п (6)

+Яeв (eв • гotB) - Ян [eв х гotB]), где было учтено, что

1

4П

rotB = — j. c

(7)

Рассмотрим сначала невозмущенное течение, когда к слою не подводится никакого электрического тока. Будем считать, что в этом случае жидкость вращается твердо-тельно, с той же угловой скоростью Q, что и кора, и запишем течение в виде

v = ; Bo = Boez, (8)

где Q = const, B0 = const;

j = 0; = 0; (9)

P = Po(r, Z) = p(-gz + Z2 / 2). (10)

Пусть теперь к слою подводится электрический ток j = jz (r )ez.

Создаваемое этим током течение будем искать в виде

v = Огеф + Su; B = B0 е z + SB;

(11)

Р = Рй(г, £) + 8Р.

Величину тока ] будем считать малой и в дальнейшем будем учитывать только поправки, линейные по величинам 8ц, 8В и 8Р. Рассмотрим величину Е^. Согласно равенствам (9)), тензор натяжений ст^ является величиной 1-го порядка малости. Поэтому при его вычислении можно положить В = В0 е£. Будем считать, что тензор вязких натяжений ста задается выражением (4.41) из работы [15] (см. также [16]). Тогда с учетом (4) тензор ст^ принимает вид [15, 16]:

/ р—^Чг1 Wz +

+ -fW - жфф) + v3Wrф;

стфф / p = -V0 Zl w -

VIS ' У r\ 77

-yW - Wфф) -vWф;

(12)

(13)

<t / р = vWrф - ^(Wr - Wфф) + Уз^ф; (14)

°vs / р = К +Zr W;

(15)

(15)

ст£ / P = v2w* ;

стф- / P = v2Wiк -v4Wz,

где V А — коэффициенты кинематической сдвиговой вязкости (А = 1—4); — коэффициент второй кинематической объемной вязкости (коэффициент первой объемной вязкости не вошел в эти формулы ввиду условия (4));Шар — тензор «деформаций», который с учетом уравнения (4) и азимутальной симметрии течения принимает следующий вид:

д8и д8иф 8иф

ш = 2 г • Ш =_^__ф

гг - ~ ^ - ) гг гф _ >

д

(16)

дг

WW = — Su ;

фф r

Wz = rz dz

dSu dSи

дг

WL =

dS иф _ф

dz

W„ = 2-

dS uz dz

(17)

Будем для простоты предполагать, что в рассматриваемом приближении коэффициенты сдвиговой вязкости VА (А = 1 — 4), а также коэффициент второй объемной вязкости можно считать постоянными, т. е. не зависящими от координат. При этом, согласно работе [15], при В0 - 1012 Гс отношения вязкостей ЕА = VА / V,, (А = 1 — 4) могут быть оценены как

1

10

-4 .

^2

1

10-2;

- 4Е1 2^3.

Заметим также, что согласно равенствам (9) , величина ] тоже является величиной 1-го порядка малости и, соответственно, в правой части уравнений (5) и (6) можно положить еВ = ег, го1В = го1;(8В}, а коэффициенты Я±, Я|, Ян вычислять в нулевом приближении. Для того чтобы упростить задачу, предположим, что в нулевом приближении величины Я±, Я, Ян не зависят от координат.

Запишем все уравнения в безразмерном виде. Пусть I — характерный пространственный масштаб. Удобно в качестве I взять величину, сравнимую с размером полярной шапки Я ; и стоит отметить, что в этом

рс " '

случае можно ожидать, что Ь « (10-2 - 10)/. Далее вместо г, £, Ь будем использовать безразмерные величины, сохранив для них те же самые обозначения, т. е.

г ^ /г, £ ^ /£, Ь ^ /Ь. Положим

8u = ^ ы, 8B = В0Ь,

/

= ^ Р, j и введем обозначения

~2 О/2

сВ0

4п /

(18)

(19)

Пх = — Я±; Ке = 4п у„

На =

В02

[4пР V 0 Пх'

где пх — перпендикулярная компонента тензора магнитной диффузии, Ке — число Рейнольдса, На — число Гартмана.

для радиопульсара со значениями В0 = 1012 Гс, Р = 1 с, полагая р ~ 104 г/см3 [10], у0 ~ 10-2 см2/с [17], Стц ~ 1018ед. СГС [18], а также Хц ~10-4, мы можем грубо оценить значения чисел Рейнольдса и Гартмана как Ке « 1011 и На ~ 1012.

С учетом всего вышеизложенного уравнения (6), (2) — (4) могут быть записаны как

диг д2Ьф

= -т~г + Ь(Ьг) + Хн -гт; д£ д£ д£

(20)

диф __ф_

д£

д2Ьф _ф

д£2

%н

д2Ь

Л

ди

^ д£ 1 д

+ Ь(Ьг) +хЬ(Ьф); (21)

= ——I г

д£ г дг

Ь

дг

ддЬ

д£2

хн

1 д_ г дг

( дЬЛ

_ф_

д£

(22)

дЛ , и„2 ( дЬ

-2Кеиф = + На21 —^ -

ф дг I д£ дг

дЬ,

+(1 + £ц)Ь(иг) + Е

( д2и„

^ д£

+ Е3 Ь(иф) + Е4

дЬ.

- Ь(иг)

(23)

д2и

ф

д£2

д 2иф

2Кеи = На2—- + Е Ь(иф) + Е9 , г д£ ^ ^ ^ ^ д£2

- (24)

-Е3 Ь(иг) -Е

( д2 и

д£2

- Ь(иг)

0 = + 2

д 2и

д£ д£

--е2

(ди д£2

- Ь(и_)

+ Е4-т-

г дг

1 д ( ди-

д£

п 1 д / ч

0 = (гиг) + +;

г дг д£

п 1 д , ,Ч дК

0 = (Ь) + ^,

г дг д£

где были введены обозначения

(24)

(25)

(26) (27)

(

Р1 =

Р ~ —

к 1 V,, д£

; Ь( /) =

д2/ , 1 д/ /

■ + —

2

дг2 г дг г

При написании уравнения (22) было учтено условие несжимаемости жидкости (26) . Согласно равенству (27), можно положить

даф 1 д К = , К =- ),

д£ г дг

(28)

и соответственно уравнения (20) и (22) могут быть записаны в виде

д2аф дЬф

+ Ь(«ф) = иг +Хн^. (29)

д£ д£

Подставляя полученное выражение в уравнение (21), получаем равенство

, д2Ьф д

(1 + хн) + х Ь( Ьф) = -—(и- + ХнЧ- )• (30)

Учтем, что в рассматриваемом случае Еф = 0 и поэтому ф-ю компоненту уравнения (5) в линейном приближении можно записать в виде

