К асимптотической теории гиперзвуковых течений с неравновесной ионизацией в окрестности критической точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX 197 8

№ 1

УДК 533.6.011.55.011.6

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ С НЕРАВНОВЕСНОЙ ИОНИЗАЦИЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

В. П. Агафонов, М. М. Кузнецов, О. Ю. Полянский

На основе асимптотической теории неравновесных течений газа с большими локальными числами Рейнольдса анализируется проблема определения концентраций компонентов газа (в том числе электронов) в поле течения около затупленных тел при гиперзвуковых скоростях. Вводится новый параметр А* — отношение характерного газодинамического времени ко времени релаксации, величина которого характеризует термодинамическое состояние газа и концентрацию компонентов на внешней границе пограничного слоя в окрестности критической точки. Показано, что при Л* > 1 справедлива теория пограничного слоя Прандтля с равновесными значениями концентраций на внешней границе. Случаи А* ~ 1 и А* << I соответствуют неравновесному состоянию потока вдоль всей длины критической линии тока от скачка уплотнения до тела.

1. Гиперзвуковые течения газа в окрестности критической точки относятся к классу задач с особыми возмущениями, при исследовании которых нашли широкое применение асимптотические методы. В настоящее время наиболее подробно исследованы течения с вязким взаимодействием [1] и течения с излучением [2—4].

Большинство работ, посвященных исследованию неравновесных течений с химическими реакциями и ионизацией, содержит преимущественно результаты численных расчетов [5—9]. В то же время асимптотическая теория таких течений при больших числах Ие [10—12] содержит не все классы предельных решений уравнений газовой динамики и химической кинетики.

В работах [13, 14] сделана попытка исследовать закономерности изменения концентрации электронов в невязкой области течения и в пограничном слое на основе приближенного анализа с использованием параметра Л, равного отношению характерного газодинамического времени для области ударного слоя вблизи затупления /?/1/оо (/? — радиус затупленяя, ^„ — скорость невозмущенного потока) к характерному времени релаксации т; А = .

Однако проведенный в этих работах анализ не позволяет получить исчерпывающую информацию о состоянии газа на внешней границе пограничного слоя, включая и окрестность критической точки, в случаях, когда Л<^1, т. е. для течений, далеких от равновесных.

Критическая точка в этом случае представляет собой особенность — область очень больших градиентов концентраций [И]. В действительности из-за присутствия пограничного слоя „пики“ в профилях концентраций будут выравниваться путем диффузии [14]. При численных расчетах эта особенность приближенно учитывалась интегральным образом на основе баланса потоков массы и концентраций компонентов в энтропийном и пограничном слоях [6, 8]. Следует отметить, что в таких случаях постановка задачи для диффузионного пограничного слоя может существенно отличаться от классической даже при выполнении условия Re 1 и числа Шмидта Sc — 1, а концентрации компонентов (в частности, электронов) на внешней границе диффузионного пограничного слоя в окрестности критической точки могут существенно отличаться от своих равновесных значений.

При изучении асимптотического поведения решения вблизи критической точки кардинальным моментом является выбор предельного перехода по параметрам Re и Л. Обычно при исследовании решения вблизи критической точки предельный переход Re -» оо совершается при фиксированной скорости химических реакций (Л =^=0), что в асимптотической постановке приводит к равновесным значениям концентраций на внешней границе пограничного слоя [11, 12]. В настоящей работе исследуется другой предельный переход: Reоо, Л -* 0, причем Л* — Л In Re = const^ 1, что соответствует неравновесному состоянию газа на внешней границе пограничного слоя.

2. Рассмотрим неравновесное течение газа в окрестности критической точки при условии, что число Рейнольдса Re^>l и число

Шмидта Sct = -^- = 0 (1). Определим параметр

где Ь* — характерное время движения частиц газа от ударной волны до границы диффузионного пограничного слоя, т— характерное время релаксации рассматриваемого процесса в ударном слое. При таком выборе их параметр Л* будет характеризовать состояние газа в области вблизи внешней границы пограничного слоя. Вычислим

здесь у— координата, направленная по нормали к телу, V — составляющая скорости вдоль координаты у (гк^О, см. фигуру). В дальнейшем все оценки проведем для случая обтекания сферического затупления. При этом для значений числа М^>1 можно принять, что

Л* = t*/т.

(2.1)

(2.2)

Д

V^ — kVao-x-XzVn-jL.

