CC BY
8ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2018
• ФИЗИКА •
Вып. 3 (41)
УДК 621.37; 537.862; 517.925.42 PACS 05.45.Xt; 05.40.-a; 02.50.Ey
КРАТКОЕ СООБЩЕНИЕ
К описанию коллективной динамики в ансамблях реальных осцилляторов
Д. С. Голдобин а,ь, И. В. Тюлькина ь , Л. С. Клименко а,ь, А. Пиковский ^
пр. Гагарина, 23
e-mail: Denis.Goldobin@gmail.com
Ранее авторами был разработан подход, позволяющий регулярным образом распространить теорию Отта-Антонсена на случай неидеальных ансамблей осцилляторов. В данной статье объясняется, почему в теории коллективных явлений и самоорганизации первостепенный интерес представляют именно системы типа Отта-Антонсена, а обобщение теории Отта-Антонсена на неидеальные ситуации (для реальных систем условия применимости теории Отта-Антонсена выполняются не точно) является нетривиальным, но важным.
Ключевые слова: теория Ватанабэ-Строгаца; теория Отта-Антонсена; ансамбли реальных осцилляторов
Поступила в редакцию 31.07.2018; принята к опубликованию 09.08.2018
Towards the description of collective dynamics in ensembles of real oscillators
D. S. Goldobina,b, I. V. Tyulkinab, L. S. Klimenkoa,b, A. Pikovskyc,d
a Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS, Akademika Koroleva St. 1, 614013 Perm, Russia b Perm State University, Bukireva St. 15, 614990 Perm, Russia c University of Potsdam, 24/25 Karl-Liebknecht Str., 14476 Potsdam-Golm, Germany d Nizhny Novgorod State University, 23 Gagarina St., 603950 Nizhny Novgorod, Russia e-mail: Denis.Goldobin@gmail.com
Recently the authors of this brief communication developed the approach which allowed to extend the Ott-Antonsen theory to the case of non-ideal oscillator ensembles in a regular way. In this communication we explain why in the theory of collective phenomena and self-organization the systems of Ott-Antonsen type are of the primary significance, and why the extension of the Ott-Antonsen theory to the case of non-ideal systems—for real systems the applicability conditions of the Ott-Antonsen theory are fulfilled only approximately—was so much non-trivial but important.
Keywords: Watanabe-Strogatz theory; Ott-Antonsen theory; ensembles of real oscillators
Received 31.07.2018; accepted 09.08.2018 doi:10.17072/1994-3598-2018-3-05-07
© Голдобин Д. С., Тюлькина И. В., Клименко Л. С., Пиковский А., 2018
3 Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1 ь Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
с Университет Потсдама, 14476, Потсдам-Гольм, Карл-Либкнехт штрассе, 24/25, Германия а Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород,
a
b
распространяется на условиях лицензии
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
6
Д. С. Голдобин, И. В. Тюлькина, Л. С. Клименко, А. Пиковский
При исследованиях общих закономерностей сложного поведения нелинейных систем особое внимание привлекают коллективные явления в ансамблях связанных элементов. Здесь интересны системы, в которых собственная динамика элементов ансамбля проста, а сложность возникает как следствие их сетевого взаимодействия. С точки зрения вопросов управления и самоорганизации важны ситуации, когда коллективные явления возникают именно при слабой связи между элементами или несильном воздействии на них [1].
По этим причинам в центре внимания оказываются ансамбли осцилляторов, которые в отсутствие связи находились бы в устойчивом режиме периодических колебаний. В самом деле, если элементы находятся в устойчивом стационарном состоянии, то слабое воздействие лишь несущественно сдвинет положение равновесия каждого элемента, но не вызовет нетривиальных коллективных явлений. Если, напротив, собственная динамика элементов хаотична, сложность в поведении системы будет присутствовать изначально, без связи, - это предмет отдельного направления исследований. В системах с периодическими же колебаниями собственная динамика проста, но есть одна нейтрально устойчивая степень свободы -фаза колебания, тогда слабое воздействие на систему позволит управлять динамикой этой фазы, добиваясь совпадения ритмов колебаний элементов. Оказываются возможны коллективные явления при слабых связи или воздействии. С практической точки зрения, именно примерами связанных периодических осцилляторов являются электродвигатели и роторные двигатели, смонтированные на общей платформе, массивы одинаковых электроприборов, подключенных к общей сети переменного тока, пешеходы на мосту, колонии бактерий и т.д.
