Интегральное преобразование для распознавания симметрии изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.854

В.Б. Мнухин

интегральное преобразование для распознавания симметрии изображений

V.B. Mnukhin

integral transform for symmetry recognition of gray-level images

Предложено интегральное преобразование для распознавания симметрии полутоновых изображений. Вводимое преобразование оказывается инвариантным относительно сдвигов и вращений, но зависит от масштабирования. Свойства преобразования строго доказаны; на их основе предложен ряд тестов, позволяющих эффективно распознавать группу симметрий. Рассмотрены вопросы применимости предложенного метода к анализу симметрии цифровых изображений.

РАСПОЗНАВАНИЕ СИММЕТРИИ. ПОЛУТОНОВЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ. ГРУППА СИММЕ-ТРИй. ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-МЕЛЛИНА.

A transform for symmetry recognition in 2D gray-level images is considered. The transform is invariant under rotations and translations, but is not scale-invariant. The rigorous mathematical description of its properties is provided and a series of tests for symmetry recognition is produced. Some details of the discrete case realization are given and illustrated with experiment results.

SYMMETRY RECOGNITION. GRAY-LEVEL IMAGES. SYMMETRY GROUP. FREQUENCY DOMAIN. INTEGRAL TRANSFORM. FOURIER-MELLIN TRANSFORM.

Изучение симметрии изображений в настоящее время — одно из активно развиваемых направлений теоретической информатики. Работы в этой области активно стимулируются, в частности тем, что группы симметрий изображений не зависят от их размеров, поворотов, яркости, плотности и центрирования, являясь тем самым сильными дескрипторами изображенных объектов [1—3]. Данные о симметрии объекта позволяют:

производить сжатие и компактное хранение видеоинформации;

осуществлять как обычный, так и ассоциативный поиск видеоданных, необходимость в котором возникает при создании современных интеллектуальных систем;

делать анализ графической информации, направленный на повышение качества и достоверности работы систем распознавания образов и др.

В настоящей статье рассматривается задача распознавания группы симметрий

изображения с точностью до изоморфизма. Для ее решения предлагается новое двумерное интегральное преобразование, являющееся непрерывным по первой переменной и дискретным по второй. Идея его построения основана [4] на рассмотрении Фурье-образа изображения в полярной системе координат, что позволяет трансформировать вращения исходного изображения в сдвиги его образа.

Отметим, что вводимое преобразование до некоторой степени аналогично т. н. преобразованию Фурье—Меллина [5], инвариантному относительно как сдвигов и вращений, так и масштабирования. Заметим, что последнее важно для эффективного решения задач совмещения изображений [6], однако избыточно при распознавании симметрии. В то же время использование преобразованием Фурье—Меллина полярно-логарифмической системы координат приводит к значительным вычислительным сложностям. В частности, основанный на

4

нем метод [7] распознавания симметрии требует априорного знания координат центра симметрии.

Предлагаемый в статье подход свободен от указанных недостатков. Простота аналитического выражения вводимого преобразования позволяет сформулировать и строго доказать его свойства в окончательной форме. На их основе устанавливается ряд следствий, позволяющих эффективно распознавать группу симметрий. Их применение к анализу симметрий цифровых изображений иллюстрируется результатами экспериментов.

Группа симметрий изображения

Будем считать, что на действительной плоскости Ж2 введена декартова система координат xOy. Под изображением (точнее, под плоским непрерывным полутоновым финитным изображением) будем понимать действительную неотрицательную ограниченную функцию f(x,y), определенную всюду на Ж2, но отличную от нуля только внутри некоторой области I с Ж2 конечного диаметра d. Рассмотрим следующие элементарные преобразования изображений:

1) сдвиг Ta на вектор a = (x0, y0): Ta[f] = f (x - xo, y - Уо);

2) вращение Ra на угол а вокруг начала координат O:

Ra [ f ] = f (x cos a - y sin a, x sin a + y cos a);

3) отражение M относительно оси Ox: M [ f ] = f (x, - y).

Более сложные преобразования получаются как композиции элементарных. В частности, преобразование ML отражения относительно прямой L, проходящей через точку a и наклоненной к оси Ox на угол а, записывается как M, = T R, MT-1.