дЬг дЬ£ ( дЬф 1

д£ дг

Хн -г^" + иг д£

(31)

Подставим это выражение в равенство (23) и, соответственно, получим:

( дЬ 1

др 2 ( дЬф -2Ке и = - — + На21

дг

+(1 + Е1)Ь(иг) + Е

Хн

(д\ д£2

9£

+ и

- Ь(и) + (32)

+Е3 Ь(иф) + Е4

д2иф д£2

2

Отметим также, что в рассматриваемом приближении компоненты электрического поля выражаются как

Е = -щгП +1д (а) I-

В

(Ыф+Хниг) - ^ (1+хН) ^г;

г дг

П±

дЬф

(33)

вп

да

!ф , П±Х 1 д

= -П/г_^ + ^Х||-^ (гЬф); (34)

д£

/ " г дг

Еф= 0,

(35)

а компоненты электрического тока J можно записать в виде

дЬф 1 д

г д* ' г г дг фУ'

Л = -

^д2аф _ф

д£2

Л

(36)

+ Ь(аф)

Будем считать, что величины ^ , Ьф , aф, р1 убывают с ростом г достаточно быстро для того, чтобы к ним можно было применять разложение в интеграл Ганкеля [19]. Тогда величины иг, иф, Ьф, аф представим в виде

/ (г, £) = |о+" ИДИ, £) I! (Иг )йИ; /(И, £) = г/(г, £)/! (Иг)йИ,

(37)

и их образы будем обозначать знаком верхней тильды: соответственно йг, йф, Ьф, аф. Величины и£ и р1 запишем в виде

/ (г, £) = |0+" ИДИ, £ )/о(Иг )йИ;

(38)

/(И, £) = |0" г/(г, £)/0 (Иг)йИ,

а их образы будем обозначать соответственно как йг и р1.

Подставляя данные разложения в уравнения (24) - (26), (29), (30) и (32), видим, что в полученных уравнениях переменные разделяются и их можно записать в виде

(

-2Ке иф = Ир1 - На2

-(1 + у и \ +

иг + Хн

дЬф _ф

д£

Л

(39)

д£2

+ И 2И,

д2йФ

-Е3 и ;

д£2

дЬф

д2Ц/ф

2Ке г/ = На2 —- - Е,И иф + Е2 ,

+ йг - Е4

(д2иг 2 —г + И и

д£2 '

(39)

(40)

дР± = 22

д£ д£2 2

^ д 2и

Л

Я 2 + И\

д2ь

дй

Ииг + —- = 0; д£

д

+ Е4 ; (41) (42)

(1 + хН)^-Х„и2Ь/ф=^(<+гни1г); (43)

д£

д

д£2

д£

,2- - дЬф

- И аф = и + Хн

(44)

Граничные условия

Рассмотрим сначала область £ < -Ь и граничные условия при £ = -Ь. Обозначим все величины, относящиеся к области £ < -Ь, знаком . Согласно условиям задачи, данная область заполнена твердым телом, вращающимся с угловой скоростью О = Qeг, и соответственно 8й = 0 при £ < -Ь. Требуя, чтобы при £ = -Ь скорость 8ц была непрерывна, получаем:

и4-ь = 0> иф I=-Ь =0' и4=-Ь = (45)

Предположим теперь, что при £ < -Ь выполняется закон Ома (5) с коэффициентами сопротивления Я±, Я|, Ян. Введем обозначения

п± = (с2 / (4п))Я±, х = Я / я± , Хн = ян / я .

В дальнейшем для простоты будем считать, что п±, Хц, Хн не зависят от координат. Тогда для нахождения магнитного поля в области £ < -Ь можно использовать уравнения (43) и (44), которые в рассматриваемом случае принимают вид

(1 + хН)

^ д2Ьф-Х И2 = 0;

д£

2

д2а„.

дЬф

(46)

"ТТ - И аф = Хн

Их решение можно записать как

Ьф (к, £) = В ф (к) еа£ + В ф (к) е; аф (к, £) = Л +ф (к) ек£ + Л- (к) е ~к£ +

^^Х^От(В+ (к) еа£ - В-(к) е"а),

(47)

(48)

а2 - к2 где введено обозначение

а = к^Х /(1 + Хн) •

Наложим условие Ьф ^0 и аф ^ 0 при £ ^ (3, тогда Вф (к) = 0 и Лф (к) = 0. Потребуем, чтобы при £ = -Ь были непрерывны величины В и Ег (в силу (35) непрерывность Еф = 0 выполняется автоматически).

Принимая во внимание, что и| Ь+0 = 0 и учитывая соотношения (28) и (33), эти условия можно переписать в следующем виде:

аф = аф

ф £=-ь+0 ф £=-Ь-0

даф _ф

д£

г=-Ь+0

даф _ф

д£

;(49)

£=-Ь-0

Ьф = Ьф

ф £=-Ь+0 ф

£=-Ь-0

(50)

2 дЬф

Пх (1 + хн) ^ д£

£=-Ь+0

2 дЬф

= Пх (1 + хн)

д£

£=-Ь-0

Подставляя сюда решение (47), (48), получаем равенства

(

дЬф _ф

д£

Л

- кБЬф

= 0;

£=-Ь+0

(даф 1 —ка( д£

= 0 Ьф

' £=-Ь+0

где введены обозначения

£=-ь+0

Б =

0 =

>/Х||(1 + Хя) .

1 + Х2н

Х | | +

л

+ хн

(51)

(52)

(53)

(54)

К приведенным здесь выражениям коэффициентов Б и 0 надо относиться осторожно. Дело в том, что при их выводе предполагалось, что на масштабах ~ 1 / а проводимость постоянна и можно не учитывать сферичности звезды. Однако масштаб 1 / а вполне сравним с 102 радиу-

сов полярной шапки 1 / к, т. е. с радиусом нейтронной звезды Дк [2]. Поэтому для реальных нейтронных звезд коэффициент Б должен весьма заметно отличаться от выражения (53). Важно отметить, что, скорее всего, он будет зависеть от к (переходя при к ^ +да в выражение (53)).

Чтобы проиллюстрировать данное утверждение, рассмотрим ситуацию, когда проводимость в области -Ь - Д < г < -Ь постоянна и описывается с помощью закона Ома (5) с независящими от координат коэффициентами Дх, Д, Ян, а при £ < -Ь - Д проводимость тоже постоянна, но коэффициенты равны уже Я 'х, Я 'у, . Введем обозначения _ пХ =_(с2 / (4п))Я 'х, Х II = Я II / Я 'х,_ Х 'н = Я 'н / Я 'х и будем считать, что Ьф ^ 0 и аф ^ 0 при £ ^ -да. Тогда

- - азИ(аД) + Б 'да ксИ(аД) _

да асИ(ад) + б 'да кэк(ад)'

(55)

0 = -

Хна (

а

- к2

а

- кБ-

— -кД

ае

асИ(аД) + Б 'да кэк(аД)

(■ -Х Б ~ к21

0 да Хн —

(56)

а

- к2

где введены обозначения

- = а пх (! + Хн) -' =а' п'х + Х я).

