CC BY
11
УДК 621.3.061
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕДАЧ ОДНОРОДНЫХ ЦЕПНЫХ СХЕМ
Докт. техн. наук САФАРЯН В. С., инж. САФАРЯН Л. В.
ЗАО «Научно-исследовательский институт энергетики» (Республика Армения)
Известно, что однородные электрические цепи с распределенными параметрами могут быть представлены каскадно соединенными одинаковыми симметричными четырехполюсниками - однородной цепной схемой. При исследовании и расчете таких схем представляет практический интерес нахождение передаточных функций (по напряжению, току) между различными ступенями цепной схемы [1].
Согласно алгебре структурных чисел [2] коэффициенты передачи по напряжению и току четырехполюсника определяются формулами:
к = ^
и иа
"яг у/" Ж — ЖЪа
Ж
(1)
К _ 1Ь _
к _ Г -
МГ мг Ж — Жаъ
Ж
1
> 2
(2)
где Ъа, Ъъ - входные сопротивления четырехполюсника со стороны зажимов а — а' и Ъ — Ъ' при холостом ходе; Ъъ, ЪЪа - входные сопротивления четырехполюсника со стороны зажимов а — а' и Ъ — Ъ' в режиме короткого замыкания (рис. 1). Отметим, что все величины в статье представлены в операторной форме.
Ц
ъ
П 1
а ъ
I и,
а Ъ
П
а' Ъ
Рис. 1
Согласно свойству взаимности (обратимости) четырехполюсника [1] из рис. 2 имеем:
и „ъ и кц я ;
Ж'
к а -
щ
кЪ -
К" _
1 Е '
кЪ -
Щ' к Ща
Е
к[ кЪ
мг Жъ
"ЯГ '
а
I
а
где верхний индекс коэффициента передачи относится к стороне питания четырехполюсника. Отсутствие верхнего индекса указывает на то, что питание осуществляется со стороны зажимов а - а'.
а б
Е
П »
а V
в
а Ъ
П
а Ъ
'и
Рис. 2
По аналогии (1), (2) можно записать:
ки -
í Ж - Ж л2
Ж
V
а П Ъ
Ч
а Ъ
КЪ -
Ж - ЖЪа
Ж
1
л 2
т. е.
ки - К1; ки - К1
Выразим коэффициенты передачи четырехполюсника К'и, К', загруженного на сопротивление Щ (рис. 3), через коэффициенты передачи в режимах холостого хода Ки и короткого замыкания К
Е
Рис. 3
Согласно методу эквивалентного генератора [1] имеем
КиЕ
1 -
следовательно,
ЖЪ + ЖЪа
и - КцЩ Е и Ж + ЖаЕ
Ъ
а
г
1
Е
и - Щ Ки. (3)
и Е Ж +ЖЪа
Для коэффициента передачи по току аналогично приведенному выше получим:
и - К-
Уо + Уъ
1 -Л1^- ;
^ + Уъ
К\-1 К1 . (4)
- ^ + Тъ
Из (3) и (4) с учетом (1), (2) имеем
К1 - гъ \Ха + 2Ъа I 2а
Ки гъ + го V Z0 V %Ъа
- г00 + гъа 1гагъ{га ХаЪ) - ^(^О + ХЪа) - ^^
гъ - гъа го'
гу0
где га представляет входное сопротивление четырехполюсника, загруженного на сопротивление го (рис. 3). Таким образом, получаем
г 0
К\- гтКи. (5)
го
С применением алгебры структурных чисел [2] получены рекуррентные соотношения определения входных сопротивлений цепной схемы, состоящей из одинаковых четырехполюсников (рис. 4):
уг уг _1_ уг уг Ж - ЩЪЩ + Щг-1)аЩ . (6)
уг _1_ уг '
Щ + Ж-1 )а
уг уг _1_ уг уг ■щ. ЩаЩ + Ж-1)ЪЩ
Щ-—ж+щ—' (7)
Щ + Щ-1V
уг уг _1_ уг уг Ж - ЩЪЩ + Щ-1)аЪЩ (8)
Щ + Щ-1)аЪ
уг уг _1_ уг уг Щ - ЩаЩ + Щг-1)ЪаЩЪ (9)
а УГ _1_ УГ '
Щ + Щ-1)Ъа
где Ща (ЩЪ) - входное сопротивление цепной схемы со стороны зажимов а - а' (Ъ -Ъ') при холостом ходе; ЩаЪ (ЩЪа) - входное сопротивление со
стороны зажимов а — а' {Ь — Ъ') при коротком замыкании. Отметим, что в обозначениях Ща, Я,, ЩаЪ, ЖЪаа первым индексом отмечается число блоков (четырехполюсников) цепной схемы (рис. 4).