L a za a

(Действительно, если L проходит через начало координат, то равенство ML=R2aM следует из элементарных геометрических соображений; в общем случае остается заметить, что точку a можно сначала сместить в начало координат, а после выполнения преобразования RlaM вернуть в прежнее положение с помощью соответствующих сдвигов.)

Определение 1. Изображение / обладает отражательной симметрией относительно прямой Ь (или симметрично относительно Ь), если

МЬ[/(х, у)] = /(х, у) для всех (х, у) е Ж2.

В этом случае Ь называется осью симметрии.

Заметим, что центром вращения может служить произвольная точка плоскости. Легко видеть, что соответствующее преобразование Яаа вращения на угол а вокруг точки а можно записать как

я а = ТЯГ-1.

a a a

Определение 2. Будем говорить, что изображение/в точке а обладает вращательной симметрией бесконечного порядка, если Яаа[ / ] = / для всех углов а. Если же найдется угол в, (0 < в < 2п), такой, что и Яя,р[ / ] = I, и Яаа[ / ] * /для всех меньших углов а, 0 < а < в, то в точке а изображение имеет вращательную симметрию порядка к = 2п/в > 1, где, как нетрудно показать, число к является целым. Точка а называется центром вращательной симметрии.

Всевозможные композиции элементарных преобразований Та, Яа и М образуют бесконечную группу перемещений Г, являющуюся подгруппой группы всех аффинных преобразований плоскости [8]. Таким образом, Г естественно действует на множестве изображений.

Определение 3. Группой симметрий изображения / называется его стабилизатор Г( / ) в группе перемещений. Другими словами, это множество всех тех перемещений плоскости, которые не изменяют данное изображение.

Классы изоморфизма групп симметрий финитных изображений хорошо известны [8]. Это

1) единичная группа I, соответствующая изображениям без нетривиальных симме-трий;

2) бесконечная ортогональная группа 0(2), порождаемая вращением бесконечного порядка и являющаяся группой симме-трий окружности;

3) конечные циклические группы 2к порядка к > 2, порождаемые вращением во-

Рис. 1. Примеры изображений с небольшими группами симметрий

круг некоторой точки на угол 2%/к;

4) конечные диэдральные группы Dk порядка 2к > 2, порождаемые отражением и/ или вращением порядка к с центром на оси отражательной симметрии. (Несмотря на изоморфизм D1 - Z2, мы отличаем группу Dv порождаемую единственным отражением, от группы Z2, порождаемой вращением на 180 поскольку соответствующие этим группам симметрии изображений различны). На рис. 1 приведены примеры изображений с небольшими группами симметрий.

^-преобразование и его свойства

Введем интегральное преобразование, играющее ключевую роль в нашем подходе к распознаванию симметрии. Оно основано на двумерном преобразовании Фурье, определяемом [9] следующим образом:

да да

F[ f ] = F(u, v) = J J f (x, yK2n(xu+^)dxdy.

—да —да

Заметим, что сходимость интеграла немедленно вытекает из наложенных на функцию fx,y) ограничений. Фурье-образ F(u,v) определен на плоскости uOv, называемой частотной областью. Введем в ней полярную систему координат гОф с тем же самым началом O и с полярной осью ф = 0, совпадающей с положительной полуосью Ou. Рассмотрим Фурье-образ F(u,v) в системе координат гОф, полагая Ф(г, ф) = F (г cos ф, г sin ф).

Наложим на функцию f дополнительное ограничение. Поскольку реальные изображения являются гладкими, условимся считать fx,y) бесконечно дифференцируемой в каждой точке по любому направлению. Тогда для всякого фиксированного полярного угла ф0 е [0,п] модуль функции Ф(г,ф0) быстро убывает с ростом радиуса г,

что гарантирует корректность следующего определения.

Определение 4. H-преобразованием Hf функции fx,y) будем называть следующую функцию двух переменных:

+да п

H(w, n) = J ||Ф(г, ф)| e-i(wr+2пф) drdy,

0 0

где непрерывная переменная w принимает всевозможные действительные значения, а дискретная переменная n пробегает множество всех целых чисел Z. Удобно рассматривать Hf как бесконечную (в обе стороны) последовательность функций

..., H(w,-2), H(w,-1), H(w,0), H(w,1), H(w,2), ... функцию H(w,n) условимся называть H-образом для f.