к Пх (1 + Хн)

е' = А/ Ь

да — !

а _ а

' = к

к Пх (! + Хн) ' I Х (57)

Х'

77 ' 2

н

а ' + к V1 + х '

Отсюда сразу видно, что в общем случае коэффициенты Б и 0 зависят от к. При этом легко заметить, что величины Бда и Б 'да совпадают с выражением (53) для проводимостей ЯА и Я 'А соответственно; аналогично 0 'да совпадает с выражением (54) для проводимости Я 'А . В случае если к ~ 1 и аД 1, получаем Б « Б 'да . Поэтому при рассмотрении плавной частире-шения разумно положить Б равным Б 'да . Напротив, при рассмотрении резко меняющихся профилей тока основной вклад в максимальное значение скорости иф дают области к » 1. При этом вполне допустима

П

х

ситуация, когда аД » 1 и Б « Бт. Поэтому при нахождении максимальных значений скорости и разумно использовать выражение (53). Однако _следует иметь в виду, что в обоих случаях Б < 10-2 « 1.

Рассмотрим теперь область £ > 0 и граничные условия при £ = 0. Обозначим все величины, относящиеся к области £ > 0,, знаком . Будем считать, что эта область заполнена веществом с очень низкой проводимостью поперек магнитного поля и с очень высокой проводимостью вдоль него [2]. В связи с этим будем считать, что

Ji ^ +<< и J ^ 0 (а также хH ^ 0). Тогда из уравнения (5) получаем J = Je

(58)

и соответственно в линейном приближении уравнение (7) можно записать в следующем виде:

^ = О,1 д (лф ) = ^, + Жф) = 0. (59)

г дг

Из первого равенства (59) следует, что в области £ > 0 величина Ьф зависит только от г. второе равенство связывает данную величину с плотностью электрического тока /г = сопз1( £). Третье равенство дает формулу

а ф (к, £) = Л + (к) ехр(к£) + Л - (к) ехр(-к£).

Если потребовать, чтобы аф ^ 0 при £ ^ +<», то получим, что Лф (к) = 0 и, соответственно,

даф / + каф = 0.

Если поставить условие непрерывности магнитной индукции В при £ = (3, то с учетом вышеизложенного граничные условия при £ = 0 можно переписать в виде

fdä, ^ — + kä^ dz

= 0;

z=0-0

Ьф (k) = Ь ф (k),

lz=0-0

(60)

(61)

где функция Ь ф (г) считается заданной и ее образ обозначен как Ь ф (к).

Касаясь условия непрерывности компонент Ег и Еф, следует отметить, что в силу равенства (35) непрерывность Еф вы-

полняется автоматически. Условие же непрерывности компоненты Ег совместно с уравнением (33) фактически служат для определения скорости и ф.

Будем считать, что среда, заполняющая область £ > (3, очень разрежена, т. е. р ^ 0. в связи с этим потребуем, чтобы поток вещества внутрь области £ > 0 отсутствовал:

(62)

ü = 0.

z\z=0-0

Налагаем также условия непрерывности потоков r- и ф- компонент импульса на границе z = 0. Эти условия можно записать иначе, если дополнительно учесть, что компоненты вектора B на данной границе непрерывны, а также положить р « 0. Они примут следующий вид:

CT* I =0; стфг| = 0. (63)

VIS__n n ' VIS — л n V /

Используя выражения (15), (17), а также условие (62), получаем, что при v2 ф 0 и V4 ф 0 условия (63) можно записать как

dür dz

z=0-0

дйф = 0;— dz

= 0.

(64)

z=0-0

Здесь необходимо отметить, что условие непрерывности £-компоненты импульса было проигнорировано. Дело в том, что в это условие входит отклонение уровня жидкости к(г) от поверхности £ = 0 (здесь £ = Н(г) — это высота, на которой в точке г заканчивается область жидкости и начинается область разреженной плазмы). С точностью до членов 1-го порядка данное условие имеет следующий вид:

P0(r, z = h(r)) + (SP + CT®S )| z=0-0 = 0.

(65)

Это равенство показывает, что фактически данное условие не налагает ограничений на течение, но может служить для определения функции к(г).

следует отметить, что из-за большой силы тяжести, а именно g ~ 1014 - 1015 см/с2 [10], на поверхности нейтронной звезды, даже в нулевом приближении, величина Н(г) < 10-2 см, т. е. Н(г) « I. Это позволяет при вычислениях в первом порядке не учитывать условия (65) и считать, что всюду к(г) » 0.

Подведем итоги данного раздела. На нижней границе £ = мы будем требо-

вать выполнения условий (45), (51) и (52), причем для простоты будем далее считать, что коэффициенты Б и (( не зависят от И и задаются выражениями (53), (54). На верхней границе £ = 0 будем требовать выполнения условий (60) — (62) и (64). При этом входящая в условие (61) функция Ь ф (г) считается известной (ее образ обозначается как Ь ф (И)), а величина электрического тока, падающего из магнитосферы на слой, следует выражению

Л

= 1 д

= - — (гЬ ф ).

г=0 г д£

Решение уравнений

Рассмотрим течение в области -Ь < £ < 0. Поскольку для радиопульсаров можно ожидать, что На ~ 1012 » 1, то будем вычислять все величины только в первом неисчезающем порядке, пренебрегая всеми поправками порядка ~ 1 / На. При этом будем полагать, что либо значение числа Рейнольдса Я.е < 1 (невращающаяся нейтронная звезда), либо Я.е ~ На (нормальный радиопульсар). Для того чтобы упростить вычисления и избежать проблемы пересечения мод, будем также считать, что все величины ЕА различны (хотя бы с точностью примерно 10 %) и ни одна из них не обращается в нуль.

Итак, будем искать решение уравнений (39) — (44)в виде

/(I) = / • ехр(а£).

Тогда получаем:

Бйг = На2аЬф + (Е2а2 - Е1И2)иф; (66)

-Бйф = Ир1 - е4 и2йф - На2ХнаЬф + (67) + (Е2(а2 + И2) - (1 + Е1)И2 - На2)иг;

ар1 = Е4аИйф + (2а2 - Е2(а2 + И2))щ; (68)

0 = Ийг + а^; (69)

МЬф = -а(и + Хни); (70)

(а2 - И2)аф = иг +аХнЬф, где введены обозначения

Б = 2Ке + Е4(а2 + И2) - Е3И2,

(71)

М = (1 + хН )а2 - И2х„ .

