К НОВЫМ СЛУЧАЯМ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ГУРСА В КВАДРАТУРАХ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2023.

Выпуск 1 (46)

Bulletin of Syktyvkar University.

Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics. 2023; 1 (46) МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

Научная статья УДК 517.956

https://doi.org/10.34130/1992-2752_2023_1_4

К НОВЫМ СЛУЧАЯМ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ГУРСА В КВАДРАТУРАХ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Елена Александровна Созонтова

Елабужский институт ФГАОУ ВО КФУ, sozontova-elena@rambler.ru

Аннотация. В работе исследована задача Гурса для системы гиперболического типа с двумя независимыми переменными. С помощью факторизации уравнений рассматриваемой системы получены новые случаи разрешимости в квадратурах поставленной задачи.

Ключевые слова: гиперболическая система, задача Гурса, разрешимость в квадратурах

Для цитирования: Созонтова Е. А. К новым случаям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для одной системы гиперболического типа // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 1 (46). C. 4-13. https://doi.org/10.34130/1992-2752_2023_1_4

© Созонтова Е. А., 2023.

Article

On new cases of solvability of the Goursat problem in quadratures for one hyperbolic type system

Elena A. Sozontova

Elabuga Institute KFU, sozontova-elena@rambler.ru

Abstract. The paper investigates the Goursat problem for a hyperbolic type system with two independent variables. With the help of factorization of the equations of the system under consideration, new cases of solvability in the quadratures of the problem are obtained.

Keywords: hyperbolic system, the Goursat problem, solvability in quadratures

For citation: Sozontova E. A. On new cases of solvability of the Goursat problem in quadratures for one hyperbolic type system. Vestnik Syktyvkarskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika. Informatika [Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics], 2023, no 1 (46), pp. 4-13. https://doi.org/10.34130/1992-2752_2023_1_4

В области D = (x0 < x < xi, y0 < У < yi} рассматривается система

гладкость коэффициентов которой определяется включениями

Задача 1. В области О найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условиям

Uxy + aiMx + biUy + ciVx + diVy + eiu + /iv = gi, Vxy + «2Ux + b2Uy + C2Vx + d2Vy + e2U + /2 V = g2,

(1)

ai, «2, ci, C2 G C(i'°), bi, ci, C2, d2 G C(0'i), ei, e2, /i, /2 g C(0'0).

u(xo,y) = ^i(y), u(x,yo) = ^i(x), v(x0,y) = ^2 (У), v(x,yo) = ^2(x).

При этом предполагается, что € C 1(X), ф\, ф2 € C 1(Y) и вы-

полняются условия согласования

^М = ф1(хо), ^Ы = ф2 (x0).

Как известно [1], решение задачи 1 существует и единственно. В работах [2], [3] изложены варианты разрешимости этой задачи в квадратурах. Целью данной работы является получение новых случаев разрешимости в квадратурах задачи 1.

Рассмотрим сначала вспомогательную задачу.

Задача 2 (вспомогательная). В области D найти регулярное решение уравнения

uxy + aux + buy + cu = f, (2)

удовлетворяющее непрерывно дифференцируемым граничным значениям

u(x0,y) = Ч>(y), u(x,yo) = ф(х) = фЫ, (3)

x € [x0,x1], y € [x0,x1].

Известно [4, с. 172; 5, с. 14], что решение задачи 2 записывается через соответствующие функции Римана, для которых известны [5, с. 15-16; 6-8] случаи их построения в явном виде. Для дальнейшего использования запишем все эти случаи в объединенном виде и сформулируем теорему. В обозначенных выше источниках условия, при которых функции Римана определяются в явном виде, представлены в терминах следующих соотношений:

1) h = 0;

2) k = 0;

3) 2h - (ln h)xy - k = 0;

4) 2k - (ln k)xy - h = 0;

5) ax = by, h = Co(x)no(y) = 0;

6) by - ax = h = 6(x)m(y) = 0;

7) ax - by = k = Ь(х)П2(У) = 0;

8) h = 2^o(x)ro(y) = 0, k = 3^o(x)ro(y) = 0;

9) h = 3^1(x)n(y) = 0, k = 2^1(x)n(y) = 0;

где

10) (1п к)ху = к — к, к = 2Ьу =

11) (1п к)ху = к — к, к = 2ах = ш2; 12) то ах — Ьу = т^Ьу — ах = (то — 1)(аЬ — с);

13) к = ш0;

14) к = -0, (4) к = ах + аЬ — с, к = Ьу + аЬ — с,

-=(2—(у)]2■ (х)+<«»:(у)=». (5)

Здесь £к, Пк, ^о, т0, т1 € С1, зк, ¿к, тк € С2, тк зависит только от одной из переменных (х,у) и тк = 2 (к = 0, 1, 2). В остальном обозначенные выше функции произвольны, а именно в соответствующем классе должны найтись функции, при которых выполняются условия (4). Коэффициенты а, Ь, с имеют гладкость, которая обеспечивает возможность выполнения формул (4). Классы гладкости задаются на замкнутых множествах определения соответствующих функций.