Рассмотрим свойства введенного преобразования. Отметим, что поскольку H[ f] зависит только от энергетического спектра |F [ f]| изображения, H-преобразование не является ни обратимым, ни линейным, однако для произвольной константы c е К справедливо тождество H[cf = |c|-Hfj. Покажем, как меняется H-образ изображения при его сдвигах и вращениях.

Утверждение 1. Преобразование H[f] инвариантно относительно сдвигов: H[Ta f] = H[ f].

Доказательство. Воспользуемся известным свойством преобразования фурье [9]: \F[Tf ]| = (x°u+y°v)F(u, v)| = \F(u, v)|, где а = (x°, y°). Из него вытекает, что функция |Ф(г, ф)| не меняется при сдвигах, а значит, не меняется при сдвигах и Hf]. ■

Утверждение 2. При вращении изображения f на угол а вокруг начала координат, его H-образ H(w,n) умножается на фазовый множитель:

H [R f ] = e2ina H (w, n).

4

Доказательство. Как известно [9], непрерывное преобразование Фурье коммутирует с вращениями, то есть ГЯа = ЯаГ. Поэтому, обозначая Фурье-образ в полярной системе координат как Г[/] = Ф(", у), получим Г[Яа/] = Яа[Г[/]] = Ф(", ф + а), и

н[Яа/] = | ||Ф(", ф + а)|е-'(ж"+2пф)^ф. о о

Выполняя замену переменной 0 = ф + а, получаем

-1-WJ 71-I-U.

H[R f ] = I^J J |Ф(г, 0)|

-i (wr +2n0)

drd 0.

Поскольку / принимает только действительные значения, Г (и, V) = Г * (-и, -V), и, следовательно, функция |Ф(",0)| является периодической по 0 с периодом п. Так как п — целое, периодическим будет и все подынтегральное выражение. Следовательно,

J J |Ф(г, 0)|е~;(wr+2n0) drd0 = H[f ],

откуда и

вытекает требуемое тождество. ■

Рассмотрим поведение H-преобразова-ния при вращениях Ra а вокруг произвольной точки a. Пользуясь предыдущими результатам и тождеством Ra,a = TaRaTa1 = TaRaT-a ,

немедленно получаем

Следствие 1. Выбор центра вращения изображения f не влияет на его Н-преоб-разование, H{Ra а] = H[Ra f], а модуль Н-преоб-разования инвариантен относительно вращений, \H{Raaif]| = |Hf]|. В частности,

H[Ran4f ] = inH(w, n),

H[R^f] = (-1)nH(w, ri), H[Ra,,f] = H[f]. ■

Утверждение 3. Отражение изображения f от любой из координатных осей Ox или Oy меняет знак переменной n в функции H (w, n) = H [ f ]:

H [Mf ] = H [ f (x, - y)] =

= H (w, -n) = H [ f (-x, y)].

Доказательство. Пусть F[f] = = F(r cos ф, r sin ф) = Ф(г, ф), тогда F[Mf ] = = F[f (x, -y)] = Ф(г, -ф). Подставляя это выражение в определение 4 и выполняя в интеграле замену переменных 0 = —ф, получим, с учетом периодичности подынтегрального выражения, что H [Mf ] = H (w, -n). Последнее равенство вытекает из соотно-

шения /(-х, у) = Яп М[/]. ■

Случай отражения Мь относительно произвольной оси Ь чуть более сложен.

Утверждение 4. Если прямая Ь образует с осью Ох угол а, а Н-образ исходного изображения / равен Нп) = Н[/] , то Н [Мь/] = е4па Н (*, -п).

Доказательство. Ранее было замечено, что Мь = ТаЯ2аМТ а, где а — произвольная точка на Ь. Учитывая предыдущие результаты, получаем

Н [Мь/] = Н [ТаЯ2а МТ-а [/]] =

= Н[Я2аМТ-а [/]] =

= е4'паН[М[Т-а/]] = е4паН(м,, -п),

что завершает доказательство. ■

Распознавание симметрии с помощью ^-преобразования

результаты предыдущего раздела приводят к ряду тестов на наличие у изображений того или иного типа симметрии. Вспоминая, что отражательная симметричность относительно оси Ь равносильно условию Мь [/] = / , немедленно получаем из утверждения 4 следующий результат.

