К определению сложности кода 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СЛОЖНОСТИ КОДА 2

С.Г. Иванов*

Челябинский государственный ун

Эта работа является продолжением статьи "К определению сложности генетического кода группы". В ней доказывается, что коды сложности 5 не существуют.

Ключевые слова: проблема Эндрюса-Кэртиса, сложность кода.

1. Максимальные цепи

Последовательность соотношений комбинаторного кода, имеющая вид У1У211 У2Уз^' • • ■ •> УтУт+1' называется цепью. Цепь называется циклом, если у\ = Ут+\■ Комбинаторный код не имеет циклов. Поэтому образующие Уч, у?,..., ут+\ различны. Цепь назовем максимальной, если ее нельзя продолжить ни вправо, ни влево.

Лемма 3. Множества образующих, входящих в соотношения различных максимальных цепей, не пересекаются.

Доказательство. Рассмотрим максимальные цепи у^у^1, > УтУт+1 И 1 , Фз J ' • ■ • ' Фш ■ Допустим, ЧТО Уг = . ЕСЛИ { = Ш + 1, то ] = к + 1, так как только ут+\ из первой цепи и гл+] из второй цепи не имеют вхождений квадрата в код. Если г = 1, то j = 1, так как только ^ в

9 ±1

первой цепи не входит в соотношение вида у~ул , и аналогичное свойство : во второй цепи имеет только

Пусть 1 < I < т + 1. Тогда 1 < ] < А; + 1. Соотношения и

Ф^Д имеют общий большой отрезок и поэтому совпадают. Следовательно. у1+1 - Аналогично уг+2 = г]+2 и та,к далее и, наконец, ут+1 =

Из у1 — г3 следует ?/,•_ 1 — , так как в противном случае в матрице соотношений фактор-группы по коммутанту сумма строчек соотношений Ух-хУ^1 и состоит из чисел кратных двум. Из уг^\ — мы по-

лучаем аналогично 2 = 2;-2 и так далее и, наконец, у\ ~ г\. Лемма доказана.

Пусть х и у — образующие комбинаторного кода. Образующую этого кода назовем .гу-хорошей, если она х-хорошая или ^-хорошая.

Лемма 4. Если каждая образующая комбинаторного кода ху-хорошая, то код имеет (¿-тривиализацию.

* Работа поддержана грантом РФФИ №96-01-00847.

Доказательство. Выражая остальные образующие через х или у и удаляя их, мы получим код вида (х,у\\хку1 ,хту3). Легко видеть, что такой код можно преобразовать в тривиальный код преобразованиями Нильсена и циклическими перестановками. Поэтому исходный код имеет С тривиализацию. Лемма доказана.

Лемма 5 Комбинаторный код ранга п. имеющий п — 2 вхождения квадратоб, имеет С]-тривиализацию.

Доказательство. Мы можем предположить, что п > 4. Если число вхождений квадратов равно п, то есть цикл, что невозможно. Если число вхождений квадратов равно га - 1, то только одна образующая не имеет вхождения квадрата и поэтому все соотношения образуют, цепь. Легко видеть, чю и тю невозможно. Если число вхождений квадратов равно п - 2, то код имеет одну или две максимальные цепи. Если максимальная цепь одна и она начинается с образующей х, то все образующие х-хорошие. Поэтому есть <5-тривиализация. Если имеется две максимальные цепи, одна начинается с образующей ж, другая — с у, то все образующие .с¿/-хорошие и опять есть (3-тривиализация. Лемма доказана.

2. Коды с двумя вхождениями квадрата

Мы переходим к перечислению комбинаторных кодов ранга 5, имеющих вхождения квадрата. Согласно лемме 5 достаточно исследовать юлько Коды, имеющие одно или два вхождения квадрата. По лемме 2 нужно исследовать только коды типа (4,4,3,2,2), (4,3,3,3,2) и (3,3,3,3,3). Здесь мы рассмотрим коды, имеющие два вхождения квадрата. Такой код имеет од-Йу или две максимальные цепи. Если максимальная цепь одна, то имеется три хороших образующих. В >гом случае но лемме 1 есть ф-тривиалязация. Иусть имеется две максимальные цепи. Обе цепи имеют длину 1.