и
1 2 7 Чи п
У Чип
Рис. 4
Определим также входные сопротивления бесконечной цепной схемы [2]:
ж _ 1 ж _ -
ж—щ +№—ж )2+4ЖъЖ
ж _ 1 Щъ _ 2
Щ — Щ + М — Щ )2 + 4ЩЩ
и характеристические сопротивления цепной схемы:
ж — ¡ж '.ix ■
ж — i '.ix '.ix
ЩЪ _ VЩъаЩъ .
Между четырьмя параметрами {Щ Я,, Щ,, Ща) существует общеизвестное соотношение
ЩъЩ -ЩЖ - к0. (10)
Определим некоторые обобщенные параметры, которые инвариантны по отношению числа блоков цепной схемы. Покажем, что
Л —Л-щ—щ-ДЖ. (11)
Доказываем методом математической индукции. Для 7 = 2 имеем
Ж Ж _1_ У? Ж Ж _1_ У? У? У?
Щ — Щ - ЩаЪЯЪ + Щ — ЩаЩ + Щ - Щ — Щ - щ — Щ
жа + Щ Яа + Щ Яа + Я, а
Полагая, что (11) имеет место для 7 - 1, покажем, что оно имеет место и для 7
ж — ж - К0 + Щ—1)аЩ — К0 + Ц—РъЖ - К0 + Щ—рЛ — К0 + Щ—рМ -
жга ЖгЪ уг , уг уг , уг уг , уг уг , уг
Л + Л—1)а Л + Л—рЪ Л + ЛЛ + Л—Ръ
ух ух ух ух i ух ух ух ух ух ух
- ЯЛ—1)аЛа — ЯЛ—1)ъЛЪ - Л—рЛ — Л—ръ + Л—РЬЛ — Л—РЛ -
Л+Л—1Ъ Л+Л—1Ъ
= ДЖЖ Щ-рДЖ= ДЖ Ж + Ж-ib
Покажем, что
ЖаьЖ = ЖьЖ = Ко. (12)
Доказываем методом математической индукции. Для i = 2 имеем
W W _i_ W W W W _i_ W 1 \
Ж Ж = ЖъЖ + ЖЬЖ ЖаЖ +Ж = Жъ Ж Ж + у_) = ЖЖ
ЖаъЖъ =-Ж+Ж--Ж + Ж ~ Ж + Ж +Ж) = ЖЬЖ .
Ж + Жъ Ж + Ж Ж + Жъ
Полагая, что (12) имеет место для i - 1, покажем, что оно имеет место и для i
v _i_ ж ж v _i_ ж ж
Ж Ж = Ko + Ж-1аЖ Ko + Ж-^Ж = Ж + Ж-1аь Ж + Ж-i>
_i_ V I Ж Ж _i_ Ж Wl _i_ ЖЖК~
K0 + К0Ж-l)ab^a + Ж-Ib^bf + Ж0ЖЬК0
жж j- ж ж _i_ ж ж _i_ v
жаж + ж-1>Ж + Ж-т-ОьЖ+Ko
0-
Из (10) и (12) следует:
хтг хтг _ хтг "яг — V ^ 1 -зч
ЖъЖ - ЖаЖ - К0■ (13)
Воспользуясь соотношением (13), имеем
ж ж — v
ЖаЖхЪ - К 0 .
