К определению мер сходства полутоновых изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.854.2

А.Н. Каркищенко, АХ. Г орбань

*

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МЕР СХОДСТВА ПОЛУТОНОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Введение. В последние время все больше стало появляться работ по исследованию симметрии в области компьютерного зрения. Однако существующие работы по данной теме можно условно разделить на два больших практически не пересекающихся класса: сугубо теоретические исследования симметрии как группового свойства изображений [1] и методы, позволяющие количественно определить степень симметричности того или иного объекта [2-5]. Данная работа посвящена исследованию понятия симметрии применительно к цифровым изображениям и может послужить своеобразным «мостом»' между этими двумя классами работ.

В основе определения цифрового изображения лежит определение элемента изображения - пикселя. Каждый пиксель задается своими координатами в пределах изображения и интенсивностью света. Важным является только тот факт, что изображение представимо в виде множества пикселей. Авторами аксиоматически вводится понятие схожести элементов изображения - пикселей, и на его основе для произвольной группы симметрий теоретически строго выводится понятие меры симметричности изображения в целом.

Мера сходства элементов изображения [6] определяется через векторы признаков изображения - некоторые инвариантные относительно действия исследуемой группы симметрий локальные характеристики изображений.

1. Функции признаков изображения.

Определение 1.1. Функцией признаков изображения называется векторная функция а(х), ставящая в соответствие точкам плоскости М2 вектор признаков

а(х) = ((х),...,ап(х))т, где аа(х) - какие-то инвариантные относительно некоторой группы преобразований характеристики изображения I.

Множество всех возможных векторов признаков будем называть пространством признаков и обозначать через Ж . В дальнейшем будем также считать, что Ж наделено некоторой метрической структурой. При этом понятие инвариантности характеристик должно быть конкретизировано в зависимости от того, какие преобразования допускаются в используемом методе исследования симметрии. Выбор используемых инвариантных характеристик а(х) имеет большое значение для

методов обработки изображений и анализа симметрии.

В простейшем случае, в отсутствие каких либо шумов и оптических искаже-

,

можно использовать интенсивность: а(х) = (I(х)).

Однако такой подход плох не только тем, что является неустойчивым к за-шумлению, но в большей степени тем, что не учитывает более общий контекст изображения, например, цвет, форму изображения в окрестности точки и прочее. В качестве компонент вектор-функции признаков можно также использовать первые и вторые частные производные функции изображения и кривизну:

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 08-07-00129, № 07-07-00067).

o(x) = (i(x), I( (x), I( (x), I( (x)I" (x) -1" (x)I^ (x)T

Существует достаточно большое количество различных локальных инвариантов изображений, однако исследование инвариантных характеристик изображений лежит вне рамок данной исследования и описано в работе [7].

2. Определение мер сходства точек изображения

Определение 2.1. Мерой сходства точек изображения I(x) относительно функции признаков о называется интегрируемая в области DхD функция U : DхD ^ [0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

1) для любых x1, x2, x3, x4 e D из того, что ЦоХ) -о(х2)|| >||Ох3) -о(х4)||, где || - некоторая норма в пространстве векторов признаков, следует, что U(x1, x2) < u(x3, x4), причем u(x1, x2) = U(x3, x4) в том и только том случае, если |«(x1) -o(x 2)|| = ||Ox3) -o(x 4)|| (монотонное убывание по расстоянию);

2) если |«(x1)-o(x2)|| = 0, то U(x1, x2) = 1 (нормированное^);

3) если (x2)g DхD , то UX,x2) не определена.

Дадим поточечную количественную характеристику степени сходства двух точек изображения в терминах связанного с изображением пространства признаков W . Для количественной оценки симметричности изображения необходимо обобщить данное определение так, чтобы оно, с одной стороны, интегрально учитывало сходства в признаковом пространстве совокупности точек и, в частности, некоторых областей изображения, а с другой, учитывало действие группы преобразований соответствующих автоморфных областей. Рассмотрим два возможных варианта обобщения поточечного сходства.

Определение 2.2. Пусть G - некоторая группа, действующая на R2. Область D будем называть G - автоморфной, если для любого g e G справедливо равенство gD = D.

Пусть G - некоторая конечная группа преобразований G -автоморфной области D , D С R2. Рассмотрим орбиту Gx группы G, порожденную элементом x e D , то есть Gx = {gx | g e G} . Элементы принадлежащие одной и той же орбиты называются эквивалентными.

Определение 2.3. Мерой сходства точек орбиты Gx, | Gx |^ 1, называется функция

Данная мера равна усредненному значению всех мер сходства по всем парам точек, принадлежащих орбите Ох .

Очевидно, что эта функция удовлетворяет условию 0 <^(Ох)< 1, /' = 1,2,

х1, х2 є Ох.

Выражению (1) можно придать другой, в некоторых случаях более удобный вид. А именно, меру сходства можно выразить не через элементы орбит, а через

(1)

причем ^(Ох) = 1 в том и только том случае, если ^(х1,х2) = 1 для всех точек

элементы группы О. Для этого нам потребуются некоторые определения из тео-, .