Выберем обозначения образующих так, что = х2у, В^ = г21. Предложим, что х и у входят вместе еще в одно соотношение, скажем, в Д3. ^отношения Дз, Л4, Д5 не имеют вхождения квадрата. Если третьей образующей в Из является 2 или £, то в каждое соотношение входит ¿-хорошая образующая. Если же третьей образующей в Дз является пятая образующая кода, мы обозначим ее буквой то все образующие кода ¿г-хорошие. В этом случае ф-тривиализация есть по лемме 4.

Пусть ни в одно из соотношений Й3, ЙЦ, й5 не входят вместе х и у и не входят вместе г и Это возможно лишь если в каждое из этих трех соотношений входит одна из образующих х, у, одна из образующих г, I и пятая образующая 5. В частности, к(з) = 3. Каждая из образующих х, у, г, / входит хотя бы в одно из соотношений /¿3, Д5.

92

С Г Иванов

Пусть тип кода равен (4,4,3,2,2). Так как х входит в одно из трех* следних соотношений и не входит в эти соотношения вместе с у, то Щ)<,\ Следовательно, к(у) = 2, к(х) = 4 и, аналогично, к(г) = 4, к{1) = 2 Ъ как х я г имеют по два вхождения в Д3, Я4, ю можно предположи! что они входят вместе в Д3. Тогда Д3 = {х,г,$}. Еще одно вхожд« х в соотношения кода пусть будет вхождением в Д4; г не входит в I, следовательно, Я4 = {ж,2,«}. Для й5 остается единственная возможное» Я5 = {у,г,5}. Получилось следующее распределение образующих посол ношениям кода:

\\х2у, гН, {х,г, в}, {ж, г, з}, {у, г, в} ). (1)

Пусть тип кода равен (4,3,3,3,2). Ясно, что кратность 4 имеет х илиг Выберем обозначения образующих так, что к(г) = 4. Тогда к{1) - 2, к(х)-. к{у) = 3. Можно считать, чго г входит в Д3И Я4. Так как в Д3 и #4 входщ г и я, то в одно из этих соотношений входит ж, а в другое — у Поэтов можно записать Д3 = {ж, 2,5}, Д4 = {у, г, в}, Д5 = {?/,£, з}. Получило« следующее распределение образующих по соотношениям кода:

||х2у,гЧ, {у,*, в}). (2|

Пусть тип кода равен (3,3,3,3,3) В одно из трех последних соотношений входят вместе у и /; пусть Д5 = {?/,£,5} Образующая у входит вещ одно соотношение, пусть у входит в Я4 Тогда Я4 = {?/, э}, Д3 = {а,¡,5] и распределение образующих по соотношениям кода готово:

\\х2у, гН, {ж, 5}, {у, г, $}, {у, г, б}). (3)

3. Коды с одним вхождением квадрата

Выберем обозначения образующих гак, чю Д1 = х2у. Если в каждое соотношение входит х или у, то <2-тривиализация есть по лемме 1 Поз тому примем, как факт, что в Яъ не входит ни ж, ни у. Следовательно Я5 = в}. Если ж и у входяг вместе в еще одно соотношение, ю можно применить лемму 1. Поэтому пусть ж и у вместе входят только в Я\.

Так как имеется еше одно вхождение ж, то к(у) < 4. Пусть к(у) = 2. Второе соотношение, имеющее вхождение у, пусть будет Я4. Одна из образующих г, t, 5 не входит в Я4, обозначим ее буквой й 'Готда Д4 =

Так как соотношения Дг, Дз> й<ь Яь не имеют вхождений квадрата и 5 не входит ни в Дг, ни в Д4, ю к(б) < 3. Если к(з) = 3, то, добавляя соотношения у — в = 1, получим код, определяющий не единичную фактор группу по коммутанту. Следовательно, к(в) = 2.