Т огда

Ргх — ^-1п(8/Д)«^-1п/Ш7, (2.2а)

У СО ОЭ

где I? — радиус сферического затупления, к = роо/р^— характеризует изменение плотности при переходе через ударную волну, Не0 =

= Р°° 00—, [А0 — коэффициент вязкости в критической точке. С уче-

Н-о

том (2.2а) параметр Л* принимает вид

Л* = ^1п/Ш'о = ЛШ1/№;. (2.3)

'ас х

В соответствии с общим критерием установления термодинамического равновесия очевидно, что концентрация компонентов на внешней границе пограничного слоя будет близка к равновесной лишь при Л*^>1. При нарушении этого условия, т. е. при Л*<^1, концентрация компонентов на внешней границе пограничного слоя 7* будет отличаться от равновесного значения тр (см. фигуру). Это отличие сохранится и в асимптотической постановке Re оо, Л ->• О, А* const ^0(1).

При этом, естественно, происходит нарушение классической постановки задачи о пограничном слое, согласно которой на его внешней границе в окрестности критической точки следует задавать равновесные значения концентраций компонентов.

Режим А*<С; 1 характеризуется очень резким ростом концентраций вблизи внешней границы пограничного слоя. Поэтому необходимо оценить влияние диффузии на концентрацию у в ударном слое. (В обычных задачах относительное влияние диффузии на концентрации вне пограничного слоя имеет порядок Re~1/2 за счет граничных условий, в дифференциальных уравнениях это влияние имеет порядок Re-1 .)

Рассмотрим релаксационное уравнение, определяющее изменение концентрации /-компонента за ударной волной вдоль критической линии тока (при Re^>l):

о,.4- (2.4)

dt dy 1 p dy \^Sc; dy j 1 ' '

здесь (»i = f (T, p, ъ) (i=l, 2,..., n) — скорость образования г'-ком-понента, которая для выбранной кинетической модели записы-

вается известным образом, см., например, [15], ъ — мольно-массовая концентрация.

Пусть

= (2.5)

о

определяет концентрацию /-компонента в невязком ударном слое (как результат совместного решения уравнений газовой динамики и химической кинетики). Подставляя выражение (2.5) в уравнение (2.4) и производя соответствующие оценки, получим выражения

ш/[1 + 2«]; Т/~7|[1+ С,];

і 1кУА2 * іп

Л ® / у» м

1

^ *00

1 „-р— Гі , Л <Пп Ы»)1 г 1 Г о А*

(2.6)

которые характеризуют относительное влияние диффузии в области вне пограничного слоя на величину и тг. Вообще говоря,

величины Йг и ^ зависят от вида функции шг. Во многих практически важных случаях <»1 — (V00t|R)n. Например, для электронов в условиях, когда основной реакцией ионизации является реакция N + О ->• N0+ + е~, показатель степени 2. В случае степенной зависимости а>, на границе пограничного слоя при —

— (И 1п У к Яе)/ Уоо получим

2,-00), С, — 0(1/1п Не0). (2.7)

Таким образом, влияние диффузии на величину концентрации компонентов газа в невязкой области течения вблизи критической точки оказывается значительно более сильным, чем обычное влияние вязкости на газодинамические характеристики. Это существенно сужает диапазон чисел Рейнольдса, при которых возможно разделение области течения на невязкий ударный и пограничный слои и сращивание решений в этих областях*. Указанное явление обусловлено особенностью данной задачи (г» 0) и классом рассматриваемых функций ш,.. Так, при оказывается, что 2г — 0(1) и

С, — 0(1). Это означает, что для определения концентраций (при любом Ие^>1) необходимо всюду за ударной волной использовать приближение полностью диффузионного ударного слоя.

3. Учитывая полученные результаты, рассмотрим задачу об определении концентраций компонентов смеси химически реагирующих газов в асимптотической постановке.

Для простоты изложения сделаем некоторые упрощающие предположения. Будем считать, что газ слабодиссоциированный и слабоионизованный. Тогда энергией, затраченной на диссоциацию и ионизацию в ударном слое, можно пренебречь по сравнению с энтальпией. В этом случае уравнения газовой динамики решаются

* При к = 0,1 и Ие0= 105 величина 1п М Ие0 = 5.

независимо от уравнений кинетики и по форме совпадают с соответствующими уравнениями для совершенного газа. Уравнения кинетики решаются по уже известному полю газодинамических величин.