Пусть О - группа, М - множество, на котором определено действие группы О . Стационарной подгруппой или стабилизатором в О элемента х0 е М называется множество (х0) элементов группы О, которые оставляют х0 неподвижным, то есть St (х0 ) = ^ | g е О, ях0 = х0} . Множество St (х0) является подгруппой группы О.

Пусть теперь х1 е Ох. Тогда все элементы группы О, отображающие х в х1, образуют левый смежный класс группы О по стабилизатору St(х). Действительно, если х1 = g1x = g2х2, то х = g-1 g2х, и, следовательно, g1-1 g2 е St(х). Значит, g2 е glSt(х), то есть g2 является элементом левого смежного класса glSt(х). Отсюда сразу следует, что левые смежные классы находятся во взаимно однознач-

О х . , ,

| Ох |=| О^(х) |= тй&У(х), где Ы&У (х) - индекс подгруппы St(х) в группе О ,

и по теореме Лагранжа индекс тй^(х), а значит и длина орбиты | Ох |, делят порядок группы | О | нацело. Важно подчеркнуть, что все левые смежные классы будут иметь одну и ту же мощность, совпадающую с порядком стабилизатора St (х).

Утверждение 2.1. Мера сходства точек орбиты Ох, | Ох |Ф 1, выражается формулой

М(Ох) =----------1-—-г- У /и(х,Их)---------| ^(х^ .

^ 7 |О|(|О|-^(х)|) У 7 | О | -1 St (х)|

Доказательство. Пусть g1St(х) - левый смежный класс, соответствующий элементу х1 орбиты Ох, а g2St(х) - левый смежный класс, соответствующий элементу х2 орбиты Ох . Тогда для любых g е g1St (х) и И е g2St(х) будет выполняться равенство ^(х,Их) = ^(х1,х2). Таким образом, значения меры сходства м{§х,Их) полностью определяется выбором левых смежных классов, из которых берутся элементы g и И , и не зависят от того, каким образом сами элементы выбираются из соответствующих классов. Поэтому

Е Е Их) = ^(х)|^2^(х)Ихрх2) = lSt(х) Мх^х2).

gеg1St(x)Aеg2St(x)

Просуммируем последнее равенство по всем различным парам точек х1, х2 е Ох:

/ \

И (х )2 Е Мх^ х 2 )= ЕЕ ЕЕ Их)

х1 ,х2еОх х1еОхх2еОх ^ gеglSt(х)Ие g2St(х)

х1 Ф х2 х1 Ф х2

( \ ( ^

= ЕЕ ЕЕ кх) - Е ЕЕ Мехкх)

х1еСх«е«1Х<(х^ x2ЁGxAЁg2St(x) ^ х^Ох^ gе g1St(x)AЁ g1St(x)

Заметим, что двойные суммы в первом слагаемом эквивалентны суммированию по всем элементам группы О. Действительно, внутренние суммы пробегают по всем элементам смежных классов, а внешние - по всем смежным классам и, таким образом, осуществляется суммирование по всей группе О .

Рассмотрим теперь вторую круглую скобку. Поскольку суммирование осуществляется по всем g, к е g1St (х), то gx = Их = х1, следовательно,

^(х, Их) = ^(х1, х1) = 1. Поэтому выражение в скобке равно

Е Е ИglSt(х)|2= Н(х)2.

gеglSt(x)kеglSt (х)

С учетом сделанных замечаний, получаем

Н(х)2 Е х2)= Екх)-\Ох\|St(х)2.

х1,х2еОх g,кеО

х1 Фх2

С учетом этого получаем

"(Ох )=|ох| (О х-1) х,2>(

х2 ) =

1 Е кх)-] 1

^ (х )2 Ох (|Ох| - 1)кеО |Ох|-1

что с учетом равенства ^(х) |Ох| = |О| и доказывает утверждение.

Пусть теперь X, X с Б - произвольное подмножество О -автоморфной об.

ОХ = {gx | g е О,хе X}.

Распространим понятие меры на множества такого вида. Для этого, прежде всего, заметим, что множество ОХ можно выразить через орбиты входящих в X элементов следующим образом:

ОХ = У ^х^ е О} = иОХ.

хеХ хеХ

При этом очевидно, что две произвольные орбиты либо не пересекаются, либо совпадают. Для более детального описания множества Х введем вспомогательные подмножества

Хк = {х | хе Х,|ОхпХ| = к,к = 1,2,...,п}.

Множество Хк состоит, таким образом, из тех элементов множества Х, которые представлены в Х в точности к элементами своей орбиты. Очевидно, что Х = Х1 и Х2 и... и Хп - разбиение множества Х, с той лишь особенностью, что среди Х1, Х2,..., Хп могут быть пустые множества.

Как и раньше, через т(А) будем обозначать меру множества А .

Определение 2.4. Мерой сходства множества ОХ называется функция

м(°Х ) = -—-!--------£1 ]>(°х )х.