Так как две образующие имеют кратность 2, то другие две образующие имеют кратность 4. Если к(х) < 4, то к(г) = к^) = 4. Однако в этом случае два соотношения составлены из одних и тех же трех образующих 2, 2, 5. Следовательно, к(х) — 4. Другую образующую, имеющую кратность 4, обозначим буквой 2. Тогда = 3, в йг и йз входят х и г.

Так как в йг и Дз входят ж и г и не входит у, то в одно из этих двух соотношений, скажем в Я2. входит а в другое — .5. В случае к(у) — 2 получена полная ясность о распределении образующих по соотношениям кода:

{.^МЫМ,«})- (4)

Рассмотрим последнюю возможность: к[у) = 3. Тогда к[х) = 3 и можно считать, что х входит в /?2, У входит в Я,з и Я4. Так как две образующие имеют кратность 3. то тип кода равен (4,3,3,3,2) или (3,3.3,3,3). Пусть он равен (4,3,3,3,2). Образующую кратности 4 обозначим буквой с. Тогда г входит в Дг, Й5 и можно утверждать, что Яз = {у,

Н4 = {т/. г, я}.

В Дг входят ж и 2, третью образующую в этом соотношении можно обозначить буквой Получилось следующее распределение образующих по соотношениям кода:

\\х2у,{х,г^},{у,:^},{у,г,з},{^1,&}). (5)

Теперь пусть тип кода равен (3,3,3,3,3). Каждая пз образующих 2, л имеет по два вхождения в три соотношения Я2, Яз, Я4. Образующие, входящие в обозначим ¿ив. Тогда в Яз и Я4 входит 2, и можно считать, то в 1{3 входит t, в Я4 входит 5. В этом случае распределение образующих во соотношениям кода будет следующее:

|| ж2г/,{х,^^},{г/,2,г},{г/,2,5},{2Л,б}). (6)

4. Коды без вхождений квадрата

Коды типа (4,4,3,2,2). Пусть к(х) = к(у) = 4, к(2) = 3. Запишем ~ хуг, Я2 = {х, у^}, Яз = {ж, у,з}. Образующие ж и у не могут входить вместе в четвертое соотношение, так как это приводит к двум соотношениям, составленным из одних и тех же трех образующих. Поэтому х входит в Я4. у входит в Я §.

В Я4 и Д5 входит 2. Третью образующую в Я4 обозначим буквой а в Л5 — буквой 5, и распределение образующих но соотношениям кода готово:

Коды типа (4,3,3,3,2). Пусть к(х) = 2, к(у) = 4. Образующая ж ветре чается (то есть входит вместе в одно соотношение) с каждой образующей кода, поэтому можно записать: Яг = хуг, Д2 = хЬв. В соотношения Д3, Д4, Иг, входит у, а каждая из образующих г, I, з входит в два из этих трех соотношений. Соотношения можно пронумеровать так, что г ж I войдут в Дз, г и й войдут в и тогда в -Кб войдут I и Получилось следующее распределение образующих по соотношениям кода:

\\хуг,х1а,{у,г,г},{у,г,&},{у,1,ь}). (8)

Коды типа (3,3,3,3,3). Если образующие х и у встречаются три рам то есть два соотношения, построенных из образующих г, И, и. Поэтому ни какие две образующие кода не встречаются 3 раза. Иными словами, каждая образующая кода имеет по одной встрече с двумя образующими и по две встречи с другими двумя образующими.