В основе математической теории коллективных явлений в таких системах лежит фазовое описание, при котором главное внимание уделяется динамике фазы колебания элемента. Математически, на уровне уравнений, исследуется динамика ансамблей фаз. В течение последних 20 лет было обнаружено, что при наличии некоторого свойства фазового ансамбля его коллективная динамика приобретает очень специфический вид. В ансамбле N элементов независимыми являются три переменных, две из которых связаны с параметром порядка (мерой синхронности элементов ансамбля), и имеется N - 3 интеграла движения. Причем это справедливо при любом значении N, для сколь угодно больших ансамблей. Систематически данные результаты оформились в виде теорий Вата-набэ-Строгаца [2] и Отта-Антонсена [3]. Наиболее существенно здесь то, что большая часть парадигматических моделей фазовых ансамблей, на исследовании которых исторически происходило становление теории коллективных явлений в ансамблях осцилляторов, оказываются обладающими этим свойством (например, см. [4, 5]; крат-
кое изложение теорий и физические примеры на русском языке приведены в приложении к работе [6]). Таким образом, появился инструмент, позволяющий далеко продвинуться в описании и понимании динамики парадигматических моделей. Но одновременно оказалось, что эти модели являются специфическими и требуется анализ того, насколько полученные для них результаты справедливы применительно к реальным системам, для которых условия теории Отта-Антонсена будут выполняться приблизительно.
С точки зрения математической физики ответ на последний вопрос требует построения теории возмущений для подхода Отта-Антонсена. Такая теория возмущений позволит получить информацию о том, как нарушение свойств Отта-Антонсена сказывается на коллективной динамике в ансамблях. Попытки построения такой теории многие годы сталкивались с трудностями в силу объективных причин — существенной вырожденности математических свойств базовой теории. (В теоретической физике можно привести пример подобной ситуации: в кинетической теории газов вычисление транспортных коэффициентов - теплопроводности, диффузии и т.д. - на основе кинетического уравнения Больцмана не является техническим упражнением на использование метода многих масштабов или иного регулярного метода теории возмущений, а потребовало построения специального математического аппарата, что было сделано Чепменом и Энскогом [7]).
В недавней статье в журнале Physical Review Letters [8] предложена смена парадигмы - вводятся нетрадиционные параметры порядка, "круговые кумулянты", в терминах которых описывается коллективная динамика ансамблей. В рамках "ку-мулянтного подхода" удаётся изучить влияние внутреннего шума на динамику ансамблей. Есть основания полагать, что новый подход позволит построить общую теорию возмущений для подхода Отта-Антонсена.
В частности, интерес представляет описание кластеризации. Из того факта, что динамика ансамблей Отта-Антонсена описывается тремя нетривиальными переменными и N - 3 константами, явно следует невозможность кластеризации. В самом деле, для описания каждого кластера элементов требуется, как минимум, две переменных: его характерная ширина и положение центра. При трех нетривиальных переменных оказывается невозможной независимая динамика даже двух кластеров. Таким образом, в системах Отта-Антонсена разбиение на кластеры не меняется со временем. Из строгого математического анализа вытекает, что ширина при этом может меняться лишь единообразно для всех кластеров, причем таким же образом, как и расстояние между ними. В таких системах динамика кластеризации, возникающая как слабое нарушение свойств Отта-Антонсена, должна быть медленной и ее следует описывать посредством теории возмущений.