Соответственно при а ф 0 и М(а) ф 0 имеем соотношения

(Б • М + На2хНа2)иг = = ((Е^а2 -Е1И2) • М - На2а2)г/ф;

-а2(Б • М + На2хНа2)) = = (М • Р + На2хНа4И;

и г

(

+ Е2

V

а

М

а

(а2 + И2)

- 2

а

Ий

а =

1

1

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(а2 - И2) М х ((а2 - И2хЯ -а2Хни), где введено обозначение

Р = Е2(а2 + И2)2 - (3 + Е1)И2а2 - На2а2.

Отсюда сразу видно, что при а2 = И2 мы получаем ненулевое решение: аф ф (3, а остальные величины равны нулю.

Это решение описывает потенциальное магнитное поле, очевидно, удовлетворяющее граничным условиям (45), (51), (52), (60) — (62), (64). Поскольку данная мода влияет только на полоидальное магнитное поле, то при нахождении остальных мод (они определяют скорость течения жидкости ц ) наличие данной моды необходимо учитывать только для того, чтобы удовлетворить граничным условиям (52) и (60). Соответственно, пока нас не интересует полоидальное магнитное поле, мы можем спокойно игнорировать как моды а2 = И2, так и граничные условия (52), (60). Следовательно, полагая а2 ф И2, получаем, что уравнение относительно величины а имеет вид

(78)

а2Б (Б • М + 2На2хна2) + (Е2а2 - Е1И2): х (М • Р + На2 хН а4) - На2 а2 Р = 0.

Это уравнение является полиномом 4-й

2

степени относительно величины а и соот-

(79)

ветственно имеет четыре корня.

Рассмотрим сначала случай а2 = На2 х , где х ~ 1, а2 » И2.

Тогда с точностью до поправок порядка 1 / На уравнение (78) принимает вид

(Е2 + е4) (1 + хн) х2 +

+ 2(Е4Хн -Е2) х + 1 = 0. Его решение имеет вид

х,2 • ' (80)

Е2 - «Е 1 - "Хн

где я = ±1 задает выбор корня уравнения: х1 и х2 соответствуют я = +1 и я = -1 соответственно. При этом для данной моды иг « ийф.

Введем также обозначения

а2 = На2х1, Ые(а1) > 0;

а2 = На2х2, Ке(а2) > 0.

Рассмотрим теперь случай а2 =

На

х,

где х ~ 1, а2 « И2. Тогда с точностью до поправок ~ 1 / На уравнение (78) принимает вид

х2 -

(

Л

Е2 + + ТГТ Б1 Х|| + Е2Е1Хц = 0, (81)

На2

V

где введено обозначение «е И2

Тогда, соответственно, получаем, что

Б1 = 2тт + Е4-Е2.

= 1

х3'4 = 2

(

Е2 + Е1 Х|| +

На

"Б12Хц

Л

(82)

Е2 + Е1Х | | + На2 Б1 Х1 I Е2Е1Х| | ,

где я = ±1 опять задает выбор корня уравнения: х3 и х4 соответствуют я = +1 и я = -1 соответственно.

В случае Ке < 1 получаем х3 « Е2 и х4 « Е1Х|. При этом для данных мод

йг » Рйф,

где Р3,4 = (х3,4 - ) / (Б1Х - Хнх3,4).

В случае Ке < 1 имеем

Е2 -Е1Х|| .п.. И2_ Ех Б1 - Хн Е1 ,2 ЬД||

Б1Х|| Хн Е2

Р4 *-

На2

Е2 Е1Х||

а при Ке ~ На получим

Р3,4 - (х^4 -Е1Х)/(БД,,) = 0(1/На).

Введем также обозначения

а3 = (И2 / На)^х~ > 0 ;

а = (и2 / На)^ > 0.

Пусть вклад в величину /(£) моды А равен /С при а = а а и /С при а = -аА, где С+, СА — амплитуды соответствующих мод, А = 1 - 4.

Тогда, пренебрегая модами а2 = И2, которые, как уже отмечалось, влияют только на потенциал аф, запишем полное решение в области -Ь < £ < 0 в следующем виде:

/ (£) = £ (р+САв«а £ + /АсАв£ ) . (8 3)

А=1

Слагаемые /[+2 будем учитывать только вблизи границы £ = (3, а слагаемые — только вблизи границы £ = -Ь. Подставим решение (83) в граничные условия (45), (51), (61), (62), (64).

В результате получаем, что при -Ь < £ < 0, с точностью до поправок ~1/ На,

/ = - 1~и2 Ь фх.

( ва1) ва2£ Л

V а1

в

а

+2 ИЬ фБ(1 + хН )

(1 ( Ь

1 1

2 У Л

а а0

Я(£) -

~(в

«1 (£ + Ь)

- в

V V 1 2 у ^+Ь)) | + 2

(84)

Ке 2

На2

£ + Ь - 2

Яф = Ь ф (

1 ( в^ ва2£ Л Ь

V а1

в

а

и Ьфх х

Л

2 У

- 2 )

ИБ(1 + ХН ) + И 2Х„

(85)

(.

\

Я =-

« + Ь - ^

V а1

ап

_Ке_ и 2

На2

2 уУ

и2 Ь фХ £ (я + Ь) -

- 2 И2ЬфБ(1 + хН ) х

Уа1

в-а^+Ь) + А ,

а

в-а2( ^^ + А

4

Ьф = Ь ф

1-

kD

1 + i X

— e-ai(z+Z) +

а,

+ 1 1X— e ~ai(z+L)

\\

(887)

а

уу

где введено обозначение

^ (£) = 1 - 2 (ехр(-а1(£ + Ь)) +

+ ехр(-а2(£ + Ь))). Давление > с точностью до поправок ~ 1 / На не зависит от £ и выражается как

p = Ha2 Ь фД1 + х— )2l

( 1 1 Л

Va1 а2 У

2 \ kL

-2ЬфКеI D(1 + х—) + ^X, I-

(88)

ф 2k e " ^+^

Предположим теперь, что при z = 0 электрический ток Jz можно записать как

J z surf

где введены обозначения

Gn(r) = £ kn F(k) J,(kr) kdk;

Fl(r) = Jo+< kn F(k) J1(kr) kdk. При этом очевидно, что

(94)

Sß ф

z=0

= ß0J surf F0(r), Ьф = J surf F?(k);

G = 1 dr(rF0), G2=-L(G0);

r dr

Что касается полоидального магнитного поля, то с учетом вклада потенциальной моды и граничных условий (52), (60), с точностью до поправок ~ 1 / На, его можно записать в виде:

ä, = C++ekz + Cp-e-

k (z + L)