Утверждение 5. Если изображение / симметрично относительно некоторой прямой, образующей с осью Ох угол а, то Н-образ этого изображения удовлетворяет тождеству Н(м>, п) = еШаН(м>, -п).

В частности, если для некоторых значений переменных w и п справедливо неравенство |Нп)| ф \Н(м>, -п)|, то изображение не обладает отражательной симметрией.

рассмотрим тесты на вращательную симметрию.

Утверждение 6. Если изображение / допускает вращательную симметрию бесконечного порядка (и значит, имеет группу симметрий О(2)), то Н(^,п) = 0 для всех п ф 0.

Доказательство. Как уже отмечалось, непрерывное преобразование Фурье коммутирует с вращениями, а значит, сохраняет вращательные симметрии исходного изображения. Следовательно, для изображения с группой О(2) функция Ф(",ф) не зависит от полярного угла ф. Пусть Ф(",ф) = ¥("), тогда при п ф 0 имеем

0 a

-t-uu VI

H(w, n) = J J|T(r)|

-i (wr+2пф)

drd ф =

h(k) =

= J |T(r)| e-iwr dr J e-2inфdф = 0. ■ 0 0

Для формулировки аналогичного результата об изображениях, допускающих вращательные симметрии только конечных порядков, введем следующую функцию на множестве Z целых чисел:

| к, если к нечетно,

к/2, если к четно.

Утверждение 7. Если изображение f допускает вращение порядка к, то H(w,n) = 0 для всех n ф 0 mod h(k).

Другими словами, периодическое появление в последовательности

..., H(w,-2), H(w ,-1), H(w,0), H(w,1), H(w,2), ...

нулевых функций указывает на вращательную симметрию изображения, причем «ширина нулевого интервала» связана с порядком симметрии.

Доказательство. Действительно, в этом случае Ra2n/k [f ] = f. Переходя к Я-образам, получаем H [Д^,/ J ] = H [ f ], или (1 - е4nn/к)H(w, n) = 0. Значит, если е4nin/к ф 1, то H(w, n) = 0 для всех n е Z . Остается заметить, что при нечетном к равенство е4n,n/к = 1 означает, что n делится на к; а при четном к — что n делится на к/2. ■

Из утверждений 5 и 7 вытекает тест на диэдральность.

Следствие 2. Если изображение f имеет диэдральную группу симметрий Dk порядка 2к, то

гШа H (w, -n), n = 0mod Кк), 0, иначе,

где а является углом наклона произвольной оси отражательной симметрии данного изображения к Ox.

(Корректность предыдущего утверждения следует из того, что разность углов наклона двух различных осей симметрии всегда кратна п/к.)

отметим, что предыдущие результаты дают только необходимые условия наличия у

H(w, п) =

изображения того или иного типа симметрии, или же достаточные условия ее отсутствия. Кроме того, из утверждения 7 вытекает невозможность различить вращения порядков 2к + 1 и 2(2к + 1) с помощью только ^-преобразования. Это связано с тем, что Фурье-спектр [/]| любого изображения обладает центральной симметрией. Как следствие, ^-преобразования изображений с группами Z2k+1 и Z2(2k+1) устроены аналогично. Вместе с тем нетрудно заметить, что изображение с группой 22(2к+ц всегда будет центрально-симметричным, а с группой Z2k+1 — нет. Несложный тест на центральную симметричность изображений предложен в [4], где могут быть также найдены дальнейшие детали.

Распознавание симметрии цифровых изображений

Рассмотрим некоторые детали применения результатов предыдущего раздела для практически значимого случая цифровых изображений.

Назовем цифровым изображением размера N х N произвольную действительную неотрицательную ограниченную функцию /х,у) двух дискретных аргументов, определенную на множестве [0, N -1] х [0, N -1] с Z2. Под диаметром цифрового изображения будем понимать размер d наименьшей квадратной области, вне которой функция /(х,у) принимает только нулевые значения.