Пусть х имеет две встречи с у. Тогда Я\ = хуг, Й.2 = {х,у,1}. Так как х имеет только одну встречу с з, то х встречается дважды с г или I Можно считать, что х встречается дважды с гг. Тогда Яз = {ж, г, 5}. Третье вхождение у пусть буде1 вхождением в Д4. Тогда Я$ = {2,/, б} и, следовательно, Л4 = {у,/,а). Получилось следующее распределение образующих по соотношениям кода:

IIхуг, {х, у, г), {ж, 2Г, й}, {у, г, в}, {г, (9)

5. Принципы тривиализации

Рассмотрим комбинаторный код (х\,..., ж„||Д1,..., Яп). Из одного его соотношения, скажем, II,, выразим какую-нибудь образующую, скажем, х3 и подставим в другое соотношение, скажем, в Я^ вместо одного вхождения хГ Так как соотношения кода не имеют общих больших отрезков, то Ль преобразуется в соотношение длины 4, обозначим его Но. Предположим, что До имеет общий отрезок длины 2 с третьим соотношением кода

Ф г. Произведение некоторых циклических сдвигов соотношений и 1 имеет длину 3, обозначим его буквой Я. Замену в исходном коде соотношения Як на соотношение Я будем называть простым шевелением исходного кода.

Мы изучим по порядку распределения (1) - (9). Этот порядок не случаен: коды с большим числом вхождений квадратов предшествуют кодам с меньшим числом вхождений квадратов, из кодов с данным числом

рждений квадратов сначала идут коды тина (4,4,3,2,2), затем коды ти-(4,3,3,3,2) и, наконец, коды типа (3,3,3,3,3). Для каждого кода ищется простое шевеление, преобразующее его в тривиализованный или легко тривиализуемый код. В девяти случаях из десяти это возможно. Если же простое шевеление невозможно или не приводит к цели, то обращениями, циклическими перестановками и умножениями на другие соотношения кода преобразуем одно из соотношений кода. Цель та же: получить тривиали-ованный или легко тривиализуемый код. При а = 5 для кодов, определявших единичную группу, это можно сделать. Так как конструкция прос-1Гого шевеления не является трудной, то мы обычно лишь удостоверяем бго эффективность и только в отдельных случаях пишем соответствующие преобразования.

Из каждого распределения возникает схема кодов. Например, распределение (1) дает схему кодов

1аменой некоторых образующих и соотношений на обратные можно преоб-шовать любой код этой схемы в код более короткой схемы

\\х2у, Л, хгз, {х^в±1, х-5±1г±1}, {уг±1 а*1, уя±х:±1}).

Удаляя коды, соотношения которых имеют обило большие отрезки, можно ше уменьшить число кодов в схеме кодов

Вычисляем определители матриц соотношений кодов схемы кодов (для данной схемы 16 определителей). Оставляем только те коды, определители которых равны ±1. Будем обозначать коды распределения (1) (не взаимно однозначно) строчкой знаков показателей степени при образующих а, г, а по порядку в четвертом и пятом соотношениях. В общем случае за обозначение кода схемы кодов принимается последовательность знаков показателей степени при вхождениях образующих, имеющих неопределенные показатели степени в схеме кодов, в порядке их появления в схеме кодов. Из кодов распределения (1) единичную фактор-группу по коммутанту определяют коды (-|----), (—(- + -). (—I---). Остальные распределения

образующих но соотношениям кода будут перерабатываться в схемы кодов аналогично. Знак указывает, что получен тривиализуемый код.

Распределение (1) дает 5 комбинаторных кодов. Все они преобразуются в тривиализуемые коды простым шевелением. Приведем два примера.

(Н----) — два кода.

лемма 1.

||ж2у, Л, хгз, ж/з-"1, уг"1в~1) -+ ||ж2у, Л, Х25, хЬгу~г, уг~1з~1)

||ж2у, Л, жгз, —► \\х2у,г21,хгз,хг1х,уг~1з~1) —> ||ж2у, Л, ж^з, ж2г-1, уг^й"1)

понижается сложность.

6. Распределения (2)-(6)

Распределение (2) преобразуется в схему кодов ||ж2у, А хгз, {угз"1, уЛ*1, узг±А, уз'1 г}, {у<±15±1, у^1^1}}.