Согласно (1), коэффициент передачи по напряжению цепной схемы примет вид
ж ж ж ж
ЖЖп-г )а - ЖъаЩп-г )а
К2 = U]_= Ж + Щш-г )а Жа + Щш-г )а = Жп-г )а ^ iU ТТ_ Ж Ж
U0 Жа Жа При п ^со для имеем:
ж ж
К 2 Ж Жа
Кги =---
ги Ж _1_ Ж Ж _1_ Ж
Ж + Жа Жа + Жа
или же
ж ж
Ж Жа
ж _i_ ж ж _i_ w
_ Ж + Жп-i )а Жа + Жп-г )а
KiU = ■
ж (ж ж \
ЖЛЖь - Жъа)
(Ж + Жа ХЖа + Жа ) При i = 1 имеем
"ЯГ ("ЯГ \
Ки - К1и - , Ща Щ- Ща) . (14)
и 1и ЦЖ + Жа ХЖа + Жа)
Исходя из физических соображений, при п ^сс можно показать, что
Ки - Ки . (15)
Для определения ки бесконечную цепную схему представим в следующем виде (рис. 5):
а б
Цо
1 1 1
1 | и
Рис. 5
Применяя формулу (3), для схемы рис. 5а получим результат (14). Воспользуясь соотношением
уг уг _1_ иг иг
УГ _1_ иг
Щ + Ща
— уг
перепишем (14) в виде
уг гут уг гугтуг уг ^ „ — Ща VЩ\Щ — ЯЬа)
ки =-"-
{Ща + Жаа )4Я Жа + Ж '
Представим выражения (6)... (9) в нерекуррентных формах. Представим (14), (15) в виде:
Ж
ко
уг Жа
Ж + Ща Щ + Жа
Жа
- С1
или же
где С - кЦг.
Ж
ко,
уг _1_ уг ix _1_ уг уг Щ + Ща к0 + ЩаЩа
- С1
Совместным решением (11), (16) получаем:
уг — Ща -
Жа + коС (1 — С1 )Жа
(16)
(17)
Ж - Щъ + коС
(1 — С1 )Жъ
Для Жъ и Жа получаем:
Ж - ко - ко(1 — С' )Щъ . уг у£ _1_ тх г*7 ' Щ Щъ + коС
Ж - к0 - к0(1 — С' )Жа
^а Ж Жаа + к0С •
(18)
(19)
Отметим также, что коэффициент передачи по току для схемы рис. 5а равен коэффициенту передачи по напряжению той же схемы. Это непосредственно следует из соотношения (5).
Нетрудно заметить, что коэффициент передачи по напряжению (току) четырехполюсника рис. 5а равен коэффициенту передачи по напряжению (току) четырехполюсника рис. 5б.
Для цепной схемы, состоящей из конечного числа одинаковых несимметричных четырехполюсников, загруженных на сопротивление Щ (рис. 6), на основе формулы (3) получаем следующее рекуррентное соотношение для коэффициента передачи по напряжению:
Ж:
К _ _ _ К К Щп—г )а
К'и _ и0 _ и0 и-1 _ К—1)иКиЩп г)а + щда
где Щп-г )д - входное сопротивление цепной схемы из п — г четырехполюсников, загруженный на сопротивление Щ. Сопротивление Щ выражается через сопротивление Щд формулой [2]
яг яг _1_ ягяг и0 _ ЩЪЩ + ЩАа
яг ^ яг Щ + Щ
и
1 2 /
V
1и,
п
2о П V Т -
Рис. 6
Аналогично для коэффициента передачи по току получаем
1г „ „ Щ
Кг1 _ ~Т _ К(г—1)1К1 ^0
яг _1_ я?
Щ + Щп—г)
Согласно формуле (5), имеем
К,
К
ги
а{п—г)
Для цепной схемы, состоящей из одинаковых симметричных четырехполюсников, работающей в режиме холостого хода (рис. 4), формулы (16).. .(19) примут вид:
1 + С
"яг — "яг — яг ■ Щд _ Щ -77Щ ;
1 — С
1 — С
"яг — "яг — яг Щъа _ ЩаЪ -77Щ ;
1 + С
а коэффициенты передачи по напряжению и току:
К - 1 + СП" / 2. Ки - 1 + СП С ;
К - -_-_Сг2
1 - Сп-г 1 - Сп где
л/Д -4Жьь
ж ^ л/К0 , С -
чЩ +
Для цепной схемы, состоящей из одинаковых симметричных четырехполюсников, загруженных на сопротивление г0 (рис. 6), получим:
Щ -1+бС Щ.
К _ 1 + «СП- г/2.
К - ^СШС/2;
11 1 -аС1
где
МГ мг Щ - Щ
а -
Ж+Ж
В Ы В О Д
В работе получены соотношения, определяющие входные сопротивления и коэффициенты передачи с любых -х пар зажимов однородной цепной схемы, выраженные через параметры одного четырехполюсника.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. А т а б е к о в Г. И. Основы теории цепей. - М.: Энергия, 1972. - 424 с.
2. Б е л л е р т С., В о з н я ц к и Г. Анализ и синтез электрических цепей методом структурных чисел. - М.: Мир, 1972. - 330 с.
Представлена Ученым советом Поступила 18.12.2003