HRer Ь ф X 11(2z + L) -

- Ь ф

iD

2kL

1 1

Va1 а2 У

(1 + xH ) +

(89)

+ Ь ф

kD

XH 1 e-a-1(z+L) . X— + 1 e-a-2(z+L) 2 ^ 2 ^ У а1 а2

c+ = ь,

p ф 4kL

( 1 1 Л

Уа1 а2 у

(1 + X—) +

(90)

Ь ф Re (. kL Л

+k h? м1+т1;

Q~% ф Ь ф Re

2k k Ha2

? iD Ьф- ф 4kL I 1 1 I

1а1 а2 У

l D - Ьф — ( х— - i — +

X I 111 + ^ I +

(1 + xH ) -

X , Л

(91)

V а1

а

2 У

и соответственно при Q ф 0 можно написать, что

=

дг

Тогда учитывая, что в рассматриваемом приближении величины а1, а2 и Б не зависят от к, получаем, что при -Ь < £ < 0, с точностью до поправок ~ 1 / На,

J,

X

( e a1z e a2z Л

surf

+ i D(1 + X—) x

((

1 1

F2(r)+

Л

^ 1

а а

М(z) -

2 У

где амплитуды потенциальной моды C+ и _ (e C p- следуют выражениям

a1(z+L) - e-Mz+L))^Fi(r) + х

(95)

z + L - 2

1 ( e a1z e a2z Л L

V а1 а2 у

- ^ м о)

F2(r);

u

^ = D(1 + х—) М (z) F1( r) +

J surf

(л ( .

+X

z + L - 2

1 eаlZ eа2Z ЛЛ

(96)

e1' e

— +

V а1 а

F2(r);

2 УУ

Re

J

surf

Ha

- id(1 + x— )

2 X ■ z(z + L)G3(r) -

1 ' а1(z+L) + (97)

(

1 ( e-а2(z+L) + Z_

а

u

r

X

u

z

V1

J

surf

ти ч D

= F0(r) - ~D

1 - iX—

1 + IXH -а1 (z+L) + V а1

(98)

-а2( z+L)

а

Fx(r);

B2

Sp ■ Jsurf ■ D(1 + X—): 4n

( ;

2L

11

Уа1 а2 У

- 2

Re Ha2

G0(r) - (99)

Подставляя выражение (98) в формулы (36), получаем, что в области -Ь < £ < 0 величина / практически не зависит от

= «Kr) -D'

J surf V

d 1 + ixh e-а1 (z+L)

а

1 - i X—

-а2(z+L)

Л

а

G2(r) « G^r). (100)

Частный случай решения. Рассмотрим частный случай, когда функция Р (к) имеет вид

Ё(к) = ■ Г1 /ДкЬ) -1 /1 (ка) 1 >

Ь - а к I Ь а )

(101)

* e-ßk ■ 6(kmax - k) ^0(k - kmin),

где 0(х) — функция Хевисайда (0(х) = 1 при х > 0 и 0(х) = 0 при х < 0 ).

В пределе, когда в ^ 0, ктП ^ 0, ктах ^ получаем выражение

а2Ь2 Г9(Ь - г) 0(а - г) 1

«1(r) =

Ь2 - ä2

Соответственно,^ в области 0 < г < а имеем С1(г) = -1 и /г = - 3 , что согласу-

Ь

ф

-0,2

-0,4

б)

F1 4,0

о

-4,0

0,5

1,0

0,5

1,0

в)

г)

3-10'

2-10'

1 ■ 10'

099

1.00

1,01

Рис. 2. Графики функций Ёп(г), рассчитанные по формуле (86) для различных значений п (а — г) и размера области а (1 — 4). Значения п: 0 (а), 1 (б), 2 (в, г); г — увеличенный фрагмент рис. 2,в. Значения а: 0,3 (1); 0,5 (2); 0,7 (3); 0,9 (4). Принято, что Ь = 1, в = 10-5, кт1п = 10-2, ктах= 103

■ . ' 1 n n 9 1 ^ т : ц 2 1-4

1 1......1 • 4 ' у 9 ]

0,5

1.0

г

1-4

1-4

0 5

1,0

2-10'

-2-10'

е)

о,

6-10'

3-Ю'

-3-10

-6-10

0,97

' со

1,03

0,39

: со

1,01

Рис. 3. Графики функций Ои(г), рассчитанные по формуле (86) для различных значений п (а — е) и размера области а (1 — 4). Значения п: 0 (а), 1 (б), 2 (в, г); 3 (д, е); г, е — увеличенные фрагменты рис. 3,в,д. Значения а и остальных параметров — те же, что на рис. 2

ется с профилем тока, текущего через внутренний зазор в режиме свободного истечения [20]. Величина этого тока практически не зависит ни от радиуса г, ни от размера а области, занимаемой внутренним зазором (см., например, работы [21—23]). В области а < г < Ь ток меняет знак, что соответствует либо току, текущему через внешний зазор [9], либо (при (Ь - а) « а) току, который

возвращается по границе пульсарная трубка — замкнутые силовые линии [2, 3, 5]. Структура магнитосферы с подобным профилем тока при условии (Ь - а) а была рассмотрена, в частности, в работе [24]. Выражение (101) подбиралось так, чтобы в пределе, когда в ^ (3, полный электрический ток, текущий через пульсарную трубку, был равен нулю [5, 9].

Аналогичный профиль плотности тока рассматривался для случая кольцевого зазора [25 — 27]. В частности, авторами работы [25] показано, что для случая соосного пульсара, когда 011 В0, весьма разумным выбором является а / Ь « 0,74. Однако надо иметь в виду, что расположение внутреннего, внешнего (и кольцевого) зазоров, а также доли сечения пульсарной трубки, занимаемые каждым из них, очень сильно зависят от общей структуры токов, текущих в магнитосфере пульсара [9, 28, 29].

При использовании выражения (101) следует иметь в виду, что в рассматриваемом пределе при в ^ 0 интегралы сходятся плохо из-за очень резких скачков плотности электрического тока /г в точках г = а, г = Ь и, более того, в данных точках функции Ё2(г) и в2(г) обращаются в бесконечность. Множитель ехр(-в к2) был добавлен для улучшения сходимости интегралов и устранения бесконечностей. Величина 1 / -у/р примерно соответствует толщине слоя, в котором происходит изменение электрического тока при г = а и г = Ь . Получившиеся при этом виды функций Ёп (г) и Оп (г) для в = 10-5, ктх = 103, кт1п =10-2 и Ь = 1 показаны на рис. 2 и 3.