Проанализируем свойства асимптотических решений уравнений химической кинетики на примере уравнения для течения слабодис-социированной бинарной смеси газов в окрестности критической точки *

рV |; = А£> (а') + (к Ие0)-1 А [(/*')“ Щ . (3.1)

Здесь величины со штрихом порядка единицы (в дальнейшем штрихи опущены)

р' — р^/рсо, К = 2А/1/„, v' — v|kVoo, у' = у!Ш,

8с~1,

йа

а = 0

1 (1а

а==Г“ '•то лу

2*»/ о/ , 0раУоа

о), с, ра, и « —константы, а'— массовая концентрация атомарного компонента, нормированная на равновесный уровень в критической точке ае(ае<С1, 0<а'<1), # (а') = [р' 2/(Л')Ч (а' 2 — а'2), I* = Н-оо (А/Лоо)ш, Л — энтальпия, — теплоемкость при постоянном давлении.

В дальнейшем еще более упростим задачу, воспользовавшись модельным уравнением и соответствующими краевыми условиями на ударной волне (.у^1) и на поверхности тела (,у = 0).

(1-а2) + в2-^-, (3.2)

при у = 1; (3.3)

при у = 0, (3.4)

где — число Дамкелера для реакций на поверхности [15] (значение Сщ, = 0 соответствует некаталитической поверхности).

Рассмотрим случай малых Л и в(Л<^1, е<^1). Физически этому соответствует течение, далекое от равновесия, при больших значениях числа Йе. В этом случае для основной части области (У—1) уравнение (3.2) принимает вид

У = Л (1 а2), (3.5)

откуда, учитывая граничное условие (3.3), получим

«(_у)~ — Л1п.у + О (Л2). (3.6)

Однако при малых у, несмотря на то что Л<с;1, необходимо учитывать скорость „обратного процесса11 — Ла2 **. Полагая а2—1 и используя (3.6), можно получить масштаб „включения" обратного процесса — толщину релаксационной зоны около критической точки

Д! — е~1/Л<С; 1-

* Уравнение (3.1) может быть получено для главных членов ньютоновского

и координатного разложений в окрестности оси симметрии методами, развитыми

в работе [2].

** Аналогичная ситуация, вызванная необходимостью учета поглощения* была рассмотрена ранее при исследовании излучения в .оптически тонком'1 ударном слое [3, 4].

4—Ученые записки № 1

49

Учитывая, что толщина вязкого пограничного слоя имеет порядок е, можно заключить, что решение уравнения (3.2) будет зависеть от соотношения масштабов Aj и s или от параметра

Л* = ^ = Alns-i.

Различным значениям параметра Л* (Л* ;^> 1, Л* — 1, Л* <sg; 1) будут соответствовать также различные типы граничных условий, которые следует задавать в асимптотическом смысле .у-»-0, Y—y/s—0(1) на внешней границе внутренней области с масштабом у—е.

1. Л* 1 — величина а близка к своему равновесному значению (а— 1).

2. Л* — 1 — величина а отличается от равновесного значения на величину своего порядка.

3. Л* 1—величина а мала (а<С!1)-

Исследуем теперь асимптотическую постановку задачи для следующих типов предельных переходов:

а) А<1, е->0 (Л*»1);

б) Л О, е -»О (Л* = const).

Рассмотрим первый тип предельного перехода. Введем асимптотическое представление функции а (у, Л, е) во внешней области <? (jr— 1)

ае(У> А> £) = аео(^. A) + eaei(.y> Л) + £2ае2(^, Л)+.. •• (3.7)

Подставляя (3.7) в уравнение (3.2) и совершая предельный переход е 0, получим для главного члена разложения (3.7) уравнение (3.5]. Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (3.3), имеет

ВИД

1 — <»2А 1п У 1 - V' ^ .

аео(У> Л)== 1+е2Л1пу ~ 1+у2Л •

Во внутренней области I (у — е) для построения соответствующего асимптотического решения

а1(у, Л> *)=аю(у, Л) + а1(е)а/1(>/, Л) + а2(г)а12(у, Л) + . .. , (3.9)

удовлетворяющего уравнению

-У^=А(1 -а2)+^, У = у/е

и граничному условию (3.4), воспользуемся принципом сращивания. Для этого в разложении (3.7) необходимо совершить предельный переход у -»■ 0 при К =_у/е — 0(1). Например, в главном приближении для ае о (у ->■ О, Л) получим

«е(у, А) - + о (Ле*Ч, Л* = Л 1п г-1. (3.10)

I в

Из условия сращивания для главного приближения (3.10) следует, что для рассматриваемого типа предельного перехода на внешней границе „пограничного слоя“ при любых значениях А^-0, Л^1 и е-^0 достигается равновесие*

.,2 а

«г о (У °о) = ъе о (у О, Л)= 1.