£ -Г т (Хк )к = кхк к=1 к

Нетрудно видеть, что введенная мера удовлетворяют условию 0 < ц (ОХ) < 1, причем равенство ц(ОХ) = 1 достигается в том и только том случае, если ц(О\) = 1 для всех точек хе X .

Важный частный случай введенной меры сходства получается в том случае, если в множестве X каждая точка х является единственным представителем её орбиты относительно группы О. Действительно, если для любой точки х е X имеет место |Ох п Х| = 1, то Х2 = Х3 =... = Хп = 0 и Х1 = X, поэтому

!л(ОХ) = —1— (Ох )х, I = 1,2.

т(Х) X

Перечислим некоторые простые свойства, которым удовлетворяет введенная .

2.2.

0 < /и(ОХ)< 1,1 = 1,2, причем /и(ОХ) = 1 в том и только в том случае, если /и(Ох) = 1 для всех точек хе X .

Утверждение 2.3. Пусть Х1 и Х2 - два подмножества из автоморфной относительно группы О области, причем Х1 п Х2 = 0 . Кроме того, предположим, что множество X = Х1 и Х2 не содержит различных элементов, принадлежащих одной и той же орбите. Тогда

м(°Х) = тШм(О-Х)+тШ^(ОХ2) '■ = l,2■

т (X) т (X)

Доказательство. За метим, что О (Х1 и Х2 ) = О (Х1 )и О (Х2) и

О (Х1) п О (Х2) = 0 . Действительно, предположим противное, что

О (Х1 )п О (Х2) Ф 0 . Пусть z е ОХ1 п Х2. Следовательно, найдутся такие элементы х1 е Х1, х2 е Х2 и g, к е О, что ях1 = кх2= z . Отсюда следует, что х2 = к-gx1, значит в X = Х1 и Х2 содержатся элементы, принадлежащие одной

орбите, что противоречит предположению. Тогда

г \

1 ГГ , 1

И<ЗХ) = т?ХТ ^ И<3хИх■тх) ЛИ0*)* + ІИ0*)

V ) Х^ ^ X2 V / Хі Х^

_ т (Х1 ) ..(^Х ) , т (Х 2 ) ..(^х ) ■ чХуИс?Хі)+т^ИОХ 2).

Из этого утверждения, в частности, вытекает, что, если X удовлетворяет указанному выше свойству, то для любого разбиения X = X1 u X2 справедливо

min{^(GXj),^(GX2)} < fi(GX) < max{^(GXj),^(GX2)}.

Заключение. Основным результатом данной работы является определение

меры сходства множества элементов изображения, параметризованное группой

преобразований. Выбирая в качестве группы группу отражений или вращений изо, .

БИБЛИОГРДФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Henk J. A.M. Heijmans and Alexander Tuzikov. Similarity and Symmetry Measures for Convex Shapes Using Minkowski Addition. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 20(9):980-993, 1998.

2. D. Geiger and T. Liu and A. Yuille. Segmenting by seeking the symmetry axis. 1998.

3. Stephane Derrode and Faouzi Ghorbel. Shape Distance For Rotation Estimation And Rotational Symmetry Detection In Gray-Level Images.

4. Tat-Jen Cham and Roberto Cipolla. Skewed symmetry detection through local skewed symmetries. BMVC 94: Proceedings of the conference on British machine vision (vol. 2), pages 549--558, Surrey, UK, UK, 1994. BMVA Press.

5. V. Di Gesu and C. Valenti. The Discrete Symmetry Transform in computer vision. 1995.

6. Ming Li andXin Chen andXin Li and Bin Ma and Paul Vit6nyi. The similarity metric. SODA '03: Proceedings of the fourteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, pages 863-872, Philadelphia, PA, USA, 2003. Society for Industrial and Applied Mathematics.

7. Горбань AC., Каркищенко A.H. Инвариантные характеристики в задачах обнаружения симметрии изображений // Вторая Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2007 (10-14 сентября 2007г., Обнинск, Россия):

. 2:210-212, 2007.

УДК 519.712.2

Л А. Гладков, Н.В. Гладкова НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ АНАЛИЗА И ИЗВЛЕЧЕНИЯ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ГИБРИДНЫХ МЕТОДОВ*

В настоящее время проблемы повышения качества и сложности создаваемых автоматизированных устройств и систем в различных областях науки и техники связывают с возможностью их интеллектуализации, т.е. придания создаваемым техническим объектам и системам ряда функций обычно выполняемых человеком. Такими функциями можно считать работу по анализу и принятию решений в усло-, , -ление в массивах входной информации ранее неизвестных, нетривиальных, но практически полезных закономерностей, их оценка и интерпретация. В этом смысле одной из важнейших задач является создание эффективных средств обработки и интеллектуального анализа данных, извлечения знаний, а также средств поиска закономерностей для использования их в системах принятия решений.

Проблема интеллектуального анализа и извлечения знаний (Data Mining) из имеющихся массивов данных сегодня чрезвычайно актуальна. Data Mining - это

* Работа выполнена при поддержке: РФФИ (грант № 07-01-00174), РНП 2.1.2.3193, РНП 2.1.2.2238, г/б № Т.12.8.08.