Обсуждение полученных результатов

В данной работе было рассмотрено течение жидкости, возникающее на поверхности полярной шапки радиопульсара ввиду необходимости замкнуть электрический ток, текущий по пульсарной трубке [2, 5]. При этом учитывалась анизотропия проводимости и вязкости жидкости, связанная с наличием магнитного поля.

В частности, в размерных величинах азимутальная скорость течения жидкости 8иф имеет вид

8иф « —

с Р

Л зиг[

Зв/

1 Г £ -_!_

I 21

ст,,

Г е а^/'

а,

лг/I 11

а

J J

ЁЛТ1

(102)

+ Бя\ ё \£

ст

1

где / жгг — плотность электрического тока при £ = 0 и г < а, = (£ХВ0) / (2п), Р = 2п / О — период вращения звезды, ст = 1 / Я, ст± = Л± / (Л2 + ВНн) - проводимости вещества параллельно и перпендикулярно направлению магнитного поля.

стоит отметить, что в рассматриваемом пределе, когда На»1, выражение (102) почти совпадает с изотропным случаем. И в частности, как и в изотропном случае, не зависит от значения вязкости (за исключением области гартмановских слоев). Основное отличие от указанного случая заключается в том, что в первом слагаемом выражения (102) вместо коэффициента 1 / ст, где ст — изотропная проводимость, стоит 1 / сту, а во_ втором вместо Б / ст формула содержит Б / ст2. При этом необходимо отметить, что, несмотря на справедливость соотношения [13]

ст± / СТ , , ~1/К х2са,) ~ 10-4 « 1,

для приведенного на рис. 3 профиля электрического тока /г вклады обоих слагаемых в максимальное значение скорости 8иф вполне сравнимы. Это связано с тем, что максимальные значения функции , как и в изотропном случае, в 1 / ^/р ~ 102 раз больше максимальных значений функции Ё1. Кроме того, анизотропия проводимости приводит значительному уменьшению коэффициента Б ~ ^^ ~ 10-2, в отличие от изотропного случая, где разумно считать (особенно при к » 1) Б « 1. Дополнительно следует учесть, что при анизотропной проводимости коэффициент Б оказывается гораздо чувствительнее к росту проводимости в глубине коры, а это приводит к его дополнительному уменьшению.

Таким образом, скорость течения 8иф можно грубо оценить как

8иф ~ с —--Ь—¡= ~ 3 ■ 10-8-Ь—¡= см/с.

Ф р ст , , (Ь - а)4в (Ь - а)^

Точно так же, как и в изотропном случае, столь малая величина скорости вращения жидкости связана с тем обстоятельством, что возникшее дифференциальное вращение жидкости почти полностью предотвращает замыкание электрического тока в жидком слое. Это следует и из анализа

выражения (100), согласно которому величина остается практически неизменной во всем жидком слое (сколько-нибудь заметное уменьшение электрического тока

происходит лишь в нижнем гартманов-ском слое).

Итак, проведенный анализ позволяет заключить, что электрический ток проходит сквозь возможную значительную толщину жидкого слоя, почти не изменяясь, и замыкается лишь в твердой коре. Такое же заключение сделано для изотропного случая, и это несмотря на тот факт, что указанная толщина может быть сравнима с размером полярной шапки Ь ~ I.

Что же касается полоидального течения, то оно все еще остается пренебрежимо малым, хотя теперь главные слагаемые в выражениях для Ъиг и имеют скорее порядок Б / На, в отличие от изотропного случая, когда имеется порядок Ке / На2. Другими словами, теперь полоидальное течение генерируется главным образом в тонких гартма-новских слоях, а не вызывается силой Ко-риолиса в основном объеме жидкости.

Поправка к полоидальному магнитному полю 8аф значительно стала превосходить таковую для изотропного случая и теперь имеет порядок ~ (), а не ~ 1 / На, как это было в изотропном случае. Иными словами, это поле определяется, в основном, холлов-скими токами, протекающими внутри твердой коры (и нижнем гартмановском слое). Однако величина поля 8аф все равно оказывается сравнимой с поправками порядка ~ (Ш/ / с)2 В0, связанными с вращением заряженной жидкости [2] (в данной работе мы ими пренебрегаем).

Важно также отметить, что при выводе граничного условия (60) мы считали, что вся область £ > 0 заполнена очень разреженной плазмой, экранирующей продольное электрическое поле, т. е. мы пренебрегали наличием внутреннего зазора на поверхности нейтронной звезды.

И, более того, мы считали, что электрический ток течет строго вдоль магнитного поля ] = jeв. Это означает, в частности, что мы пренебрегаем влиянием (Е х В)-дрейфа на движение частиц в магнитосфере и не учитываем возможность существования

в магнитосфере холловского тока (мы положили хн = 0 ).

однако если бы мы учли эти факторы, то это в самом крайнем случае привело бы к появлению членов порядка / с в коэффициенте С+ и тогда вклад граничного условия (60) в 8аф стал бы всего лишь сравним с вкладом нижнего граничного условия (52).

Также стоит отметить, что рассматриваемые граничные условия (60) — (62), (64) формально приводят к скачку тангенциальной составляющей скорости вращения

на границе £ = 0.

Необходимо дополнительно отметить, что, согласно работе [14],

х„ -1 ~ 1/(юВ); хн ~ ®в,

т. е. х * 1 и Хн ~ 102 » 1.

однако данный результат относится только к плазме, состоящей из ионов, имеющих одинаковое отношение заряда к массе. Нам же представляется, что более корректно считать, что жидкость на поверхности нейтронной звезды состоит из различных элементов, а значит, ионы будут иметь разное отношение заряда к массе. Поэтому в данной работе при проведении численных оценок величин полагалось, что [13]

Хн ~ 1 / К) ~ 10-2 << 1;

Х ~ 1 / (®В тSсat )~10-4 < Хн .

Также стоит отметить, что при температуре поверхности нейтронной звезды Тыиу < 3 • 106 К поверхность океана может затвердеть [30]. При этом из-за быстрого роста температуры в глубь звезды сам океан останется жидким [10, 30]. Это явление может привести к изменению граничных условий (60) — (62), (64), а также к замыканию части электрического тока jz через слой «льда», покрывающего океан.

Заключение

Итак, в результате проведенного исследования дифференциального вращения жидких полярных шапок, вызванного маг-нитосферными токами, показано, что скорость этого вращения очень мала и почти весь ток замыкается в глубокой коре.

Работа выполнена при частичной поддержке ний (код проекта 13-02-00112) и гранта Прези-Российского фонда фундаментальных исследова- дента РФ по поддержке ВНШР (НШ 294.2014.2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Jones P.B. Pulsar magnetic alignment — The critical period and integrated pulse width // Astro-physical Journal. 1976. Vol. 209. Pt. 1, pp. 602-605.