Комбинаторными являются коды (Н----), (—Ь +-), (---Ь-), (---+)

— всего 9 кодов. Все они трвиализуются простым шевелением. Приведем еще 4 примера.

, \\х2у,гЧ,хгз,уг-1з,{у%з-1,уз-11})

||ж2у, гЧ, Xг2у~1,уг~1з. {у^-1 , уз"1*}) ->• ||х2у, г2Ь, хГ1 у-1, уг-1«, {у^-1, у5_1г})

— лемма 1.

\\х2у,г2г.хгз,уз2~1, {у^-1, у*"1/}) ||х2у, Л, хгв, уь2х, \yts~'1. —>

||ж2у, гЧ, хгв, хя~2, \yts~1, г/5-1 ¿})

— лемма 4.

Распределение (3) преобразуется в схему кодов

||ж2у, Л. х1з, {у А*1 , уз*1 }, {у1з~\уГгз±л, уз1±1, уь~Н}).

Из них комбинаторными являются 5 кодов (Н----), (—|---), (---1—)

Все они тривиализуются простым шевелением.

Распределение (4) преобразуется в схему кодов

||ж2у, ж,гг, {жг-1^ жз^1},

{угГ1, уг~Н±х, у1г±х, уГ1*}, {гГ1з±1, гЛ*1}).

Комбинаторными являются коды (+ Н---Ь -), (+ Н----Н---1- + +),

(+-- + +),(+-- + -),(+---+ ),( +----),(- + - + -), (-- + --),

(-----) — всего 17 кодов. Не тривиализуются простым шевелением 3

кода. Рассмотрим только эти коды.

(+1---Ь -) ^ два кода, один тривиализуется простым шевелением.

||х2у, хг1, хвг, уг\~х, гз~11) —> \\х2у, хг1, хвг, уг1~1, хх1г) —у \\х2у, уг1~х, г2хуг)

—> \\х2у, хгЬ, хвг, уг^1, хг~3) ^

— аналог леммы 1.

(-Н----Ь) два кода, один тривиализуется простым шевелением.

||х2у, хг1, хзг, , гз1"х) —> ||х2у,г~х = tXl хвг, уг^1, гхг~хХ) —» \\х2у, хг1, хзг, 2 = гх1х1) —>■ Ц?/"1 — ж2, хг1, хзг, угГ\ —' ||х2у,хгХ,хзг,уг^~х ,х{1х)3) —* ||х2г/, ж г/, ж .<>2, уг\ ~х, хг'~3)

аналог леммы 1.

(- -1---Ь —) два кода, один тривиализуется простым шевелением.

||ж2у, жг^, хг~хз, уг1~х, гз~хХ) —► ||ж2у, Ж2<,Ххзх, уг1"х, й = ¿2) —► ||ж2?/, Ж2^, х1х1г, г = у~х 1,гз~х1)

— || у-* = х2,хг1.х(х1у~1Х,угГ1,г8"1^

— ||ж2;у, х'2/, х{1х):\угГ\гз'Ч) \\х2у, хг1., х2~'!, уг1~х, 2в""Ч)

аналог леммы 1.

Распределение (5) приводит к схеме кодов

{у^Ч^ЫгГ1**1,**^1}). Единичную фактор-группу по коммутанту определяют коды (Н---1- + +)•

(+- + --),(+----),(- + - + +),(-- + -+),(----+ы-----)

— всего 13 кодов. Не поддался простому шевелению только один код. Его мы и рассмотрим.

98 С.Г. Иванов

(-1-----) —два кода, один тривиализуется простым шевелением.

||х2у, з/ггГ"1, уг~хз, гз~х^х) —> ||аг 2у,хгуг,уг1~х ,у = гз~х^х) —> ||х2у,хгз~х г2 ,уг1Гх ,уг~х з,гв~х ~ I)

||х2у, £ = уг, уг~хв, гз~х1~~х) —> ||а:22/, уг^х, уг"хз, гз~х^х) ||ж2?/, , уг~1я, гз~х1~х)

— аналог леммы 1.