* Этот результат, естественно, будет иметь место также при А;

В области Д]^^<Д решение (3.8) допускает представление в виде ряда

а, О = 1 - 2 (у2Л) + 2 (у^у - 2 (у2*)з + (3.11)

Отсюда следует, что при у ~ еУ (г О, У—0(1)) условия сращивания асимптотических разложений (3.11) и (3.9), а следовательно, и коэффициенты ак(е) будут последовательно содержать члены порядка (е2А)*, &=1, 2, 3.... При Л<1/2 второй член внутреннего разложения, соответствующий к=\, будет иметь меньший порядок, чем обычно в теории пограничного слоя, так как е2Л^>е— -(Ие) -1/2. Аналогичный результат был получен ранее в работе [11].

Теперь рассмотрим двойной предельный переход

Найдем асимптотическое решение уравнения (3.2), соответствующее данному предельному переходу. Прежде всего, заметим, что „невязкое“ решение (3.8) будет справедливо при любых фиксированных значениях у, поскольку е 0. Совершим предельный переход Л-*• 0 в решении (3.8). Тогда получим, что функция а всюду при уф 0 стремится к нулю. Однако внутренний предел решения (3.8), т. е. а[_у-*0, У —- О (1)], получаемый при Л 0, не равен нулю, причем

Таким образом, асимптотическое решение уравнения (3.2) во внешней области (у^>е) для рассматриваемого предельного перехода имеет вид „ступенчатой” функции

Для получения членов асимптотического разложения при конечных значениях малых параметров Л<^1, е<С!1 естественно

•было бы строить асимптотические разложения в областях у^> г, у — г в виде рядов по этим параметрам. Перераскладывая коэффициенты ряда (3.7) и (3.9) по параметру А<^\, получим

Покажем, что из-за наличия при у 0 особенности в уравнении (3.2) разложение (3.13) для аек, равномерно учитывающее эффекты порядков Л, Л2,... и т. д: во всей внешней области, построить нельзя.

где

Л* при Л*-з-0.

К(У, Л-0)-/(Л*) 9 00,

(3.12)

где

при у = 0, при _у<0.

*е*(у, Л) = а?£(У) + Лат(у) + АЧ^(у)+. . . , (3.13)

««(Г, Л) = а<°>(У) + ЛаП)(У) + (V) +... (3.14)

(Л = 0, 1, 2....)

и т. д.

Действительно, рассмотрим для определенности случай Л*^>1. Тогда при у—1 и у ->■ О, У— 0(1) соответственно получим

(У ~ 1) = 0; «ЭД(У) = \пу ~ 1... а<*> (у) ~ (1пу)т,

1) = 0; «^(А,) = 1пД1-

Отсюда следует, что при у — Д4 поправки Лта™0 становятся величинами основного порядка. Аналогичное положение будет и в случаях Л* — 1 и Л*<§^1. Таким образом, ряд (3.13) становится непригодным вблизи особенности.

Теперь исследуем структуру внутреннего предела внешнего разложения а [у -» О, У — О (1)] для полного уравнения (3.2) с учетом влияния вязкости. Для этого построим асимптотическую последовательность решений дифференциальных уравнений, получаемых

С12

разложением „вязкого" оператора е2^ в уравнении (3.2).

Запишем уравнение (3.2) в следующем виде

А (1 - «2)

Ла

1у

е2 сРа у йу2

(3.15)

или

(1а

А

= - А (1 — 1). (±. ± (1 _ »*).

«= 1

(3.16)

Здесь

£2 Л \П $2 й в2 А в2 А £2 А

у Ау ) у Ау 1 У аУ 2 У 6у 3 У аУ

В выражении (3.16) соберем все члены, имеющие при у О, У—0(1) основной порядок величины, Т. е. -у- (1 — о?)

йа1

-----Л(1 _в?)

1

1-3-5. . .2и— 1

,,2и + 1

.2 п

+ 0(Л2).