2. Бескин В.С. Осесимметричные стационарные течения в астрофизике. М.: Физматлит, 2005. 381 с.

3. Beskin V.S., Gurevich A.V., Istomin Ya.N. Physics of the pulsar magnetosphere. Cambridge: Cambridge University Press, 2006. 408 p.

4. Бескин В.С. Радиопульсары // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. № 11. С. 1169-1198.

5. Бескин В.С., Истомин Я.Н., Филиппов А.А. радиопульсары - поиски истины // Успехи физических наук. 2013. Т. 183. № 2. С. 179-194.

6. Goldreich P., Julian W.H. Pulsar electrodynamics // Astrophysical Journal. 1969. Vol. 157, pp. 869-880.

7. Timokhin A.N. On the force-free magnetosphere of an aligned rotator // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2006. Vol. 368, Iss. 3, pp. 1055-1072.

8. Philippov A., Spitkovsky A. Ab initio pulsar magnetosphere: three-dimensional parti-cle-in-cell simulations of axisymmetric pulsars. URL.:arXiv:astro-ph/1312.4970.

9. Shibata S. Magnetosphere of the rotation-powered pulsar — A DC circuit model // Astrophys-ical Journal. 1991. Pt. 1, Vol. 378, pp. 239-254.

10. Haensel P., Potekhin A.Y., Yakovlev D.G. Neutron stars 1. Equation of state and structure. Springer, 2007.

11. Бескин В.С., Желтоухов А.А., Обухова А.К., Стройнов Е.Е. К природе аномального момента сил, действующего на вращающийся намагниченный шар в вакууме // Журнал Физического института им. П.Н. Лебедева РАН «Краткие сообщения по физике». 2013. № 9. C. 33—37.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика в 10 тт. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

13. Yakovlev D.G., Shalybkov D.A. Electrical conductivity of neutron star cores in the presence of a magnetic field. Pt. 2. A free-particle model of npe-matter // Astrophysics and Space Science. 1991. Vol. 176. Iss. 2, pp. 191-215.

14. Geppert U., Rheinhardt M. Non-linear magnetic field decay in neutron stars. Theory and observations // Astronomy and Astrophysics. 2002. Vol. 392, pp. 1015-1024.

15. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы; под ред. М.А. Леонтовича. 1963. Вып. 1. С. 183—271.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретиче-

ская физика в 10 тт. Т. 10. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. С. 65.

17. Чугунов А.И., Яковлев Д.Г. Сдвиговая вязкость и осцилляции коры нейтронных звезд // Астрономический журнал. 2005. Т. 82. № 9. С. 814-829.

18. Potekhin A.Y. Electron conduction in magnetized neutron star envelopes // Astronomy and Astrophysics. 1999. Vol. 351, pp. 787-797.

19. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2 Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. С. 85.

20. Scharlemann E.T., Arons J., Fawley W.M. Potential drops above pulsar polar caps — Ultra-relativistic particle acceleration along the curved magnetic field // Astrophysical Journal. 1978. Pt. 1. Vol. 222, pp. 297-316.

21. Бескин В.С. Влияние общерелятивистских эффектов на электродинамику пульсаров // Письма в Астрономический журнал. 1990. Т. 16. № 7. С. 665—672.

22. Muslimov A.G., Tsygan A.I. General rela-tivistic electric potential drops above pulsar polar caps // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1992. Vol. 255, pp. 61-70.

23. Harding A.K., Muslimov A.G. Pulsar polar cap heating and surface thermal X-ray emission. I. Curvature radiation pair fronts // The Astrophysical Journal. 2001. Vol. 556. Iss. 2, pp. 987-1001.

24. Timokhin A.N. Force-free magnetosphere of an aligned rotator with differential rotation of open magnetic field lines // Astrophysics and Space Science. 2007. Vol. 308. Iss. 1—4, pp. 575-579.

25. Qiao G.J., Lee K.J., Wang H.G., Xu R.X., Han J.L. The inner annular gap for pulsar radiation: y-ray and radio emission // The Astrophysical Journal. 2004. Vol. 606, Iss. 1, pp. L49-L52.

26. Xu R.X., Cui X.H., Qiao G.J. Current flows in pulsar magnetospheres // Chinese Journal of Astronomy and Astrophysics. 2006. Vol. 6. Iss. 2, pp. 217-226.

27. Lee K.J., Qiao G.J., Wang H.G., Xu R.X. On the electrodynamics of counter stream in pulsar's inner annular cap region // Advances in Space Research. 2008. Vol. 41. Iss. 1, pp. 180-182.

28. Shibata S. Pulsar electrodynamics // "Pulsar Astronomy-2000 and Beyond" ASP Conference Series. Vol. 202. Proceedings of the 177th Colloquium of the IAU, Bonn, Germany. August, 30 — September, 3, 1999. M. Kramer, N. Wex, and N. Wielebinski ^ds.). 2000. Vol. 202, pp. 411-416.

29. Yuki S., Shibata S. A particle simulation for the pulsar magnetosphere: Relationship of polar cap, slot gap, and outer gap // Publications of the Astronomical

Society of Japan. 2012. Vol. 64. No.3, pp. 9-19. for magnetized Coulomb plasmas // Astronomy &

30. Potekhin A.Y., Chabrier G. Equation of state Astrophysics. 2013. Vol. 550, id. A43, 16 p.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

ЦыгАн Анатолий иванович — доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН. 194021, Россия, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 26 [email protected]

ШАлыбков Дмитрий Александрович — доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН. 194021, Россия, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 26 [email protected]

Барсуков Дмитрий Петрович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН. 194021, Россия, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 26 [email protected]

гогличиДЭЕ олег Анзорович — старший лаборант Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН.

194021, Россия, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 26 [email protected]

Tsygan A.I., Shalybkov D.A., Barsukov D.P., Goglichidze O.A. AN ANALYSIS OF DIFFERENTIAL ROTATION OF NEUTRON STAR POLAR CAPS FOR THE CASE OF THE ANISOTROPIC conductivity OF THE CAP SUBSTANCE.

The differential rotation of liquid polar caps caused by magnetospheric currents closing up under neutron star surface has been considered. The anisotropy of cap electric conductivity and viscosity due to magnetic field was taken into account. The rotation velocity was shown to be very slow and almost all electric current was brought out to close up deeper, inside the rigid crust.

RADIOPULSAR, NEUTRON STAR, MAGNETIC HYDRODYNAMICS, POLAR CAP, DIFFERENTIAL ROTATION, ANISOTROPIC CONDUCTIVITY.

REFERENCES

1. Jones P.B. Pulsar magnetic alignment — The critical period and integrated pulse width. Astrophysical Journal, 1976, Vol. 209, Pt. 1, pp. 602-605.