Распределение (6) преобразуется в схему кодов

{уг±хзрт\ уз±хг±х}, {^я"1, гГ1^1, гз№ ,гз~Ч}). Единичную фактор-группу по коммутанту определяют коды (+ -|---1- +),

(+ + - + -),(+ +---+ Н (- + + + +),(- + + -+), (- + + --)),

(—I---Ь +), (---1---) — опять 13 кодов. Все они преобразуются в

тривиализуемые коды простым шевелением.

7. Распределения (7), (8)

Распределение (7) приводит к схеме кодов

\\хуг,{ху~11,хгу±1},{ху~1з,хзу±1},

{хг±х1±х, х^г'1}, {уг~хз±х, уз±хг±х}).

Комбинаторными окаадлись коды (-)---К + + -), (Н---Ь - ++), ( + - - Н—),

( + _ +---), (+ - - + ++), ( + - - + +-), (+ - - + —), (+------),

(- + + + ++), (~ + + + +-), (- + + + - + ), (- + + - + -), (- 4- + - -4),

(- + - + +-),(- + - + "+). (- + ~ + ~), (- - + + ++), (- - + + +-),

(---Н---), (----1---1- —), (----1-+—) — всего 35 кодов. Из них 26 кодов

тривиализуются простым шевелением. Остальные 9 кодов тривиализуются последовательностью двух простых шевелений, причем, второе простое шевеление изменяет то же соотношение. Мы ограничимся двумя примерами гривиализадии последовательностью двух простых шевелений.

(—|- ----Ь) ~ два кода, один тривиализуегся простым шевелени

ем.

\\xyz, хЬу~х, хву, хг1~х, узг~х) —>■ \\yztz~1, х1у~х, хву, хгГх, узг~х)

—> \\zts~1 ,х1у~х ,хву,хг1~х ,узг~х) —> \\г1ух,х1у~1 ,ХЗу, —»• х1у~~х, хву, хг1~1, увг~х) ^

- промежуточный комбинаторный код имеет тип (3,3,3,3,3). (- - + + ++) один код.

\\xyz, х1у~х,ху~хз, хг%, увг)

\\хуг,угуГх,ху~1з,хгг увг)

Цжг/г, ув~ххг, ху~хз, жгг!, узг) —> (|хуг,хв~2,ху~хз,хг1,узг) ^

промежуточный комбинаторный код имеет тип (4.3,3,3,2). Распределение (8) приводит к схеме кодов

|| хуг,х1з,{уг~х1±х,у1±хг±х},

{уг'1з±х,уз±хг±х}, {уи~х, уГхз±х узХ±х}).

Единичную фактор-труппу по коммутанту определяют коды (+-(-- + ++),

(+ +----), (+-- + - + ), (+-----), (- + + -+-)»(- + +---),

(- + - + +-), (- + - + - + ), (- + - - ++), (- +----), (- - + + —),

(-- + - + -),(-- + -- ),(---+ ++),(---+ --),(------)-

всего 21 код. Лишь один из них не тривиализуется простым шевелением. Его мы и рассмотрим.

(- Н---Ь + —) два. кода, второй тривиализуется простым шевелением.

\\xyz, 1, ух~~хз, ув~х1)

\\хузу,х^,у1г"х,уг~хб,з = Ьу) 11 уху1у,х18,у1 - г,уг~хз,у«~~х1). - ||г/хг.х = з-хГх,уХг~х,уг-хз,уз-11) —> \\гу2з~х1~х, х1з, у1г"х, 2 = зу,уз~х1)

, у1г~х, уг~хз, 1~х 8 — у) \\у4з~х ,хг8,угг~х ,уг~хз,у8~х1)

—аналог леммы 1.