К описанию коллективной динамики в ансамблях реальных осцилляторов
7
Здесь можно провести аналогии с теорией эволюции Чарльза Дарвина, для которой критически важными являются и наследственность как неизменность свойств со временем, и ее слабое нарушение в виде мутаций. Постоянность кластерного распределения в рамках теории Отта-Антонсена делает кластеры важными долгоживущими структурами, а слабое нарушение свойств теории создает возможность эволюции кластерного разбиения и управления таким разбиением. Таким образом, с точки зрения динамики кластеризации в сетевых системах, примерно отт-антонсеновские системы оказываются важным объектом исследования.
В рамках кумулятного подхода возможны регулярное математическое описание и исследование динамики кластеризации.
После публикации на сайте Phys. Rev. Lett. работа была отмечена Стивеном Строгацем [9] (Steven Strogatz, американский математик и физик, один из классиков теории хаоса и самоорганизации, писатель, популяризатор науки, соавтор теории [2]).
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации № МК-1447.2017.5.
Список литературы
1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртц Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 496 с.
2. Watanabe S., Strogatz S. H. Constants of Motion for Superconducting Josephson Arrays // Physica D. 1994. Vol. 74. P. 197-253.
3. Ott E., Antonsen T. M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators // Chaos. 2008. Vol. 18. 037113.
4. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Berlin: Springer, 1984.
5. Acebrôn J. A., Bonilla L. L., Vicente C. J. P., Ritort F., Spigleri R. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena // Rev. Mod. Phys. 2005. Vol. 77. № 1. P. 137-185.
6. Голдобин Д. С., Долматова А. В., Розенблюм М., Пиковский А. Синхронизация в ансамблях Курамото-Сакагучи при конкурирующем влияния общего шума и глобальной связи // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.
2017. Т. 25, № 6. C. 5-37. DOI: 10.18500/08696632-2017-25-6-5-37
7. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностр. литры, 1960. 510 с.
8. Tyulkina I. V., Goldobin D. S., Klimenko L. S., Pikovsky A. Dynamics of Noisy Oscillator Populations beyond the Ott-Antonsen Ansatz // Physical Review Letters. 2018. Vol. 120. № 26. 264101.
9. URL: https://twitter.com/stevenstrogatz/status/ 1011356164595027971 (дата обращения: 01.09.2018)
References
1. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization—A Unified Approach to Nonlinear Science. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
2. Watanabe S., Strogatz S. H. Constants of motion for superconducting Josephson arrays. Physica D, 1994, vol. 74, pp. 197-253.
3. Ott E., Antonsen T. M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators. Chaos, 2008, vol. 18, 037113.
4. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Berlin: Springer, 1984.
5. Acebron J. A., Bonilla L. L., Vicente C. J. P., Ritort F., Spigleri R. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena. Rev. Mod. Phys. 2005, vol. 77, no. 1, pp. 137185.
6. Goldobin D. S., Dolmatova A. V., Rosenblum M., Pikovsky A. Synchronization in Kuramoto-Sakaguchi ensembles with competing influence of common noise and global coupling. Izvestiya
VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2017, vol. 25, iss. 6, pp. 5-37. DOI: 10.18500/0869-6632-201725-6-5-37
7. Chapman S., Cowling T. G. The mathematical theory of non-uniform gases. Cambridge: Cambridge University Press, 1952.
8. Tyulkina I. V., Goldobin D. S., Klimenko L. S., Pikovsky A. Dynamics of Noisy Oscillator Populations beyond the Ott-Antonsen Ansatz. Physical Review Letters, 2018, vol. 120, no. 26, 264101.
9. URL: https://twitter.com/stevenstrogatz/status/ 1011356164595027971
Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом: Голдобин Д. С., Тюлькина И. В., Клименко Л. С, Пиковский А. К описанию коллективной динамики в ансамблях реальных осцилляторов // Вестник Пермского университета. Физика. 2018. № 3 (41). С. 5-7. doi: 10.17072/1994-3598-2018-3-05-07
Please cite this article in English as:
Goldobin D. S., Tyulkina I. V., Klimenko L. S., Pikovskii A. Towards the description of collective dynamics in ensembles of real oscillators. Bulletin of Perm University. Physics, 2018, no. 3 (41), pp. 5-7. doi: 10.17072/1994-3598-2018-3-05-07