2. Beskin V.S. Ossesimmetrichnye statsionarnye techeniya v astrofizike. Moscow, Fizmatlit, 2005, 381 p. (rus)

3. Beskin V.S., Gurevich A.V., Istomin Ya.N.

Physics of the pulsar magnetosphere. Cambridge University Press, 2006, 408 p.

4. Beskin V.S. Radio pulsars. Physics Uspekhi,1999, Vol. 42, Iss. 11, pp. 1071-1098.

5. Beskin V.S., Istomin, Y.N., Philippov A.A. Radio pulsars: the search for truth. Physics Uspekhi, 2013. Vol. 56, Iss. 2, pp. 164-179.

6. Goldreich P., Julian W.H. Pulsar electrodynamics. Astrophysical Journal, 1969, Vol. 157, pp. 869-880.

7. Timokhin A.N. On the force-free magnetosphere of an aligned rotator. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2006, Vol. 368, Issue 3, pp. 1055-1072.

8. Philippov A., Spitkovsky A. Ab-initio pulsar magnetosphere: three-dimensional particle-in-cell simulations of axisymmetric pulsars. Available at: arXiv: astro-ph/1312.4970.

9. Shibata S. Magnetosphere of the rotation-powered pulsar — A DC circuit model. Astrophysical Journal, 1991, Part 1, Vol. 378, pp. 239-254.

10. Haensel P., Potekhin A.Y., Yakovlev D.G. Neutron Stars 1. Equation of State and Structure. Springer, 2007.

11. Beskin V.S., Zheltoukhov A.A., Obukhova A.K., Stroinov E.E. To the origin of anomalous torque acting on a rotating magnetized ball in vacuum. Bulletin of the Lebedev Physics Institute, 2013. Vol. 40, Iss. 9, pp. 265-267.

12. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika v 10 tt., Vol. 8. Elektrodinamika sploshnykh sred. Moscow, Nauka, 1982, 620 p. (rus)

13. Yakovlev D.G., Shalybkov D.A. Electrical conductivity of neutron star cores in the presence of a magnetic field. Part Two. A free-particle model

of npe- matter. Astrophysics and Space Science, 1991, Vol. 176, Iss. 2, pp. 191-215.

14. Geppert U., Rheinhardt M. Non-linear magnetic field decay in neutron stars. Theory and observations. Astronomy and Astrophysics, 2002, Vol. 392, pp. 1015-1024.

15. Braginskiy S.I. Yavleniya perenosa v plazme. "Voprosy teorii plazmy". Pod red. M.A. Leontovicha, 1963, Iss. 1, pp. 183-271. (rus)

16. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika v 10 tt., Vol. 10. Fizicheskaya kinetika. Moscow, Nauka, 1979, P. 65. (rus)

17. Chugunov A.I., Yakovlev D.G. Shear Viscosity and Oscillations of Neutron Star Crust. Astronomy Reports, 2005, Vol. 49, Iss. 9, pp. 724-738.

18. Potekhin A.Y. Electron conduction in magnetized neutron star envelopes. Astronomy and Astrophysics, 1999, Vol. 351, pp. 787-797.

19. Beytmen G., Erdeyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii: T.2 Funktsii Besselya, funktsii parabolicheskogo tsilindra, ortogonal'nye mnogochleny. Moscow, Nauka, 1966, P. 85. (rus)

20. Scharlemann E.T., Arons J., Fawley W.M. Potential drops above pulsar polar caps — Ultrarelativistic particle acceleration along the curved magnetic field. Astrophysical Journal, 1978, Part 1, Vol. 222, pp. 297-316.

21. Beskin V.S. General relativity effects on electrodynamic processes in radio pulsars. Soviet Astronomy Letters, 1990, Vol. 16, No. 4/Jul. pp. 286-289.

22. Muslimov A.G., Tsygan A.I. General relativ-istic electric potential drops above pulsar polar caps. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,

1992, Vol. 255, pp. 61-70.

23. Harding A.K., Muslimov A.G. Pulsar polar cap heating and surface thermal X-ray emission. I. Curvature radiation pair fronts. The Astrophysical Journal, 2001, Vol. 556, Iss. 2, pp. 987-1001.

24. Timokhin A.N. Force-free magnetosphere of an aligned rotator with differential rotation of open magnetic field lines. Astrophysics and Space Science, 2007, Vol. 308, Iss. 1 - 4, pp. 575-579.

25. Qiao G.J., Lee K.J., Wang H.G., Xu R.X., Han J.L. The inner annular gap for pulsar radiation: y-ray and radio emission. The Astrophysical Journal, 2004, Vol. 606, Iss. 1, pp. L49-L52.

26. Xu R.X., Cui X.H., Qiao G.J. Current flows in pulsar magnetospheres. Chinese Journal of Astronomy and Astrophysics, 2006, Vol. 6, Issue 2, pp. 217-226.

27. Lee K.J., Qiao G.J., Wang H.G., Xu R.X. On the electrodynamics of counter stream in pulsar's inner annular cap region. Advances in Space Research, 2008, Vol. 41, Iss. 1, pp. 180-182.

28. Shibata S. Pulsar electrodynamics. "Pulsar Astronomy-2000 and Beyond" ASP Conference Series. Vol. 202. Proceedings of the 177th Colloquium of the IAU, Bonn, Germany, 30 August — 3 September 1999. Eds. by M. Kramer, N. Wex, and N. Wielebinski. 2000. Vol. 202, pp. 411-416.

29. Yuki S., Shibata S. A particle simulation for the pulsar magnetosphere: relationship of polar cap, slot gap, and outer gap. Publications of the Astronomical Society of Japan, 2012, Vol. 64, No. 3, Article No. 43, pp. 9-19.

30. Potekhin A.Y., Chabrier G. Equation of state for magnetized Coulomb plasmas. Astronomy & Astrophysics, 2013, Vol. 550, id. A43, 16 p.

THE AUTHORS

TSYGAN Anatoly I.

Ioffe Physical Technical Institute of the Russian Academy of Sciences. 26, Polytekhnicheskaya St., St. Petersburg, 194021, Russia. [email protected]

SHALYBKOV Dmitry A.

Ioffe Physical Technical Institute of the Russian Academy of Sciences. 26, Polytekhnicheskaya St., St. Petersburg, 194021, Russia. [email protected]

BARSUKOV Dmitry P.

Ioffe Physical Technical Institute of the Russian Academy of Sciences. 26, Polytekhnicheskaya St., St. Petersburg, 194021, Russia. [email protected]

GOGLICHIDZE Oleg A.

Ioffe Physical Technical Institute of the Russian Academy of Sciences. 26, Polytekhnicheskaya St., St. Petersburg, 194021, Russia. [email protected]

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014