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (3.3), имеет вид

1

УЛе-2А* 1 + у^е~**

(3.17)

Здесь

1 -3-5... 2 я — 1 од

2 п ®

(*-*)

На основании выражения (3.17) нетрудно найти формальные условия сращивания для <*ЭД(У оо) [см. (3.14)]

А«|»)(У-.оо) = а1(^^0, У -- О(1)) а*е(у О, У — О(1)) =

4 А*~2А*

_ I -- IП У —и. X1 ---------------- -

у2п

[1+е-2Л*]2

1пУ + 2 3'5'"2п 1 1

п=1

2 п

(3.18)

Из выражения (3.18) следует, что отношение Ла^) (У -> оо)/а*, характеризующее относительную роль поправочного члена по сравнению с главным в области сращивания, будет

Ла<’>(Г->оо) а1{у-+ 0, К~0(1)]-оС Ле-2А*

л а?о(У °°)

или

Аг2Л при Л*^>1;

Л~1п£-1 при А* ~ 1; (3.19)

1пе-! при А* <С 1.

Из выражения (3.18) также следует, что для получения следующего члена внутреннего асимптотического разложения, аЭД, необходимо учесть эффекты порядка е2*(& — любое целое число) во внешней области (у—1).

Подобная структура асимптотических граничных условий сращивания характерна, как показано в приложении, для асимптотического представления точного решения линейного дифферен-

циального уравнения следующего вида

~У'щг = А + •*-&■

Заметим, что в теории пограничного слоя влияние вязкости на внешний поток обусловлено прежде всего вытесняющим действием пограничного слоя. Это эквивалентно „сдвигу" по координате у на величину 8~0(е) в левой части уравнения (3.2):

(у -1%=Л о - о+22 % ■ (3-20>

Проводя, как и в случае (3.15), аналогичную процедуру разло-жения производной Щр, получим решения (3.17), (3.18), „сдвинутые"

по координате у на величину 8.

4. Рассмотрим некоторые приложения асимптотического анализа, проведенного в пп. 1—3.

Изменение концентрации электронов в неравновесном течении слабоионизованного воздуха в окрестности критической точки может быть описано следующим уравнением:

(4.1)

5сКо+ &У \

Здесь все переменные и функции приведены к безразмерному виду, А — параметр, введенный в работе [13], "Уо, Ты ~ концентрации кислорода и азота, нормированные на величину равновесных концентраций в критической точке. Скорость процесса диссоциации ^ТоТи связана со скоростями других химическик реакций в системе многокомпонентного воздуха. Для течений с преобладающей диссоциацией величина скорости ионизации может быть рассчитана на основе упрощенной схемы кинетики химических реакций в воздухе [16]. В этом случае выражение для скорости ионизации имеет вид

^ ш. = 1,6.10“(-^-Уехр

Здесь [Роэ ]'— кг/м3, [1/оо]~м/с, [/?] ~ м.

476

V2

(4.2)

При использовании (4.2) и приближений тонкого ударного слоя решение уравнения (4.1) в невязкой области выписывается в конечном виде

Те з 1 ■

Тогда на внешней границе пограничного слоя в соответствии с (3.12) при ^1п8-> получим

^Опе-1)3.

(4.3)

Нормируя величину концентрации ~[е для течения в пограничном слое на величину уровня (4.3), получим, что скорость реакции ионизации в первом приближении заморожена

*/ То Тм , ——

Те

Зо>**2

, ^_______

о>* *3

_! 1п 8'

Это позволяет найти решение уравнения (4.1) внутри пограничного слоя в аналитическом виде, а именно (?\-yjs)

Бс

Те = -

1 —

С» ]' (/")8с А]

^ ____________

[/" (0)]Бс + с,

(4.4)

Здесь / —функция Блазиуса, приближенно удовлетворяющая урав-

нению импульса в случае I-

Р(Х

Ро^о

и холодной поверхности (Тт<^.Т0).

Из выражения (4.4) следует, что при любой степени катали-тичности поверхности (Сш<;оо) максимальные значения концентрации Те в пограничном слое имеют порядок величины уровней 7* на его внешней границе.

В заключение авторы благодарят В. Я- Нейланда за полезные советы и обсуждение работы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим решение следующей краевой задачи:

„ йа (Ра

= А+ е2 ч? ’

<1а

а(у = 1) = 0; ау-(у = °) = о.

Здесь А, р—некоторые константы, причем А ~ 1, р>0.