Чтобы ввести дискретный аналог ^-преобразования, воспользуемся дискретным преобразованием Фурье (ДПФ):

1 ^ ^ „ ч Г 2л/

F(u,v) = Т72 X X f(x, y) exP I —íT(ux + vy) I'

N x=0 y=0 l N

Кроме того, необходимо задать на [0, N - 1] х [0, N -1] некоторый аналог полярной системы координат, или, что равносильно, определить оператор дискретного вращения . Отметим, что это является нетривиальной задачей, допускающей различные решения, а вполне адекватное определение полярной системы координат на дискретной плоскости представляется невозможным [10]. Обычно вводится как [ f ] = f ([X] mod N,[ Y] mod N), где X = x cos a - y sin a, Y = x sin a + y cos a,

4

а [X и [У означают ближайшие целые к X и У соответственно. Это позволяет ввести дискретное ^-преобразование по аналогии с определением 4. Отметим, что ^-преобразование цифрового N х N) -изображения является комплексной N х N) -матрицей.

К сожалению, ДПФ не коммутирует с дискретными вращениями Ка, что препятствует немедленному переносу результатов предыдущего раздела на дискретный случай. Вместе с тем можно показать, что для цифровых изображений фиксированного диаметра с1 имеет место сходимость ||(КР - РК)[/]|| —N> 0, что позволяет использовать полученные для непрерывного случая результаты в дискретном случае при выполнении условий N >> 0 и с1 << N.

Рассматривая симметрию цифровых изображений, следует учитывать, что поня-

I

тие симметрии непрерывных изображений ранее трактовалось как двузначное: функция ,Р(х,у) считалась либо обладающей некоторым типом симметрии, либо нет. При этом для реальных объектов симметрия никогда не бывает идеальной и говорить можно только о той или иной мере симметричности объекта. Более того, следует учитывать, что даже абсолютно симметричное относительно некоторой оси цифровое изображение может потерять эту симметричность при поворотах. Поэтому анализ ^-преобразований цифровых изображений следует проводить статистическими методами.

В качестве примера рассмотрим рис. 2, показывающий визуализации матриц ||1п(1 + |И(м, п)|)|| для четырех изображений рис. 1. На всех визуализациях ось Оп направлена горизонтально, а ось Ом —

£>2

ЛН11.М1; Ш-Р И

1

г8

Рис. 2. Примеры визуализации И-преобразований изображений

вертикально; точка О совпадает с геометрическим центром; темные оттенки соответствуют большим значениям величин, а светлые — меньшим. Правый верхний рисунок соответствует изображению буквы Н с диэдральной группой Х>2 порядка 4. Хорошо заметна характерная симметричность рисунка относительно Ом, вытекающая из следствия 2. Статистическая проверка выполнения условия Н (м, п) = е4,па Н (м, -п) для всех м и п позволяет уточнить тип симметрии и оценить наклон оси симметрии исходного изображения. В частности, так можно отбросить гипотезу о нетривиальности симметрии у изображения буквы F, соответствующего левому верхнему рисунку.

Левый нижний рисунок соответствует изображению Андреевского креста с группой Б4 порядка 8. Симметричность относительно Ом указывает на наличие отражательной симметрии, а вытекающая из утверждения 7 характерная «полосатость» — на наличие вращения четвертого порядка. Правый нижний

рисунок соответствует 8-лучевой свастике с группой Можно заметить, что визуализация Н-преобразования утратила Ом-симметричность, что говорит об отсутствии у свастики отражательной симметрии. В то же время ширина «темных полос» увеличилась до трех, что указывает на наличие вращательной симметрии восьмого порядка.

Таким образом, в работе предложен метод распознавания групп симметрий плоских полутоновых изображений, основанный на использовании нового двухмерного интегрального преобразования, непрерывного по одной переменной и дискретного по другой. Сформулированы и строго доказаны свойства этого преобразования. На их основе предложен ряд следствий, позволяющих эффективно распознавать симметрии как непрерывных, так и цифровых изображений

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты № 11-07-00591 и №13-07-00327.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chertok, M. Spectral Symmetry Analysis [Text] / M. Chertok, Y. Keller // IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence. — 2010.

- Vol. 32. -P. 1227-1238.

2. Каркищенко, А.Н. Классификация изображений периодических структур на основе непрерывного преобразования симметрии [Текст] / А.Н. Каркищенко, В.Б. Мнухин // Матер. VIII Междунар. конф. Интеллектуализация обработки информации. -М.: МАКС Пресс, 2010. -С. 359-362.

3. Каркищенко, А.Н. Преобразование симметрии периодических структур в частотной области [Текст] / А.Н. Каркищенко, В.Б. Мнухин // Матер. XV Всерос. конф. Математические методы распознавания образов. -М.: МАКС Пресс, 2011. -С. 386-389.