Справедлива теорема

Теорема 1. Пусть к, к, шг определяются формулами (5). Тогда построение решения задачи (2) - (3) в квадратурах обеспечивается любым из тождеств 1) -4), а также существованием функций Сг, Пг, ^г, тг, тг, вг, и, для которых имеет место любая из групп соотношений 5) - 11) или когда вместе с 12) любая из определяемых в (5) комбинаций к, к имеет вид, указанный в 13) - 14). При этом зависящая лишь от одной из переменных (х,у) функция ш0 удовлетворяет, условию ш0 = 0, а ш1, ш2 - (шк + 1)(шк — 2) = 0.

Перейдем теперь к решению задачи 1. Попробуем отыскать такие функции а1, в1, 71, чтобы первое уравнение (1) можно было записать в виде

д \

— + аН («х + А« + 71^) = 01- (6)

Нетрудно убедиться, что первое уравнение (1) совпадает с (6), если имеют место тождества

с1 = 0, Ь1у + а1Ь1 — е1 = 0,

¿1у + М1 - /1 = 0, (7)

где

«1 = «1, в1 = 61, 71 = ¿1. (8)

Рассуждая аналогичным образом, получаем, что при выполнении тождеств

62 = 0, Й2х + «2^2 - в2 = 0,

С2Х + С2^2 - /2 = 0 (9)

второе уравнение (1) можно записать в виде

д

дХ + а2 ) (Уу + ^2« + 72^) = 02,

где

«2 = ¿2, ^2 = «2, 72 = С2. (10)

Итак, задача 1 разбивается на три задачи

Wly + «1^1 = 01, ^1(х,уо)= + + 71^2, (11)

+ a2W2 = 02, W2(Жo, у) = ^2у + ^2^1 + 72^2, (12)

+ в1« + 7^ = w1,

Уу + в2« + 72^ = W2,

'13)

и(Хо,у) = <^(у), у(х,уо)= ф2(х). (14)

Задачи (11), (12), (13) - (14) необходимо решать последовательно, начиная с первой из них. Функции w1, w2 находятся с помощью интегрирования уравнений из (11), (12), при этом в случае задачи (11) в качестве параметра выступает х, а в случае (12) - у.

Известно [9], что задача (13) - (14) является однозначно разрешимой. Для нахождения условий разрешимости этой задачи в квадратурах воспользуемся возможностью редукции системы (13) к двум уравнениям вида

0ху + а©ж + 60у + с© = /. (15)

А именно при выполнении условия

71 = 0 (16)

получаем уравнение вида (15) для 0 = и, коэффициенты которого определяются формулами

а = 72 - (1п 71 )у, 6 = в1, С = в1у - в1(1п 71)у - 71^2 + 72^1. (17)

При

в = 0 (18) получаем уравнение вида (15) для 0 = у с коэффициентами

а = 72, 6 = - (1П в2)х, С = 72х - 72(1п в2)х - ^271 + (19)

Решив первое уравнение, полученное при выполнении условия (16), можно найти функцию у(х, у) из первого уравнения системы (13). И, наоборот, при выполнении неравенства (18), зная у(х,у), функцию и(х, у) можно найти из второго уравнения системы (13). Но для нахождения функций 0 = и и 0 = у из (15) условий (14) недостаточно: нужно добавить еще (см. задачу 1)

и(х,уо) = ф1(х), у(Хо,У) = ^2(у) (20)

и условия согласования

Ыуо) = ^^О^ ^2(Уо) = ф2(хо).

Очевидно, что первые (вторые) соотношения в (14) и (20) являются граничными условиями первой (второй) задачи Гурса для уравнения вида (15). Таким образом, задачу 1 мы редуцировали к двум задачам Гурса для уравнения (15), которые аналогичны рассмотренной выше вспомогательной задаче 2.

В терминах коэффициентов системы (1) сотношения (16) - (19) за-

пишутся в виде

¿1 = 0, (21)

а = С2 - (1п ¿{)у, 6 = 61, с = б1у - 61 (1п ¿1)у - ¿1а2 + С261, (22)

«2 = 0, (23)

а = С2, 6 = 61 - (1па2)х, С = С2х - С2(1па2)х - а2^1 + 61С2. (24)

Тогда справедливо утверждение

Теорема 2. Для разрешимости задачи 1 в квадратурах достаточно, чтобы выполнялись тождества (7), (9) и один из двух наборов а, Ь, с, определяемых формулами (21) - (22), (23) - (24), удовлетворял условиям теоремы 1.