Решение имеет следующий вид

,-2/р+1

а (т)) = А* Г £ ехр(--еР1-)ф (- 1 - ; Р + 2 ;

V Р+ 1/. \р+ 1 Р+ 1 р+ 1/

Здесь Ф — вырожденная гипергеометрическая функция,

т) = У1^Р+\ Л* = Ле-2/р+1.

Используя асимптотическое представление функций Ф (5) при 1, получим

O'). Е)

~ Л *

ч»1

«1

, РІР+ 1). ..(пр + п-l) (1+„)Р+я-1 , ,

(1+п)р + п-1 1

. А*(р + П-РІР+1 , , ч тір+1 +----------^--------r trr). -"»(*)- -і- •v,p*1'

6р+2 (X-t-и) р+п—1

-]

р(р+ 1) Р+1 РІР+ О- ..(.пр + п— 1) л-1 ,

£ / 1 _L иЧ И _1_ и ___ 1 Є +

3/>+1 (1+п)р + п— 1

Здесь

С „-(Р-1)

М,)= Л—■ '*1*

І 1п 1 /т), /7=1;

І_ 2(1—р) с і +Р

1 _р . РФ 1.

1п 1/е, />=1. /1=1,2, 3....

Таким образом, асимптотическое представление решения (дающее условия сращивания решений в областях у—1 ну — е21р+1) включает члены вида т]-т, которые при /7>1 входят в главную часть выражения аас, не зависящую от е.

Заметим, что при у ~ 1 поправочные члены і\~т имеют порядок е2т/р+1. Это означает, что учет поправок порядка е2тІР+1 в области у ~ 1 приводит к поправкам порядка і)-т в области (сращивания) у > є2//р+1.

ЛИТЕРАТУРА

1. В а н-Д а й к М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком. Сб. .Исследование гиперзвуковых течений*. М., „Мир", 1964.

2. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Конвективный и радиационный теплообмен в излучающем газе. Труды XVII конгресса МАФ, Мадрид, 1966."

3. Ермак Ю. Н., Нейланд В. Я. Пограничный слой в излучающем газе. ,Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970.

4. Вертушкин В. К., Жигулев В. Н. О влиянии излучения на течение в области критической точки. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1967, № 2.

5. С а я п и н Г. Н. Неравновесные концентрации электронов на поверхности тонких затупленных конусов при обтекании сверхзвуковым потоком воздуха. Сб. „Проблемы физической газовой динамики". Труды ЦАГИ, вып. 1656. 1975.

6. Е v а п s J. S., S с h п а у d е г Q. J. and Huber P. W. Computation of ionization in reentry flow fields. A1AA J., vol. 8, N 6, 1970.

7. Blottner F. G. Viscous shock layer at the stagnation point with nonequilibrium chemical reactions. A1AAA J., vol. 7, N 12, 1969.

8. Watkins С. B., Blottner F. Q. Three-dimensional effects on electron-density in a blunt body laminar boundary-layer. A1AA J., vol. 10, N 10, 1972.

9. Kang S. W., Jones W. S. and Dunn M. G. Theoretical and measured electron-density distributions at high altitudes. AIAA J.. vol. 11, N 2, 1973.

10. Л у н e в В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., .Машиностроение", 1975.

11. Со n t i R. and Van Dyke M. Reacting flow as an example of a boundary-layer singular external conditions. J. Fluid Mechanics, vol. 38, p. 3, 1969.

12. Vinokur V. On stagnation-point conditions in non-equilibrium inviscid blunt-body flows. J. Fluid Mechanics, vol. 43, p. 1, 1960.

13. Полянский О. Ю. К расчету неравновесной концентрации электронов на поверхности затупленных тел. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 4, № 2, 1973.

14. П о л я н с к и й О. Ю., Агафонов В. П., Кузнецов М. М. Методика оценка уровней неравновесной концентрации электронов около тонких затупленных конусов в гиперзвуковом потоке воздуха. Сб. „Проблемы физической газовой динамики*. Труды ЦАГИ, вып. 1656, 1975.

15. А г а ф о н о в В. П., В е р т у ш к и н В. К., Г л а д к о в А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., „Машиностроение*, 1972.

16. Levins к у Е. S., Fernandez Е. L. Approximate non-equilibrium air ionization in hypersonic flows over sharp cones. AIAA J., vol. 2, N 3, 1964.

Рукопись поступила 25Ц1 1977