4. Каркищенко, А.Н. Распознавание симметрии изображений в частотной области [Текст] / А.Н. Каркищенко, В.Б. Мнухин // Матер. IX Междунар. конф. Интеллектуализация обработки информации. -М.: Торус Пресс, 2012.

- С. 426-429.

5. Reddy, S. A FFT-based technique for transla-

tion, rotation, and scale invariant image registration [Text] / S. Reddy, B. Chatterji // IEEE Trans. on Image Processing. -1996. -Vol. 5. -P. 1266-1271.

6. Derrode, S. Robust and efficient Fourier-Mellin transform approximations for gray-level image reconstruction and complete invariant description [Text] / S. Derrode, F. Ghorbel // Computer Vision and Image Understanding. -2001. -Vol. 83. -P. 57-78.

7. Derrode, S. Shape analysis and symmetry detection in gray-level objects using the analytical Fourier-Mellin representation [Text] / S. Derrode, F. Ghorbel. // Signal Processing.-2004. -Vol. 84. -P. 25-39.

8. Никулин, В.В. Геометрии и группы [Текст] / В.В. Никулин, И.Р. Шафаревич. -М.: Наука, 1983. -239 с.

9. Poularikas, A.D. Transforms and Applications Handbook [Text] / A.D. Poularikas. - CRC Press, 2010. -1336 p.

10. Beylkin, G. On the fast Fourier transform of functions with singularities [Text] / G. Beylkin // Appl. Comput. Harmon. Anal. -1995. - Vol. 2. - P. 363-381.

REFERENCES

1. Chertok M., Keller Y. Spectral Symmetry 2

Analysis / IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence. -2010. -Vol. 32 -P. 1227-1238.

Karkishchenko A.N., Mnukhin V.B.

Klassifikatsiia izobrazhenii periodicheskikh struktur na osnove nepreryvnogo preobrazovaniia simmetrii

/ Mater. VIII Mezhdunar. konf. Intellektualizatsiia obrabotki informatsii. — Moscow: MAKS Press, 2010. - S. 359-362. (rus)

3. Karkishchenko A.N., Mnukhin V.B. Preobrazovanie simmetrii periodicheskikh struktur v chastotnoi oblasti / Mater. XV Vseros. konf. Matematicheskie metody raspoznavaniia obrazov. - Moscow: MAKS Press, 2011. - S. 386-389. (rus)

4. Karkishchenko A.N., Mnukhin V.B.

Raspoznavanie simmetrii izobrazhenii v chastotnoi oblasti / Mater. IX Mezhdunar. konf. Intellektualizatsiia obrabotki informatsii. - Moscow: Torus Press, 2012. - S. 426-429. (rus)

5. Reddy S., Chatterji B. A FFT-based technique for translation, rotation, and scale invariant image registration / IEEE Trans. on Image Processing.

-1996. -Vol. 5. - P. 1266-1271.

6. Derrode S., Ghorbel F. Robust and efficient Fourier-Mellin transform approximations for gray-level image reconstruction and complete invariant description / Computer Vision and Image Understanding. - 2001. - Vol. 83. - P. 57-78.

7. Derrode S., Ghorbel F. Shape analysis and symmetry detection in gray-level objects using the analytical Fourier-Mellin representation / Signal Processing. - 2004. -Vol. 84. - P. 25-39.

8. Nikulin V.V., Shafarevich I.R. Geometrii i gruppy. - Moscow: Nauka, 1983. -239 s. (rus)

9. Poularikas A.D. Transforms and Applications Handbook. - CRC Press, 2010. - 1336 p.

10. Beylkin G. On the fast Fourier transform of functions with singularities / Appl. Comput. Harmon. Anal. - 1995. - Vol. 2. - P. 363-381.

МНУХИН Валерий Борисович — доцент кафедры высшей математики Таганрогского технологического института Южного федерального университета, кандидат физико-математических наук. 347916, Россия, г. Таганрог, ул. Циолковского, д. 55. E-mail: mnukhin.valeriy@mail.ru

MNUKHIN, Valery B. Taganrog Technological Institute of Southern Federal University. 347916, Tsiolkovsky Str. 55, Taganrog, Russia E-mail: mnukhin.valeriy@mail.ru

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013