Применим теперь к системе (1) другую факторизацию. А именно уравнения из (1) можно записать в виде

дХ + а^ («у + в1« + 71^) = 01, ^ду + а2 ) (Ух + + 72^) = 02,

если имеют место тождества

¿1 = 0, а1х + Ь1а1 — б1 = 0, с1х + Ьхс1 — /1 = 0,

а2 = 0, Ь2у + с2Ь2 — в2 = 0, ¿2у + с2^2 — /2 = 0,

иу + в1« + 7^ =

Ух + ^2« + 72^ = ^2,

(25)

(26)

позволяющие найти

а1 = Ь1, в1 = а1, 71 = с1, а2 = с2, в = Ь2, 72 = ¿2. Тогда задача 1 сводится к трем задачам

^1х + а1^1 = 01, ^1(^0 ,у) = ^1у + + 71^2, (27)

^2у + а2^2 = 02, ^(х, У0) = -02х + ^2^1 + 72^2, (28)

(29)

«(х,^) = ^1(х), У(х0,у) = ^2 (у). (30)

Функции ^1, из (27), (28) определяются непосредственным интегрированием, при этом в случае задачи (27) в качестве параметра выступает у, а в случае (28) - х. Задача (29) - (30) аналогична задаче (13) - (14), однако здесь и и у меняются ролями. Учитывая это, формулы (21) - (24) примут соответственно вид

Ь2 = 0,

(31)

а = а1 - (1п 62)у, 6 = ¿2, с = ¿2у - ¿2(1п 62)у - 62С1 + а1^2, (32)

С1 = 0. (33)

а = а1, 6 = ¿2 - (1п с1 )х, с = а1х - а1 (1пс1)х - с162 + ¿2а1. (34) Аналогом теоремы 2 является

Теорема 3. Для разрешимости задачи 1 в квадратурах достаточно, чтобы выполнялись тождества (26) и один из двух наборов а, 6, с, определяемых формулами (31) - (32), (33) - (34), удовлетворял условиям теоремы 1.

Список источников

1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

2. Созонтова Е. А. Об условиях разрешимости граничных задач в квадратурах для гиперболических систем второго порядка // Уфимск. матем. журн. 2016. Т. 8. № 3. С. 135-140.

3. Созонтова Е. А. К новым случаям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для системы второго порядка // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского : материалы XVI Молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения -2017». Казань, 2017. С. 140-141.

4. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 336 с.

5. ^Кегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. об-во, 2001. 226 с.

6. ^Кегалов В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С. 73-79.

7. ^Кегалов В. И., Сарварова И. М. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах // Изв. вузов. Математика. 2013. № 3. С. 68-73.

8. ^Кегалов В. И., Созонтова Е. А. Дополнение к случаям разрешимости задачи Гурса в квадратурах // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 2. С. 270-272.

9. Чекмарев Т. В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями // Изв. вузов. Математика. 1959. № 6. С. 220-228.

References

1. Bicadze A. V. Nekotorye klassy uravnenij v chastnyh proizvodnyh [Some classes of partial differential equations]. Moscow: Nauka, 1981, 448 p. (In Russ.)

2. Sozontova E. A. On solvability by quadratures conditions of boundary value problems for second order hyperbolic systems. Ufimskij matematicheskij zhurnal [Ufa mathematical journal], 2016, vol. 8, no 3, pp. 135-140. (In Russ.)

3. Sozontova E. A. On new cases of solvability of the Goursat problem in quadratures for a second-order system. Trudy Matematicheskogo centra imeni N. I. Lobachevskogo: materialy XVI molodezhnoj nauchnoj shkoly-konferencii "Lobachevskie chteniya - 2017" [Proceedings of the N. I. Lobachevsky: materials of the XVI Youth Scientific School-Conference "Lobachevsky Readings - 2017"], 2017, pp. 140-141. (In Russ.)

4. Bicadze A. V. Uravneniya matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1982, 336 p. (In Russ.)

5. Zhegalov V. I., Mironov A.N. Differencial'nye uravneniya so starshimi chastnymi proizvodnymi [Differential equations with higher partial derivatives]. Kazan: Kazanskoe matematicheskoe obshchestvo, 2001, 226 p. (In Russ.)

6. Zhegalov V. I. On solvability cases for hyperbolic equations in terms of special functions. Neklassicheskie uravneniya matematicheskoi fiziki [Nonclassical Equations of Mathematical Physics]. Novosibirsk: Mathematical Institute, Russian Academy of Science, Siberian Branch, 2002, pp. 73-79. (In Russ.)

7. Zhegalov V. I., Sarvarova I. M. Solvability of the Goursat problem in quadratures. Izvestiya vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2013, no 3, pp. 68-73. (In Russ.)

8. Zhegalov V. I., Sozontova E. A. An addition to the cases of solvability of the goursat problem in quadratures. Differencial'nye uravneniya [Differential equations], 2017, vol. 53, no 2, pp. 270-272. (In Russ.)

9. Chekmaryov T. V. Solution of a hyperbolic system of two partial differential equations with two unknown functions. Izvestiya vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 1959, no 6, pp. 220-228. (In Russ.)

Сведения об авторе / Information about author Созонтова Елена Александровна / Elena A. Sozontova к.ф.-м.н., доцент кафедры математики и прикладной информатики Елабужского института ФГАОУ ВО КФУ / Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate Professor of Mathematics and Applied Informatics Department of the Elabuga Institute KFU

Елабужский институт ФГАОУ ВО КФУ / Elabuga Institute KFU 423603, г. Елабуга, ул. Казанская, д.89. / 423603, Russia, Elabuga, Kazanskaja st., 89

Статья поступила в редакцию / The article was submitted 21.02.2023 Одобрено после рецензирования / Approved after reviewing 27.02.2023 Принято к публикации / Accepted for publication 01.03.2023