8. Распределение (9)

Распределение (9) приводит к схеме кодов

\\хуг,{ху~хг,х1у±х), {хг±хз,хзг~х},

Единичную фактор-группу по комму гашу определяют коды

(+ -Н+ + - + ), ( + + + +—),(+ + + -++), (+Н + -+-), (+ + + —+)

(+ + +---), (+ + - + -+), (+4-4- —), (+ + - - +4 ), (+ + - - +-)

(+ +---+), (+4-----), (+ - + + -+), (+ - + + —), (+ - + - ++),

(+ - + - +-), (+ - + - -+), (+ - +----), (+ - - + +-), (- + + + -+),

(- + + - ++), (- + + - -+), (- + - + +-), (- + - + -+), (- + --++),

(- +---+)> (-- + -+-),(---+ +-),(---+ -+),(----++)

— 67 кодов. В этом последнем случае любое простое шевеление при водит к цели, поскольку оно меняет тип кода. Пятнадцать кодов не имеют простых шевелений.

(+ + Н----Ь) - один код.

\\xyz, х1у, хвг, у1в~х,

Этот код не определяет единичную группу. Для доказательства отобразим множество образующих в Л5 посредством х (15243), у —> (15324), г ^ (15432), £ —> (12453), в (14352). Все соотношения кода отобразятся в1 Следовательно, эта группа имеет гомоморфизм на Ле1Ко показать, что данный код определяет группу икосаэдра порядка 120.

Остальные 14 кодов, не имеющие простых шевелений, тривиализу ются сложным шевелением, которое заключается в том, что преобразуется только одно соотношение кода, пока не получится тривиализуемый код Мы рассмотрим только 3 кода.

(+ + +---) —два кода, один тривиализуется простым шевелен»

ем.

||хуг, х1у, хгя, . г1~х з~х)

\\хуг,х1у, sxst,ь = у1, з~х) —> \\хуг,1у = т-1, xstyt, у1з~х, гГ1з~х). —> \\xyz, х1у, хзх~х1, б = у1,г1~х в"1) —> Цжу = г~х ,хЬу,х~х1ху1,у1з~х ,г1~хз~х) —г \\хуг,х1у,х~х1г~х1, у1&~х^г~х = е-1). \\xyz, х1у, хГ1в, у1ь~х, г1~хз~х)

— сменился тип кода.

(+ Н---1- + —) ~ 4 кода, 3 тривиализуются простым шевелением.

\\xyz, х1у, хгв, у1~хв, г1~1з~х) —>■ ^хуг,х%у,хз1з,в = 1у~~х ,г1~х з~х)

\\хуг,х1~у 1 ,х1у хз,гЬ ^

Ц?/-1 = гх,х1у,у"Чз,уГхз,гГхз~х) \\хуг,х1 — у~х ,у~хгх1з,у1~хз~~х) \\xyz, х1у,у~г гу~хв^уГ1 я, г = з?) \\хуг,х1у,у~хз1у~хз,1у~х = в,^-1«-1) \\xyz, х1у, уз-3, г/Г1^, гГ1«-1)

аналог леммы 1. (+ +---+ )

два кода, один тривиалюуегся простым шевелени-

ем.

\\xyz, ж<?/, жг5, у^хз~х, г1~хь) —» Цжуг, ж-гз, жЫ, £ = зг) —» Цжуг, ж^т/, 25 = ж-1, а'йгзйг, г^1;.) ¡ж-1 = уг, х1у, хгь, гхьх~~х |,гж = у"1,х1у, хгв,гхзугз, |жу2,г/-1 = жг, жгв, гЬ~х з)

\хуг, ж-гз, ж¿зг/гз, |ж?/г, 25Ж, гзх1зу. |ж?/2,ж<г/, Ж2й, г1~х з)

получен код (+ + -М---Ь), тривиализованый выше (простым шевелением)

Тривиализуемость кодов предсложносхи 5, определяющих единичную гр>пиу, доказана. Мы приходим к следующим результатам:

(]) Сбалансированный код единичной группы, имеющий иредсложность 5, имеет £2**-тривиализацию.

(2) Комбинаторный код ранга 5, определяющий единичную группу, имеет (2-тривиализацню.